3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅利叶级数（三角形式和指数形式）。
图3-1
解 由图3-1可知，)(t f 为奇函数，因而00==a a n
2
1120
11201)cos(2)sin(242,)sin()(4T T T n t n T n E
dt t n E T T dt t n t f T b ωωωπωω-==
=
=⎰⎰
所以，三角形式的傅利叶级数（FS ）为
T t t t E t f πωωωωπ2,)5sin(51)3sin(31)sin(2)(1111=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+++=
指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数为⎪⎩⎪
⎨⎧±±=-±±==-= ,3,1,0,,4,2,0,
021n n jE n jb F n n π
所以，指数形式的傅利叶级数为
T
e jE e jE e jE
e jE
t f t j t j t j t j π
ωπππ
π
ωωωω2,33)(11111=
++-
+
-=--
3-2 周期矩形信号如图3-2所示。若：
图3-2
2
τT
-2τ
-
重复频率kHz f 5= 脉宽 s μτ20= 幅度 V E 10=
求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。
解 对于图3-2所示的周期矩形信号，其指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛==
=
=⎰⎰--22
sin 12,)(1112212211τωττωππωτ
τ
ωωn Sa T E n n E dt Ee T T dt e t f T F t
jn T
T t jn n
则的指数形式的傅利叶级数（FS ）为
∑∑∞
-∞
=∞
-∞
=⎪⎭
⎫
⎝
⎛==
n t
jn n t
jn n
e n Sa T
E e
F t f 112
)(1ωωτωτ
其直流分量为T E n Sa T E F n ττωτ=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=→2lim
100 基波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝
⎛
⋅=
+-2sin 2111τωπE
F F 二次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝
⎛
⋅=
+-22sin 122τωπE
F F 三次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝
⎛
⋅=+-23sin 32133τωπE F F 由所给参数kHz f 5=可得
s T s rad 441102,/10-⨯==πω 将各参数的值代入，可得
直流分量大小为V 110
21020104
6
=⨯⨯⨯--
基波的有效值为
()
)(39.118sin 2
10101010sin 210264V ≈=⨯⨯⨯- πππ
二次谐波分量的有效值为
()
)(32.136sin 2
51010102sin 21064V ≈=⨯⨯⨯- πππ
三次谐波分量的有效值为()
)(21.1524sin 32
101010103sin 2310264V ≈=⨯⨯⨯⨯- πππ
3-3 若周期矩形信号)(1t f 和)(2t f 的波形如图3-2所示，)(1t f 的参数为s μτ5.0=，
s T μ1= ，V E 1=； )(2t f 的参数为s μτ5.1=，s T μ3= ，V E 3=，分别求：
（1）)(1t f 的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以kHz 表示； （2）)(2t f 的谱线间隔和带宽； （3）)(1t f 与)(2t f 的基波幅度之比； （4）)(1t f 基波与)(2t f 三次谐波幅度之比。
解 由题3-2可知，图3-2所示周期矩形波形的傅利叶级数为
T e n Sa T
E t f t
jn πωτωτ
ω2,2)(1
11=⎪⎭⎫ ⎝⎛=
∑∞
∞
- 且基波幅度为
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛
⋅T t E E
ππτωπsin 22sin 21 三次谐波幅度为
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅T t E E ππτωπ3sin 3223sin 321 另外，周期信号的频谱是离散的，每两根相邻谱线间的间隔就是基频1ω。 周期矩形信号频谱的包络线是抽样函数，其第一个零点的位置为
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
=⇒==τπωπτωτπω2n 2n 211令。注意，频谱还可以表示为频率f 的函数。由f πω2=可知，若以f 为频谱图的横轴，则谱线间隔就为，第一个零点的位置就为τ
1
=
f 。
依据以上结论，可得到题中个问题的答案如下： （1）)(1t f 的谱线间隔kHz s T 100011
1===
μ 带宽（第一零点位置）kHz s
20005.01
1==
=μτ
（2）)(2t f 的谱线间隔kHz s T 3103
1311⨯===
μ 带宽kHz s 3103
2
5.111
⨯==
=
μτ
（3）)(1t f 的基波幅度π
μμππ215.0sin 1
2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=
s s )(2t f 的基波幅度πμμππ635.1sin 3
2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⨯=
s s 因此)(1t f 的基波幅度：)(2t f 基波幅度3:16
:2=π
π
（4）)(2t f 的三次谐波幅度πμμππ2
35.13sin 332=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⨯=
s s 因此)(1t f 基波幅度：)(2t f 三次谐波幅度1:12
:2=π
π
3-4 求图3-3所示周期三角信号的傅利叶级数并画出幅度谱。
