西安市铁一中学高三规范练13(教师版)

西安市铁一中学2022-2023学年上学期期末高三理科数学注意事项：1.答题时，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色黑色签字笔把答案写在答题卡规定的位置上。

答案如需改正，请先划掉原来的答案，再写上新答案，不准使用涂改液、胶带纸、修正带。

4.考试结束后，只将答题卡交回。

一、选择题：（本题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}2|log B x y x ==，则A B = （）A ．{}1,1-B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}0,1,22．已知复数z 满足1iz i-+=，则在复平面内与复数z 对应的点的坐标为（）A ．()1,1-B ．()1,1C ．()1,1-D ．()1,1--3．下列函数在区间()0,2上是增函数的是()A ．45y x =-B ．3log 1y x =+C ．223y x x =-+D ．2xy =-4．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若椭圆上存在点P ，使123PF PF =，则该椭圆离心率的取值范围为（）A ．1(0,2B ．1(0,2C ．1[,1)2D ．1(,1)25．下列函数中同时具有以下性质的是（）①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；④图象的一个对称中心为,012π⎛⎫⎪⎝⎭．A ．26cos x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6．现有甲、乙两台机床同时生产直径为40mm 的零件，从两台机床生产的零件中各抽取10件进行测量，其结果如图所示，则下列选项中不能从图中数据直接比较大小的是A ．极差B ．方差C ．平均数D ．众数7．某食堂一窗口供应2荤3素共5种菜，甲、乙两人每人在该窗口打2种菜，且每人至多打1种荤菜，则两人打菜方法的种数为（）A ．64B ．81C ．36D ．1008．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（）A ．①②B ．①③C ．①④D ．①⑤9．命题:p若a b <0:0q x ∃>，使得001ln 0x x -+=，则下列命题中为真命题的是()A ．p q∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝10．体积为1的正方体的内切球的体积是（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．43π11．已知函数()|ln |f x x =，若0a b <<.且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（）A ．)+∞B ．)⎡+∞⎣C ．(3,)+∞D ．[)3,+∞12．已知函数()23,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩()()1g x f x kx =-+.若()g x 恰有4个零点，则实数k的取值范围是A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．91,2⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知双曲线()()2222103x y a a a -=>+的渐近线方程为2y x =±，则=a ________.14．已知向量(5,3),(1,2)a b ==-，则a 在b 上的投影向量的坐标为________．15．如图，在直三棱柱ABC -A1B 1C 1中，2AB =，BC ，1AC =，13AA =，F 为棱AA 1上的一动点，则当BF +FC 1最小时，△BFC 1的面积为__________．16．已知4sin 5A =，且322A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且191,81a S ==.记[]5log =n n b a ,其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]50.9=0log 161=，.(1)求11461,,b b b (2)求数列{}n b 的前200项和.18．由于一线城市普遍存在着交通道路拥挤的情况，越来越多的上班族选择电动车作为日常出行的重要工具，而续航里程数则是作为上班族选择电动车的重要标准之一.现将某品牌旗下的一新款电动车的续航里程数作了抽检（共计1000台），所得结果统计如下图所示.（1）试估计该款电动车续航里程不低于34公里的概率；（2）在该款电动车推出一段时间后，为了调查“购买者的性别”与“使用的满意程度”是否相关，客服人员随机抽取了200名用户进行反馈调查，所得情况如下表所示：满意不满意男性用户6040女性用户50则根据上述数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“购买者的性别”与“使用的满意程度”有关？（3）为了提高用户对电动车续航里程的满意度，工作人员将检测的续航里程在[)30,32之间的电动车的电瓶进行更换，并使得该部分电动车的续航里程均匀分布于另外五组，分别求出电瓶更换前与更换后被检测的电动车的平均续航里程，并计算更换后比更换前的平均续航里程多了多少.附参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．(1)求证：1//BC 平面1AD E ；(2)求平面11BCC B 与平面1AD E 夹角的余弦值．20．已知抛物线24y x =截直线2y x m =+所得弦长||AB =（1）求m 的值；（2）设P 是x 轴上的点，且ABP 的面积为9，求点P 的坐标.21．已知函数22()(2)ln (21)(1)f x x x x a x a x b =+-+-++(1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若()0f x ≥恒成立，求b a -的最小值.22．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222sin 30a a ρρθ+-=﹣，直线l 的极坐标方程为π6θ=（ρ∈R ）．（1）求曲线C 的参数方程，若曲线C 过原点O ，求实数a 的值；（2）当1a =时，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB ．23．设函数()1f x x a x a =-+++．(1)当0a =时，求不等式()21f x x <+的解集；(2)若关于x 的不等式()2f x <有解，求实数a 的取值范围．参考答案1．B根据对数函数的定义域，求集合B ，结合交集运算性质，可得答案.由2log y x =，则0x >，即{}0B x x =>，由{}1,0,1,2A =-，则{}1,2A B = ，故选：B.2．B先化简求出复数z ，即可求出z 对应的点的坐标.()221111i i i i i z i i i -+-+-+====+- ，∴复数z 对应的点的坐标为()1,1.故选：B.3．B分别根据函数的图象与性质判断函数的单调性即可．A ．函数y=4﹣5x 在R 上单调递减，为减函数．B ．函数y=log 3x+1在（0，+∞）上单调递增，∴在区间（0，2）上是增函数，正确．C ．函数y=x 2﹣2x+3的对称轴为x=1，∴函数在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴C 错误．D ．函数y=﹣2x ，在R 上单调递减，为减函数．故选B ．本题主要考查函数单调性的判断，要熟练掌握常见函数的单调性．4．C根据椭圆定义及213PF PF =求出2PF ，由2a c PF -≤即可求解．由椭圆的定义知：122PF PF a +=，因为213PF PF =，即212PF a =，又因为2a c PF -≤，所以2a a c -≤，所以有：2ac ≤，12c a ∴≥，故椭圆的离心率的取值范围是1[,1)2．故选：C 5．D根据选项，对每个函数进行逐一分析即可.对A ：函数的最小正周期为4π，故A 不正确；对B ：该函数在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数，故B 不正确；对C ：函数图像不关于3x π=直线对称，故C 不正确；对D ：该函数满足四条性质，故D 正确.故选：D .本题考查正余弦函数的最小正周期、单调区间、对称轴、对称中心，属基础综合题.6．C结合图形，由极差、方差、平均数、众数的概念即可判断.由于极差反映所有数据中最大值与最小值的差的大小，方差反映所有数据的波动大小，平均数反映所有数据的平均值的大小，众数反映所有数据中出现次数最多的数的大小，因此由图可知不能从图中数据直接比较平均数的大小.故选:C本题主要考查样本的平均数、众数、方差等的概念；属于基础题.7．B由题甲，乙均有两种情况，一荤一素和两素，再由分步原理可得种数．甲有两种情况：一荤一素，11236C C =种；两素，233C =种.故甲共有639+=种，同理乙也有9种，则两人打菜方法的种数为9981⨯=种.故选B.本题考查分类加法和分步乘法计数原理，属于基础题．8．D根据截面的位置，可判断截面图形的形状.一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确；当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为抛物线的一部分，所以⑤正确；故选:D本题考查了空间几何体的结构特征，几何体截面形状的判断，属于中档题.9．C首先判断两个命题的正负，再根据或，且，非的关系，判断复合命题的真假.若a b <，则22,c R ac bc ∀∈<，在0c =时不成立，故p 是假命题；010x ∃=>，使得001ln 0x x -+=，故命题q 为真命题，故命题p q ∧，()p q ∨⌝，()()p q ⌝∧⌝是假命题,命题()p q ⌝∧是真命题.故选:C 10．A如图可知球的半径为12，结合球的体积公式即可求解．如图，因为正方体的体积为1，所以其边长为1其内切球的球心为正方体的中心O ，半径为12则球的体积为3436V r ππ==．故选：A11．B画出()|ln |f x x =的图象，数形结合可得01,1a b <<>，1ab =，然后利用基本不等式即可求出答案()|ln |f x x =的图象如下：因为0a b <<.且()()f a f b =所以ln ln a b =且01,1a b <<>所以ln ln a b -=，所以1ab =所以2a b +≥=当且仅当2a b =，即,2a b ==时等号成立故选：B本题主要考查了对数函数的图象和性质，考查了基本不等式的运用，用到了数形结合的思想，属于中档题.12．A()g x 恰有4个零点等价于方程()1f x kx =-有四个不同的根，等价于()y ,1f x y kx ==-的图象有四个不同的交点，作出()y ,1f x y kx ==-的图象，求出与2y 3,0x x x =+≤,y ln x =相切的k 的值，利用数形结合即可得出结论.()g x 恰有4个零点等价于方程()1f x kx =-有四个不同的根，等价于()y ,1f x y kx ==-的图象有四个不同的交点，作出()y ,1f x y kx ==-的图象，由图可知0k =时，两图象有三个交点，由231x x kx +=-,由01k ∆=⇒=，此时1y x =-过()y h x ln x ==上的点()1,0，()h'x =1x,所以()h'11=，即1y x =-与y ln x =相切，可得1k =时，两图象有两个交点，由图可知，当01k <<时，()y ,1f x y kx ==-的图象有四个不同的交点，即()g x 恰有4个零点，所以，若()g x 恰有4个零点，则实数k 的取值范围是()0,1，故选A.本题考查分段函数的解析式、函数的零点，导数的几何意义最数形结合的数学思想的应用,属于难题.函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.13．3根据双曲线的渐近线方程得出()320a a a+=>，解该方程即可.当0a >时，双曲线()222213x y a a -=+的渐近线方程为3a y x a+=±，由题意得32a a+=，解得3a =.故答案为3.本题考查利用双曲线的渐近线方程求参数，利用双曲线的标准方程得出双曲线的渐近线方程是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.14．12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭利用向量的投影向量公式，代入坐标进行计算即可．解：向量(5,3)a =，(1,2)b =- ，∴a 在b上的投影向量的坐标为：1(15||||a b b b b ⋅⋅-，122)(,)55=-．故答案为：1(5-，2)5．15将直三棱柱111ABC A B C -的侧面沿1BB 剪开，连接1BC ，与1AA 的交点即为1BF FC +最小时的点F ，由此可求得△BFC 1的边长，再由余弦定理求得一角，有面积公式求出面积.解：由题意得将直三棱柱111ABC A B C -的侧面沿1BB剪开，并展开到同一平面上，如图所示：连接1BC ，则1BC 与1AA 的交点即为1BF FC +最小时的点F .在展开图中，2AB =，1AC =，13AA =.又由11A F BAF C 易知，11,2A F AF ==由此可知1BF FC =在直三棱柱111ABC A B C -中，11113,BB AA BC B C ====1BC ∴=∴在1BFC中，22211111cos 24BF FC BC BFC BF FC +-∠==-⋅1sin BFC ∴∠=故△BFC 1的面积为1111sin 2242S BF FC BFC =⨯⨯⨯∠=⨯=故答案为：216．根据二倍角公式，先求出sin 2A 和cos 2A ，再由两角和的正弦公式，即可求出结果.因为4sin 5A =，且322A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3cos 5A ==-，则4324sin 22sin cos 25525A A A ⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，2327cos 212sin 12525A A =-=-=-，因此2417sin 2sin 2cos cos 2sin 33325225A A A πππ⎛⎫+=+-⨯-⨯- ⎪⎝⎭故答案为：17．(1)10b =；142b =；612b =(2)524（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由11a =，981S =，可得d ，从而可求出数列{}n a 的通项公式，即可分别求得11461,,b b b ；（2）分别求出当12n ≤≤时，当312n ≤≤时，当1362n ≤≤时，当63200n ≤≤时，数列0n b =，1n b =，2n b =，3n b =的项数，即可求得数列{}n b 的前200项和.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知9=81S ，根据等差数列性质可知：()95199481S a a d ==+=∴149a d +=.∵11a =，所以2d =∴21n a n =-∴[]15log 10b ==，[]145log 272b ==，[]615log 1212b ==.（2）当12n ≤≤时，13n a ≤≤，[]5log 0n n b a ==，共2项；当312n ≤≤时，[]5523,log 1n n n a b a ≤≤==，共10项；当1362n ≤≤时，[]515123,log 2n n n a b a ≤≤==，共50项；当63200n ≤≤时，[]5125399,log 3n n n a b a ≤≤==，共138项.∴数列{}n b 的前200项和为201015021383524⨯+⨯+⨯+⨯=.18．（1）0.8；（2）表格见解析，不能；（3）36.5（公里），36.8（公里），更换后比更换前的平均续航里程多了0.3公里.（1）由频率分布直方图求出电动车续航里程不低于34公里的频率，然后利用频率来估计概率；（2）利用公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++直接求解，然后由临界值表来判断即可；（3）由题意分别计算电瓶更换前被检测电动车的平均续航里程和电瓶更换后被检测电动车的平均续航里程，然后进行比较即可解：（1）由频率分布直方图可知该款电动车续航里程不低于34公里的频率为0.10020.15020.10020.05020.8⨯+⨯+⨯+⨯=，故该款电动车续航里程不低于34公里的概率的估计值为0.8.（2）依题意，得到22⨯列联表如下：满意不满意总计男性用户6040100女性用户5050100总计11090200则2K 的观测值()220060504050200 2.020 3.8411001001109099k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“购买者的性别”与“使用的满意程度”有关；（3）依题意，电瓶更换前被检测电动车的平均续航里程为310.05330.15350.2370.3390.2410.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1.55 4.95711.17.8 4.1=+++++36.5=（公里）电瓶更换后被检测电动车的平均续航里程为330.16350.21370.31390.21410.11⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5.287.3511.478.19 4.51=++++36.8=（公里）故更换后比更换前的平均续航里程多了0.3公里.19．(1)证明见解析(2)13（1）由正方体的性质可证得四边形11ABC D 是平行四边形，则11//BC AD ，然后由线面平行的判定定理可证得结论，（2）以A 为原点，AD 、AB 、1AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.（1）证明：由正方体的性质可知，11//AB C D ，且11AB C D =，所以四边形11ABC D 是平行四边形，所以11//BC AD ．因为1BC ⊄平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，所以1//BC 平面1AD E ．（2）以A 为原点，AD 、AB 、1AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则1(0,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,2,1)A B D E ，所以(0,2,0)AB = ，1(2,0,2)AD = ，(0,2,1)AE =，设平面1AD E 的法向量为(,,)m x y z =，则122020m AD x z m AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令2x =，则()2,1,2m =- ，易知平面11BCC B 的一个法向量为()0,2,0AB =，所以||21|cos ,|233||||m AB m AB m AB ⋅===⨯⋅，所以平面11BCC B 与平面1AD E 夹角的余弦值为13．20．（1）4-；（2）(5,0)或(1,0)-.（1）设()()1122,,,A x y B x y .由抛物线方程和直线方程联立，根据||AB =结合韦达定理由||AB ==.（2）由（1）知直线AB 的方程为24y x =-,设(,0)P a ，求得点P 到直线AB 的距离d =，再ABP 的面积为9，由1||2ABP S AB d =⋅ 求解.（1）设()()1122,,,A x y B x y .由22,4y x m y x =+⎧⎨=⎩，得2244(1)0x m x m +-+=，22116(1)1616(12)0,2m m m m ∆=--=-><,由根与系数的关系得212121,4m x x m x x +=-=.∴||AB ==∵||AB ==解得4m =-.（2）由（1）知直线AB 的方程为24y x =-.设(,0)P a ，点P 到直线AB 的距离为d ，则d =.又1||2ABP S AB d =⋅ ，则2||ABP S d AB = ，=∴|2|3a -=，∴5a =或1a =-.故点P 的坐标为(5,0)或(1,0)-.本题主要考查直线与抛物线的位置关系，弦长公式，三角形面积问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．(1)()f x 单调增区间为(e,)+∞，单调减区间为(0,e)；(2)3ln 24+.（1）在定义域内根据()f x ¢符号求得x 的范围，求()f x 单调区间；（2）由题意()()()()41ln ,0f x x x a x '=+->求()f x 单调区间，结合()0f x ≥恒成立得2e e a a b a a -≥+-，构造()()2ln ,0g t t t t t =+->，利用导数研究函数的单调性得()min g t ，即可得结果.（1）当1a =时，22()(2)ln 32f x x x x x x b =+--+，0x >，所以()(41)(ln 1)f x x x '=+-，易知(0,e)x ∈时()0f x '<，(e,)x ∈+∞时()0f x '>．函数()f x 的单调增区间为(e,)+∞，减区间为(0,e)；（2）由题意得()(41)(ln )f x x x a '=+-，0x >．当(0,e )a x ∈时()0f x '<，(e ,)a x ∈+∞时()0f x '>．()f x 的单调增区间为(e ,)a +∞，减区间为(0,e )a ，则2min ()(e )e e a a a f x f b ==--+，∵()0f x ≥恒成立，∴2e e 0a a b --+≥，则2e e a a b ≥+．故2e e a a b a a -≥+-，令e 0a t =>，22e e ln a a a t t t +-=+-，设2()ln g t t t t =+-（0t >），则(21)(1)()t t g t t-+'=．当1(0,)2t ∈时()0g t '<，当1,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0g t '>．∴()g t 在1(0,)2上递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，min 13()()ln 224g t g ==+综上，b a -的最小值为3ln24+.22．（1）a =（2）3．（1）根据222x y ρ=+，sin y ρθ=可得22()3x y a +-=，再由圆的参数方程可得x y a αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩，将原点代入可求a 的值.（2）将π6θ=代入曲线C 的极坐标方程，由12||AB ρρ=-，利用韦达定理即可求解.解：（1）将222x y ρ=+，sin y ρθ=代入222sin 30a a ρρθ-+-=，得曲线C 的直角坐标方程为22()3x y a +-=，∴曲线C 的参数方程为x y a αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）．∵曲线C 过原点O ，∴23a =，得a =；（2）当1a =时，曲线C 的极坐标方程为22sin 20ρρθ--=，将π6θ=代入22sin 20ρρθ--=，得220ρρ--=．设A 、B 两点对应的极径分别为1ρ，2ρ，∴121ρρ+=，122ρρ=-，∴12||3AB ρρ=-===．23．(1)(),0∞-(2)31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）分1x <-，10x -≤<，0x ≥三种情况求绝对值不等式的解集；（2）利用绝对值的三角不等式求出()min f x ，求解()2f x <有解，即()min 2f x <，解不等式即可求出答案.(1)当0a =时，不等式()121f x x x x =++<+，即11x x +-<．当1x <-时，11x x --+<，可得1x <-；当10x -≤<时，11x x ++<，可得10x -≤<；当0x ≥时，11x x +-<，无解．综上，当0a =时，不等式()21f x x <+的解集为(),0∞-．(2)因为()()()1121f x x a x a x a x a a =-+++≥--++=+，当且仅当()()10x a x a -++≤时等号成立．若关于x 的不等式()2f x <有解，则()min 2f x <，即212a +<，所以实数a 的取值范围是31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．西安市铁一中学2022-2023学年上学期期末高三文科数学注意事项：1.答题时，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

西安中学高2011届高考第十三次模拟考试数学（文科）试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考 试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（本大题共10小题，每小题5分，共50分）， 1.若函数()f x =A ，函数()lg g x x =,[1,10]x ∈的值域为B ，则A B 为A.(,1]-∞B.(,1)-∞C. [0,1]D.[0,1)2．复数211z i i =++-，则复数z 的模等于A ．2B．CD ．43．函数x e x f x 1)(-=的零点所在的区间是A ．)21,0( B ．)1,21( C ．)23,1( D ．)2,23(4. 设函数22()cos ()sin (),44f x x x x Rππ=+-+∈，则函数()f x 是A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数5．方程))1,0((02∈=++n n x x 有实根的概率是 A. 12 B. 15 C. 13 D. 416．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是A3225πB．3225πC．3225+πD．12825+π7．在平面内，三解形的面积为s ，周长为c ，则它的内切圆的半径c sr 2=.在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R 为A.S V 2B.S V 3C.S VD.V S 38. 如果两个实数之和为正数,则这两个数A. 一个是正数,一个是负数B. 两个都是正数C. 至少有一个是正数D. 两个都是负数9．已知+∈R b a ,，且1=+b a ，则b a 21+的最小值是 A. 42 B. 1 C. 22 D. 3＋2210．过抛物线22y x =的焦点作一条直线与抛物线交于两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线 BA ．有且只有两条B ．有且只有一条C ．有且只有三条D ．有且只有四条第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）． 11. 某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸 奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌．现采用分层抽 样的方法从中抽取一个容量为n 的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌 数是7，则n= ．12. 由下面的流程图输出的s 为13. “已知数列{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，若存在正整数(),m n m n ≠，使得m n S S =，则0m n S +=。

2012—2013高三期末考试试题（文科数学）第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1. 若复数1(1i z i i+=-为虚数单位)，则z =（ ）A. 1B. 1-C. iD. i - 【答案】D 【解析】()()()()1112==1112i i i i z i i i i +++==--+,所以z =i -。

2．已知全集U R =，若函数2()32f x x x =-+，集合{}|()0,M x f x =≤N={}|()0x f x '<则U MC N =（ ）A ．32,2⎡⎤⎣⎦B ．)32,2⎡⎣C ．(32,2⎤⎦D ．()32,2 【答案】A【解析】集合{}{}{}2|()0|320|12M x f x x x x x x =≤=-+≤=≤≤，因为'()23f x x =-，所以{}3|230|2N x x x x ⎧⎫=-<=<⎨⎬⎩⎭，所以U M C N =32,2⎡⎤⎣⎦。

3．某个容器的三视图中主视图与左视图相同，其主视图与俯视图如图所示，则这个容器的容积（不计容器材料的厚度）为（ ） A ．37πB ．7πC ．6π D ．7π【答案】B【解析】由三视图知：原几何体为两个同底的圆锥和圆柱，其中圆锥和圆柱的底面半径为1，圆柱的高为2，圆锥的高为1，所以这个容器的容积为2217121133V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=。

4．已知,x y 的值如表所示：如果y 与x 呈线性相关且回归直线方程为72y bx =+，则b =( ) A ．12- B ． 12 C ．110- D ．110 【答案】B 【解析】因为2345463,533x y ++++====，因为样本点的中心(),x y 在回归直线72y bx =+上，所以代入得b =12。

5．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿. 可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止. 若铜钱是直径为3cm 的圆，中间有边长为1cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴正好落入孔中的概率是 （ ） A.π94B. 43πC. 94πD. 34π【答案】A【解析】易知铜钱的面积为23924ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，中间正方形的面积为111⨯=，所以随机向铜钱上滴一滴油则油滴正好落入孔中的概率是14994P ππ==。

陕西省西安铁一中2013届高三上学期期末考试理科数学试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是( ) A.若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数 B.若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 C.若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D.若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数2. 若集合{}A=|1x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =∈，，则A B ⋂=（ ）A. {}|11x x -≤≤B. {}|0x x ≥C. {}|01x x ≤≤D. ∅3. 抛物线y =x 2的准线方程是( )A.4y +1=0B.4x +1=0C.2y +1=0D.2x +1=04. （x -31x）12展开式中的常数项为( )A.-1320B.1320C.-220D.2205．一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为( )A ．12B ．32C ．1D ．136. 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）A ．10种B ．20种C ．36种D ．52种7.已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）A ．关于点0π⎛⎫⎪3⎝⎭，对称B ．关于直线x π=4对称C ．关于点0π⎛⎫⎪4⎝⎭，对称D ．关于直线x π=3对称8. 设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A． B． C ．(25)， D．(29.在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在线段AM 上且满足2AP PM =,则()PA PB PC ⋅+ 等于( )A.49- B.43- C.43 D. 4910．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ）(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n -第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上.)11. 设211z z iz =-(其中1z 表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是1-，则z 2的虚部为 . 12. 设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ． 13.在边长为4的正方形ABCD 中，沿对角线AC 将其折成一个直二面角D AC B --，则点B 到直线CD 的距离为__________14. 执行如图所示的程序框图，若输出的n=5，则输入整数p 的最小值是 .15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A ．（不等式选做题）已知不等式(x+y)(1x + ay )≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为_____.B ．（几何证明选做题）如图1所示，过⊙O 外一点P 作一条直线与⊙O 交于A ，B 两点，已知PA ＝2，点P 到⊙O 的切线长PT ＝4，则弦AB 的长为________.C.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线的参数方程分别为{(0)x y θθπ≤< 和25()4x tt R y t ⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为___________. 三、解答题：（本大题共6小题，共75分, 解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）。

陕西省西安铁一中国际合作学校2013届高三上学期期末考试物理试题一、选择题（本题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确．全部选对的得5分，选不全的得3分，有选错或不答的得0分．）1太阳表面温度约为6000K，主要发出可见光；人体温度约为310K，主要发出红外线；宇宙间的温度约为3K，所发出的辐射称为“3K背景辐射”，它是宇宙“大爆炸”之初在空间上保留下的余热，若要进行“3K背景辐射”的观测，应该选择下列哪一个波段（）A．无线电波 B．紫外线 C．X射线 D．γ射线2t = 0时，甲乙两汽车从相距70km的两地开始相向行驶，它们的v-t图象如图所示．忽略汽车掉头所需时间．下列对汽车运动状况的描述正确的是A．在第1小时末，乙车改变运动方向B．在第2小时末，甲乙两车相距10kmC．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大D．在第4小时末，甲乙两车相遇【答案】BC【解析】试题分析：由图可知，2小时内乙车一直做反方向的运动，1小时末时开始减速但方向没有3假设一个沿着一定方向运动的光子和一个静止的自由电子发生碰撞后，电子向某一方向运动，光子将偏离原来的运动方向，这种现象称为光子的散射，散射后的光子跟原来相比A．光子将从电子处获得能量，因而频率增大B．散射后的光子运动方向将与电子运动方向在一条直线上C．由于电子受到碰撞，散射光子的频率低于入射光子的频率D．散射光子虽改变原来的运动方向，但频率不变.4氦原子被电离一个核外电子，形成类氢结构的氦离子。

已知基态的氦离子能量为，氦离子的能级示意图如图所示。

在具有下列能量的光子或者电子中，不能被基态氦离子吸收而发生跃迁的是（）A．42.8eV(光子) B．43.2eV（电子） C．41.0eV（电子） D．54.4eV(光子)5目前，在居室装修中经常用到花岗岩、大理石等到装修材料，这些岩石都不同程度地含有放射性元素，比如，有些含有铀、钍的花岗岩等岩石会释放出放射性惰性气体氡，而氡会发生放射性衰变，放出α、β、γ射线，这些射线会导致细胞发生癌变及呼吸道等方面的疾病，根据有关放射性知识可知，下列说法正确的是（）A．氡的半衰期为3.8天，若取4个氡原子核，经7.6天后就一定剩下一个原子核了B．β衰变所释放的电子是原子核内的中子转化成质子和电子所产生的C.γ射线一般伴随α或β射线产生，三种射线中，γ射线的穿透能力最强，电离能力也最强D．发生α衰变时，生成核与原来的原子核相比，核子数减少了26如图所示，已知用光子能量为2.82eV的紫光照射光电管中的金属涂层时，毫安表的指针发生了偏转，若将电路中的滑动变阻器的滑头P向右移动到某一位置时，毫安表的读数恰好减小到零，电压表读数为1V，则该金属涂层的逸出功约为（）A.2.9×10-19JB.6.1×10-19JC.1.6×10-19JD.4.5×10-19J7下列实验中，深入地揭示了光的粒子性一面的有．【答案】AB【解析】试题分析：散射后波长变长是康普顿效应，经典的电磁理论无法解释这种现象，康普顿借助于爱因斯坦的光子理论，从光子与电子碰撞的角度对此实验现象进行了圆满地解释，此为光8汽车从甲地由静止出发，沿直线运动到丙地，乙在甲、丙两地的中点．汽车从甲地匀加速运动到乙地，经过乙地时速度为54 km/h；接着又从乙地匀加速运动到丙地，到丙地时速度为108 km/h，求汽车从甲地到达丙地的平均速度．A.36 km/hB.40.5km/hC.54km/hD.81km/h9下列说法错误的是( )A．物体的加速度不为零时，速度可能为零B．物体的速度大小保持不变时，可能加速度不为零C．速度变化越快，加速度一定越大D．加速度减小，速度一定减小【答案】D【解析】试题分析：当物体做往返运动时，过程中会出现加速度不为零，速度却为零的现象，A正确；当物体做匀速圆周运动时，速度大小不变，但是方向时时刻刻在变，相信加速度不为零，B 正确；加速度是表示物体速度变化快慢的物理量，加速度越大，物体速度变化越大，C正确，当物体做加速度减小的加速运动时，加速度在减小，但是速度在增大，D错误，让选错误的选项故选D考点：考查了对加速度的理解10在研究物体的运动时，下列看法正确的是( )A．质点就是质量和体积都很小的物体 B．物体运动的路程一定等于它的位移C．运动物体也可选作参考系 D．作平动的物体，一定沿直线运动11关于核衰变和核反应的类型，下列表述正确的有A．是α衰变 B．是β衰变C．是轻核聚变 D．是重核裂变12太阳因核聚变释放出巨大的能量，同时其质量不断减少。

一、选择题1．在浙江省桐庐中学举办的首届物理周活动中，“高楼落蛋”比赛深受同学们喜爱。

某小组同学将装有鸡蛋的保护装置从艺术楼四楼窗口外侧（离地高12.8m）静止释放。

已知该装置与地面的碰撞时间为0.6s，不计空气阻力，在装置与地面碰撞过程中，鸡蛋对装置产生的平均作用力大小约为（）A．0.2N B．2.0N C．20N D．200N B解析：B装有鸡蛋的保护装置从艺术楼四楼窗口外侧（离地高12.8m）静止释放落地时速度为v gh=216m/s该装置与地面的碰撞时间为0.6s，鸡蛋质量约50g与该装置作用时，由动量定理可得()-=F mg t mv解得F≈1.8N故选B。

2．一弹簧枪对准以6m/s的速度沿光滑桌面迎面滑来的木块，发射一颗速度为12m/s的铅弹，铅弹射入木块后未穿出，木块继续向前运动，速度变为4m/s，如果想让木块停止运动，并假定铅弹射入木块后都不会穿出，则应再向木块迎面射入的铅弹数为（）A．3颗B．4颗C．5颗D．6颗A解析：A以木块的初速度方向为正方向，设木块的初速度为v，子弹的初速度为v0，第一颗铅弹打入木块后，铅弹和木块的共同速度为v1，铅弹和木块的质量分别为m1和m2，由动量守恒定律可得m2v−m1v0=（m1+m2）v16m2−12m1=4（m1+m2）解得m2=8m1设要使木块停下，总共至少打入n颗铅弹，以木块与铅弹组成的系统为研究对象，由动量守恒定律得m2v−nm1v0=0解得n=4要使木块停下，总共至少打入4颗铅弹，还需要再打入3颗铅弹，A正确，BCD错误。

故选A 。

3．质量为m 的乒乓球在离台高h 处时速度刚好水平向左，大小为v 1运动员在此时用球拍击球，使球以大小为2v 的速度水平向右飞出，球拍和乒乓球作用的时间极短，则（ ） A ．击球前后球动量改变量的方向水平向左 B ．击球前后球动量改变量的大小是21mv mv + C ．击球前后球动量改变量的大小是21mv mv - D ．球拍击球前乒乓球机械能不可能是2112mgh mv + B 解析：BABC ．规定向右为正方向，击球前球的动量11P mv =-击球后球的动量22P mv =击球前后球动量改变量的大小是2121P P P mv mv ∆=-=+动量改变量的方向水平向右，AC 错误B 正确；D ．由于没有规定重力势能的零势能的位置，所以无法确定击球前球的机械能，D 错误。

第十三次适应性训练文科数学答案一．选择题：本题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D D C D A B C C B二．填空题：本题共4小题，每题5分共20分.13.8− 14.231− 15. (40＋303)π 16. 42± 三．解答题：共70分，其中17—21题每题12分，第22、23题，每题10分.17.解（1）在ABC ∆中，由正弦定理得：Cc A a sin sin =.又C c A a sin cos 13=+ 所以，Aa A a sin cos 13=+.所以，A A cos 1sin 3+=，即1cos sin 3=−A A ， 即21)6sin(=−πA ，又),0(π∈A ，所以)65,6(6πππ−∈−A ，所以66ππ=−A ，即3π=A . （2）由（1）及题意知ABC ∆中，3,226,3π=−=−=A b c a . 由余弦定理得A bc c b a cos 2222−+=，即bc b c +−=2)(3.所以31+=bc ，所以43323)31(21sin 21+=×+×==∆A bc S ABC 18. （1）证明：因为C A AC 11⊥，BD AC⊥1，D BD C A = 1,⊂BD C A ,1面BC A 1.所以，⊥1AC 面BC A 1.又⊂BC 面BC A 1，所以BC AC ⊥1，又 90=∠ACB 即AC BC ⊥ 而⊂=C A AC A C A AC11,, 面11A ACC ，所以⊥BC面11A ACC .又因为⊂BC 面ABC 所以，面⊥11A ACC 面ABC .（2）⊥BC 面11A ACC 且11BC B C ，则11B C ⊥面11A ACC ，则11B C ⊥11A C ，则1B D = 由⊥1AC 面BC A 1且11BC B C 得1B 到面BC A 1的距离h=1C D =， 所以D B 1与平面BC A 1所成角的正弦值为1h B D =19.（1）设样本容量为n,则60(0.0280.032)10n=+×，得n=100，样本容量为100. 设本次竞赛成绩的中位数为x,则0.080.2(x 70)0.0320.5++−×=，得x=76.875 抽取的学生竞赛成绩的平均数550.08650.2750.32850.28950.1276.6x =×+×+×+×+×=. (2) 76.61165.6,76.61187.6x x σσ−=−=+=+=，则抽取学生在(),x x σσ−+内的频率为 (7065.6)0.020.32(87.680)0.0280.6208−×++−×=全校学生有1000人，竞赛成绩在(),x x σσ−+内的人数10000.6208620.8621×=≈ 20.解（1）因为)1,1(P 在C 的渐近线x ab y =上，所以b a =， 因为)0,(a A ，所以PAO ∆的面积为2121=a ，解得1=a ，所以1=b ， 所以C 的方程为122=−y x .（2）当直线l 的斜率不存在时，不符合题意，舍去.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为),(),,(),1(12211y x N y x M x k y −=−， 由 =−−=−1)1(122y x x k y ，得022)1(2)1(222=−+−−−−k k x k k x k . 由 >∆≠−0012k ，得1<k 且1−≠k .则122,12222121−+−=+=+k k k x x k k x x . 直线AM 的方程为)1(111−−=x x y y ，令2x x =，得)1)1(,(1212−−x x y x G . 因为H 为NG 的中点，所以)21)1(,(21212y x x y x H +−−. 所以)11(21121)1(221122121−+−=−+−−=x y x y x y x x y k AH因为1111211)1(11)1(112122112211−+−+=−+−+−+−=−+−x x k x x k x x k x y x y .又k k k k k k k k x x x x x x x x 221121222121)(211112*********−=++−−+−−+=++−−+=−+− 所以1=AH k ,即直线AH 的斜率为定值.21. （1）由题设知)0(),ln 1()('>++=x x a xa e x f x x a x a x f e x g x ln 1)()('++==−，)0()1()(2'>−=x x x a x g . 当)1,0(∈x 时，)(,0)('x g x g <为减函数；当)1(∞+∈，x 时，)(,0)('x g x g >为增函数. 故a g x g +==1)1()(min ，由于2)(≥x g 恒成立，故21≥+a ，故1≥a . （注：也可分离参数）（2）设)ln 1()()('x a xa e x f x h x ++== ，则)ln 21()(2'x a x a x a e x h x +−+= 设x a x a x a x H ln 21)(2+−+=，0)22()(32'>+−=xx x a x H ，故)(x H 在),0(+∞上单调递增. 02ln 1)21(,01)1(,2<−=>+=∴>a H a H a ，故存在)1,21(2∈x ，使得0)(2=x H 则)(x h 在),0(2x 上单调递减，在),(2+∞x 上单调递增. 故2x 是)(x h 的极小值点，所以12x x =.由（1）知，当1=a 时，11ln ≥+xx （当1=x 时取等），故0)1()ln 1()()(11111>+>++=>a e x a x a e x h x h x x ， 即)(x f 在),0(+∞上单调递增.由0)(1=x H ，即0ln 211211=+−+x a x a x a ，即12112ln 1x a x a x a −=+. 故)(021)ln 1()(02111111x f x x ae x a e x f x x =<−=+=.又由（1）可知)(x f 在),0(+∞上单调递增，故10x x > 22. 解（1）θρρθρcos 4),0(cos 4:2a a a C =∴>= .由θρθρsin ,cos ==y x 得：2224)2(a y a x =+−，所以，曲线C 的参数方程为 =+=ααsin 2cos 22a y a a x ，（α为参数）. 消参得直线l 的普通方程为：02=−+y x .（2）由（1）知曲线C 的直角坐标方程为：2224)2(a y a x =+−，其轨迹为圆，易知圆心到直线l 的距离小于半径a 2，即a a 22|22|<−，得12−>a . 因为弦MN 的长为1222)222(42222−+=−−a a a a ，原点O 在直线MN 的距离222==d . 所以1222122221||2122−+=×−+×==∆a a a a d MN S OMN 又72=∆OMN S ，所以721222=−+a a ，得2=a 或4−=a （舍去）.所以实数a 的值为223.解（1）由题意得 −≤−<<−+−≥=4,324,82,3)(x x x x x x x f ，所以)(x f 在)2,(−∞上单调递减，在),2(+∞上单调递增. 因此)(x f 的最小值6)2(==f m（2）由（1）知6=++c b a 所以ac a bc ab c b a c b a +++++=++22)(2 由基本不等式c a ac c b bc b a ab +≤+≤+≤2,2,2 所以18)(3)(2=++≤++c b a c b a ，当且仅当c b a ==时等号成立，即23≤++c b a .。

西安市铁一中学2022-2023学年上学期期末高三文科数学注意事项：1.答题时，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色黑色签字笔把答案写在答题卡规定的位置上。

答案如需改正，请先划掉原来的答案，再写上新答案，不准使用涂改液、胶带纸、修正带。

4.考试结束后，只将答题卡交回。

一、选择题：（本题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．若集合，则{}2320,M x x x =-+≤{}2,1,0,1,2N =--M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}1{}2,1--{}1,2{}0,1,22．设命题，；命题，，则下列命题为真0:(0,)p x ∃∈+∞0014x x +>:(2,)q x ∀∈+∞22x x >的是A ．B ．C ．D ．p q ∧()p q ⌝∧()p q ∧⌝()p q⌝∨3．设，，则（ ）(12)16i x y i -+=--,x y R ∈||x yi -=A ．B ．C ．D ．65434．如果，那么下列不等式成立的是0a b <<A ．B ．C ．D ．11a b <2ab b <22ac bc <5．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，xn ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A ．x 1，x 2，…，xn 的平均数B ．x 1，x 2，…，xn 的标准差C ．x 1，x 2，…，xn 的最大值D ．x 1，x 2，…，xn 的中位数6．已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦()222210,0x y a b a b -=>>(点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为2y =A ．B ．C ．D ．2212128x y -=2212821x y -=22134x y -=22143x y -=7．圆心在坐标原点的圆上有两点、，点的坐标为且，若点O B CB1BC =在角的终边上且角C αα2sin cos ααα-（ ）A ．B ．C ．D ．12-12238．已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为A ．B ．1612+π3212π+C ．D ．2412π+3220π+9．如图所示，正方体的面A 1C 1，B 1C，CD 1的中心分别为1111ABCD A B C D -O 1，O 2，O 3，则直线与直线O 2O 3所成的角为（ ）1AO A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°10．的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，，．则ABC 1a =6A π=12B π=（ ）c =A ．1B C D ．11．在直四棱柱中，底面是边长为6的正方形，点E 在线段1111ABCD A B C D -ABCD 上，且满足，过点E 作直四棱柱外接球的截面，所得AD 2AE ED =1111ABCD A B C D -的截面面积的最大值与最小值之差为，则直四棱柱外接球的表面积为12π1111ABCD A B C D -（ ）A ．B ．C ．D ．100π80π64π32π12．已知函数，若，则()221log 2x f x x +=-()f a b =()4f a -=A ．B ．C ．D ．b 2b -b -4b-二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．曲线在处的切线方程为_________.22x x x y e +=(0,0)14．如表中给出五组数据，从中选出四组使其线性相关最大，且保留第一组(),x y ，那么应去掉第___________组.()5,3--i 12345ix -5-4-3-24i y -3-24-1615．设等比数列的前n 项和为，若，则____________．{}n a n S 634S S =74a a =16．设定义在区间上的函数的图象与的图象交于点，过0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭2cos y x =3tan y x =P 点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段P x 1P 1PP sin y x =2P 的长为_____.12PP 三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）全科免费下载公众号《高中僧课堂》17．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中x 的值；（2）①求在这些用户中，用电量在区间[100，250）内的居民数；②如果按分层抽样方法，在这些用户中按1：10的比例抽取用户进一步调查，那么用电量在[150，200）内的居民数应抽取多少？18．已知等差数列{an }（n ∈N +）中，an +1＞an ，a 2a 9＝232，a 4+a 7＝37（1）求数列{an }的通项公式；（2）若将数列{an }的项重新组合，得到新数列{bn }，具体方法如下：b 1＝a 1，b 2＝a 2+a 3，b 3＝a 4+a 5+a 6+a 7，b 4＝a 8+a 9+a 10+…a 15，…，依此类推，第n 项bn由相应的{an }中项的和组成，求数列{bn }的前n 项和Tn .12n -124n -⋅19．如图，长方体中，与底面ABCD 所成的角1111ABCD A B C D -AB BC ==1A C 为45︒.(1)求四棱锥的体积；1A ABCD -(2)求异面直线与所成角的大小.1A B 11B D20．已知椭圆经过点，离心率分别表2222:1(0)x y C a b a b +=>>(,)p q e =,p q 示标准正态分布的期望值与标准差．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为．1x my =+A '①试建立的面积关于m 的函数关系；②莆田十中高三（1）班数学兴趣小组通AOB 过试验操作初步推断：“当m 变化，直线与x 轴相交时，交点是一个定点”．你认A B '为此推断是否正确?若正确，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不正确，请说明理由．21．设函数,其中常数()()32114243f x x a x ax a =-+++1a >(Ⅰ)讨论的单调性;()f x (Ⅱ)若当x≥0时，>0恒成立，求的取值范围.()f x a22．已知圆C 的极坐标方程为，直线l 的方程为.以2sin 204πρθ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭y x =极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.x xOy （1）求圆C 的圆心坐标及半径；（2）直线l 与圆C 的交点为A ，B ，求三角形ABC 的面积.23．已知函数，()2f x x m x =+++m R∈（1）若，求不等式的解集；3m =-()6f x >（2）若函数为偶函数，此时的最小值为t ，若实数a ，b ，c 满足()f x ()f x ，证明：22224a b c t ++=()22b ac +≤参考答案1．C解出集合M ，然后和集合N 取交集即可.由题意得,{}|12M x x =≤≤{}2,1,0,1,2N =--则.{}1,2M N = 故选C.本题考查集合的交集运算，属于简单题.2．C对赋值为4时，可判断命题为真命题，0x p 当赋值为4时，可判断命题为假命题．由此可以判断C 答案正确．x q当时，，故命题为真命题，04x =0011444x x +=+>p 当时，，故命题为假命题．4x =22x x =q 由复合命题的真假判断可知，故选C ．本题主要考查了逻辑联结词联结的两个命题的真假判断．（1）中，有一个是假命题，则是假命题，p q ∧,p q p q ∧（2）中，有一个是真命题，则是真命题，p q ∨,p q p q ∨（3）若为真命题，则为假命题，反之若为假命题，则为真命题．p p ⌝p p ⌝3．B根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得，进而求模长即可.34x y =-⎧⎨=⎩因为，所以，解得，()1216i x y i -+=--261x x y =-⎧⎨-=-⎩34x y =-⎧⎨=⎩所以.=|34|5x yi i ---==故选：B.4．D若，则，即，故错误；，故错误；在0a b <<0,a b ab ab ab ><11a b >A 2ab b >B 22ac bc <时，不成立，故错误；，故正确，故选D.0c =C a a b b =->=-D5．B评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平；平均数：反映一组数据的平均水平；方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．6．D试题分析：双曲线的一条渐近线是①，抛物线的准线是by xa=2ba=2y=，因此②，由①②联立解得x=c=2227a b c+==2ab=⎧⎪⎨=⎪⎩为．故选D．22143x y-=考点：双曲线的标准方程．7．A由已知得，再运用正弦、余弦二倍角、以及辅助角公式化简原式为74312ππαπ=+=，代入可求得其值得选项.sin23πα⎛⎫--⎪⎝⎭因为，为等边三角形，，即，而为三角形的内1BC=BOC∴B4BOxπ∠=α角，74312ππαπ⇒=+=)22sin cos2cos1sin cos2ααααααα-=--=-1sin22α，51sin2sin362παπ⎛⎫=--=-=-⎪⎝⎭故选：A．8．A，底面对角线长为，球的半径为，所以几何体的表面积为：42，故选A．221422412162S πππ=⨯⨯+⨯+=+9．A如图，连接，设交于，连接，则可得∥，∥，从而11,AC A C AC BD O 1OC 1AO 1OC 23O O BD 结合已知条件可求出两异面直线所成的角解：如图，连接，设交于，连接，11,AC A C AC BD O 1OC 因为在正方体的面A 1C 1，B 1C ，CD 1的中心分别为O 1，O 2，O 3，1111ABCD A B C D -所以∥，∥，1AO 1OC 23O O BD 所以直线与直线O 2O 3所成的角等于直线与所夹的角，1AO 1OC BD 因为，为的中点，11C B C D =O BD 所以，1OC BD ⊥所以直线与直线O 2O 3所成的角为，1AO 90︒故选：A10．B首先由诱导公式求出，再根据正弦定理计算可得；sin C 解：依题意()()sin sin sin sin 4C A B A B ππ=-+=+==⎡⎤⎣⎦由正弦定理，解得sin sin c a C A =112=c =故选：B11．B根据题意得，设，故当截面过球心时，截面圆面积最大，此时截面面积为；12AA a =2S R π=当，截面面积为OE ⊥，进而得，故外接球的半径为()221S R OE π=-22a =R ==因为四棱柱是直棱柱，且底面是正方形，1111ABCD A B C D -所以其外接球的球心位于直四棱柱的中心，记作，O 过点向底面作垂线，垂足为，则，O ABCD G 112OG AA =连接，因为底面是边长为6的正方形，所以点为的中点，BD ABCD G BD 取中点为，连接，，，如图，AD F OF OE OB设，则，所以外接球的半径为，12AA a =OG a =R OB ===因为点在线段上，且满足，则，E AD 2AE ED =116EF DF DE AB =-==又，所以132FG AB ==OF =因为直四棱柱中，侧面，，所以侧面，AB ⊥11ADD A //FG AB FG ⊥11ADD A 所以，又底面，而底面，所以，FG AD ⊥OG ⊥ABCD AD ⊂ABCD OG AD ⊥又，故平面，因平面，所以，FG OG G ⋂=AD ⊥OFG OF ⊂OFG OF AD ⊥则OE ==根据球的特征，过点作直四棱柱外接球的截面，E 1111ABCD A B C D -当截面过球心时，截面圆面积最大，此时截面面积为；2S R π=当，此时截面圆面积为OE ⊥；()2221S R OE ππ==-又截面面积的最大值与最小值之差为，12π所以，()2222112S S R R OE OE ππππ-=--=⋅=因此，即，所以21012a +=22a=R ===所以24480S R πππ==⨯=球故选：B关键点点睛：本题解题的关键是找准过点作几何体外接球的截面圆中面积最大为截面圆E 为过球心的截面圆，面积最小的截面圆为与垂直的的截面圆的面积，再根据几何计算OE 即可得答案.12．B 由题推导函数关于点（2,1）对称即可求解()f x 因为()()()()22222213log log log 42222x xf x f x x x -++-=+==---故函数关于点（2,1）对称，则()f x ()4f a -=2b-故选B本题考查函数的对称性，考查对数的运算，考查推理计算能力，是中档题13．2y x=求导，计算，得到切线方程.()2(22)2xx x x y e +-+'=02x k y ='==，故，()()222(22)2(22)2x x x x x e e x x x x x y e e +-++-+'==02x k y ='==故所求切线方程为.2y x =故答案为：.2y x =本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力.14．3画出散点图，根据线性相关及点偏离程度判断应去掉的点.根据表格数据，散点图如下图示：显然偏离程度最高，故去掉第三组.(3,4)-故答案为：315．3由题意公比不为1，利用等比数列的求和公式求解即可.设等比数列的公比为q ，由得，所以，所以，，{}n a 634S S =1q ≠6131(1)14(1)1a q qa q q --=--314q +=33q =则．3743a q a ==故答案为：3.16．12设，则，，所以线段的长为，根据()00,P x y ()10,0P x ()200,sin P x x 12PPsin x 结合同角三角函数基本关系可计算的值，即可求解.0023n cos ta x x =0sin x 设，则，由题意知，()00,P x y ()10,0P x 00002co 3sin 3tan s cos x x x x ==所以，2002cos 3sin x x =因为，所以，2200sin cos 1x x +=()20021sin 3sin x x -=即，所以，2002sin 3sin 20x x +-=()()002sin 1sin 20x x -+=所以，01sin 2x =直线与函数的图象交于点，可得，1PP sin y x =2P ()200,sin P x x 所以，1201sin 2PP x ==故答案为：.1217．（1）x ＝0.0044；（2）①70户；②3（户）．（1）由频率分布直方图，列出方程，能求出直方图中的值．x （2）①先求出用电量在，内的频率为0.7，由此能求出在这些用户中，用电量在[100250)区间，内的居民数．[100250)②用电量在，内的户数为30户，由此利用分层抽样的性质能求出用电量在，[150200)[150内的居民数应该抽取的户数．200)（1）由频率分布直方图得：（0.0012+0.0024×2+0.0036+x +0.0060）×50＝1，解得直方图中x ＝0.0044．（2）①用电量在[100，250）内的频率为：（0.0036+0.0060+0.0044）×50＝0.7，∴在这些用户中，用电量在区间[100，250）内的居民数为100×0.7＝70户．②用电量在[150，200）内的户数为0.0060×50×100＝30（户），按分层抽样方法，在这些用户中按1：10的比例抽取用户进一步调查，用电量在[150，200）内的居民数应该抽取：（户）．130310⨯=18．（1）；（2）.32(N )n a n n +=+∈3(41)2n n T =-（1）由an +1＞an ，结合a 2a 9＝232，a 4+a 7＝a 2+a 9＝37，利用等差数列的性质可求a 2，a 9，进而可求公差d ，即可求解通项；（2）由题意得，结合等差数列与等比数列的求和公式可求1111221221n n n n n b a a a ----++=+++- bn ，即可求解.解：（1）由an +1＞an ，可得公差d ＞0，∵a 2a 9＝232，a 4+a 7＝a 2+a 9＝37，∴a 9＞a 2，∴.29829a a =⎧⎨=⎩设公差为d ，则d3922989292a a --===--∴an ＝a 2+3（n ﹣2）＝8+3n ﹣6＝3n +2.（2）由题意得：，1111221221n n n n n b a a a ----++=+++- ＝（3•2n ﹣1+2）+（3•2n ﹣1+5）+（3•2n ﹣1+8）+…+[3•2n ﹣1+（3•2n ﹣1﹣1）]＝2n ﹣1×3•2n ﹣1+[2+5+8+…+（3•2n ﹣1﹣4）+（3•2n ﹣1﹣1）]而2+5+8+…+（3•2n ﹣1﹣4）+（3•2n ﹣1+1）是首项为2，公差为3的等差数列的项的12n -和，所以2+5+8+…++（3•2n ﹣1﹣4）+（3•2n ﹣1﹣1）()1112212232n n n ----=⨯+⨯＝3，23224nn -⋅+所以，2223232324n n n n b --=⋅+⋅+所以.2192248n nn b -⋅=⋅所以.()()()29416642414341988142nnnn T ++++--==⨯=- 19．(1)43(2)（1）先求得长方体的高的值，进而求得四棱锥的体积；1111ABCD A B C D -1A A 1A ABCD -（2）先作出异面直线与所成角，再利用余弦定理求其大小即可解决.1A B 11B D （1）连接AC ，因为平面ABCD ，1A A ⊥所以是与底面ABCD 所成的角.1A CA ∠1A C 所以，所以，145A CA ∠=︒12A A =所以.111142333 A ABCD ABCDV S AA-=⋅==（2）联结BD，则，11BD B D∥所以就是异面直线与所成的角（或其补角）1A BD∠1A B11B D中，，1A BD11A B A D==2BD=所以，2221111cos2A B BD A DA BDA B BD+-∠===⋅又，则()10,πA BD∠∈1A BD∠=所以异面直线与所成角的大小为1A B11B D20．（1）；（2）①②推断正确，定点．2214xy+=S=(4,0)（1）利用椭圆过点，离心率.(0,1)e=（2）①把与椭圆C的方程联立，借助韦达定理、三角形面积公式即可求解作答；1x my=+②利用①中信息求出直线的方程即可判断作答.．A B'（1）因分别表示标准正态分布的期望值与标准差，则，即椭圆过点，,p q 0,1p q ==(0,1)，1b =又离心率，解得，e =222221314a b e a a -==-=2a =所以椭圆C 的方程是.2214x y +=（2）①由（1）及已知得：，消去x 并整理得：，22441x y x my ⎧+=⎨=+⎩22(4)230m y my ++-=设，则，1122(,),(,)A x y B x y 12122223,44m y y y y m m+=-=-++于是得过定12||y y -===1x my =+点，()1,0T 所以面积；AOB 1212AOBS OT y y =⋅-= ②由①知，，因直线与x 轴相交，则点与不重合，即，11(,)A x y '-A B 'A 'B 0m ≠由得，12122223,44m y y y y m m +=-=-++12123()2y y m y y +=直线的斜率，，A B '2121122121212()3()A B y y y y y y k x x m y y y y '++===---121123512y y x my y +=+=直线的方程为：，即，A B '12121212235(3()2y y y y y y x y y y ++=--12121212235(3()2y y y y y x y y y y +=---整理得：，因此，直线恒过点，12212(4)3()y y y x y y =--A B '(4,0)所以推断正确，定点坐标是.(4,0)结论点睛：过定点的直线l ：y =kx +b 交圆锥曲线于点，，则(0,)A b 11(,)M x y 22(,)N x y 面积；OMN 121||||2OMN S OA x x =⋅- 过定点直线l ：x =ty +a 交圆锥曲线于点，，则面积(,0)A a 11(,)M x y 22(,)N x y OMN.121||||2OMN S OA y y =⋅- 21．（I ）当时，在区间和是增函数，在区间是减函数.（II ）取值范围是（1，6）：因为第(Ⅰ)题中要求函数的单调区间,利用导数的正负即可求出,所以首先要求出函数的导数,然后解不等式和即可. 第(Ⅱ)小题是一个恒成立问题,转化为求函数的最值解决,所以要求出函数在x≥0时的最小值.()f x（I ）由知，当时，，故在区间是增函数；当时，，故在区间是减函数；当时，，故在区间是增函数.综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数.（II ）由（I ）知，当时，在或处取得最小值.由假设知即解得16a <<故的取值范围是（1，6）22．（1），2；（2）2.()1,1-（1）将圆C 的极坐标方程化为圆的标准方程，即可得出圆C 的圆心坐标及半径；（2）利用极经的应用和三角形的面积公式即可得出答案.（1）圆的极坐标方程为，C 2sin 204πρθ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭所以，)2sin cos 20ρθθ+--=根据得直角坐标方程为.222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩()()22114x y -++=所以圆的圆心坐标为，半径为2.()1,1-（2）直线的极坐标方程为.l ()4R πθρ=∈所以，整理得，22ρ=所以1ρ=2ρ=所以12AB ρρ=-=由于为等腰三角形.ABC 所以弦上的高ABh 所以.122ABC S =⨯= 23．（1） （2）证明见解析57,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1化为分段函数即可求出不等式的解集2根据偶函数的性质求出函数m 的值，再根据()()三角绝对值不等式求出t 的值，再根据基本不等式即可证明．（1），则3m =-()32f x x x =-++由可得由无解 可得；①2216x x <-⎧⎨-+>⎩52x <-②2356x -≤≤⎧⎨>⎩3216x x >⎧⎨->⎩③72x >综上的解集为，()6f x >57,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭证明：（2）因为函数为偶函数，所以，此时()f x 2a =-，()22224f x x x x x =-++≥---=所以，4t =222244a b c ++=因为，，222a b ab +≥2244b c bc +≥所以当且仅当时，取““，()()2222424(a b b c ab bc +++≥+2a b c ===)所以，22224244ab bc a b c +≤++=即．()22b ac +≤本考主要查了利用绝对值三角不等求最小值和基本不等式，考查了转化思想和计算能力，属中档题．。

一. 不定项选择题（共４8分）1、如右图所示，水平传送带保持 ２m ／s 的速度运动。

一质量为1ｋg 的物体与传送带间的动摩擦因数为0.２。

现将该物体无初速地放到传送带上的Ａ点,然后运动到了距Ａ点2m 的Ｂ点,则皮带对该物体做的功为 ( ）A ． 0.5ＪB ． 2JＣ． 2.5J D. 4J2.下列所给的图像中能反映作直线运动物体回到初始位置的是 ( ）3、近年来的冬季，我国南方地区常发生冰雪灾害，持续的雨雪冰冻导致城区大面积停水断电,许多街道大树树枝被冰雪压断，给市民生活带来极大不便。

下列说法正确的是A ．武警官兵在高速公路上撒工业用盐，目的是增大过往车辆轮胎与地面间的动摩擦因数B.为了安全起见,结冰的高速公路上，车辆应减速慢行,以减小行驶车辆惯性Ｃ．在结冰的路面上，车辆如果保持原来的功率行驶而不打滑，那么其最大运行速度将增大 Ｄ．据测定，某汽车轮胎与普通路面的动摩擦因数为0.7,而与冰面间的动摩擦因数为0.1，那么该汽车以相同的速度在普通路面和冰面上行驶,急刹车后滑行的距离之比为7：14、如图所示,滑轮本身的质量可忽略不计,滑轮轴O 安在一根轻木杆B 上，一根轻绳A Ｃ绕过滑轮，A 端固定在墙上,且绳保持水平，C端下面挂一个重物,BO 与竖直方向夹角 45=θ,系统保持平衡,若保持滑轮的位置不变，改变θ的大小,则滑轮受到木杆的弹力大小变化情况 1 2 2 s/mt/s OA v/ms −1 t/s OB t/s OC t/s O Dv/ms −1 v/ms −1 1 2 −2 −2 2 2 2AB θC•O是( )A．只有角θ变小，弹力才变小Ｂ．只有角θ变大，弹力才变大C．不论角θ变大或变小,弹力都变大D.不论角θ变大或变小,弹力都不变5. 20２１年广东亚运会，我国运动员陈一冰勇夺吊环冠军，为中国体育军团勇夺第一金，其中有一个高难度的动作就是先双手撑住吊环(设开始时两绳与肩同宽)，然后身体下移，双臂缓慢张开到如图所示位置,则在两手之间的距离增大过程中，吊环的两根绳的拉力F T(两个拉力大小相等)及它们的合力F的大小变化情况为( )Ａ．ＦT增大，Ｆ不变B．F T增大，F增大Ｃ.F T增大，F减小D．ＦT减小,F不变6、我国已成功发射多颗卫星，为实现国人的飞天梦想提供了大量的信息、科技支持。

高三数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．定义集合{}A B x y x A y B +=+∈∈且．已知集合{}2,4,6A =，{}1,1B =-，则A B +中元素的个数为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．72．在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，则AB OC -=（ ）A ．OAB ．ODC ．OCD ．OB3．抛物线268y x =-的准线方程为（ ）A ．17x =-B ．34x =C ．17x =D ．34x =-4．()22317777n-+-+⋅⋅⋅+-=（ ）A ．()21178n +--B ．21178n --C ．()21178n ---D ．22178n ++5．函数()()24log log 20f x x x =-+的零点为（ ）A ．4B ．4或5C ．5D ．4-或56．一个正四棱柱的每个顶点都在球O 的球面上，且该四棱柱的底面面积为3O 的体积为（ ）A ．16πB ．323πC ．10πD ．283π7．现有7位学员与3位摄影师站成一排拍照，要求3位摄影师互不相邻，则不同排法数为（）A ．7378A AB ．7378A C C ．3373A A D ．7377A A 8．若5tan 43πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭=（ ）A ．2B ．43C ．4D ．39．若从区间[]2,5-内，任意选取一个实数a ，则曲线32y x ax =+在点()1,1a +处的切线的倾斜角大于45°的概率为（ ）A ．57B ．1314C ．67D ．111410．将函数2sin 63y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象．若()f x 在19,18ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ϕ的值不可能为（ ）A ．536πB ．3πC ．4πD ．1736π11．已知1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，直线l 经过1F 且与C 左支交于P ，Q 两点，P 在以12F F 为直径的圆上，2:3:4PQ PF =，则C 的离心率是（ ）ABCD12．已知ln 20.69≈，设lg82710a =，33.13.12b =，10933c =，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a>>C ．a b c>>D ．b a c>>第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．复数()()313i 12i ++的实部为______．14．若x ，y 满足约束条件3,4,x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩则2z x y =-的取值范围为______．15．《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．若从一个阳马的8条棱中任取2条，则这2条棱所在直线互相垂直的概率为______．16．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：数列{}n a 由被3除余1且被4除余2的正整数按照从小到大的顺序排列而成，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则96n S n+的最小值为______．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）a ，b ，c 分别为ABC △内角A ，B ，C 的对边．已知()2sin sin 1cos c A C a C a +-=．（1）求C ；（2）若c 是a ，b 的等比中项，且ABC △的周长为6，求ABC △外接圆的半径．18．（12分）某工厂为了检验某产品的质量，随机抽取100件产品，测量其某一质量指数，根据所得数据，按[)10,12，[)12,14，[)14,16，[)16,18，[]18,20分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计该产品这一质量指数的中位数；（2）若采用分层抽样的方法从这一质量指数在[)16,18和[]18,20内的该产品中抽取12件，再从这12件产品中随机抽取4件，记抽取到这一质量指数在[]18,20内的该产品的数量为X ，求X 的分布列与期望．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，点F 在棱PD 上，且P 与E 位于平面ABCD 的两侧．（1）证明：CE ∥平面PAB ．（2）若5PA AD ==，2AB =，3DE =，且AF 在AD上的投影为3，求平面ACF 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，2AF =-，2BF =+．（1）求C 的方程；（2）设直线l 与C 交于不同于B 的M ，N 两点，且BM BN ⊥，求BM BN ⋅的最大值．21．（12分）已知函数()21ln 12f x x x x x =---．（1）求()f x 的单调区间；（2）若函数()()()2121ln 12g x x a x a x =+-+--恰有两个零点，求正数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos 2sin 20ρθρθ-+=．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点()0,1P ，求11PA PB+的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()1f x x x a =++-．（1）当2a =时，求不等式()2f x x >的解集；（2）若不等式()2f x ≤的解集包含221,9a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围．高三数学试卷参考答案（理科）1．C 因为{}2,4,6A =，{}1,1B =-，所以{}1,3,5,7A B +=．2．D AB OC AB OA OB -=+=．3．C 因为268p =，所以34p =，所以抛物线268y x =-的准线方程为17x =．4．A ()()()()()2212231771717777178n n n+--⨯----+-+⋅⋅⋅+-==--．5．C由()()24log log 200f x x x =-+=，得()()244log log 200x x x =+>，则220x x =+，解得5x =或4x =-，又0x >，所以5x =．6．B设该正四棱柱的底面边长为a ，高为h，则球O4==，故球O 的体积为34432323ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭．7．A先排7位学员，共有77A 种排法，再从8个空位中选3个安排给3位摄影师，故不同排法数为7378A A ．8．D因为513tan tan 454413ππθθ--⎛⎫=+-== ⎪⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，所以sin 2cos tan 23sin 2cos tan 2θθθθθθ++====--．9．B因为232y x ax '=+，所以当1x =时，23y a '=+．若曲线32y x ax =+在点()1,1a +处的切线的倾斜角大于45°，则231a +>或230a +<，解得1a >-或32a <-．由几何概型可知曲线32y x ax =+在点()1,1a +处的切线的倾斜角大于45°的概率为()()()32511325214---+--=--．10．B因为19,18x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以26666,66333x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭．因为02πϕ<<，所以106,333πππϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，22116,333πππϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又()f x 在19,18ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以23662332ππππϕϕ≤+<+≤或325662332ππππϕϕ≤+<+≤或527662332ππππϕϕ≤+<+≤，所以ϕ的取值范围是57111317,,,363636363636ππππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋃⋃⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．11．A不妨设3PQ k =，()240PF k k =>，因为P 在以12F F 为直径的圆上，所以12PF PF ⊥，即2PQ PF ⊥，则25QF k =．因为Q 在C 的左支上，所以22212164QF PF PQ QF QF PF PF k a +-=-+-==，得23a k =，则122PF PF a k =-=．因为12PF PF ⊥，所以122F F c ==，故22c e a ==12．D3lg83272731082a ===．令()32x x f x =，则()()23ln 22xx x f x -'=，3 4.35ln 2≈．当3ln 2x <时，()0f x '>，则()f x 在3,ln 2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()()3,13f f >，即b a >．因为2710927331098190833833833a c ⨯-⨯-=-==>⨯⨯，所以a c >．故b a c >>．13．7()()()()313i 12i 13i 12i 7i ++=+-=+．14．[]11,11-作出约束条件表示的可行域（图略），当直线2z x y =-经过点()3,4-时，z 取得最大值，且最大值为11，当直线2z x y =-经过点()3,4-时，z 取得最小值，且最小值为11-．故2z x y =-的取值范围为[]11,11-．15．37不妨设PA ⊥底面ABCD ，则与PA 垂直的有4条，与PB 垂直的有2条，与PD 垂直的有2条，AB BC ⊥，AB AD ⊥，CD BC ⊥，CD AD ⊥，故所求概率为28422437C +++=．16．52被3除余1且被4除余2的正整数按照从小到大的顺序排列，构成首项为10，公差为3412⨯=的等差数列，则()10121122n a n n =+-=-，()210122642nn n S n n +-==+，从而29664969664452n S n n n n n n +++==++≥+=，当且仅当966n n=，即4n =时，等号成立，故96n S n+的最小值为52．17．解：（1）由正弦定理得()22sin sin sin 1cos sin A C A C A +-=，又由0A π<<，可得sin 0A >，所以()22sin 1cos 1C C +-=，即22cos 1C -=，解得1cos 2C =，因为0C π<<，所以3C π=．（2）由（1）及余弦定理有222c a b ab =+-．因为c 是a ，b 的等比中项，所以2c ab =，代入上式有22a b ab ab +-=，解得a b =，又2c ab =，所以a b c ==，36c =，可得2c =，故ABC △外接圆的半径为22sin 2sin 3c C π==18．解：（1）因为()0.0250.12520.30.5+⨯=<，0.30.20020.70.5+⨯=>，所以该产品这一质量指数的中位数在[)14,16内．设该产品这一质量指数的中位数为m ，则()140.20.30.5m -⨯+=，解得15m =．（2）由题意可知抽取的12件产品中这一质量指数在[)16,18内的有8件，这一质量指数在[]18,20内的有4件．由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．()4841214099C P X C ===，()31844122241495C C P X C ===，()2284412562165C C P X C ===，()1384412323495C C P X C ===，()4441214495C P X C ===，X 的分布列为X 01234P149922449556165324951495()1422456321401234994951654954953E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，所以PA DE ∥．因为底面ABCD 为矩形，所以AB CD ∥．因为CD DE D ⋂=，所以平面CDE ∥平面PAB ．又CE ⊂平面CDE ，所以CE ∥平面PAB ．（2）解：以A 为坐标原点，AB的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,5,0C ，()0,5,3E -．因为AF 在AD上的投影为3，所以F 的坐标为()0,3,2．设平面ACF 的法向量为(),,n x y z = ，()2,5,0AC = ，()0,3,2AF = ，则0n AC n AF ⋅=⋅=，即250,320,x y y z +=⎧⎨+=⎩令2y =，得()5,2,3n =--．设平面ACE 的法向量为(),,m x y z '''= ，()2,5,0AC = ，()0,5,3AE =- ，则0m AC m AE ⋅=⋅=，即250,530,x y y z ''+=⎧⎨''-=⎩令6y '=，得()15,6,10m =-．由cos,m n==，得平面ACF和平面ACE．20．解：（1）设C的半焦距为c，由2AF=-，2BF=，可得2a c-=-，2a c+=2a=，c=2221b a c=-=，所以C的方程为2214xy+=．（2）由题意知，直线l的斜率不为0，则不妨设直线l的方程为()2x my t t=+≠．联立221,4,xyx my t⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x得()2224240m y mty t+++-=，()()222244440m t m t∆=-+->，化简整理得224m t+>．设()11,M x y，()22,N x y，则12224mty ym-+=+，212244ty ym-=+．因为BM BN⊥，所以0BM BN⋅=．因为()2,0B，所以()112,BM x y=-，()222,BN x y=-，得()()1212220x x y y--+=，将11x my t=+，22x my t=+代入上式，得()()()()2212121220m y y m t y y t++-++-=，得()()()2222242122044t mtm m t tm m--+⋅+-⋅+-=++，解得65t=或2t=（舍去）．所以直线l的方程为65x my=+，则直线l恒过点6,05Q⎛⎫⎪⎝⎭，所以12114225BMNS BQ y y=⋅-=⨯=△．设214pm=+，则14p<≤，BMNS=△y=10,4⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，所以当14p=时，BMNS△取得最大值1625．又12BMN S BM BN =⋅△，所以()()max max32225BMN BM BN S ⋅==△21．解：（1）由题意可得()ln f x x x '=-．设()ln h x x x =-，则()111xh x x x-'=-=．由()0h x '>，得01x <<，由()0h x '<，得1x >，则()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，即()f x '在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，从而()()110f x f ''≤=-<，故()f x 的单调递减区间是()0,+∞，无递增区间．（2）由题意可得()()()()2211112x a x a x a x a g x x a x x x+-+-+---'=+-+==．①当10a -<，即1a >时，由()0g x '>，得1x >，由()0g x '<，得01x <<，则()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．因为当0x →时，()g x →+∞，当x →+∞时，()g x →+∞，所以()g x 要有两个零点，则()112102g a =+--<，解得52a <，故512a <<．②当10a -=，即1a =时，()21102g x x x =--=，解得1x =±，因为0x >，所以1x =+，则()g x 有且仅有1个零点，故1a =不符合题意．③当011a <-<，即01a <<时，由()0g x '>，得01x a <<-或1x >，由()0g x '<，得11a x -<<，则()g x 在()0,1a -和()1,+∞上单调递增，在()1,1a -上单调递减．因为当0x →时，()0g x <，当x →+∞时，()g x →+∞，所以()g x 要有两个零点，则()10g =或()10g a -=．若()112102g a =+--=，则52a =，不符合题意，若()()()()()()2111211ln 1102g a a a a a a -=-+--+---=，设()10,1t a =-∈，则()22111ln 1ln 1022t t t t t t t t t +--+-=--+-=．由（1）可知21ln 12y t t t t =---在()0,1上单调递减，则21ln 102t t t t ---<，即()10g a -=无解，故01a <<不符合题意．综上，正数a 的取值范围是51,2⎛⎫⎪⎝⎭．22．解：（1）由1,1x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），得224x y -=，故曲线C 的普通方程为22144x y -=．由cos 2sin 20ρθρθ-+=，得220x y -+=，故直线l 的直角坐标方程为220x y -+=．（2）由题意可知直线l的参数方程为,1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程并整理得23250t --=，设A ，B 对应的参数分别是1t ，2t，则12t t +=，12253t t =-，从而12t t -====，故1212121211t t t t PA PB t t t t +-+===．23．解：（1）当2a =时，()12f x x x =++-．当1x <-时，()2f x x >可化为()()122x x x -+-->，得14x <；当12x -≤≤时，()2f x x >可化为()()122x x x +-->，得32x <；当2x >时，()2f x x >可化为()()122x x x ++->，得10->，不成立．综上，不等式()2f x x >的解集为32x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭．（2）因为()2f x ≤的解集包含221,9a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，所以当2219x a -≤≤+时，()2f x ≤恒成立．当2219x a -≤≤+时，()2f x ≤可化为12x x a ++-≤，即1x a x -≤-，即11x x a x -≤-≤-，则211x a -≤≤，当2219x a -≤≤+时，2532129x a -≤-≤-，则2529a a ≥-，解得1536a -≤≤．综上，a 的取值范围为15,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。