考研数学基础测试一(答案)

全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()nii X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a． 【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k kn n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②，令'0y =，得233,1x x ==±.当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=，令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，()lim 0,'(0)0,x f x f x +→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。

2021年考研数一真题及答案解析(完整版)2022年考研数一真题与答案解析数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.〔1〕B〔2〕D〔3〕D〔4〕B 〔5〕B 〔6〕A 〔7〕〔B 〕 〔8〕〔D 〕二、填空题：9-14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 〔9〕012=---z y x 〔10〕11=-)(f〔11〕12+=x xyln 〔12〕π 〔13〕[-2,2] 〔14〕25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 〔15〕【答案】2121111111110202211212112=-=--=--=--=--=+--++→→+∞→+∞→+∞→+∞→⎰⎰⎰u e lim u u e lim x )e (x lim ,xu x)e (x lim xtdtdt t )e (lim)xln(x dt ]t )e (t [limu u u u x x xx xx xxx 则令（16）【答案】020*********=+=+='++'⋅++')x y (y xy y y x xy y y x y y yx y )(y 20-==或舍。

xy 2-=时，21106606248062480633333223223-==⇒==+-=+-+-=+-⋅+⋅+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y4914190141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''⋅+'⋅+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y (所以21-=)(y 为极小值。

2023年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及答案考试时间：180分钟，满分：150分一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．（1）曲线1ln()1yx e x =+−的斜渐近线方程为（ ） （A）y x e =+ （B）1y x e=+（C）y x = （D）1y x e=−【答案】B 【解析】1limlimln()11x x y ke x x →∞→∞==+=−，11lim()lim()lim[ln(]lim [ln(ln ]11x x x x b y kx y x x e x x e e x x →∞→∞→∞→∞=−==−=+−=+−−−111lim ln(1lim (1)(1)x x x x e x e x e→∞→∞=+==−−，所以渐进线方程为1y x e =+，答案为B（2）若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（ ） （A ）0,0a b <>（B ）0,0a b >>（C ）0,0ab =>（D ）0,0ab =<【答案】C 【解析】0y ay by ′′′++=的解一共三种情形：①240a b Δ=−>，1212x xy C e C e λλ=+，但此时无论12,λλ取何值，y 在(,)−∞+∞上均无界；②240a b Δ=−=，12()xy C C x eλ=+，但此时无论λ取何值，y 在(,)−∞+∞上均无界；③240a b Δ=−<，12(cos sin )xy e C x C x αββ=+，此时若y 在(,)−∞+∞上有界，则需满足0α=，所以0,0a b =>，答案为（C）（3）设函数()y f x =由2sin x t ty t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则（ ） （A）()f x 连续，(0)f ′不存在（B）(0)f ′不存在，()f x ′在0x =处不连续（C）()f x ′连续，(0)f ′′不存在（D）(0)f ′′存在，()f x ′′在0x =处不连续【答案】C【解析】当0t =时，有0x y ==①当0t >时，3sin x t y t t=⎧⎨=⎩，可得sin 33x xy =，故()f x 右连续；②当0t <时，sin x ty t t=⎧⎨=−⎩，可得sin y x x =−，故()f x 左连续，所以()f x 连续；因为0sin 033(0)lim 0x x x y x ++→−′==；0sin 0(0)lim 0x x x y x −−→−−′==，所以(0)0f ′=；③当0x >时，1sin sin cos 333393x x x x x y ′⎛⎫′==+ ⎪⎝⎭，所以0lim ()0x y x +→′=，即()f x ′右连续；④当0x <时，()sin sin cos y x x x x x ′′=−=−−，所以0lim ()0x y x −→′=，即()f x ′左连续，所以()f x ′连续；考虑01sin cos 23393(0)lim 9x x x xf x ++→+′′==；0sin cos (0)lim 2x x x x f x −−→−−′′==−，所以(0)f ′′不存在，答案为C（4）已知(1,2,)nn a b n <= ，若级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑均收敛，则“1n n a ∞=∑绝对收敛”是“1n n b ∞=∑绝对收敛”的（ ）（A ）充分必要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为级数1nn a ∞=∑与1nn b ∞=∑均收敛，所以正项级数1()nn n ba ∞=−∑收敛又因为()()n n n n n n n n n nb b a a b a a b a a =−+≤−+=−+所以，若1nn a∞=∑绝对收敛，则1n n b ∞=∑绝对收敛；同理可得：()()n n n n n n n n n na ab b a b b b a b =−+≤−+=−+所以，若1nn b ∞=∑绝对收敛，则1nn a∞=∑绝对收敛；故答案为充要条件，选（A）（5）已知n 阶矩阵A ，B ，C 满足ABC O =，E 为n 阶单位矩阵，记矩阵OA BC E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，ABC O E ⎛⎫⎪⎝⎭，E AB AB O ⎛⎫⎪⎝⎭的秩分别为123,,r r r ，则（ ） （A ）123r r r ≤≤（B ）132r r r ≤≤（C ）321r r r ≤≤（D ）213r r r ≤≤【答案】B【解析】根据初等变换可得：OA O O O O BC E BC E O E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎯⎯→⎯⎯→⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭行列，所以1r n =；AB C AB O O E O E ⎛⎫⎛⎫⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭行，所以2()r n r AB =+；2()E AB E O E O AB O AB ABAB O AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎯⎯→⎯⎯→ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭行列，所以23()r n r AB ⎡⎤=+⎣⎦；又因为20()()r AB r AB ⎡⎤≤≤⎣⎦，所以132r r r ≤≤（6）下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是（）（A ）11022003a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）1112003a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）11020002a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）11022002a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】（A ）特征值互异，则可对角化；（B ）为实对称矩阵，必可对角化； 选项（C ），特征值为1，2，2，且特征值2的重数（代数重数）2(2)312n r E A =−−=−=（几何重数），故矩阵可对角化；选项（D ），特征值为1，2，2，且特征值2的重数（代数重数）2(2)321n r E A ≠−−=−=（几何重数），故矩阵不可对角化；（7）已知向量1123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2211α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1259β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101β⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，若γ既可由12,αα线性表示，也可由12,ββ线性表示，则γ=（ ）（A ）33,4k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）11,2k k R −⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】令γ11221122k k l l ααββ=+=+，则有112211220k k l l ααββ+−−=，即12121212(,)0k k l l ααββ⎛⎫ ⎪ ⎪−−= ⎪ ⎪⎝⎭而121212211003(,)2150010131910011ααββ−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−=−→− ⎪ ⎪⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭所以1212(,,,)(3,1,1,1),TT k k l l c c R =−−∈，所以12(1,5,8)(1,5,8),T T c c c k k R γββ=−+=−=∈，答案为D（8）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则()E X EX −=（ ）（A）1e（B）12（C）2e（D）1【答案】C【解析】因为(1)X P ，所以1EX =，()()1110022112(1)(1)!0!!k k e e e E X EX E X k k E X k k e e−−−∞∞==−=−=−=+−=+−=∑∑，答案为C（9）设12,,,n X X X 为来自总体21(,)N μσ的简单随机样本，12,,,m Y Y Y 为来自总体22(,2)N μσ的简单随机样本，且两样本相互独立，记11n i i X X n ==∑，11m i i Y Y m ==∑，22111()1n i i S X X n ==−−∑， 22211()1mi i S Y Y m ==−−∑，则（ ） （A）2122(,)S F n m S （B）2122(1,1)S F n m S −−（C）21222(,)S F n m S （D）21222(1,1)S F n m S −− 【答案】D【解析】由正态分布的抽样性质可得，2212(1)(1)n S n χσ−− ，2222(1)(1)2m S m χσ−− 又因为2212,S S 相互独立，所以212222(1)1(1,1)(1)21n S n F n m m S m σσ−−−−−− ，即21222(1,1)S F n m S −− ，答案为D （10）设12,X X 为来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，其中(0)σσ>是未知参数，记12a X X σ=−,若()E σσ=，则a =（ ）（A）2π（B）2π【答案】A【解析】由已知可得，令212(0,2)Z X X N σ=− ，所以22221212()()()z Z E E a X X aE X X aE Z az f z dz a dzσσ−+∞+∞⋅−∞−∞=−=−===⎰⎰2222440z z a zdz aσσ−−+∞+∞==−=⎰若()E σσ=，则有2a π=，答案为A二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上． （11）当0x →时，函数2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()cos x g x e x =−是等价无穷小，则ab =________【答案】2−【解析】由已知可得：2222200022221(())()ln(1)2lim lim lim 1()cos (1())(1())2x x x x ax bx x x o x f x ax bx x g x e x x o x x o x →→→++−++++==−++−−+220221(1)(()2lim 13()2x a x b x o x x o x →++−+==+所以1310,22a b +=−=，即1,2a b =−=,所以2ab =− （12）曲面222ln(1)z x y x y =++++在点(0,0,0)处的切平面方程为________【答案】20x y z +−=【解析】两边微分可得，222221xdx ydydz dx dy x y +=++++，代入(0,0,0)得2dz dx dy =+，因此法向量为(1,2,1)−，切平面方程为20x y z +−=（13）设()f x 是周期为2的周期函数，且()1,[0,1]f x x x =−∈，若01()cos 2n n a f x a n x π∞==+∑，则21nn a∞==∑_________【答案】0【解析】由已知得01(0)12n n a f a ∞==+=∑，01(1)(1)02n n n a f a ∞==+−=∑ 相加可得021(0)(1)21nn f f a a∞=+=+=∑显然()f x 为偶函数，则(0,1,2,)n a n = 为其余弦级数的系数，故1002()1a f x dx ==⎰，因此210n n a ∞==∑.（14）设连续函数()f x 满足：(2)()f x f x x +−=，2()0f x dx =⎰，则31()f x dx =⎰_______【答案】12【解析】323211121()()()()(2)f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx=+=++⎰⎰⎰⎰⎰[]2121111()()()022f x dx f x x dx f x dx xdx =++=+=+=⎰⎰⎰⎰（15）已知向量11011α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21101α−⎛⎫ ⎪− ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，30111α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪− ⎪⎝⎭，1111β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭，112233k k k γααα=++，若(1,2,3)T T i i i γαβα==，则222123k k k ++=_______【答案】119【解析】由已知可得，123,,ααα两两正交，通过计算可得：11113TT k γαβα=⇒=；2221T T k γαβα=⇒=−；33213T T k γαβα=⇒=−，则222123k k k ++=119（16）设随机变量X 与Y 相互独立，且1(1,3X B ，1(2,2Y B ，则{}P X Y ==________ 【答案】13【解析】212211111{}{0}{1}(323223P X Y P X Y P X Y C ====+===⋅+⋅⋅=三、解答题：17～22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设曲线:()(0)L y y x x =>经过点(1,2)，该曲线上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距（1）求()y x ；（2）求函数1()()xf x y t dt =⎰在(0,)+∞上的最大值【答案】（1）()(2ln )y x x x =− （2）454e −【解析】（1）曲线L 上任一点(,)P x y 处的切线方程为()Y y y X x ′−=−，令0X =，则y 轴上的截距为Y y xy ′=−，由题意可得x y xy ′=−，即11y y x′−=−，解得(ln )y x C x =−，其中C 为任意常数，代入(1,2)可得2C =，从而()(2ln )y x x x =−（2）()(2ln )f x x x ′=−，显然在2(0,)e 上()0f x ′>，()f x 单调递增；在2(,)e +∞上()0f x ′<，()f x 单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上的最大值为22422211515()(2ln )ln 424e e ef e t t dt t t t −⎛⎫=−=−=⎪⎝⎭⎰（18）（本题满分12分）求函数23(,)()()f x y y x y x =−−的极值【答案】极小值为2104(,)327729f =−【解析】先求驻点42235(32)020xy f x x x y f y x x ⎧′=−+=⎪⎨′=−−=⎪⎩，解得驻点为(0,0)，(1,1)，210(,327下求二阶偏导数，3220(62)322xx xy yyf x x yf x xf ⎧′′=−+⎪⎪′′=−−⎨⎪′′=⎪⎩①对于点(0,0)，(0,0)0f =，5(,0)f x x =，由定义可得(0,0)不是极值点；②代入点(1,1)，解得1252xxxy yy A f B f C f ⎧′′==⎪⎪′′==−⎨⎪′′==⎪⎩，210AC B −=−<，所以(1,1)不是极值点；③代入点210(,)327，解得10027832xx xy yyA fB fC f ⎧′′==⎪⎪⎪′′==−⎨⎪⎪′′==⎪⎩，2809AC B −=>且0A >，所以210(,)327是极小值点，极小值为2104(,)327729f =−（19）（本题满分12分）设空间有界区域Ω由柱面221x y +=与平面0z =和1x z +=围成，Σ为Ω的边界曲面的外侧，计算曲面积分2cos 3sin I xzdydz xz ydzdx yz xdxdy Σ=++⎰⎰【答案】54π【解析】由高斯公式可得，2cos 3sin (2sin 3sin )I xzdydz xz ydzdx yz xdxdy z xz y y x dvΣΩ=++=−+⎰⎰⎰⎰⎰ 因为Ω关于平面xoz 对称，所以(sin 3sin )0xz y y x dv Ω−+=⎰⎰⎰所以1222022(1)(:1)xyxyxxy D D I zdv dxdy zdz x dxdyD x y −Ω===−+≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22221(21)()2xyxyxyD D D x x dxdy x dxdy x y dxdy ππ=−+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2130015244d r dr πππθππ=+=+=⎰⎰（20）（本题满分12分）设函数()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数，证明： （1）若(0)0f =，则存在(,)a a ξ∈−，使得21()[()()]f f a f a aξ′′=+−（2）若()f x 在(,)a a −内取得极值，则存在(,)a a η∈−，使得21()()()2f f a f a aη′′≥−−【答案】（1）利用泰勒公式在0x =处展开，再利用介值性定理； （2）利用泰勒公式在极值点处展开，再利用基本不等式进行放缩；【解析】（1）在0x =处泰勒展开，22()()()(0)(0)(0)2!2!f c f c f x f f x x f x x ′′′′′′=++=+， 其中c 介于0与x 之间；代入两个端点有：211()()(0),(0,)2!f f a f a a a ξξ′′′=+∈222()()(0)(),(,0)2!f f a f a a a ξξ′′′−=−+∈− 两式相加可得：212()()()()2f f f a f a a ξξ′′′′++−=即122()()1[()()]2f f f a f a a ξξ′′′′++−= 因为()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数，所以()f x ′′存在最大值M 与最小值m ， 根据连续函数的介值性定理可得，12()()2f f m M ξξ′′′′+≤≤，所以存在(,)a a ξ∈−，使得12()()()2f f f ξξξ′′′′+′′=，即21()[()()]f f a f a a ξ′′=+−成立；（2）若()f x 在(,)a a −内取得极值，不妨设0x 为其极值点，则由费马引理可得，0()0f x ′=将()f x 在0x 处泰勒展开，22000000()()()()()()()()()2!2!f d f d f x f x f x x x x x f x x x ′′′′′=+−+−=+−其中d 介于0x 与x 之间； 代入两个端点有：210010()()()(),(,)2!f f a f x a x x a ηη′′=+−∈ 220020()()()(),(,)2!f f a f x a x a x ηη′′−=+−−∈−两式相减可得：221200()()()()()()22f f f a f a a x a x ηη′′′′−−=−−−−所以22120022()()11()()()()2222f f f a f a a x a x a a ηη′′′′−−=−−−− 22102021[()()()()]4f a x f a x aηη′′′′≤−++，记112()max[(),()]f f f ηηη′′′′′′=， 又因为22220000()()[()()]4a x a x a x a x a −++≤−++=，所以21()()()2f a f a f a η′′−−≤成立 （21）（本题满分12分）已知二次型2221231231213(,,)2222f x x x x x x x x x x =+++−，22212312323(,,)2g y y y y y y y y =+++（1）求可逆变换x Py =，将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y ； （2）是否存在正交变换x Qy =将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y ?【答案】（1）111010001P −⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭（2）不存在（二者矩阵的迹不相同）【解析】（1）利用配方法将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y ， 先用配方法将123(,,)f x x x 化成标准形：22222212312312131232323(,,)2222()2f x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++−=+−+++2212323()()x x x x x =+−++再用配方法将123(,,)g y y y 化成标准形：2222212312323123(,,)2()g y y y y y y y y y y y =+++=++令11232233y x x x y x y x =+−⎧⎪=⎨⎪=⎩，即11232233x y y y x y x y=−+⎧⎪=⎨⎪=⎩， 则在可逆变换112233*********x y x y x y −⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下，其中111010001P −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，二次型123(,,)f x x x 即可化成123(,,)g y y y （2）因为二次型123(,,)f x x x 与123(,,)g y y y 的矩阵分别为111120102A −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭，100011011B ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭显然()5tr A =，()3tr B =，所以矩阵A ，B 不相似，故不存在正交矩阵Q ，使得1T Q AQ Q AQ B −==， 所以也不存在正交变换x Qy =，将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y .11 /11 （22）（本题满分12分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为22222(),1(,)0,x y x y f x y else π⎧++≤⎪=⎨⎪⎩，求 （1）求X 与Y 的斜方差；（2）X 与Y 是否相互独立？（3）求22Z X Y =+概率密度【答案】（1）0 （2）不独立 （3）2,01()0,z z f z else <<⎧=⎨⎩【解析】（1）由对称性可得：222212()0x y EX x x y dxdy π+≤=+=⎰⎰，同理0EY =，0EXY =所以(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =−=； （2）22)11()(,)0,X x y dy x f x f x y dy else +∞−∞⎧+−≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰24(121130,x x elseπ⎧+−≤≤⎪=⎨⎪⎩同理可得，24(1211()30,Y y y f y else π⎧+−≤≤⎪=⎨⎪⎩所以(,)()()X Y f x y f x f y ≠，X 与Y 不独立 （3）先求分布函数22(){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤ 当0z <时，()0Z F z =；当01z ≤<时，2222222320022(){}()Z x y z F z P X Y z x y dxdy d dr z πθππ+≤=+≤=+==⎰⎰⎰；当1z ≤时，()1Z F z =；所以22Z X Y =+概率密度为2,01()()0,Z Z z z f z F z else <<⎧′==⎨⎩。

全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纨指定位置上.1- cos Jx _______ _ r > 0(1)若函数/(# = { ax在x连续，则b,x<Q(A) ab = g.(B) ab = —^.(C) ab = 0.(D) ab = 2.【答案】A【详解】由lim --=，_ = b,得出? = L.ax 2a 2(2)设函数可导，且—。

)>0则(A) /(1)>/(-1). (B) /⑴ </(T).© |/W|>|/(-l)|- ⑼ ]〃刈<|〃-1)卜【答案】C【详解】/(刈=[弓2r〉o,从而广(冷单调递增，尸⑴>(3)函数/。

,乂2)=犬〉+ ^在点(1,2,0)处沿着向量〃 =(1,2,2)的方向导数为(A) 12. (B) 6. (C) 4. (D)2 .【答案】D19【详解】方向余弦cosa = -,cos^ = cosy = §，偏导数f； = 2xy,f； = x\f! = 2z，代入 cos af； + cos /f： + cos yf；即可.(4)甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线y =H«)(单位：m/s),虚线表示乙的速度曲线〃=匕(。

(单位：in/s),三块阴影部分面积的数值一次为10, 20, 3,计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s),则(A) r 0 =10. (B) 15<t 0 <20 . (C) 0 = 25. (D) t 0>25.【答案】C【详解】在。

=25时，乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. (5)设a 为〃维单位列向量，七为〃阶单位矩阵，则(A)七一勿肝不可逆. (B) E+aaT 不可逆. (C) E+2a«i 不可逆. (D)不可逆.【答案】A【详解】可设Q = (l,o,…,0)、则或/的特征值为L0,…,0,从而E —皿丁的特征值为 0』,…因此E —不可逆.101 fl 、2 0 , C= 2 0 J 1 2)(A)A 与C 相似，8与。