-2010学年第一学期九年级数学科期末测试题

2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（03）（考试时间：100分钟试卷满分：120分）考生注意：1．本试卷26道试题，满分120分，考试时间100分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）1．一组数据0、﹣2、3、2、1的极差是（）A．2B．3C．4D．52．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，sin A的值为（）A．B．C．D．23．一元二次方程x2+2x＝﹣1的根的情况是（）A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根4．下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（）A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xmB．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xmC．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm5．在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．物体的下落距离h（m）与下落时间t（s）之间的函数表达式为h＝gt2．其中g取值为9.8m/s2．小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过4s后落地，则该建筑物的高度约为（）A．98m B．78.4m C．49m D．36.2m6．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，BD、CE分别是AC、AB边上的高，连接DE，若DE＝2，则BC的长为（）A．B．C．D．27．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，＝，DE∥BC，若△ADE的面积为6，则△ABC 的面积等于（）A．12B．18C．24D．549．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠BOC＝64°，则∠BAC的度数为（）A．64°B．32°C．26°D．23°10．如图，△ABC的两条中线BE、CD交于点O，则下列结论不正确的是（）A．＝B．＝C．S△DOE：S△BOC＝1：2D．△ADE∽△ABC二．填空题（共8小题，每题4分，满分24分）11．如果，那么锐角A的度数为．12．已知2a＝3b，其中b≠0，则＝．13．科学家发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是4cm，则蝴蝶身体的长度约为cm（精确到0.1）．14．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次（骰子的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），朝上的点数为6的概率为．15．如图，圆锥的母线长l为5cm，侧面积为10πcm2，则圆锥的底面圆半径r＝cm．16．将二次函数y＝﹣2（x+2）2的图象向右平移2个单位得到二次函数的表达式为．17．二次函数y＝x2+bx的图象如图所示，对称轴为x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜6的范围内无解，则t的取值范围是．18．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝42°，则∠D的度数是°．三．解答题（共8小题，满分66分）19．（1）计算：tan260°+4sin30℃os45°；（2）解方程：（x+3）2＝2x+14．20．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．（1）求证：△AEF∽△CBF；（2）若BE⊥AC，求AE：ED．21．在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、2、﹣1．现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字．（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是；（2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率．22．如图，某旅游景区观光路线是从山脚下的地面A处出发，沿坡度为1：的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．（1）求山坡B距离山脚下地面的高度；（2）求山顶D距离山脚下地面的高度；（精确到1m）（本题可参考的数据：sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）23．某工厂加工一种产品的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润y元与降价x元之间的函数关系；（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）当定价应设在什么范围之间时，可使工厂每天的利润要不低于9750元？24．如图1，C、D为半圆O上的两点，且点D是弧BC的中点．连结AC并延长，与BD的延长线相交于点E．（1）求证：CD＝ED；（2）连结AD与OC、BC分别交于点F、H．①若CF＝CH，如图2，求证：CH＝CE；②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．25．已知正方形ABCD的边长为1，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．（1）如图1，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，连结CF．①当m＝时，求线段CF的长；②设CP＝n，请求出n与m的关系式；（2）如图2，AF交CD于点Q，在△PQE中，设边QE上的高为h，求h的最大值．26．如图，点A在抛物线上，过A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，点C为抛物线上的任一点．（1）若点A的横坐标为﹣4，且△ABC为直角三角形时，求C点的坐标；（2）当A点变化时，是否总存在C点，使得△ABC是直角三角形，若是总存在，请说明理由；若不是总存在，请直接写出点A纵坐标m的取值范围；（3）若△ABC为直角三角形，AB边上的高为h，①h的大小是否改变，若改变，请说明理由；不改变，请求出高的长度；②若将抛物线的关系式由换成y＝ax2（a≠0），其余条件不发生改变，试猜想h与a的关系，并证明．答案与解析一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）1．一组数据0、﹣2、3、2、1的极差是（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据极差的概念求解．【解答】解：极差为：3﹣（﹣2）＝5．故选：D．【点评】本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，sin A的值为（）A．B．C．D．2【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，∴AB＝，∴sin A＝＝＝．故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．3．一元二次方程x2+2x＝﹣1的根的情况是（）A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根【分析】先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：方程化为x2+2x+1＝0，∵Δ＝22﹣4×1＝0，∴方程有两个相等的实数根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．4．下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（）A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xmB．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xmC．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可．【解答】解：A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm，则y＝x3，故不是二次函数；B．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm，则y＝14πx2，故是二次函数；C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤，则y＝，故不是二次函数；D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm，则y＝南京与上海之间的距离﹣108x，故不是二次函数．故选：B．【点评】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．5．在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．物体的下落距离h（m）与下落时间t（s）之间的函数表达式为h＝gt2．其中g取值为9.8m/s2．小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过4s后落地，则该建筑物的高度约为（）A．98m B．78.4m C．49m D．36.2m【分析】把t＝4代入可得答案．【解答】解：把t＝4代入得，h＝9.8×42＝78.4m．故选：B．【点评】本题考查二次函数的实际应用，根据题意把t＝4代入是解题关键6．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，BD、CE分别是AC、AB边上的高，连接DE，若DE＝2，则BC的长为（）A．B．C．D．2【分析】根据等腰直角三角形的性质得到＝，＝，进而得到＝，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：在Rt△ADB中，∠BAC＝45°，则＝，同理：＝，∴＝，∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵DE＝2，∴BC＝2，故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，证明△ADE∽△ABC是解题的关键．7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线开口方向，对称轴以及抛物线与y轴的交点，即可判断①；由对称轴改善得到b＝﹣2a 代入a﹣b+c＜0中得3a+c＜0，即可判断②；由x＝﹣1时对应的函数值y＜0，可得出a﹣b+c＜0，得到a+c＜b，x＝1时，y＞0，可得出a+b+c＞0，得到|a+c|＜|b|，即可得到（a+c）2﹣b2＜0，即可判断③；由对称轴为直线x＝1，即x＝1时，y有最大值，即可判断④．【解答】解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＞0∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；②当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，把b＝﹣2a代入a﹣b+c＜0中得3a+c＜0，所以②错误；③当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，当x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，∴a+c＞﹣b，∴|a+c|＜|b|∴（a+c）2＜b2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴x＝1时，函数的最大值为a+b+c，∴a+b+c≥am2+mb+c，即a+b≥m（am+b），所以④错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．8．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，＝，DE∥BC，若△ADE的面积为6，则△ABC 的面积等于（）A．12B．18C．24D．54【分析】利用DE∥BC判定△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，列出关系式即可求得结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．∵＝，∴＝．∴S△ABC＝9S△ADE＝54．故选：D．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定方法得出△ADE∽△ABC是解题的关键．9．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠BOC＝64°，则∠BAC的度数为（）A．64°B．32°C．26°D．23°【分析】利用圆周角定理求解即可．【解答】解：∵∠BAC＝BOC，∠BOC＝64°，∴∠BAC＝32°，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解圆周角定理，属于中考常考题型．10．如图，△ABC的两条中线BE、CD交于点O，则下列结论不正确的是（）A．＝B．＝C．S△DOE：S△BOC＝1：2D．△ADE∽△ABC【分析】根据中线BE、CD交于点O，可得DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得出DE∥BC，DE＝BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可．【解答】解：∵BE和CD是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，DE∥BC，∴＝，故A选项正确；∵DE∥BC，∴＝，故B选项正确；∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴＝（）2＝（）2＝，故C选项错误；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故D选项正确；故选：C．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质，解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．二．填空题（共8小题，每题4分，满分24分）11．如果，那么锐角A的度数为30°．【分析】根据30°角的余弦值等于解答．【解答】解：∵cos A＝，∴锐角A的度数为30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°的三角函数值是解题的关键．12．已知2a＝3b，其中b≠0，则＝．【分析】根据比例的性质等式两边都除以2b，即可得出答案．【解答】解：∵2a＝3b，b≠0，∴除以2b，得＝，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果ad＝bc，那么＝．13．科学家发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是4cm，则蝴蝶身体的长度约为 2.5cm（精确到0.1）．【分析】设蝴蝶身体的长度为xcm，根据黄金比为列式计算即可．【解答】解：设蝴蝶身体的长度为xcm，由题意得，x：4＝，解得，x＝2﹣2≈2.5，故答案为：2.5．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比为是解题的关键．14．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次（骰子的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），朝上的点数为6的概率为．【分析】让朝上一面的数字是6的情况数除以总情况数6即为所求的概率．【解答】解：∵抛掷六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6的骰子有6种结果，其中朝上一面的数字为6的只有1种，∴朝上一面的数字为6的概率为，故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．15．如图，圆锥的母线长l为5cm，侧面积为10πcm2，则圆锥的底面圆半径r＝2cm．【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．【解答】解：∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是10πcm2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l＝＝＝4π，∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r＝＝＝2cm，故答案为：2．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化．16．将二次函数y＝﹣2（x+2）2的图象向右平移2个单位得到二次函数的表达式为y＝﹣2x2．【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．【解答】解：将二次函数y＝﹣2（x+2）2的图象向右平移2个单位得到二次函数的表达式为：y＝﹣2x2．故答案为：y＝﹣2x2．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移移规律是解题关键．17．二次函数y＝x2+bx的图象如图所示，对称轴为x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜6的范围内无解，则t的取值范围是t＜﹣4或t≥12．【分析】根据抛物线的对称轴方程可求出抛物线的解析式，要使关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜6的范围内无解，只需直线y＝t与抛物线y＝x2+bx在﹣1＜x＜6的范围内没有交点，只需结合图象就可解决问题．【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx的对称轴为x＝2，∴x＝﹣＝2，∴b＝﹣4，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x．当x＝﹣1时，y＝5；当x＝2时y＝﹣4；当x＝6时y＝12．结合图象可得：当t＜﹣4或t≥12时，直线y＝t与抛物线y＝x2﹣4x在﹣1＜x＜6的范围内没有交点，即关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜6的范围内无解．故答案为t＜﹣4或t≥12．【点评】本题主要考查了抛物线的性质、抛物线上点的坐标特征等知识，运用数形结合的思想是解决本题的关键．18．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝42°，则∠D的度数是48°．【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB＝90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠B＝90°﹣∠CAB＝48°，进而根据同弧所对的圆周角相等推出∠D＝∠B＝48°．【解答】解：连接CB．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝42°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝48°，∴∠D＝∠B＝48°．故答案为：48．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是结合图形根据圆周角定理推出∠ACB＝90°及∠D＝∠B，注意运用数形结合的思想方法．三．解答题（共8小题，满分66分）19．（1）计算：tan260°+4sin30℃os45°；（2）解方程：（x+3）2＝2x+14．【分析】（1）先代入三角函数值，再计算乘方和乘法即可；（2）先将方程整理成一般式，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：（1）原式＝（）2+4××＝3+；（2）整理成一般式，得：x2+4x﹣5＝0，∴（x+5）（x﹣1）＝0，则x+5＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．20．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．（1）求证：△AEF∽△CBF；（2）若BE⊥AC，求AE：ED．【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF∽△CBF；（2）设AB＝x，则BC＝2x，利用矩形的性质得到AD＝BC＝2x，∠BAD＝∠ABC＝90°，接着证明△ABE ∽△BCA，利用相似比得到AE＝x，则DE＝x，从而可计算出AE：DE．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△CBF；（2）解：设AB＝x，则BC＝2x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝2x，∠BAD＝∠ABC＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AFB＝90°，∵∠ABF+∠BAF＝90°，∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠ABF＝∠ACB，∵∠BAE＝∠ABC，∠ABE＝∠BCA，∴△ABE∽△BCA，∴＝，即＝，∴AE＝x，∴DE＝AD﹣AE＝2x﹣x＝x，∴AE：DE＝x：x＝1：3．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质．21．在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、2、﹣1．现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后任意抽出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意抽出一张记下数字．（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是；（2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率．【分析】（1）用负数的个数除以数字的总个数即可；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是，故答案为：；（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上数字都为正数的有4种结果，所以两次抽出的卡片上数字都为正数的概率为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．22．如图，某旅游景区观光路线是从山脚下的地面A处出发，沿坡度为1：的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．（1）求山坡B距离山脚下地面的高度；（2）求山顶D距离山脚下地面的高度；（精确到1m）（本题可参考的数据：sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）【分析】（1）过点C作CE⊥DG于E，过B作BF⊥DG于F，延长CB交AG于点H，由含30°角的直角三角形的性质即可得出答案；（2）由锐角三角函数定义求出DE，即可解决问题．【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥DG于E，过B作BF⊥DG于F，延长CB交AG于点H，则CH⊥AG，由题意可知，∠DCE＝19°30′，CD＝180m，BC＝EF＝30m，∵i＝1：＝tanα＝，∴α＝30°，在Rt△ABH中，α＝30°，AB＝50m，∴BH＝AB＝25（m），答：山坡B距离山脚下地面的高度为25m；（2）由（1）得：FG＝BH＝25m，在Rt△DCE中，∠DCE＝19°30′，CD＝180m，∴DE＝sin∠DCE•CD≈0.33×180＝59.4（m），∴DG＝DE+EF+FG≈59.4+30+25＝114.4≈114（m），答：山顶D距离山脚下地面的的高度约为114m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23．某工厂加工一种产品的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润y元与降价x元之间的函数关系；（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）当定价应设在什么范围之间时，可使工厂每天的利润要不低于9750元？【分析】（1）根据利润＝销售量×（单价﹣成本），列出函数关系式即可；（2）根据（1）求得的函数关系式进一步利用配方法求出答案即可；（3）首先由（2）中的函数得出降价x元时，每天要获得9750元的利润，进一步利用函数的性质得出答案．【解答】解：（1）由题意得：y＝（48﹣30﹣x）（500+50x）＝﹣50x2+400x+9000，答：工厂每天的利润y元与降价x元之间的函数关系为y＝﹣50x2+400x+9000；（2）由（1）得：y＝﹣50x2+400x+9000＝﹣50（x﹣4）2+9800，∵﹣50＜0，∴x＝4时，y最大为9800，即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元；（3）﹣50x2+400x+9000＝9750，解得：x1＝3，x2＝5，48﹣3＝45，48﹣5＝43，∴定价应为43﹣45元之间（含43元和45元）．【点评】此题考查二次函数的实际运用，解题的关键是求得函数解析式，进一步利用函数的性质解决问题．24．如图1，C、D为半圆O上的两点，且点D是弧BC的中点．连结AC并延长，与BD的延长线相交于点E．（1）求证：CD＝ED；（2）连结AD与OC、BC分别交于点F、H．①若CF＝CH，如图2，求证：CH＝CE；②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．【分析】（1）如图1中，连接BC．想办法证明∠E＝∠DCE即可；（2）①如图2中，根据等腰三角形的性质得到∠CFH＝∠CHF，根据三角形外角的性质得到∠ACO＝∠OBC，求得∠OCB＝∠OBC，得到∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝45°，推出AC＝BC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②连接OD交BC于G．设OG＝x，则DG＝2﹣x．利用勾股定理构建方程求解即可．【解答】（1）证明：如图1中，连接BC．∵点D是弧BC的中点．∴＝，∴∠DCB＝∠DBC，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠BCE＝90°，∴∠E+∠DBC＝90°，∠ECD+∠DCB＝90°，∴∠E＝∠DCE，∴CD＝ED；（2）①证明：如图2中，∵CF＝CH，∴∠CFH＝∠CHF，∵∠CFH＝∠CAF+∠ACF，∠CHA＝∠BAH+∠ABH，∵∠CAD＝∠BAH，∴∠ACO＝∠OBC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝45°，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴AC＝BC，∵∠ACH＝∠BCE＝90°，∠CAH＝∠CBE，∴△ACH≌△BCE（ASA），∴CH＝CE；②解：如图3中，连接OD交BC于G．设OG＝x，则DG＝2﹣x．∵＝，∴∠COD＝∠BOD，∵OC＝OB，∴OD⊥BC，CG＝BG，在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22﹣x2＝12﹣（2﹣x）2，∴x＝，即OG＝，∵OA＝OB，∴OG是△ABC的中位线，∴OG＝AC，∴AC＝．【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，弧，圆心角，弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．25．已知正方形ABCD的边长为1，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．（1）如图1，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，连结CF．①当m＝时，求线段CF的长；②设CP＝n，请求出n与m的关系式；（2）如图2，AF交CD于点Q，在△PQE中，设边QE上的高为h，求h的最大值．【分析】（1）①过点F作FG⊥BC交BC的延长线于M，利用AAS证明△ABE≌△EGF，得FM＝BE＝，EM＝AB＝BC，则CM＝BE，从而求出CF的长；②利用△BAE∽△CEP，得，代入即可；（2）将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得△ABG，首先由∠ABG＝∠ABE＝90°，得B，G，E三点共线，再利用SAS证明△GAE≌△EAQ，得∠AEG＝∠AEQ，则有∠QEP＝∠CEP，可得h＝CP，利用②中结论得h＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+．【解答】解：（1）①如图，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于M，在等腰直角三角形AEF中，∠AEF＝90°，AE＝FE，在正方形ABCD中，∠B＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB，∴∠BAE＝∠FEM，又∵∠B＝∠FME，∴△ABE≌△EGF（AAS），∴FM＝BE＝，EM＝AB＝BC，∴CM＝BE＝∴FC＝＝；②∵∠BAE＝∠FEC，∠B＝∠ECP＝90°，∴△BAE∽△CEP，∴，即，∴CP＝m﹣m2，即n＝m﹣m2；（2）如图，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则AG＝AQ，∠GAB＝∠QAD，GB＝DQ，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠QAD＝∠BAE+∠GAB＝90°﹣45°＝45°，即∠GAE＝∠EAF＝45°，∵∠ABG＝∠ABE＝90°，∴B，G，E三点共线，又∵AE＝AE，∴△GAE≌△EAQ（SAS），∴∠AEG＝∠AEQ，∴∠QEP＝∠CEP，∴h＝CP，∴h＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，即当m＝时，h有最大值为．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，作辅助线构造全等三角形证明∠QEP＝∠CEF是解题的关键．26．如图，点A在抛物线上，过A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，点C为抛物线上的任一点．（1）若点A的横坐标为﹣4，且△ABC为直角三角形时，求C点的坐标；（2）当A点变化时，是否总存在C点，使得△ABC是直角三角形，若是总存在，请说明理由；若不是总存在，请直接写出点A纵坐标m的取值范围；（3）若△ABC为直角三角形，AB边上的高为h，①h的大小是否改变，若改变，请说明理由；不改变，请求出高的长度；②若将抛物线的关系式由换成y＝ax2（a≠0），其余条件不发生改变，试猜想h与a的关系，并证明．【分析】（1）设C（t，t2），求出A、B点的坐标，利用勾股定理求t的值即可；（2）设A（﹣，m），C（t，t2），则B（，m），由勾股定理求得t2＝2m﹣4，则当2m﹣4≥0时，此时△ABC是直角三角形；（3）①由（2）可得h＝m﹣（m﹣2）＝2；②设A（﹣m，am2），C（t，at2），则B（m，am2），由勾股定理求得t2＝，可确定点A（﹣m，am2），C（t，），则h＝．【解答】解：（1）∵点A的横坐标为﹣4，∴A（﹣4，8），∵AB∥x轴，∴B（4，8），设C（t，t2），∵△ABC为直角三角形，∴AB2＝AC2+BC2，即（t+4）2+（t2﹣8）2+（4﹣t）2+（t2﹣8）2＝64，∴t2＝16（舍）或t2＝12，∴C（2，6）或C（﹣2，6）；（2）不是总存在，理由如下：设A（﹣，m），C（t，t2），则B（，m），∵AB2＝AC2+BC2，即（t+）2+（t2﹣m）2+（﹣t）2+（t2﹣m）2＝8m，∴t2＝2m（舍）或t2＝2m﹣4，当2m﹣4≥0时，m≥2，此时△ABC是直角三角形；（3）①h的大小不改变，理由如下：由（2）可知，C（，m﹣2）或C（﹣，m﹣2），∴C点的纵坐标为m﹣2，∵AB边上的高为h，∴h＝m﹣（m﹣2）＝2；②设A（﹣m，am2），C（t，at2），则B（m，am2），∵AB2＝AC2+BC2，即（t+m）2+（at2﹣am2）2+（m﹣t）2+（at2﹣am2）2＝4m2，∴t2＝m2（舍）或t2＝，∴A（﹣m，am2），C（t，），∴h＝am2﹣＝．【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用勾股定理，准确计算是解题的关键．。

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，已知扇形BOD ， DE ⊥OB 于点E ，若ED =OE =2，则阴影部分面积为( )A ．22-2B ．-2πC ．π-2D ．π2．下列事件中，必然事件是（ ）A ．抛掷1个均匀的骰子，出现6点向上B ．366人中至少有2人的生日相同C ．两直线被第三条直线所截，同位角相等D ．实数的绝对值是非负数3．气象台预报“铜陵市明天降水概率是75%”．据此信息，下列说法正确的是（ ）A ．铜陵市明天将有75％的时间降水B ．铜陵市明天将有75％的地区降水C ．铜陵市明天降水的可能性比较大D ．铜陵市明天肯定下雨4．为了解某地区九年级男生的身高情况，随取了该区100名九年级男生，他们的身高x （cm ）统计如根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不高于180cm 的概率是（ ） 组别（cm ）x ≤160 160＜x ≤170 170＜x ≤180 x ＞180 人数15 42 38 5 A ．0.05 B ．0.38 C ．0.57 D ．0.955．cos60︒的值等于（ ）A ．12B ．22C 3D 36．已知抛物线223y x x =--，则下列说法正确的是（ ）A ．抛物线开口向下B ．抛物线的对称轴是直线1x =-C ．当1x =时，y 的最大值为4-D ．抛物线与y 轴的交点为()0,3-7．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论：①abc ＞0；②2a +b ＝0；③4a ﹣2b +c ＞0；④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3；⑤b ＜c ．其中正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．一元二次方程220x x -=的解为（ ）A ．10x =，22x =B ．0x =C ．2x =D ．12x =-，20x =9．下列事件中，必然事件是（ ）A ．2a 一定是正数B ．八边形的外角和等于360︒C ．明天是晴天D ．中秋节晚上能看到月亮10．按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数（ ）①∠2＝90°；②∠1＝∠AEC ；③△ABE ∽△ECF ；④∠BAE ＝∠1．A ．1 个B ．2 个C ．1 个D ．4 个11．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中正确的有（ ）①当AB ＝BC 时，四边形ABCD 是菱形；②当AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是菱形；③当∠ABC ＝90°时，四边形ABCD 是菱形：④当AC ＝BD 时，四边形ABCD 是菱形；A ．3个B ．4个C ．1个D ．2个12．⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，下列位置关系正确的是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（每题4分，共24分）13．已知两个相似三角形的相似比为2︰5，其中较小的三角形面积是4，那么另一个三角形的面积为 ．14．已知x ＝1是方程x 2﹣a ＝0的根，则a ＝__．15．如图，抛物线211322y x x =+-与x 轴的负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，连接AB ，点,D E 分别是直线1x =-与抛物线上的点，若点,,,A B D E 围成的四边形是平行四边形，则点E 的坐标为__________.16．如图，反比例函数k y x=的图象位于第一、三象限，且图象上的点与坐标轴围成的矩形面积为2，请你在第三象限的图象上取一个符合题意的点，并写出它的坐标______________．17．已知正六边形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为______．18．设1(2,)A y -，2(1,)B y ，3(2,)C y 是抛物线2(1)1y x =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为__________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，已知A (﹣4，0)，B (0，4)，现以A 点为位似中心，相似比为9：4，将OB 向右侧放大，B 点的对应点为C ．（1）求C 点坐标及直线BC 的解析式：表示，请你直接写出S 与t 的函数关系．20．（8分）如图，一次函数y ＝kx+b 与反比例函数y ＝m x （x ＜0）的图象相交于点A 、点B ，与X 轴交于点C ，其中点A （﹣1，3）和点B （﹣3，n ）．（1）填空：m ＝ ，n ＝ ．（2）求一次函数的解析式和△AOB 的面积．（3）根据图象回答：当x 为何值时，kx+b≥m x（请直接写出答案） ．21．（8分）ABC ∆内接于⊙O ，AB 是直径，030ABC ∠=，点D 在⊙O 上.(1)如图，若弦CD 交直径AB 于点E ，连接DB ，线段CF 是点C 到BD 的垂线.①问CDF ∠的度数和点D 的位置有关吗？请说明理由.②若DFC ∆的面积是ACB ∆的面积的9倍，求CBF ∠的正弦值.(2)若⊙O 的半径长为2,22CD =，求BD 的长度.22．（10分）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD ，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60°．沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i=1：3，AB=10米，AE=15米．（i=1：3是指坡面的铅直高度BH 与水平宽度AH 的比）（1）求点B 距水平面AE 的高度BH ；（2）求广告牌CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414， 1.732）23．（10分）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P （x ，y ）的动圆经过点A （1，2）且与x 轴相切于点B ． （1）当x =2时，求⊙P 的半径；（2）求y 关于x 的函数解析式；判断此函数图象的形状；并在图②中画出此函数的图象；（3）当⊙P 的半径为1时，若⊙P 与以上（2）中所得函数图象相交于点C 、D ，其中交点D （m ，n ）在点C 的右侧，请利用图②，求cos ∠APD 的大小．24．（10分）如图，点(11)A ﹣，是反比例函数(0)k y k x=＜上一点，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，点0(1)B ，为x 轴上一点，连接AB ．（1）求反比例函数的解析式；（2）求ABC的面积．25．（12分）已知函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c为常数）的图像经过点A（－1，0）、B（0，2）．（1）b＝（用含有a的代数式表示），c＝；（2）点O是坐标原点，点C是该函数图像的顶点，若△AOC的面积为1，则a＝；（3）若x＞1时，y＜1．结合图像，直接写出a的取值范围．26．某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x …﹣3 ﹣52﹣2 ﹣1 0 1 2523 …y … 3 54m ﹣1 0 ﹣1 0543 …其中，m= ．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有个实数根；②方程x2﹣2|x|=2有个实数根.③关于x 的方程x 2﹣2|x|=a 有4个实数根时，a 的取值范围是 ．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】由题意可得△ODE 为等腰直角三角形，可得出扇形圆心角为45°，再根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：∵DE ⊥OB ，OE=DE=2,∴△ODE 为等腰直角三角形，∴∠O=45°，.∴S 阴影部分=S 扇形BOD -S △OED 22 2.12π⨯⨯=-- 故答案为：B ．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、等腰直角三角形的性质，利用转化法求阴影部分的面积是解题的关键．2、D【分析】根据概率、平行线的性质、负数的性质对各选项进行判断．【详解】A. 抛掷1个均匀的骰子，出现6点向上的概率为16，错误． B.367人中至少有2人的生日相同，错误．C.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，错误．D. 实数的绝对值是非负数，正确．故答案为：D ．【点睛】本题考查了必然事件的性质以及判定，掌握概率、平行线的性质、负数的性质是解题的关键．3、C【分析】根据概率表示某事情发生的可能性的大小，依次分析选项可得答案．A 、铜陵市明天将有75%的时间降水，故此选项错误；B 、铜陵市明天将有75%的地区降水，故此选项错误；C 、明天降水的可能性为75%，比较大，故此选项正确；D 、明天肯定下雨，故此选项错误；故选：C ．【点睛】此题主要考查了概率的意义，关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小：可能发生，也可能不发生． 4、D【分析】先计算出样本中身高不高于180cm 的频率，然后根据利用频率估计概率求解．【详解】解：样本中身高不高于180cm 的频率＝1005100-＝0.1， 所以估计他的身高不高于180cm 的概率是0.1．故选：D ．【点睛】本题考查了概率，灵活的利用频率估计概率是解题的关键.5、A【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可．【详解】解：cos60°=12. 故选A.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值.6、D【分析】根据二次函数的性质对A 、B 进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对C 进行判断；利用抛物线与轴交点坐标对D 进行判断．【详解】A 、a=1＞0，则抛物线223y x x =--的开口向上，所以A 选项错误；B 、抛物线的对称轴为直线x=1，所以B 选项错误；C 、当x=1时，y 有最小值为4-，所以C 选项错误；D 、当x=0时，y=-3，故抛物线与y 轴的交点为()0,3-，所以D 选项正确．故选：D ．【点睛】7、B【分析】根据二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与性质依次进行判断即可求解.【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0；∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2b a＝1， ∴b ＝﹣2a ＞0，所以②正确；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①错误；∵抛物线与x 轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标是（﹣1，0），∴x ＝﹣2时，y ＜0，∴4a ﹣2b +c ＜0，所以③错误；∵抛物线与x 轴的2个交点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴﹣1＜x ＜3时，y ＞0，所以④正确；∵x ＝﹣1时，y ＝0，∴a ﹣b +c ＝0，而b ＝﹣2a ，∴c ＝﹣3a ，∴b ﹣c ＝﹣2a +3a ＝a ＜0，即b ＜c ，所以⑤正确．故选B ．【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像性质特点.8、A【分析】根据因式分解法中的提取公因式法进行求解即可； 【详解】21220,(2)0,0,2x x x x x x -=-===本题主要考查了一元二次方程因式分解法中的提取公因式法，准确计算是解题的关键．9、B【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】A、a2一定是非负数，则a2一定是正数是随机事件；B、八边形的外角和等于360°是必然事件；C、明天是晴天是随机事件；D、中秋节晚上能看到月亮是随机事件；故选B．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．10、C【解析】∵∠1+∠1=∠2，∠1+∠1+∠2=180°，∴∠1+∠1=∠2=90°，故①正确；∵∠1+∠1=∠2，∴∠1≠∠AEC.故②不正确；∵∠1+∠1=90°，∠1+∠BAE=90°,∴∠1=∠BAE,又∵∠B＝∠C,∴△ABE∽△ECF.故③，④正确；故选C.11、D【分析】根据菱形的判定定理判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴①当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；②当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；③当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；④当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；故选：D．本题考查了菱形的判定定理，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．12、B【分析】根据圆O 的半径和圆心O 到直线l 的距离的大小，相交：d ＜r ；相切：d ＝r ；相离：d ＞r ；即可选出答案．【详解】解：∵⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，∵5＞3，即：d ＜r ，∴直线L 与⊙O 的位置关系是相交．故选：B ．【点睛】本题主要考查了对直线与圆的位置关系的性质，掌握直线与圆的位置关系的性质是解此题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、25【解析】试题解析：∵两个相似三角形的相似比为2:5，∴面积的比是4:25，∵小三角形的面积为4，∴大三角形的面积为25.故答案为25.点睛：相似三角形的面积比等于相似比的平方.14、1【分析】把x ＝1代入方程x 2﹣a ＝0得1﹣a ＝0，然后解关于a 的方程即可．【详解】解：把x ＝1代入方程x 2﹣a ＝0得1﹣a ＝0，解得a ＝1．故答案为1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15、()4,3-或()2,0或()2,2-- 【分析】根据二次函数211y=x x 322+-与x 轴的负半轴交于点A ，与y 轴交于点B .直接令x=0和y=0求出A ，B 的坐标.再根据平行四边形的性质分情况求出点E 的坐标.【详解】由抛物线的表达式求得点,A B 的坐标分别为()()3,0,0,3--.由题意知当AB 为平行四边形的边时，//AB DE ，且AB DE =，∴线段DE 可由线段AB 平移得到.∵点D 在直线1x =-上，①当点B 的对应点为1D 时，如图，需先将AB 向左平移1个单位长度，此时点A 的对应点1E 的横坐标为4-，将4x =-代入211322y x x =+-， 得3y =，∴1(4,3)E -.②当点A 的对应点为2D 时，同理，先将AB 向右平移2个单位长度，可得点B 的对应点2E 的横坐标为2， 将2x =代入211322y x x =+-得0y =，∴2(2,0)E 当AB 为平行四边形的对角线时，可知AB 的中点坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∵3D 在直线1x =-上，∴根据对称性可知3E 的横坐标为2-，将2x =-代入211322y x x =+- 得2y =-，∴3(2,2)E --.综上所述，点E 的坐标为()4,3-或()2,0或()2,2--.【点睛】 本题是二次函数的综合题，主要考查了特殊点的坐标的确定，平行四边形的性质，解本题的关键是分情况解决问题的思想．16、满足2y x=的第三象限点均可，如（-1，-2） 【分析】因为过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积S 是个定值，即S=|k|．【详解】解：∵图象上的点与坐标轴围成的矩形面积为2，∴|k|=2，∴反比例函数y=k x 的图象在一、三象限，k ＞0，∴k=2，∴此反比例函数的解析式为2y x=． ∴第三象限点均可，可取：当x=-1时，y=-2综上所述，答案为：满足2y x =的第三象限点均可，如（-1，-2） 【点睛】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向两坐标轴引垂线，所得矩形的面积为|k|．17、3【解析】解：如图，连接OA 、OB ，OG ．∵六边形ABCDEF 是边长为2的正六边形，∴△OAB 是等边三角形，∴∠OAB =60°，∴OG =OA •sin60°=2×32=3， ∴半径为2的正六边形的内切圆的半径为3．故答案为3．【点睛】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正多边形的性质，证明△OAB 是等边三角形是解决问题的关键．18、123y y y >>【分析】根据点A 、B 、C 的横坐标利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出y 1、y 2、y 3的值，比较后即可得出结论．【详解】∵1(2,)A y -，2(1,)B y ，3(2,)C y 是抛物线y ＝−（x ＋1）2＋1上的三点，∴y 1＝0，y 2＝−3，y 3＝−8，∵0＞−3＞−8，∴123y y y >>．故答案为：123y y y >>．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用二次函数图象上点的坐标特征求出纵坐标是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）C 点坐标为(5,9)，y ＝x +1；（2）S ＝5t （t ＞0）【分析】（1）过C 点向x 轴作垂线，垂足为D ，由位似图形性质可知：△ABO ∽△ACD ，且49AO BO AD CD ==．由已知A (﹣1，0)，B (0，1)，可知：AO =BO =1．根据待定系数法即可求出直线BC 的解析式；（2）根据BCP APC ABP S S S ∆∆∆=-即可得出结论．【详解】（1）过C 点向x 轴作垂线，垂足为D ．由位似图形性质可知：△ABO ∽△ACD ，∴49AO BO AD CD ==． 由已知A (﹣1，0)，B (0，1)，可知：AO =BO =1，∴AD =CD =9，∴C 点坐标为(5，9)．设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴459bk b=⎧⎨+=⎩，解得：14kb=⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析是为：y=x+1；（2）由题意得：1111()2(94)52222BCP APC ABPS S S AP CD AP OB AP CD OB t t∆∆∆=-=⋅-⋅=⋅-=⨯⨯-=∴S=5t(t＞0)．【点睛】本题把一次函数与位似图形相结合，考查了同学们综合运用所学知识的能力，是一道综合性较好的题目．20、(1) ﹣3，1；(2) y=x+4，4；（3）﹣3≤x≤﹣1.【分析】（1）已知反比例函数y=mx过点A（﹣1，3），B（﹣3，n）分别代入求得m、n的值即可；（2）用待定系数法求出一次函数的解析式，再求得一次函数与x轴的交点坐标，根据S△AOB=S△AOC﹣S△BOC即可求得△AOB的面积；（3）观察图象，确定一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围即可.【详解】（1）∵反比例函数y=过点A（﹣1，3），B（﹣3，n）∴m=3×（﹣1）=﹣3，m=﹣3n∴n=1故答案为﹣3，1（2）设一次函数解析式y=kx+b，且过（﹣1，3），B（﹣3，1）∴解得：∴解析式y=x+4∵一次函数图象与x轴交点为C∴0=x+4∴x=﹣4∴C（﹣4，0）∵S△AOB=S△AOC﹣S△BOC∴S△AOB =×4×3﹣×4×1=4（3）∵kx+b≥∴一次函数图象在反比例函数图象上方∴﹣3≤x≤﹣1故答案为﹣3≤x≤﹣1【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、用待定系数法求解析式、用图象法解不等式及用三角形面积的和差求三角形的面积，知识点较为综合但题目难度不大．21、（1）没有关系，∠CDF=∠CAB=60°；（2）31010；（3）62+或62-【解析】（1）①根据同弧所对的圆周角解答即可；②利用锐角三角函数的定义求出AC与BC、DF与CF的关系，利用三角形的面积公式得出22910CDFABCS CFS BC==，然后根据正弦的定义可求出CBF∠的正弦值；（2）分两种情况求解：①当D点在直径AB下方的圆弧上时；当D点在直径AB上方的圆弧上时. 【详解】解：（1）①没有关系，理由如下：当D在直径AB的上方时，如下图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°；∵∠ABC=30°，∴∠CAB=60°；∴∠CDF=∠CAB=60°；当D在直径AB的下方时，如下图∵∠CAB =60°，∴∠CDB =180°-∠CAB =120°, ∴∠CDF =60°.②∵CF ⊥BD ，AB 为直径；∴ ∠ACB =∠CFD =90°；由①得，∠CDF =∠CAB =60°，∴ 33tan60BC BC AC ==；33tan60CF CF DF ==； ∵21326ABC BC SAC BC =⋅=；21326CDF CF S CF DF =⋅=； ∴22910CDF ABC S CF S BC ==；∴3101s 0in CF BC CBF =∠= （2）∵半径为2，22CD =，∴弧CD 所对圆心角90COD ∠=①当D 点在直径AB 下方的圆弧上时；如图，连结OD ，过D 作DE ⊥AB 于E ；由（1）知，60CAB ∠=，∴60AOC ∠=；∴180609030BOD ∠=--=；OD =2，∴3OE =1DE =，23BE =；∴()222212384362BD BE DE +=+-=-②当D 点在直径AB 上方的圆弧上时，如图，连结OD ，过D 作DF ⊥AB 于F ；此时906030DOA ∠=-=； ∴3OE =，1DE =，23BF =+； ∴()222212384362BD BF DF =+=++=+=+；综上所述：BD 的长为62-或62+.【点睛】 本题考查了圆周角定理的推论，锐角三角函数的定义，勾股定理及其逆定理的应用，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键.22、（1）点B 距水平面AE 的高度BH 为5米.（2）宣传牌CD 高约2.7米.【分析】（1）过B 作DE 的垂线，设垂足为G ．分别在Rt △ABH 中，通过解直角三角形求出BH 、AH.（2）在△ADE 解直角三角形求出DE 的长，进而可求出EH 即BG 的长，在Rt △CBG 中，∠CBG=45°，则CG=BG ，由此可求出CG 的长然后根据CD=CG+GE ﹣DE 即可求出宣传牌的高度.【详解】解：（1）过B 作BG ⊥DE 于G ，在Rt △ABF 中，i=tan ∠333=，∴∠BAH=30° ∴BH=12AB=5（米）. 答：点B 距水平面AE 的高度BH 为5米.（2）由（1）得：BH=5，3∴3在Rt △BGC 中，∠CBG=45°，∴CG=BG=53+15. 在Rt △ADE 中，∠DAE=60°，AE=15， ∴DE=3AE=153.∴CD=CG+GE ﹣DE=53+15+5﹣153=20﹣103≈2.7（米）.答：宣传牌CD 高约2.7米.23、（1）圆P 的半径为54；（2）画出函数图象，如图②所示；见解析；（3）cos ∠APD =PE PD=52-. 【解析】（1）由题意得到AP=PB ，求出y 的值，即为圆P 的半径；（2）利用两点间的距离公式，根据AP=PB ，确定出y 关于x 的函数解析式，画出函数图象即可；（3）画出相应图形，求出m 的值，进而确定出所求角的余弦值即可．【详解】（1）由x =2，得到P （2，y ），连接AP ，PB ，∵圆P 与x 轴相切，∴PB ⊥x 轴，即PB=y ，由AP=PB ，得到21(2)y y +-= ，解得：y =54，则圆P 的半径为54（2）同（1），由AP=PB ，得到（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=y 2，整理得：21114y x =-+（） 图象为开口向上的抛物线，画出函数图象，如图②所示；（3）连接CD ，连接AP 并延长，交x 轴于点F ，设PE=a ，则有EF =a +1，ED = 21a -，∴D 坐标为（21a -，a +1），代入抛物线解析式得：211(1)14a a +=-+，解得：2a =-+2a =--，即PE 2，在Rt △PED 中，PE 2，PD =1，则cos ∠APD =PE PD 2. 【点睛】本题属于圆的综合题，涉及的知识点主要有两点间的距离公式，勾股定理，二次函数的图象和性质，圆的定义，圆的切线的性质，弄清题意是解决本题的关键.24、（1）1y x＝-；（2）ABC 的面积为1. 【分析】（1）把点()11A ﹣，代入反比例函数k y x=即可求出比例函数的解析式； （2）利用A ，B 点坐标进而得出AC ，BC 的长，然后根据三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）点()11A ﹣，是反比例函数()0k y k x＝＜上一点， 111k ∴⨯＝﹣＝﹣， 故反比例函数的解析式为：1y x ＝-； （2）点()11A ﹣，，点()10,B AC x ⊥，轴， 21BC AC ∴＝，＝，故ABC 的面积为：12112⨯⨯＝． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握待定系数法是解题关键．25、（1）a+2；2；（2）-2或6±（3）8a ≤--【分析】（1）将点B 的坐标代入解析式，求得c 的值；将点A 代入解析式，从而求得b ；；（2）由题意可得AO=1，设C 点坐标为（x,y ），然后利用三角形的面积求出点C 的纵坐标，然后代入顶点坐标公式求得a 的值；（3）结合图像，若x ＞1时，y ＜1，则顶点纵坐标大于等于1，根据顶点纵坐标公式列不等式求解即可.【详解】解：（1）将B （0，2）代入解析式得：c=2将A （－1，0）代入解析式得： a ×（-1）2＋b ×（-1）＋c=0∴a-b+2=0∴b=a+2故答案为：a+2；2（2）由题意可知：AO=1设C 点坐标为（x,y ） 则1112y ⨯⨯= 解得：2y =±当y=2时，2424ac b a-= 由（1）可知，b=a+2;c=2 ∴242(2)24a a a⨯-+= 解得：a=-2当y=-2时，2424ac b a-=- 由（1）可知，b=a+2;c=2 ∴242(2)24a a a⨯-+=-解得：6a =±∴a 的值为-2或6±（3）若x ＞1时，y ＜1，又因为图像过点A （－1，0）、B （0，2）∴图像开口向下，即a ＜0则该图像顶点纵坐标大于等于1 ∴2454ac b a-≥ 即242(2)54a a a⨯-+≥解得：8a ≤--8a ≥-+（舍去）∴a 的取值范围为8a ≤--【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握顶点坐标公式及数形结合思想解题是本题的解题关键.26、（1）1；（2）作图见解析；（3）①函数y=x 2﹣2|x|的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；（答案不唯一）（4） 3，3，2，﹣1＜a＜1．【解析】（1）把x=-2代入y=x2-2|x|得y=1，即m=1，故答案为：1；（2）如图所示；（3）由函数图象知：①函数y=x2-2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2-2|x|=1有3个实数根；②如图，∵y=x2-2|x|的图象与直线y=2有两个交点，∴x2-2|x|=2有2个实数根；③由函数图象知：∵关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根，∴a的取值范围是-1＜a＜1，故答案为：3，3，2，-1＜a＜1．。

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）1．下列方程属于一元二次方程的是（ ）A ．20x =B ．()()23121x y -=-C ．2310ax x -+=D ．2110x x++= 2．如图所示，△ABC 内接于⊙O ，∠C ＝45°．AB ＝4，则⊙O 的半径为 ( )A ．22B ．4C ．23D ．5 3．四位同学在研究函数2y x bx c =++（,b c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，6BC =，ADC BAC ∠=∠，则AC 的长为（ ）A ．23B ．4C ．2D ．325．如图，在锐角△ABC 中，∠A=60°，∠ACB=45°，以BC 为弦作⊙O ，交AC 于点D ，OD 与BC 交于点E ，若AB 与⊙O 相切，则下列结论：①∠BOD=90°；②DO ∥AB ；③CD=AD ；④△BDE ∽△BCD ；⑤2BE DE= 正确的有（ ）A ．①②B ．①④⑤C ．①②④⑤D ．①②③④⑤6．根据国家外汇管理局公布的数据，截止2019年9月末，我国外汇储备规模为30924亿美元，较年初上升197亿美元，升幅0.6%，数据30924亿用科学计数法表示为（ ）A ．83092410⨯B ．123.092410⨯C ．113.092410⨯D ．133.092410⨯7．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．8．若点()()1122,,x y x y 、都是反比例函数6y x =-图像上的点，并且120y y <<，则下列结论中正确的是（ ） A ．12x x >B ．12x x <C ．y 随x 的增大而减小D ．两点有可能在同一象限9．下列图象能表示y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列一元二次方程中，两个实数根之和为2的是（ ）A ．2x 2+x ﹣2＝0B ．x 2+2x ﹣2＝0C ．2x 2﹣x ﹣1＝0D ．x 2﹣2x ﹣2＝011．如图，用尺规作图作BAC ∠的平分线AD ，第一步是以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交,AB AC 于点,E F ；第二步是分别以,E F 为圆心，以大于12EF 长为半径画弧，两圆弧交于D 点，连接AD ，那么AD 为所作，则说明CAD BAD ∠=∠的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS12．下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每题4分，共24分）13．已知MAX (a ，b )=a ， 其中a >b 如果MAX (2x x -， 0)=0，那么 x 的取值范围为__________14．若函数231m m y mx +-=是反比例函数，则m =________．15．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 边上，且AE ：ED ＝1：2，若EF ＝4，则CE 的长为___16．如图，将二次函数y ＝12(x －2)2＋1的图像沿y 轴向上平移得到一条新的二次函数图像，其中A (1，m )，B (4，n )平移后对应点分别是A′、B′，若曲线AB 所扫过的面积为12(图中阴影部分)，则新的二次函数对应的函数表达是__________________．17．布袋里有三个红球和两个白球，它们除了颜色外其他都相同，从布袋里摸出两个球，摸到两个红球的概率是________．18．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x+k=0的两个根，则k 的值是________．三、解答题（共78分）19．（8分）已知：如图，在ABC中，D是AC上一点，联结BD，且∠ABD =∠ACB．（1）求证：△ABD∽△ACB；（2）若AD=5，AB= 7，求AC的长.20．（8分）如图，已知一次函数332y x=-与反比例函数kyx=的图像相交于点4A n（，），与x轴相交于点B．（1）求n的值和k的值以及点B的坐标；（2）观察反比例函数kyx=的图像，当3y≥-时，请直接写出自变量x的取值范围；（3）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；（4）在y轴上是否存在点P，使PA PB+的值最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．（8分）如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P．（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠P=34，AD=6，求线段AE的长．22．（10分）某企业为了解饮料自动售卖机的销售情况，对甲、乙两个城市的饮料自动售卖机进行抽样调查，从两个城市中所有的饮料自动售卖机中分别抽取16台，记录下某一天各自的销售情况（单位：元）如下：甲：25、45、2、22、10、28、61、18、2、45、78、45、58、32、16、78乙：48、52、21、25、33、12、42、1、41、42、33、44、33、18、68、72整理、描述数据：对销售金额进行分组，各组的频数如下： 销传金额x 020x ≤<2040x ≤< 4060x ≤< 6080x ≤< 甲 36 4 3 乙 2 6 a b分析数据：两组样本数据的平均数、中位数如下表所示：城市中位数 平均数 众数 甲C 1．8 45 乙 40 2．9 d请根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：a=， b=， c=， d=．（2）两个城市目前共有饮料自动售卖机4000台，估计日销售金额不低于40元的数量约为多少台？（3）根据以上数据，你认为甲、乙哪个城市的饮料自动售卖机销售情况较好？请说明理由（一条理由即可）．23．（10分）计算：|348＋20200；24．（10分）如图，雨后初睛，李老师在公园散步，看见积水水面上出现阶梯上方树的倒影，于是想利用倒影与物体的对称性测量这颗树的高度，他的方法是：测得树顶的仰角∠1、测量点A 到水面平台的垂直高度AB 、看到倒影顶端的视线与水面交点C 到AB 的水平距离BC ．再测得梯步斜坡的坡角∠2和长度EF ，根据以下数据进行计算，如图，AB ＝2米，BC ＝1米，EF ＝6米，∠1＝60°，∠2＝45°．已知线段ON 和线段OD 关于直线OB 对称．（以下结果保留根号）（1）求梯步的高度MO ；（2）求树高MN ．25．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝33x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点F 是点B 关于x 轴的对称点，抛物线y ＝33x 2+bx +c 经过点A 和点F ，与直线AB 交于点C ． （1）求b 和c 的值； （2）点P 是直线AC 下方的抛物线上的一动点，连结PA ，PB ．求△PAB 的最大面积及点P 到直线AC 的最大距离； （3）点Q 是抛物线上一点，点D 在坐标轴上，在（2）的条件下，是否存在以A ，P ，D ，Q 为顶点且AP 为边的平行四边形，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．26．解一元二次方程（1）22510x x -+=（2）22(1)(23)x x +=-参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【解析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为1．【详解】解：A 、20x =该方程符合一元二次方程的定义，符合题意；B 、该方程属于二元二次方程，不符合题意；C 、当a=1时，该方程不是一元二次方程，不符合题意；D 、该方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意．故选：A ．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx+c=1（且a≠1）．特别要注意a≠1的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2、A【解析】试题解析：连接OA ，OB ．45,C ∠=︒90AOB ∴∠=︒，∴在Rt AOB △中，2 2.OA OB ==故选A.点睛:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.3、B【分析】利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论．【详解】解：A ．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确由乙、丁同学的结论可得01442b c b c =-+⎧⎨=++⎩解得：1323b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数的解析式为：221212533636⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭-y x x x ∴当x=16-时，y 的最小值为2536-，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； B ．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0∴此时符合假设条件，故本选项符合题意；C ． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确由甲乙的结论可得1201b b c⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩ 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩ ∴223y x x =--当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；D ． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意．故选B ．【点睛】此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键．4、D【解析】根据相似三角形的判定和性质定理和线段中点的定义即可得到结论．【详解】解：∵∠ADC=∠BAC ，∠C=∠C ，∴△BAC ∽△ADC ，∴AC CD BC AC=，∵D是BC的中点，BC=6，∴CD=3，∴AC2=6×3=18，∴AC=32，故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，线段中点的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．5、C【解析】根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，由圆周角∠ACB=45°得到圆心角∠BOD=90°，进而得到BD 的度数为90°，故选项①正确；又因OD=OB，所以△BOD为等腰直角三角形，由∠A和∠ACB的度数，利用三角形的内角和定理求出∠ABC=180°-60°-45°=75°，由AB与圆切线，根据切线的性质得到∠OBA为直角，求出∠CBO=∠OBA-∠ABC=90°-75°=15°，由根据∠BOE为直角，求出∠OEB=180°-∠BOD-∠OBE=180°-90°-15°=75°，根据内错角相等，得到OD∥AB，故选项②正确；由D不一定为AC中点，即CD不一定等于AD，而选项③不一定成立；又由△OBD为等腰三角形，故∠ODB=45°，又∠ACB=45°，等量代换得到两个角相等，又∠CBD为公共角，根据两对对应角相等的两三角形相似得到△BDE∽△BCD，故④正确；连接OC，由相似三角形性质和平行线的性质，得比例BE DBDE DC=，由BD=2OD，等量代换即可得到BE等=2DE，故选项⑤正确．综上，正确的结论有4个．故选C.点睛：此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．6、B【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】30924亿=3.0924×1012， 故选：B ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．7、D【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．【详解】A 、不是中心对称图形，故此选项错误；B 、不是中心对称图形，故此选项错误；C 、不是中心对称图形，故此选项错误；D 、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．8、A【分析】根据反比例函数的图象及性质和比例系数的关系，即可判断C ，然后根据120y y <<即可判断两点所在的象限，从而判断D ，然后判断出两点所在的象限即可判断B 和A ．【详解】解:∵6y x=-中,-6＜0, ∴反比例函数6y x =-的图象在二、四象限，在每一象限，y 随x 的增大而增大，故C 错误； ∵120y y <<∴点()11,x y 在第四象限，点()22,x y 在第二象限，故D 错误；∴12x x >，故B 错误，A 正确．故选A ．【点睛】此题考查的是反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的图象及性质与比例系数的关系是解决此题的关键． 9、D【解析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定答案．【详解】A．如图，，对于该x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象；B．如图，，对于该x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象；C．如图，对于该x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象；D．对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象．故选：D．【点睛】本题考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．10、D【分析】利用根与系数的关系进行判断即可．【详解】方程1x1+x﹣1=0的两个实数根之和为12 ；方程x1+1x﹣1=0的两个实数根之和为﹣1；方程1x1﹣x﹣1=0的两个实数根之和为12；方程x1﹣1x﹣1=0的两个实数根之和为1．故选D．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x1是一元二次方程ax1+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x1ba=-，x1x1ca=．11、A【分析】根据作图步骤进行分析即可解答；【详解】解：∵第一步是以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交,AB AC于点,E F ∴AE=AF∵二步是分别以,E F为圆心，以大于12EF长为半径画弧，两圆弧交于D点，连接AD，∴CE=DE,AD=AD∴根据SSS可以判定△AFD≌△AED∴CAD BAD∠=∠（全等三角形，对应角相等）故答案为A.【点睛】本题考查的是用尺规作图做角平分线，明确作图步骤的依据是解答本题的关键.12、D【解析】根据中心对称图形的概念判断即可．【详解】A、不是中心对称图形；B、不是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、是中心对称图形．故选D．【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．二、填空题（每题4分，共24分）13、0﹤x﹤1【分析】由题意根据定义得出x2-x＜0，通过作出函数y=x2-x的图象，根据图象即可求得x的取值范围．【详解】解：由题意可知x2-x＜0，画出函数y=x2-x的图象如图：由图象可知x 2-x ＜0的取值范围为0＜x ＜1. 故答案为：0＜x ＜1． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是理解新定义并根据新定义列出关于x 的不等式运用数形结合思维分析． 14、-1【分析】根据反比例函数的定义可求出m 的值． 【详解】解：∵函数231m m y mx +-=是反比例函数∴2311,0m m m +-=-≠ 解得，3m =-． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的定义，比较基础，易于掌握． 15、1【分析】根据AE ：ED ＝1：2，得到BC=3AE ，证明△DEF ∽△BCF ，得到DE EFBC FC=，求出FC ，即可求出CE ． 【详解】解：∵AE ：ED ＝1：2， ∴DE ＝2AE ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC ＝AD ＝AE+DE ＝3AE ，AD ∥BC ， ∴△DEF ∽△BCF ，∴DE EFBC FC =， ∴2AE 43AE FC= ∴FC ＝6，∴CE＝EF+CF＝1，故答案为：1．【知识点】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的判定与性质定理是解题关键．16、y=0.2(x-2)2+2【解析】解：∵函数y=12（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=12（1﹣2）2+1=112，n=12（4﹣2）2+1=1，∴A（1，112），B（4，1），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，112），∴AC=4﹣1=1．∵曲线段AB扫过的面积为12（图中的阴影部分），∴AC•AA′=1AA′=12，∴AA′=4，即将函数y=12（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移4个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=12（x﹣2）2+2．故答案为y=0.2（x﹣2）2+2．点睛：本题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA′是解题的关键．17、3 10【解析】应用列表法，求出从布袋里摸出两个球，摸到两个红球的概率是多少即可．【详解】解：红1 红2 红3 白1 白2红1 -- 红1红2 红1红3 红1白1 红1白2 红2 红2红1 -- 红2红3 红2白1 红2白2 红3 红3红1 红3红2 -- 红3白1 红3白2 白1 白1红1 白1红2 白1红3 -- 白1白2 白2 白2红1 白2红2 白2红3 白2白1 --∵从布袋里摸出两个球的方法一共有20种，摸到两个红球的方法有6种，∴摸到两个红球的概率是63 2010=．故答案为：3 10．【点睛】此题主要考查了列表法与树状图法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．18、32【解析】分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑．①当3为等腰三角形的腰时，将x＝3代入原方程可求出k的值，再利用分解因式法解一元二次方程可求出等腰三角形的底，由三角形的三边关系可确定此情况不存在；②当3为等腰三角形的底时，由方程的系数结合根的判别式可得出△＝144﹣4k＝0，解之即可得出k值，进而可求出方程的解，再利用三角形的三边关系确定此种情况符合题意．此题得解．【详解】①当3为等腰三角形的腰时，将x＝3代入原方程得1﹣12×3+k＝0，解得：k＝27，此时原方程为x2﹣12x+27＝0，即（x﹣3）（x﹣1）＝0，解得：x1＝3，x2＝1．∵3+3＝2＜1，∴3不能为等腰三角形的腰；②当3为等腰三角形的底时，方程x2﹣12x+k＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣12）2﹣4k＝144﹣4k＝0，解得：k＝32，此时x1＝x2122-=-=2．∵3、2、2可以围成等腰三角形，∴k＝32．故答案为32．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法、根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑是解题的关键．三、解答题（共78分）19、(1)见详解；（2）49 5【详解】（1）证明：∵∠A=∠A,∠ABD =∠ACB, ∴△ABD∽△ACB.（2）解: ∵△ABD∽△ACB，∴AB AD AC AB=，∴757 AC=，∴495AC =20、（1）n=3，k=1，点B 的坐标为（2，3）；（2）x ≤﹣2或x ＞3；（3）点D 的坐标为（2+13，3）；（2）存在，P （3，1）．【分析】（1）把点A （2，n ）代入一次函数中可求得n 的值，从而求出一次函数的解析式，于是可得B 的坐标；再把点A 的坐标代入反比例函数中，可得到k 的值；（2）观察反比例函数图象即可得到当y≥-3时，自变量x 的取值范围． （3）先求出菱形的边长，然后利用平移的性质可得点D 的坐标；（2）作点B 关于y 轴的对称点Q ,连接AQ 交y 轴于点P ，此时PA PB +的值最小，据此可解. 【详解】解：（1）把点A （2，n ）代入一次函数y =32x ﹣3， 可得n =32×2﹣3=3； 把点A （2，3）代入反比例函数k y x=， 可得3=4k ， 解得：k =1． ∵一次函数y =32x ﹣3与x 轴相交于点B ， ∴32x ﹣3=3， 解得：x =2，∴点B 的坐标为（2，3）， （2）当y =﹣3时，123x-=， 解得：x =﹣2．故当y ≥﹣3时，自变量x 的取值范围是x ≤﹣2或x ＞3． （3）如图1，过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ，∵A（2，3），B（2，3），∴OE=2，AE=3，OB=2，∴BE=OE﹣OB=2﹣2=2，在Rt△ABE中，AB=222232AE BE+=+=13．∵四边形ABCD是菱形，∴AD =AB=13，AD∥BC，∴点A（2，3）向右平移13个单位到点D,∴点D的坐标为（2+13，3）．（2）存在.如图2，作点B关于y轴的对称点Q,连接AQ交y轴于点P，此时PA PB+的值最小.设直线AQ的解析式为y=kx+b,∵点B（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为（-2，3），∴43 20 k bk b+=⎧⎨-+=⎩,∴121kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AQ的关系式为112y x=+，∴直线AQ与y轴的交点为P（3，1）．∴在y 轴上存在点P（3，1），使PA PB+的值最小.【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质、反比例函数的性质等知识，熟练掌握相关性质及数形结合思想是解题关键．21、（1）PC 是⊙O 的切线；（2）92【解析】试题分析：（1）结论：PC 是⊙O 的切线．只要证明OC ∥AD ，推出∠OCP =∠D =90°，即可． （2）由OC ∥AD ，推出OC OP AD AP =，即10610r r -=，解得r =154，由BE ∥PD ，AE =AB •sin ∠ABE =AB •sin ∠P ，由此计算即可．试题解析：解：（1）结论：PC 是⊙O 的切线．理由如下： 连接OC ．∵AC 平分∠EAB ，∴∠EAC =∠CAB ．又∵∠CAB =∠ACO ，∴∠EAC =∠OCA ，∴OC ∥AD ．∵AD ⊥PD ，∴∠OCP =∠D =90°，∴PC 是⊙O 的切线． （2）连接BE ．在Rt △ADP 中，∠ADP =90°，AD =6，tan ∠P =34，∴PD =8，AP =10，设半径为r ．∵OC ∥AD ，∴OC OP AD AP =，即10610r r -=，解得r =154．∵AB 是直径，∴∠AEB =∠D =90°，∴BE ∥PD ，∴AE =AB •sin ∠ABE =AB •sin ∠P =152×35=92．点睛：本题考查了直线与圆的位置关系．解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22、（1）6，2，2，33 （2）1875 （3）见解析（答案不唯一）【分析】（1）根据某一天各自的销售情况求出a b 、的值，根据中位数的定义求出c 的值，根据众数的定义求出d 的值． （2）用样本估算整体的方法去计算即可． （3）根据平均数、众数、中位数的性质判断即可． 【详解】（1）623833a b c d ====，，，． （2）78400018751616+⨯=+（台）故估计日销售金额不低于40元的数量约为1875台．（3）可以推断出甲城市的饮料自动售货机销售情况较好，理由如下：①甲城市饮料自动售货机销售金额的平均数较高，表示甲城市的销售情况较好； ②甲城市饮料自动售货机销售金额的众数较高，表示甲城市的销售金额较高；可以推断出乙城市的饮料自动售货机销售情况较好，理由如下：①乙城市饮料自动售货机销售金额的中位数较高，表示乙城市销售金额高的自动售货机数量较多；【点睛】本题考查了概率统计的问题，掌握平均数、众数、中位数的性质、样本估算整体的方法是解题的关键．23、331-+【分析】先根据绝对值的意义、二次根式的性质、零指数幂的意义逐项化简，再合并同类二次根式即可．【详解】原式=3431-+=331-+．【点睛】本题考查了实数的混合运算，正确化简各数是解答本题的关键．24、（1）43米；（2）（14+43）米．【分析】（1）作EH⊥OB于H，由四边形MOHE是矩形，解Rt EHF求得EH即可；（2）设ON＝OD＝m，作AK⊥ON于K，则四边形AKOB是矩形，AK OB＝，OK＝AB＝2，想办法构建方程求得m 即可.【详解】（1）如图，作EH⊥OB于H．则四边形MOHE是矩形．∴OM＝EH，在Rt EHF中，∵∠EHF＝90°，EF＝6，∠EFH＝45°，∴EH＝FH＝OM＝2sin4546432EF︒==（2）设ON＝OD＝m．作AK⊥ON于K．则四边形AKOB是矩形，如图，AK ＝BO ，OK ＝AB ＝2∵AB ∥OD ，∴AB BC OD OC =，∴21m OC =，∴OC ＝2m， ∴122mAK OB NK m =+=＝，﹣， 在Rt △AKN 中，∵∠1＝60°，∴tan 603NK AK =︒=，∴2312m m⎫=+⎪⎭﹣， ∴m ＝（3∴MN ＝ON ﹣OM ＝333 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称的性质，解题的关键是添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用参数解决几何问题. 25、（1）b ＝33，c 3（2）2538，258；（3）点Q 的坐标为：（﹣1﹣312，534）或（32-，﹣34）或（﹣3153）或（52113）或（﹣5273）．【分析】（1）直线33y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，则点A 、B 的坐标分别为：(3,0)-、3)，则点(0,3)F -，抛物线23y bx c =++经过点A 和点F ，则3c =-将点A 的坐标代入抛物线表达式并解得：23b =（2）过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设出点P ，H 的坐标，将△PAB 的面积表示成△APH 和△BPH 的面积之和，可得函数表达式，可求△PAB 的面积最大值，此时设点P 到AB 的距离为d ，当△PAB 的面积最大值时d 最大，利用面积公式求出d.（3）若存在以A ，P ，D ，Q 为顶点且AP 为边的平行四边形时，平移AP ，得出所有可能的情形，利用平行四边形的对称性得到坐标的关系，即可求解．【详解】解：（1）直线333y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， 令x=0，则y=3，令y=0，则x=-3，则点A 、B 的坐标分别为：(3,0)-、(0,3)，∵点F 是点B 关于x 轴的对称点， ∴点(0,3)F -，∵抛物线233y x bx c =++经过点A 和点F ，则3c =-， 将点A (3,0)-代入抛物线表达式得：()()230=3333b -+⨯--， 解得：233b =， 故抛物线的表达式为：2323333y x x =+-， 233b =，3c =-； （2）过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点2323(3)P x ，则点3(3)H x ， 则PAB ∆的面积：()()111=222P A B p S x x PH x x PH PH AO =⨯-⨯+⨯-⨯⨯2233323333(33)(23)2333233x x x x x =+--+=--+ 当3312=332x ⎛⎫⎛⎫=--÷-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时， 33131253=23=234328S ⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 且2323533=334x x +--， ∴S 的最大值为2538，此时点1(2P -，53)4-， 设：P 到直线AC 的最大距离为d ，23AB =125328S AB d =⨯⨯=，解得：258d =； （3）存在，理由：点(3,0)A -，点1(2P -，53)4-，设点(,)Q m n ，2323333n m m =+-， ①当点D 在x 轴上时，若存在以A ，P ，D ，Q 为顶点且AP 为边的平行四边形时，如图，三种情形都可以构成平行四边形，由于平行四边形的对称性可得图中点Q 到x 轴的距离和点P 到x 轴的距离相等，∴53n = 2323533+ 解得：12m =-（舍去）或32-或311-； ②当点D 在y 轴上时，如图：当点Q 在y 轴右侧时，由平行四边形的性质可得：=D A Q P x x x x --=3， ∴1=32m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴m =52，代入二次函数表达式得：113 当点Q 在y 轴左侧时，由平行四边形的性质可得：=Q A D P x x x x --=12, ∴()13=2m --， ∴5=2m -，代入二次函数表达式得：y=73 故点5(2Q 113)或5(2-，73； 故点Q 的坐标为：31(1-53或3(2，53或31(1-+53或5(2113或5(2-，73． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．26、（1）1517x +=，2517x -= ；（2）14x =，223x = 【分析】（1）根据公式法即可求解；（2）根据因式分解法即可求解.【详解】（1）22510x x -+=a=2,b=-5,c=1∴b 2-4ac=25-8=17＞0故∴1x =2x = （2）22(1)(23)x x +=-22(1)(23)0x x +--=[][](1)(23)(1)(3)02x x x x +-+--=+()3402()x x -+=-∴3x-2=0或-x+4=0故14x =，223x =. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知公式法及因式分解法的运用.。

2023－2024年学年度第一学期期末测试试题九年级数学（满分：150分　测试时间：120分钟）一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上）1. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解．【详解】解：移项得，两边同时加上，即∴，故选：C ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．2. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）甲乙丙丁9998A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】【分析】本题考查的是方差和算术平均数，根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．由2410x x --=2(2)3x +=2(2)17x +=2(2)5x -=2(2)17x -=42410x x --=241x x -=42445x x +=-2(2)5x -=2S x2S 1.20.4 1.80.4平均数与方差的含义可得答案．【详解】解：由表知甲、乙、丙射击成绩的平均数相等，且大于丁的平均数，从甲、乙、丙中选择一人参加竞赛，乙方差较小，较稳定，选择乙参加比赛，故选：B ．3. 若，则关于x 的一元二次方程必有一根为（ ）A. B. 0 C. 2 D. 或2【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解．把代入，可得，即可求解．【详解】解：对于，当时，，∴关于x 的一元二次方程必有一根为．故选：C ．4. 如图，中，半径，点C 在劣弧上．若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．根据互相垂直可得所对的圆心角为，根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理即可求解．的∴ ∴420a b c ++=()200ax bx c a ++=≠2-2-2x =()200ax bx c a ++=≠420a b c ++=()200ax bx c a ++=≠2x =420a b c ++=()200ax bx c a ++=≠2x =O OA OB ⊥AB 18ABC ∠=︒BAC ∠=24︒25︒26︒27︒,OA OB ADB 270︒12701352ACB ∠=⨯︒=︒【详解】解：如图，半径互相垂直，，所对的圆心角为，所对的圆周角，又，，故选：D ．5. 在中，的对边分别为，下列结论中，能成立的是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查同角的三角函数之间的关系，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．根据直角三角形的边角关系逐项进行判断即可．【详解】解：在中，的对边分别为，由锐角三角函数的定义可得，因此选项A 符合题意；由锐角三角函数的定义可得，因此选项B 不符合题意；由锐角三角函数的定义可知，，因此选项C 不符合题意；由于，因此选项D 不符合题意；故选：A ． ,OA OB ∴90AOB ∠=︒∴ ADB 270︒∴ ADB 12701352ACB ∠=⨯︒=︒ 18ABC ∠=︒∴18027BAC ACB ABC ∠=︒-∠-∠=︒Rt ABC 90,,C A B C ∠=︒∠∠∠,,,a b c cos b A c =sin c A a =tan bA a =cos aA b=Rt ABC 90,,C A B C ∠=︒∠∠∠,,,a b c cos bA c =sin aA c =tan aA b =sin bB c =6. 二次函数的图象与x 轴交于、B 两点，下列说法正确的是（ ）A. 它的对称轴为直线B. 顶点坐标为C. 点B 的坐标为D. 当时，y 随x 的增大而增大【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点．待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵二次函数的图象与x 轴交于，∴，解得：，∴二次函数解析式为，∵，∴二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为，故A ，B 选项不正确，不符合题意；∵，∴抛物线开口向上，∴当时，y 随x 的增大而减小，故D 选项不正确，不符合题意；当时，，解得：，∴点B 的坐标为，故C 选项正确，符合题意；故选：C ．7. 如图，在中，，，点是重心，点在上且，则的面积为（ ）26y ax x =+-()30A -,1x =1,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭()2,01x <-26y ax x =+-()3,0A -9360a --=1a =26y x x =+-22125624y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭12x =-125,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭10a =>1x <-0y =260x x +-=123,2x x =-=()2,0Rt ABC △6cm AB =8cm BC =F G CD :1:2DG GC =CEGA. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查三角形重心的定义、中线的性质，熟练掌握三角形中线把三角形分成两个面积相等的小三角形是解题关键，根据重心的定义得出、是中线，根据，可求出的面积，根据中线的性质可求出的面积，根据可得，即可得答案．【详解】解：如图，连接，∵，，，∴，∵点是重心，∴，，∴，∵，∴，∴．故选：B ．8. 第二十四届国际数学家大会会徽是由四个全等的直角三角形（）和中间小正方形拼成正方形（如图），，设，，若正方形与正方形的面积之比为，，则（）22cm 24cm 26cm 28cm BD AE 6cm AB =8cm BC =ABC ACE △:1:2DG GC =:1:3CG AC =DE 6cm AB =8cm BC =90ABC ∠=︒1242ABC S AB BC =⋅= F 12AD CD AC ==12BE CE BC ==1122ACE ABE ABC S S S ===V V V :1:2DG GC =:2:61:3CG AC ==143CEG ACE S S ==V V DAE ABF BCG CDH ，，，EFGH ABCD ABF BAF ∠>∠BAF α∠=BEF β∠=EFGH ABCD 1:n 2tan tan αβ=n =A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】此题考查了勾股定理，解直角三角形，赵爽“弦图”等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．设，，首先根据得到，然后表示出正方形的面积为，正方形的面积为，最后利用正方形与正方形的面积之比为求解即可．详解】解：设，，∵，，∴，即，∴，整理得，∴，∵，∴，∴正方形的面积为，∵正方形的面积为，∵正方形与正方形的面积之比为，∴，∴解得．故选：C ．二．填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直【BF AE a ==EF b =2tan tan αβ=22222a ab b +=ABCD 223AB b =EFGH 22EF b =EFGH ABCD 1:n BF AE a ==EF b =2tan tan αβ=90AFB ∠=︒2BF BF AF EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭2a a ab b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭22a a a b b=+22a ab b +=22222a ab b +=90AFB ∠=︒()22222222223AB AF BF a b a a ab b b =+=++=++=ABCD 223AB b =EFGH 22EF b =EFGH ABCD 1:n 2213b b n=3n =接填写在答题卡相应位置上）9. 一元二次方程根的判别式的值是______．【答案】17【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：∵，∴．故答案为：1710. 小慧同学在学习“图形的相似”一章后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值______，感受这种特殊化的学习过程．【答案】【解析】【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据题意得出，，进而即可求解．【详解】解：∵∴，，∴，故答案为：．11. 如按是公园里一处小土坡，这个土坡的坡比，经测得坡顶A 与坡脚C 的水平距离为，则小土坡铅直距离为______m ．2520x x ++=1,5,2a b c ===224541217b ac ∆=-=-⨯⨯=2a =c =a b b c==a =c =2a c ==21:2i =BC 80m AB【答案】40【解析】【分析】本题考查了坡度、坡角的知识，关键是理解坡度的定义．根据坡比的定义可求出；【详解】故在中，，故答案为：40．12. 如图，是的直径，切于点A ，交于点C ，连接，若，则______．【答案】34【解析】【分析】此题考查了切线的性质和三角形的外角的性质，三角形内角和定理等知识．首先根据等边对等角得到，然后利用外角的性质得到，利用切线的性质得到，最后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵，，∴，∴，∵切于点A ，∴，∴．AB 1:2,i =Q Rt ABC :1:2,AB BC =80m,BC =40m AB ∴=AB O PA O PO O BC 28B ∠=︒P ∠=︒28OCB B ∠=∠=︒56AOP ∠=︒90OAP ∠=︒OB OC =28B ∠=︒28OCB B ∠=∠=︒56AOP B OCB ∠=∠+∠=︒PA O 90OAP ∠=︒9034P AOP ∠=︒-∠=︒故答案为：3413. 已知是方程的两根，则代数式的值为______．【答案】【解析】【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，把两根之和与两根之积代入即可求出值．【详解】解：∵是方程的两根，故答案为：．14. 在中，的对边分别为a 、b 、c ，且满足，则的值为______．【答案】##0.8【解析】【分析】此题主要考查了非负数的性质以及解直角三角形，正确得出的值是解题关键．【详解】解：∵，∴是直角三角形，，∵中，、的对边分别为、b 、，12x x ，22310x x ++=12121x x x x ++1-12x x ，22310x x ++=121231,22x x x x ∴+=-=，121212 1.3112x x x x ∴==-++-1-ABC A B C ∠∠∠、、21236100a a c -+++-=sin B 45,,a b c 21236100a a -++=2(6)|10|0,a c ∴-+-=60,100,80,a cb ∴-=-=-=6,10,8,a cb ∴===2226810,+= ABC 90C ∠=︒ABC A ∠,B C ∠∠a c 84sin .105b Bc ∴===故答案为：．15. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）______．【答案】【解析】【分析】此题考查了求二次函数自变量的值，根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到答案．【详解】解：球弹起后又回到地面时，即，解得（不合题意，舍去），，∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2，故答案为：．16. 如图，正八边形的边长为4，以顶点A 为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________（结果保留）．【答案】【解析】【分析】先利用正八边形求出圆心角的度数，再利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：由题意，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积，正多边4520t h 2105h t t =-t 20h =20105t t =-0h =20105t t =-10t =22t =t 2ABCDEFGH AB π6π()821801358HAB -⋅︒∠==︒4AH AB ==213546360S ππ⋅==阴6π2360n r S π=形的每个内角度数为．17. 已知，若关于的一元二次方程的解为，关于的一元二次方程的解为，则的大小关系为______．（请用“”连接）【答案】【解析】【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．把看做是直线与抛物线交点的横坐标，把看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案．【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于A 、B 两点，直线与抛物线交于C 、D 两点，∵，关于x 的方程的解为，关于x 的方程的解为，∴分别是A 、B 、C 、D 的横坐标，∴，故答案为：．18. 如图，直线与相切于点Q ，点P 是上的一个动点，设，点P 到直线的距离为y ．若的半径为2，则的最大值为______．()2180n n-⋅︒0m n >>x 2230x x m +--=()1212,x x x x <x 2230x x n +--=()3434,x x x x <1234,,,x x x x <1342x x x x <<<12x x ，y m =223y x x =+-34x x ，y n =223y x x =+-y m =223y x x =+-y n =223y x x =+-0m n >>2230x x m +--=()1212,x x x x <2230x x n +--=3434,()x x x x <1234，，，x x x x 1342x x x x <<<1342x x x x <<<l O O PQ x =l O x y -【答案】1【解析】【分析】此题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练堂握性质及定理是解本题的关键．作直径，连接，证明，利用相似三角形对应边成比例可得与的二次函数解析式，进而可得的最大值．【详解】解：如图，作直径，连接，是切线，QC CP QPC PBQ V V ∽y x x y -QC CP 90,CPQ ∴∠=︒QB Q ,CQ QB ∴⊥,PB l ⊥Q ,QC PB ∴∥,CQP QPB ∴∠=∠,QPC PBQ ∴V V ∽,QP PBQC PQ∴=,,2,PQ x PB y OQ ===Q当时，有最大值是1，故答案为：1．三．解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19. （1）用配方法求二次函数的最值；（2）根据图中已知数据求中的值．【答案】（1）；（2），，【解析】【分析】本题主要考查了配方法把二次函数一般式化为顶点式、三角函数值的求法．理解相关知识点是解题关键．（1）把二次函数用配方法把一般式化为顶点式，即可得到函数最值；（2）先求出为的对边比斜边，为的邻边比斜边，为的对边比邻边，可得答案．【详解】解：（1），∵，∴抛物线开口向上，∴当时，二次函数有最小值．（2）∵，，，∴在中，4,QC ∴=,4x y x∴=21,4y x ∴=222111(2)1,444x y x x x x x ∴-=-=-+=--+2x =x y -24y x x =-Rt DEF △sin cos tan D D D 、、4-3sin 4D =cos D =tan D =DE =sin D D ∠cos A D ∠tan A D ∠()222444424y x x x x x =-=-+-=--10a =>2x =24y x x =-4-90E ∠=︒3EF =4DF =Rt DEF △DE ==∴，，20. 在中，是高，．求．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形．分别在和中，利用锐角三角函数求解即可．【详解】解：∵是高，∴，在中，，∴，∵，∴，在中，21. 为了推进“优学课堂”，张老师选择A 、B 两班进行教改实验，A 班采用原来的教学方法，B 班实施新的教学方法．实验开始前，进行一次能力测试（前测，满分25分），经过一段时间的教改实验后，再用难度、题型、总分相当的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2．表1：前测数据分数人数平均成绩A 班289931 6.5B 班25108216.4表2：后测数据3sin 4D =cos D =tan D ==ABD △AC 60,75,30B BAD AB ∠=︒∠=︒=AD Rt ABC △Rt ACD △AC 90ACB ACD ∠=∠=︒Rt ABC △60,30B AB ∠=︒=sin 30AC AB B =⨯==30BAC ∠=︒75BAD ∠=︒45CAD ∠=︒Rt ACD △cos AC AD CAD ===∠x 05x <≤510x <≤1015x <≤1520x <≤2025x <≤分数人数平均成绩A 班14161262B 班681118312.9（1）A 班有______人，B 班有______人；（2）用每组的均值计算B 班后测分数的平均数：，请按此方式计算A 班后测分数的平均数；（3）请你选择合适的统计量，对张老师的教改实验进行正面宣传（必须提出两条理由）．【答案】（1）50，46 （2） （3）见解析【解析】【分析】本题考查的是从统计表中获取信息，平均数，中位数的含义：（1）由统计表中的数据个数之和可得两个班的总人数；（2）根据加权平均数的公式计算，即可；（3）先求解前测数据的平均数，判断前测数据两个班的中位数落在哪个组，再从这两个分面比较即可．【小问1详解】解：A 班的人数为人，B 班的人数为人，故答案为：50，46【小问2详解】解：；即A 班后测分数的平均数为【小问3详解】解：从平均数看，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．从中位数看，两班前测中位数均在这一范围，后测A 班中位数在这一范围，B 班中位x 05x <≤510x <≤1015x <≤1520x <≤2025x <≤()16 2.587.51112.51817.5322.512.946B x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈9.128993150++++=251082146++++=14 2.5167.51212.5617.5222.59.150A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==9.105x <≤510x <≤数在这一范围，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新教学方法效果较好．22. 为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A ．宜兴竹海，B ．宜兴善卷洞，C ．阖闾城遗址博物馆，D ．锡惠公园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票．（1）小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A 门票的概率是_________．（2）小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A 和景区B 门票的概率．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据概率公式求解即可；（2）画出树状图，得出总的结果数和恰好抽到景区A 和景区B 门票的情况，即可求解.【小问1详解】解：∵共有4张相同的卡片且任意抽取一张卡片，记录后放回，∴每张卡片抽到的概率都是，设小明恰好抽到景区A 门票为事件，则,故答案为：；【小问2详解】解：根据题意，画树状图如下：∴一共有16种等可能的情况，恰好抽到景区A 和景区B 门票的情况有2种，的1015x <≤141814A 1()4P A =14∴他恰好抽到景区A 和景区B门票的概率为；【点睛】此题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.23. 在边长为1的正方形中，点E 在边上（不与点A 、D 重合），射线与射线交于点F ．（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质：（1）证明，可得，即可求证；（2）证明，可得，即可求解．【小问1详解】证明：∵四边形是正方形，∴， ∴，∴，∴，即，∴；【小问2详解】解：∵四边形是正方形，21168=ABCD AD BE CD 2AB AE CF =⋅13ED =DF 12ABE CFB ∽ AB AECF BC =DEF CBF ∽ DE DFBC CF=ABCD ,90,AB BC A C AB CD =∠=∠=︒∥ABE F ∠=∠ABE CFB ∽ AB AE CF BC=AB AECF AB =2AB AE CF =⋅ABCD∴，，∴，∴，∵，∴，解得：．24. 为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，车轮半径为，，，坐垫E 与点B 的距离为．（1）求坐垫E 到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E 到的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E 调整至坐骑舒适高度位置，求的长．（结果精确到．参考数据：，，）【答案】（1）坐垫到地面的距离约为 （2）的长约为【解析】【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义．（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解即可；（2）根据坐㻗到的距离调整为人体腿长的0.8时，由小明的腿长约为，求出，进而求出即可．【小问1详解】解：如图，过点作，垂足，为AD BC ∥1BC CD ==DEF CBF ∽ DE DFBC CF=13ED =1311DF DF=+12DF =AB CD l ∥∥32cm 64ABC ∠=︒60BC cm =BE 10cm CD 0.884cm E 'EE '0.1cm sin 640.90︒≈cos 640.44︒≈tan 64 2.05︒≈E 95.0cm EE ' 4.7cm E CD 84cm BE 'EE 'E EM CD ⊥M根据题意可知，，，，，在中，，所以坐垫到地面的距离为，答：坐垫到地面的距离约为；【小问2详解】如图，由题意得，当时，人骑行最舒服，在中，，所以，答：的长约为．25. 如图，已知等腰，，以为直径作交于点D ，过D 作于点E ，交延长线于点F ．（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径．【答案】（1）证明 （2【解析】【分析】本题主要考查切线的性质和判定及特殊角的三角函数的应用，掌握切线问题中的辅助线的作法是解题的关键．32cm,60cm,10cm CF BC BE ===64ABC ∠=︒AB CD l ∥∥Q 64ABC BCD ∴∠=∠=︒Rt ECM ()sin sin 64(6010)0.9063.0cm EM EC BCM EC =⋅∠=⋅︒≈+⨯=E ()63.03295.0cm EM CF +=+≈E 95.0cm 840.867.2cm E M ''=⨯=Rt E CM '' 67.267.274.7(cm)sin sin 640.9E M CE E CM '''==≈≈'∠︒()74.76010 4.7(cm)EE CE CE ''=-=-+≈EE ' 4.7cm ABC AB AC =AB O BC DF AC ⊥BA DF O CE =2CD =O（1）连接，证明，推出，即可证明结论成立；（2）连接，在中，求得利用三角形函数的定义求得，，在中，利用勾股定理列式计算求得圆的半径即可．【小问1详解】证明：连接，∵，，又，，，，，，是的切线；【小问2详解】连接，设半径为r ，在中，，，又，OD ODB C ∠=∠AC OD ∥AD Rt CED 30C ∠=︒60AOD ∠=︒Rt ADB OD AB AC =B C ∴∠=∠OB OD = B ODB ∴∠=∠ODB C ∴∠=∠AC OD ∴∥DF AC ⊥ OD DF ∴⊥DF ∴O AD O Rt CED 2CE CD == 222ED CD CE ∴=-222=-1=cos CE C CD ∠==30C ∴∠=︒，，是的直径．，，∵，∴，又，，负值已舍)．26. 如图，已知二次函数图象经过点和．（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；（2）当时，请根据图象直接写出x 的取值范围是______；（3）若关于x 的方程有且只有四个解，则的取值范围是______．【答案】（1），顶点坐标为（2）（3）【解析】【分析】本题考查二次函数的图像与性质及待定系数法求二次函数解析式，正确画出的图像是解题关键．30B ∴∠=︒60AOD ∴=︒∠AB O 90ADB ∴∠=︒12AD AB r ∴==AB AC =2CD BD ==222AD BD AB += 2222(2)r r ∴+=r ∴=2y x bx c =++(1,2)A -(0,5)B -2y ≤-20x bx c m ++-=m 225y x x =+-()1,6--31x -≤≤06m <<2y x bx c =++（1）把点和代入可得关于、的方程组，解方程组求出、的值可得二次函数解析式，配方后得出顶点式二次函数解析式即可得顶点坐标；（2）根据二次函数解析式得出对称轴为直线，根据二次函数的对称性可得出点关于对称轴对称的点的坐标，根据图像即可得答案；（3）画出，得出顶点关于轴对称的点的坐标，根据方程有且只有四个解，得出的图像与直线有4个交点，即可得答案．【小问1详解】解：∵二次函数图象经过点和，∴，解得：，∴二次函数的解析式为，∴顶点坐标为．【小问2详解】解：∵抛物线解析式为，∴对称轴为直线，∴点关于对称轴对称的点的坐标为，由图像可知，当时，取值范围是，故答案为：【小问3详解】解：画图像如图所示，的(1,2)A -(0,5)B -2y x bx c =++b c b c =1x -(1,2)A -2y x bx c =++()1,6--x 20x bx c m ++-=2y x bx c =++y m =2y x bx c =++(1,2)A -(0,5)B -125b c c ++=-⎧⎨=-⎩25b c =⎧⎨=-⎩()222516y x x x =+-=+-()1,6--()216y x =+-=1x -(1,2)A -(3,2)--2y ≤-x 31x -≤≤31x -≤≤2y x bx c =++∵二次函数的顶点坐标为，∴顶点关于轴对称的点的坐标为，∵关于x的方程有且只有四个解，∴的图像与直线有4个交点，∴的取值范围是：．故答案为：27. 某水果批发公司以9元/千克的成本从果园购进10000千克苹果，在运输过程中，有部分苹果损坏，该公司对刚运到的苹果进行随机抽查，并得到如图的“苹果损坏率”统计图．由于市场调节，苹果（只售好的苹果）的售价与日销售量之间有一定的变化规律，如下表是近一段时间该水果公司的销售记录．苹果的售价（元/千克）1415161718苹果的日销售量（千克）1000950900850800（1）估计购进的10000千克苹果中完好的苹果的总重量为______千克，此时公司应将售完这批完好的苹果的成本调整为______元/千克；（2）按此市场调节的规律来看，若苹果的售价定为16.5元/千克，估计日销售量并说明理由；2y x bx c =++()1,6--x ()1,6-20x bx c m ++-=2y x bx c =++y m =m 06m <<06m <<（3）考虑到该水果公司的储存条件，该公司打算12天内售完这批苹果（只售完好的苹果），且售价保持不变，求该公司每日销售该苹果可能达到的最大利润，并说明理由．【答案】（1）9000（2）特级苹果的售价定为16.5元千克，日销售量是875千克．理由见解析（3）该公司每日销售该苹果可能达到的最大利润为6750元．理由见解析【解析】【分析】本题考查了利用频率估计概率，求一次函数解析式，二次函数的实际应用：（1）根据“苹果损坏率”统计图即可得出苹果损坏的概率，进而可求出苹果完好的概率，再利用苹果的总质量苹果完好的概率，即可得出答案．（2）由表格数据可知，销量与售价的函数关系式为一次函数，设，再由待定系数法求出函数表达式，然后代入，求出值即可；（3）根据12天内售完这批特级苹果及总销量天数日销量，列出不等式，求出的取值范围，设利润为w 元，然后根据总利润（单价成本）日销量，即可得出关于利润w 与售价x 的二次函数关系式，然后根据二次函数的增减性解题即可．【小问1详解】解：“苹果损坏率”统计图可知，苹果损坏率在0.1上下波动，并趋于稳定，所以，估计10000千克特级苹果中完好的苹果的总重量为：（千克），（元/千克）；故答案为：9000；10．【小问2详解】特级苹果的售价定为16.5元千克，日销售量是875千克．理由如下：解：设特级苹果的售价为x 元/千克，日销售量是y 千克，由表格可知，销量与售价的函数关系式为一次函数，设 ，把代入得：，解得∶ ，∴，当时，，∴特级苹果的售价定为16.5元千克，日销售量是875千克．()0y kx b k =+≠16.5x ==⨯=-⨯()1000010.19000⨯-=()910000900010⨯÷=()0y kx b k =+≠()()14,1000,15,95014100015950k b k b +=⎧⎨+=⎩501700k b =-⎧⎨=⎩501700y x =-+16.5x =5016.51700875y =-⨯+=【小问3详解】解：该公司每日销售该苹果可能达到的最大利润为6750元．理由如下：∵12天内售完这批特级苹果，∴，解得：，设该公司每日销售该特级苹果的利润为w 元，根据题意得：，∵，顶点坐标为，∴w 的抛物线开口向下，对称轴为直线，又∵，∴w 随着x 的增大而增大，∴当时，w 取最大值，最大值为（元），答：该公司每日销售该特级苹果可能达到的最大利润是6750元．28. 如图，在中，，为锐角且，点P 是边上的一动点，点C 绕点P 按逆时针方向旋转得点．（1）如图1，当点C 落在射线上时，求的长；（2）如图2，当点落在射线上时，求的长；（3）若点D 与点C 同时绕点P 按逆时针方向旋转，点D 的对应点为，当直角三角形()125017009000x -+≥19x ≤()()()21050170050227200w x x x =--+=--+500-<()22,720022x =19x ≤19x =()250192272006750-⨯-+=ABCD Y 1210AB AD ==，B ∠4sin 5B =AB 90︒C 'BA BP C 'CA BP 90︒D ¢AC D ''△时，求的长．【答案】（1）6 （2） （3）或或．【解析】【分析】（1）由正弦定义得到，则，再由勾股定理即可求出答案；（2）作于点，由（1）得，，，，作交延长线于点，则，证明，则设，则．证明，则，即，解得x 的值，即可得到答案；（3）由旋转得，，又因为，所以．再分三种情况进行求解即可，【小问1详解】在中，，∴，∵点C 绕点P 按逆时针方向旋转得点．点C 落在射线上∴，∵，∴，∴，BP 34768+845PC BC =485CP BC ==CH BA ⊥H 6BH =8CH =6AH =C Q BA '⊥BA Q 90CHP PQC ∠'=∠=︒()AAS PQC CHP ' ≌BP x =8,6,4PQ CH C Q PH x QA PQ PA x ====-=-=-'AQC AHC '△∽△C Q QA CH HA ='6486x x --=,PCD PC D CD C D '''='△≌△CD C D ⊥''AB CD C D AB ''⊥ABCD Y 1210AB AD ==，1210CD AB AD BC ====，90︒C 'BA 90BPC CPC '∠=∠=︒4sin 5B =45PC BC =485CP BC ==∴；【小问2详解】作于点，由（1）得，，，则，作交延长线于点，则，∴．∵∴．由旋转知，∴．设，则．∵，∴，∴，∴，即，∴，∴．【小问3详解】6BP ===CH BA ⊥H 6BH ==485CH BC ==1266AH =-=C Q BA '⊥BA Q 90CHP PQC ∠'=∠=︒90C PQ PC Q '∠+∠='︒90C PQ CPH ∠+∠='︒PC Q CPH ∠=∠'PC PC '=()AAS PQC CHP ' ≌BP x =8,6,4PQ CH C Q PH x QA PQ PA x ====-=-=-',C Q AB CH AB '⊥⊥C Q CH '∥AQC AHC '△∽△C Q QA CH HA ='6486x x --=347x =347BP =由旋转得，，又因为，所以．情况一：当以为直角顶点时，如图．∵，∴落在线段延长线上．∵，∴，由（1）知，，∴．情况二：当以为直角顶点时，如图．,PCD PC D CD C D '''='△≌△CD C D ⊥''AB CD C D AB ''⊥C 'C D AB ''⊥C 'BA PC PC ⊥'PC AB ⊥8PC =6BP =A设与射线的交点为，作于点．∵，∴，∵，∴，∴．又∵，∴，∴．设，则，∴∵，∴，∴，∴，∴，∴，化简得，解得∴．C D ''BA T CHAB ⊥H PC PC ⊥'90CPH TPC ∠'+∠=︒C D AT ''⊥90PC T TPC ∠'+∠='︒CPH PC T ∠=∠'90,CHP PTC PC C P ∠=∠=='︒'()AAS CPH PC T '△≌△,8C T PH PT CH '===C T PH t '==6AP t =-2AT PT PA t=-=+90,C AD C D AB ∠=︒''⊥''90D AT C AT AC T '''∠=︒-∠=∠ATD C TA '' ∽AT C T TD TA=''2AT C T TD '=⋅'()2(2)12t t ι+=-2420t t -+=2t =±8BP BH HP =+=±情况三：当以为直角顶点时，点落在的延长线上，不符合题意．综上所述，或或．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、正弦的定义、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、解一元二次方程等知识，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的基础，利用分类讨论和数形结合是解题的关键．D ¢P BA 6BP=8+8-。

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）1．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0没有实数根，则实数m 的取值是( ) A ．m ＜1B ．m ＞﹣1C ．m ＞1D ．m ＜﹣12．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(如图1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形. 图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图.图1 图2有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形②图1中，点A 到BC 上任意一点的距离都相等 ③图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④3．某农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每亩产量的两组数据，其方差分别为2=0.03S 甲，2=0.01S 乙，则 （ ） A ．甲比乙的产量稳定 B ．乙比甲的产量稳定C ．甲、乙的产量一样稳定D ．无法确定哪一品种的产量更稳定4．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A （2，4），过点A 作AB ⊥x 轴于点B ．将△AOB 以坐标原点O 为位似中心缩小为原图形的12，得到△COD ，则CD 的长度是（ ）A ．2B ．1C ．4D ．255．已知关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（ ） A ．4B ．2C ．1D ．﹣46．在平面直角坐标系中，对于二次函数()221y x =-+，下列说法中错误的是（ ） A ．y 的最小值为1B ．图象顶点坐标为()21，，对称轴为直线2x =C ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x ≥时，y 的值随x 值的增大而减小D ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而减小，当2x ≥时，y 的值随x 值的增大而增大 7．方程x （x ﹣1）＝0的根是（ ） A ．0B ．1C ．0或1D ．无解8．如图，在ABC △中，DE BC ∥，且DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若:=2:3AD AB ，则△ADE 和△ABC 的面积之比等于（ ）A ．2:3B ．4:9C ．4:5D ．2:39．如图，已知AE 是O 的直径，40B ∠=︒，则CAE ∠的度数为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒10．下列命题中正确的是（ ） A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互 相垂直的四边形是菱形C ．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 11．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为（ ） A ．2πB ．πC ．6π D ．3π 12．如图，在平面直角坐标系内，四边形OABC 是矩形，四边形ADEF 是正方形，点A ，D 在x 轴的正半轴上，点F 在BA 上，点B 、E 均在反比例函数y ＝kx（k≠0）的图象上，若点B 的坐标为(1，6)，则正方形ADEF 的边长为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，有一张直径（BC ）为1.2米的圆桌，其高度为0.8米，同时有一盏灯A 距地面2米，圆桌的影子是DE ，AD 和AE 是光线，建立图示的平面直角坐标系，其中点D 的坐标是（2，0）．那么点E 的坐标是____．14．方程23x x =的根是__________．15．若关于x 的方程x 2+2x ﹣m ＝0（m 是常数）有两个相等的实数根，则反比例函数y ＝mx经过第_____象限． 16．已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋x ＋k 2－1＝0有一个根为0，则k 的值为________． 17．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同，则该商品每次降价的百分率为_____．18．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22，若把Rt △ABC 绕边AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为________(结果保留π)．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，⊙O 的弦AB 、CD 的延长线相交于点P ，且AB ＝CD ．求证PA ＝PC ．20．（8分）测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC 的屋顶有一根旗杆AB ，从地面上D 点处观测旗杆顶点A 的仰角为50°，观测旗杆底部B 点的仰角为45°(参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2)． (1)若已知CD ＝20米，求建筑物BC 的高度；(2)若已知旗杆的高度AB ＝5米，求建筑物BC 的高度．21．（8分）甲、乙两名同学5次数学练习（满分120分）的成绩如下表：（单位：分） 测试日期 11月5日 11月20日 12月5日 12月20日 1月3日 甲 96 97 100 103 104 乙10095100105100已知甲同学这5次数学练习成绩的平均数为100分，方差为10分2.（1）乙同学这5次数学练习成绩的平均数为 分，方差为 分2；（2）甲、乙都认为自已在这5次练习中的表现比对方更出色，请你分别写出一条支持他们俩观点的理由. 22．（10分）已知关于x 的方程222(1)0x m x m -++=（1）当m 取何值时，方程有两个实数根；（2）为m 选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根． 23．（10分）如图，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交AB 于C ，交弦AB 于D ． (1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)； (2)若AB ＝24cm ，CD ＝8cm ，求(1)中所作圆的半径.24．（10分）制作一种产品，需先将材料加热达到60 ℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15 ℃，加热5分钟后温度达到60 ℃．（1）求将材料加热时，y与x的函数关系式；（2）求停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；（3）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么操作时间是多少？25．（12分）如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．（精确到0.1m）26．先化简，再求值：（1+2a1-）÷2211a aa++-，其中a＝1．参考答案一、选择题（每题4分，共48分） 1、C【解析】试题解析：关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=没有实数根，()224241440b ac m m ∆=-=--⨯⨯=-<，解得： 1.m > 故选C ． 2、B【分析】逐一对选项进行分析即可.【详解】①勒洛三角形不是中心对称图形，故①错误； ②图1中，点A 到BC 上任意一点的距离都相等，故②正确； ③图2中，设圆的半径为r ∴勒洛三角形的周长=12032180rr ππ⨯= 圆的周长为2r π∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故③正确；④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故④错误 故选B 【点睛】本题主要考查中心对称图形，弧长公式等，掌握中心对称图形和弧长公式是解题的关键. 3、B【分析】由2=0.03S 甲，2=0.01S 乙，可得到2S 乙＜2S 甲，根据方差的意义得到乙的波动小，比较稳定． 【详解】∵2=0.03S 甲，2=0.01S 乙， ∴2S 乙＜2S 甲， ∴乙比甲的产量稳定． 故选：B ． 【点睛】本题考查了方差的意义：方差反映一组数据在其平均数左右的波动大小，方差越大，波动就越大，越不稳定，方差越小，波动越小，越稳定． 4、A【解析】直接利用位似图形的性质结合A 点坐标可直接得出点C 的坐标，即可得出答案．【详解】∵点A （2，4），过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，将△AOB 以坐标原点O 为位似中心缩小为原图形的12，得到△COD ，∴C （1，2），则CD 的长度是2， 故选A ．【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．5、A【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c 的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：∵方程240x x c -+=有两个相等的实数根， ∴2(4)411640c c =--⨯⨯=-=，解得：4c =． 故选A ． 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c 的一元一次方程是解题的关键． 6、C【分析】根据()221y x =-+，可知该函数的顶点坐标为（2,1），对称轴为x=2，最小值为1，当x<2时，y 随x 的增大而减小，当x≥2时，y 随x 的增大而增大，进行判断选择即可.【详解】由题意可知，该函数当x<2时，y 随x 的增大而减小，当x≥2时，y 随x 的增大而增大，故C 错误，所以答案选C. 【点睛】本题考查的是一元二次函数顶点式的图像性质，能够根据顶点式得出其图像的特征是解题的关键. 7、C【分析】解一元二次方程时，需要把二次方程化为两个一元一次方程，此题可化为：0x =或10x -=，解此两个一次方程即可. 【详解】()10x x -=，∴0x =或10x -=，∴ 10x =，21x =.故选C . 【点睛】此题虽不难，但是告诉了学生求解的一个方法，高次的要化为低次的，多元得要化为一元的. 8、B 【解析】由DE ∥BC ，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠ADE=∠ABC ，∠AED=∠ACB ，进而可得出△ADE ∽△ABC ，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出结论． 【详解】∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠ABC ，∠AED=∠ACB ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴249ADE ABCS AD SAB ==（）． 故选B ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 9、B【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠E=∠B=40°，再根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACE=90°，最后根据直角三角形两锐角互余可得结论．【详解】∵在⊙O 中，∠E 与∠B 所对的弧是AC ， ∴ ∠E=∠B=40°， ∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ACE=90°，∴∠AEC=90°-∠E=90°-40°=50°， 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及直径所对的圆周角是直角和直角三角形两锐角互余等知识，求出∠E=40°，是解此题的关键． 10、C【解析】试题分析：A 、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A 选项错误； B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 选项错误；C 、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C 选项正确；D 、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以D 选项错误． 故选C ．考点：命题与定理．11、D【解析】试题分析：根据弧长公式知：扇形的弧长为601= 1803ππ⨯．故选D．考点：弧长公式．12、B【分析】由点B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，设正方形ADEF的边长为a，由此即可表示出点E的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】∵点B的坐标为(1，1)，反比例函数ykx=的图象过点B，∴k=1×1=1．设正方形ADEF的边长为a(a＞0)，则点E的坐标为(1+a，a)．∵反比例函数ykx=的图象过点E，∴a(1+a)=1，解得：a=2或a=﹣3(舍去)，∴正方形ADEF的边长为2．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及正方形的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出关于a的一元二次方程是解答本题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、（4，0）【分析】如图延长CB交y轴于F，由桌面与x轴平行△AFB∽△AOD，求FB=1.2，由△AFC∽△AOE，可求OE即可．【详解】如图，延长CB交y轴于F，∵桌面与x轴平行即BF∥OD，∴△AFB∽△AOD，∵OF=0.8，∴AF=AO-OF=2-0.8=1.2， ∵OA=OD=2，则AF=FB=1.2，BC =1.2，FC=FB+BC=1.2+1.2=2.4， ∵FC ∥x 轴， ∴△AFC ∽△AOE ，∴AF FC=AO OE， ∴AO FC 2 2.4OE==AF 1.2⨯=4， E （4，0）． 故答案为：（4，0）．．【点睛】本题考查平行线截三角形与原三角形相似，利用相似比来解，关键是延长CB 与y 轴相交，找到了已知与未知的比例关系从而解决问题． 14、10x =，23x =【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x ，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题． 【详解】解：x 2＝3x x 2﹣3x ＝0 即x （x ﹣3）＝0 ∴10x =，23x =故本题的答案是10x =，23x =． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法． 15、二，四【分析】关于x 的方程有唯一的一个实数根，则△＝0可求出m 的值，根据m 的符号即可判断反比例函数y ＝mx经过【详解】解：∵方程x2+2x﹣m＝0（m是常数）有两个相等的实数根，∴△＝22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＝0，∴m＝﹣1；∴反比例函数y＝mx经过第二，四象限，故答案为：二，四．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系以及反比例函数的图象，利用根的判别式求出m的值是解此题的关键16、－1【解析】把x=0代入方程得k2-1=0，解得k=1或k=-1，而k-1≠0，所以k=-1，故答案为：-1．17、10%【解析】设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1-降价百分比）的平方”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．【详解】设该种商品每次降价的百分率为x%，依题意得：400×（1-x%）2=324，解得：x=10，或x=190（舍去）．答：该种商品每次降价的百分率为10%．故答案为：10%【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据数量关系得出关于x的一元二次方程．18、【分析】过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ABC中，求出AB长，继而求得CD长，继而根据扇形面积公式进行求解即可．【详解】过点C作CD⊥AB于点D，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴AC=4，以CD为半径的圆的周长是：4π．故直线旋转一周则所得的几何体得表面积是：2×12×4π×22=82π．故答案为82π．【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确求出旋转后圆锥的底面圆半径是解题的关键．三、解答题（共78分）19、见解析.【分析】连接AC，由圆心角、弧、弦的关系得出AB CD=，进而得出AD CB=，根据等弧所对的圆周角相等得出∠C＝∠A，根据等角对等边证得结论．【详解】解：如图，连接AC.∵AB CD=，∴AB CD=.∴AB BD CD DB+=+，即AD CB=.∴C A∠=∠.∴PA PC=.【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．20、(1) 20米；(2) 25米．【分析】（1）∠BDC=45°，可得DC=BC=20m，；（2）设DC=BC=xm ，可得tan50°=5=AC x DC x +≈1.2，解得x 的值即可得建筑物BC 的高． 【详解】解：（1）∵∠BDC=45°，∴DC=BC=20m ，答：建筑物BC 的高度为20m ；（2）设DC=BC=xm ，根据题意可得：tan50°=5=AC x DC x+≈1.2， 解得：x=25，答：建筑物BC 的高度为25m ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用． 21、（1）100，10；（2）答案不唯一，如：甲的数学成绩逐渐进步，更有潜力；乙的数学成绩在100分以上（含100分）的次数更多.【分析】（1）根据平均数公式和方差公式计算即可；（2）通过成绩逐渐的变化情况或100分以上（含100分）的次数分析即可．【详解】解：（1）x 乙=()1100951001051001005⨯++++= 2s 乙=()()()()()22222110010095100100100105100100100105⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦ 故答案为：100，10；（2）答案不唯一，如：甲的数学成绩逐渐进步，更有潜力；乙的数学成绩在100分以上（含100分）的次数更多．【点睛】此题考查的是求平均数和方差，掌握平均数公式和方差公式是解决此题的关键．22、（1）m≥—12；（2）x 1=0,x 2=2. 【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△＝b2−4ac ≥0，从而建立关于m 的不等式，求出实数m 的取值范围． （2）答案不唯一，方程有两个不相等的实数根，即△＞0，可以解得m ＞−12，在m ＞−12的范围内选取一个合适的整数求解就可以．【详解】解:(1)△=[-2（m+1)]²-4×1×m² =8m+4∵方程有两个实数根∴△≥0，即8m+4≥0解得，m≥-1 2（2）选取一个整数0，则原方程为，x²-2x=0 解得x1=0,x2=2.【点睛】此题主要考查了根的判别式，以及解一元二次方程，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．23、（1）答案见解析；（2）13cm【分析】（1）根据垂径定理，即可求得圆心；（2）连接OA，根据垂径定理与勾股定理，即可求得圆的半径长．【详解】解：（1）连接BC，作线段BC的垂直平分线交直线CD与点O，以点O为圆心，OA长为半径画圆，圆O即为所求；（2）如图，连接OA∵OD⊥AB∴AD=12AB=12cm设圆O半径为r，则OA=r，OD=r-8直角三角形AOD中，AD2+OD2=OA2∴122+(r-8)2=r2∴r=13∴圆O半径为13cm【点睛】本题考查了垂径定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握圆中任意两条弦的垂直平分线的交点即为圆心.24、（1）y =9x +15；（2）y =300x ；（3）15分钟 【解析】（1）设加热时y=kx+b （k≠0），停止加热后y=a/x （a≠0），把b=15,(5,60)代入求解（2）把y=15代入反比例函数求得25、11.3m.【分析】连接OC ，求出OC 和OE ，根据勾股定理求出CE ，根据垂径定理求出CD 即可．【详解】连接OC ，求出OC 和OE ，根据勾股定理求出CE ，根据垂径定理求出CD 即可．【解答】解：如图，连接OC ，AB 交CD 于E ，由题意知：AB ＝1.6+6.4+4＝12，所以OC ＝OB ＝6，OE ＝OB ﹣BE ＝6﹣4＝2，由题意可知：AB ⊥CD ，∵AB 过O ，∴CD ＝2CE ，在Rt△OCE 中，由勾股定理得：CE ＝22226242OC OE -=-=，∴CD ＝2CE ＝82≈11.3m ，所以路面CD 的宽度为11.3m ．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，能求出CE 的长是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．26、化简为11a +，值为13 【分析】先将分式化简,再把值代入计算即可．【详解】原式＝()21111a a a a +-⨯-+ ＝11a +， 当a ＝1时，原式＝11 213=+．【点睛】本题考查分式的化简求值,关键在于熟练掌握化简方法．。