2017年上海市青浦区高考数学二模试卷 有答案

2017-2018学年上海市长宁区、青浦区、宝山区、嘉定区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设集合A={x||x|＜2，x∈R}，B={x|x2﹣4x+3≥0，x∈R}，则A∩B=．2．已知i为虚数单位，复数z满足=i，则|z|= ．3．设a＞0且a≠1，若函数f（x）=a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是．4．计算：= ．5．在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2=0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为．6．已知sin2θ+sinθ=0，θ∈（，π），则tan2θ= ．7．定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是．8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2=2px （p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为．9．已知x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为．10．在（x2+）6（k为实常数）的展开式中，x3项的系数等于160，则k= ．11．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于的概率是．12．已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n=n2+3n（n∈N+），则= ．13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为．14．对于函数f（x）=，其中b＞0，若f（x）的定义域与值域相同，则非零实数a 的值为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．“sinα=0”是“cosα=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件16．下列正确的是（）A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l217．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A．1 B．2 C．D．18．已知直线l：y=2x+b与函数y=的图象交于A，B两点，记△OAB的面积为S（O为坐标原点），则函数S=f（b）是（）A．奇函数且在（0，+∞）上单调递增B．偶函数且在（0，+∞）上单调递增C．奇函数且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数且在（0，+∞）上单调递减三、解答题（共5小题，满分60分）19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点；（1）求证：AC⊥平面BCC1B1；（2）求异面直线B1D与AC所成角的大小．20．已知函数f （x ）=sin2x+cos2x ﹣1（x ∈R ）；（1）写出函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若f （B ）=0， =，且a+c=4，试求b 的值．21．定义在D 上的函数f （x ），若满足：对任意x ∈D ，存在常数M ＞0，都有|f （x ）|≤M 成立，则称f （x ）是D 上的有界函数，其中M 称为函数f （x ）的上界：（1）设f （x ）=，判断f （x ）在上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出f （x ）的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g （x ）=1+a•（）x +（）x 在 ．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可． 【解答】解：A={x||x|＜2，x ∈R}={x|﹣2＜x ＜2}， B={x|x 2﹣4x+3≥0，x ∈R}={x|x≥3或x≤1}， 则A∩B={x|﹣2＜x≤1}， 故答案为：（﹣2，1]．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足=i ，则|z|= 1 ．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】设出z=a+bi ，得到1﹣a ﹣bi=﹣b+（a+1）i ，根据系数相等得到关于a ，b 的方程组，解出a ，b 的值，求出z ，从而求出z 的模．【解答】解：设z=a+bi ，则==i ，∴1﹣a ﹣bi=﹣b+（a+1）i ，∴，解得，故z=﹣i，|z|=1，故答案为：1．3．设a＞0且a≠1，若函数f（x）=a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（3，1）．【考点】反函数．【分析】由于函数f（x）=a x﹣1+2经过定点（1，3），再利用反函数的性质即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=a x﹣1+2经过定点（1，3），∴函数f（x）的反函数的图象经过定点P（3，1），故答案为：（3，1）．4．计算：= ．【考点】极限及其运算．【分析】先利用排列组合公式，将原式化简成的形式，再求极限．【解答】解：===．故答案为：．5．在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2=0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为．【考点】用定积分求简单几何体的体积．【分析】由题意此几何体的体积可以看作是：V=，求出积分即得所求体积．【解答】解：由题意可知：V=，∴V=π（y3﹣），=．故答案为．6．已知sin2θ+sinθ=0，θ∈（，π），则tan2θ= ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知等式化简可得sinθ（2cosθ+1）=0，结合范围θ∈（，π），解得cosθ=﹣，利用同角三角函数基本关系式可求tanθ，利用二倍角的正切函数公式可求tan2θ的值．【解答】解：∵sin2θ+sinθ=0，⇒2sinθcosθ+sinθ=0，⇒sinθ（2cosθ+1）=0，∵θ∈（，π），sinθ≠0，∴2cosθ+1=0，解得：cosθ=﹣，∴tanθ=﹣=﹣，∴tan2θ==．故答案为：．7．定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据条件判断函数的单调性和函数的零点，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【解答】解：当x≥0时，由f（x）=2x﹣4=0得x=2，且当x≥0时，函数f（x）为增函数，∵f（x）是偶函数，∴不等式f（x）≤0等价为f（|x|）≤f（2），即|x|≤2，即﹣2≤x≤2，即不等式的解集为，故答案为：．8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2=2px （p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为y2=4x ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出线段OA的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得p的值，即可得到抛物线方程．【解答】解：∵点A（1，1），依题意我们容易求得直线的方程为x+y﹣1=0，把焦点坐标（，0）代入可求得焦参数p=2，从而得到抛物线C的方程为：y2=4x．故答案为：y2=4x．9．已知x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为﹣6 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣2，﹣2），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（﹣2，﹣2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣2）﹣2=﹣6．故答案为：﹣6．10．在（x2+）6（k为实常数）的展开式中，x3项的系数等于160，则k= 2 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】T r+1=k r x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r．即可得出．【解答】解：T r+1=（x2）6﹣r=k r x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3．∴T4=x3，∴20k3=160，解得k=2．故答案为：2．11．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】从正方体的8个顶点中任意取3个构成三角形的顶点共有取法，其中以这三点为顶点的三角形的面积S=的三角形共有24个，由此能求出结果．【解答】解：从正方体的8个顶点中任意取3个构成三角形的顶点共有取法，其中以这三点为顶点的三角形的面积S=的三角形如图中的△ABC，这类三角形共有24个∴P（S=）==．故答案为：．12．已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n=n2+3n（n∈N+），则= 2n2+6n ．【考点】数列的求和．【分析】通过a1+a2+…+a n=n2+3n与a1+a2+…+a n﹣1=（n﹣1）2+3（n﹣1）作差，进而计算可知a n=2（n+1），分别利用等差数列、等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】解：∵a1+a2+…+a n=n2+3n，∴当n≥2时，a1+a2+…+a n﹣1=（n﹣1）2+3（n﹣1），两式相减得：a n=（n2+3n）﹣=2（n+1），又∵a1=1+3=4满足上式，∴a n=2（n+1），=4+4n，∴=4n+4•=2n2+6n，故答案为：2n2+6n．13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为{24，27，30} ．【考点】集合的表示法；计数原理的应用．【分析】甲最终的得分为27分，可得：甲答对了10道题目中的9道，由于甲和乙都解答了所有的试题，甲必然有一道题目答错了，不妨设为第一题．由于他们只有1道题的选项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，即可得出分数．如果是第一道题以外的一个题目，则乙一定答错，而第一道题，则乙也一定答错，即可得出．【解答】解：∵甲最终的得分为27分，∴甲答对了10道题目中的9道，∵甲和乙都解答了所有的试题，∴甲必然有一道题目答错了，不妨设为第一题．∵甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，此时乙可得30分或27分．如果是第一道题以外的一个题目，则乙一定答错，而第一道题，则乙也一定答错，此时乙可得24分．综上可得：乙的所有可能的得分值组成的集合为{24，27，30}．故答案为：{24，27，30}．14．对于函数f（x）=，其中b＞0，若f（x）的定义域与值域相同，则非零实数a的值为﹣4 ．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数的定义域与值域相同，故可以求出参数表示的函数的定义域与值域，由两者相同，故比较二区间的端点得出参数满足的方程解方程求参数即可．【解答】解：若a＞0，由于ax2+bx≥0，即x（ax+b）≥0，∴对于正数b，f（x）的定义域为：D=（﹣∞，﹣]∪．由于此时max=f（﹣）=，故函数的值域 A=．由题意，有﹣=，由于b＞0，所以a=﹣4．故答案为：﹣4．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．“sinα=0”是“cosα=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由sinα=0可得α=kπ（k∈Z），即可判断出结论．【解答】解：sinα=0可得α=kπ（k∈Z），∴cosα=±1，反之成立，∴“sinα=0”是“cosα=1”的必要不充分条件．故选：B16．下列正确的是（）A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l2【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据各选项条件举出反例．【解答】解：对于A，若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1与l2可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误．对于B，若直线l与平面α相交于O点，在交点两侧各取A，B两点使得OA=OB，则A，B到平面α的距离相等，但直线l与α不平行，故B错误．对于C，当直线l⊂α或l∥α时，直线l与平面α所成的角为0，当l⊥α时，直线l与平面α所成的角为，故C错误．对于D，由定理“垂直于同一个平面的两条直线平行“可知D正确．故选：D．17．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量垂直的条件可得•=0，运用向量的平方即为模的平方，可得|+|=，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：由题意可得•=0，可得|+|==，（﹣）•（﹣）=2+•﹣•（+）=||2﹣||•|+|cos＜（+，＞=0，即为||=cos＜+，＞，当cos＜+，＞=1即+，同向时，||的最大值是．故选：C．18．已知直线l：y=2x+b与函数y=的图象交于A，B两点，记△OAB的面积为S（O为坐标原点），则函数S=f（b）是（）A．奇函数且在（0，+∞）上单调递增B．偶函数且在（0，+∞）上单调递增C．奇函数且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数且在（0，+∞）上单调递减【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据条件求出AB的长度以及O到AB的距离，从而求出三角形OAB的面积函数，根据函数的表达式即可得到结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由2x+b=，即2x2+bx﹣1=0，则，则|AB|=，圆心到直线2x﹣y+b=0的距离d=，∴△OAB的面积S==，∴S=f（b）=，则函数f（b）为偶函数，当b＞0时，y=和都为增函数，∴当b＞0时，f（b）=为增函数．故选：B．三、解答题（共5小题，满分60分）19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点；（1）求证：AC⊥平面BCC1B1；（2）求异面直线B1D与AC所成角的大小．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知推导出AC⊥BC，CC1⊥AC，由此能证明AC⊥平面BCC1B1．（2）以C为原点，直线CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B1D与AC所成角的大小．【解答】证明：（1）∵底面△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，∴AC⊥BC，∵CC1⊥平面A1B1C1，∴CC1⊥AC，∵CC1∩BC=C，∴AC⊥平面BCC1B1．解：（2）以C为原点，直线CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0，1），=（2，﹣2，﹣1），=（﹣2，0，0），设异面直线B1D与AC所成角为θ，则cosθ===．∴．∴异面直线B1D与AC所成角的大小为arccos．20．已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣1（x∈R）；（1）写出函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0， =，且a+c=4，试求b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用两角和的正弦化简，由周期公式求得周期，再由相位在正弦函数的增区间内求得x的范围求得f（x）单调递增区间；（2）把f（B）=0代入函数解析式，求得B，展开数量积=，求得ac的值，结合a+c=4，利用余弦定理求得b的值．【解答】解：（1）f（x）=sin2x+cos2x﹣1=．∴T=；由，得．∴函数f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z；（2）由f（B）==0，得．∴或，k∈Z．∵B是三角形内角，∴B=．而=ac•cosB=，∴ac=3．又a+c=4，∴a2+c2=（a+c）2﹣2ac=16﹣2×3=10．∴b2=a2+c2﹣2ac•cosB=7．则b=．21．定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界：（1）设f（x）=，判断f（x）在上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出f（x）的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g（x）=1+a•（）x+（）x在上是增函数；从而可得|f（x）|≤1，从而求得；（2）由题意知﹣3≤1+a•（）x+（）x≤3在上是增函数；故f（﹣）≤f（x）≤f（）；即﹣1≤f（x）≤，故|f（x）|≤1，故f（x）是有界函数；故f（x）的所有上界的值的集合是．22．设椭圆Г：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B 到F的距离等于焦距：（1）求椭圆Г的标准方程；（2）设C、D是四条直线x=±a，y=±b所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，P是椭圆Г上任意一点，若，求证：m2+n2为定值；（3）过点F的直线l与椭圆Г交于不同的两点M、N，且满足于△BFM与△BFN的面积的比值为2，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆Г的标准方程．（2）求出C（2，），D（﹣2，），设P（x0，y0），则，由已知=，得=1，由此能证明m2+n2=为定值．（3）=2等价于=2，设l：y=k（x﹣1），由，得（3+4k2）y2+6ky﹣9k2=0，由此利用韦达定理、椭圆性质，结合已知条件能求出直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆Г：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距，∴，解得a=2，b=，∴椭圆Г的标准方程为．证明：（2）∵C、D是四条直线x=±a，y=±b所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，∴C（2，），D（﹣2，），设P（x0，y0），则，由已知=，得，∴=1，∴m2+n2=为定值．解：（3）=2等价于=2，当直线l的斜率不存在时， =1，不合题意，故直线l的斜率存在，设l：y=k（x﹣1），由，消去x，得（3+4k2）y2+6ky﹣9k2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，由=2，得=﹣2，则，，∴3+4k2=8，k=，∴直线l的方程为y=．23．已知数列{a n}、{b n}满足：a，a n+b n=1，b；（1）求b1、b2、b3、b4；（2）求证：数列{}是等差数列，并求{b n}的通项公式；（3）设S n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1，若不等式4aS n＜b n对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；数列递推式．【分析】（1）通过已知条件代入计算即得结论；（2）通过两边同时减1并取倒数，利用a n+b n=1化简可知数列{}是等差数列，进而计算可得结论；（3）通过（2）可知b n=，进而裂项可知a n a n+1=﹣，并项相加可知S n=，进而问题转化为求的最小值，计算即得结论．【解答】（1）解：依题意，b1=1﹣a1=1﹣=，b2===，a2=1﹣b2=1﹣=，==，a3=1﹣b3=1﹣=，==；（2）证明：∵，a n+b n=1，∴b n+1﹣1=﹣1=﹣1=，两边同时取倒数，得： ==﹣1=﹣1=﹣1=﹣1，∴数列{}是等差数列，又∵==﹣4，∴=﹣4﹣（n﹣1）=﹣（n+3），∴数列{b n}的通项公式b n=1﹣=；（3）解：由（2）可知b n=，∴a n=1﹣b n=，a n a n+1==﹣，∴S n=a1a2+a2a3+…+a n a n+1=﹣+﹣+…+﹣=﹣=，∵不等式4aS n＜b n对任意n∈N*恒成立，∴不等式4a•＜对任意n∈N*恒成立，∴a＜=1+，∵随着n的增大而减小，且=0，∴a≤1．2016年6月24日。

上海市长宁、金山、青浦区 2017 届高三二模数学试卷含答案2017 年徐汇区高三二模考试数学试卷（满分 150 分，考试时间 120 分钟）一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考生应 在答题纸的相应位置直接填写结果。

1、设全集 U  1, 2,3, 4 ，集合 A  x x  5 x  4  0, x  Z ，则 CU A  _______________22、参数方程为 x  t2  y  2t（ t 为参数）的曲线的焦点坐标为_______________3、已知复数 z 满足 z  1，则 z  2 的取值范围是_______________ 4、设数列 an  的前项和为 Sn ，若 S n  1 n2 an (n  N * ) ，则 lim S n  _______________ n  31   * 5、若  x   (n  4, n  N ) 的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则 n  _____ 2x  2 3、、 4 5、 6、、 7 8、 9、 10 分别写在 10 张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大 6、把 1、、 于 6 的数的卡片的概率为_______________。

（结果用最简分数表示）17、若行列式 cos2 x 2 x cos 2 sin41 0 中元素 4 的代数余子式的值为 ，则实数 x 的取值集合为_______________ 2x 2 x sin 288、满足约束条件 x  2 y  2 的目标函数 z  y  x 的最小值是_______________log 2 x, 0  x  2  9、已知函数 f ( x)   2  x 5 ，若函数 g ( x)  f ( x)  k 有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围是    , x  2  3  9_______________。

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！上海市长宁、金山、青浦区2017届高三数学二模试卷2017.04一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合{}|1,A x x x R =>-∈，集合{}|2,B x x x R =<∈，则A B =I .2. 已知复数z 满足()2332i z i -=+（i 为虚数单位），则z = .3.函数()sin 2cos 2cos sin x x f x xx的最小正周期为 .4.已知双曲线()()2222103x y a a a -=>+的一条渐近线方程为2y x =，则a = . 5．若圆柱的侧面展开图是边长为4cm 的正方形，则圆柱的体积为 . cm 3（精确到0.1cm 3）6.已知,x y 满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 .7.直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 .8.已知函数()22,0log ,01x x f x x x ⎧≤=⎨<≤⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭ .9.设多项式()()()()2311110,nx x x x x n N *++++++++≠∈L 的展开式中x 项的系数为nT ，则2limnn T n →∞= .10.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率为0.9603，则p = .11.已知函数()f x x x a =-，若对任意的[]1212,2,3,x x x x ∈≠，恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为 . 12.对于给定的实数0k >，函数()kf x x=的图象上总存在点C,使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为1，则k 的取值范围为 . 二、选择题：13．设,a b R ∈，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件14．如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是A. ①②③④B. ①③C. ①④D. ②④15．如图，AB 为圆O 的直径且AB=4，C 为圆上不同于A,B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅u u u r u u u r u u u r的最小值为A. -4B. -3C. -2D. -116．设1210,,x x x K 为1,2,,10L 的一个排列，则满足对于任意正整数,m n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同的排列的个数为A.512B. 256C. 255D. 64三、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分14分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BC CD 线段的中点.（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11ABB A 所成角的大小.18.（本题满分14分）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为3π（即3ACB π∠=），墙AB 的长度为6米（已有两面墙的可利用长度足够大），记.ABC θ∠=（1）若4πθ=，求ABC ∆的周长（结果精确到0.01米）；（2）为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积即ABC ∆的面积尽可能大，问θ当何值时，该活动室面积最大？并求最大面积.19.（本题满分14分）已知抛物线()220y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点(),0T t 0t >且与抛物线交于两点,A B ，O 为坐标原点.（1）求抛物线的方程，并证明：OA OB ⋅u u u r u u u r为值与直线倾斜角的大小无关；（2）若P 为抛物线上的动点，记PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.20.（本题满分16分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，其中m n <，同时满足:①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域为[],m n 时，()f x 的值域为[],m n ，则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”，区间[],m n 称为“保值区间”.（1）求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”；（2）若函数()()2112,0f x a R a a a x=+-∈≠是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围； （3）对（2）中函数()f x ，若不等式()22a f x x ≤对1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.21.（本题满分16分）已知数列{}n a 中，已知()12121,,n n n a a a a k a a ++===+对任意n N *∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 是等差数列，求k 的值； （2）若11,2a k ==-，求n S ； （3）是否存在实数k ，使得数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由.。

高考数学二模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知，B={y|y=log2x}，则A∩B=（ ）A. （0，+∞）B. [0，+∞）C. {2}D. {（4，2）}2.已知△ABC是斜三角形，则“A＞B”是“|tan A|＞|tan B|”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3.已知曲线（θ是参数），过点P（6，2）作直线l与曲线Γ有且仅有一个公共点，则这样的直线l有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条4.等差数列a1，a2，…，a n（n≥3，n∈N*）满足|a1|+|a2|+…+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|=|a1-2|+|a2-2|+…+|a n-2|=2019，则（ ）A. n的最大值为50B. n的最小值为50C. n的最大值为51D. n的最小值为51二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.不等式的解集是______．6.已知复数z满足z（1+i）=2+4i（其中i为虚数单位），则|z|=______．7.在平面直角坐标系xOy中，在x轴、y轴正方向上的投影分别是-3、4，则的单位向量是______．8.在（1-x）6的二项展开式中，含有x3项的系数为______（结果用数值表示）．9.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线-y2=1经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，则p=______．10.已知E、F是互斥事件，P（E）=0.2，P（E∪F）=0.8，则P（F）=______．11.函数y=|sin x+arcsin x|的最大值为______．12.若实数x、y满足条件，则x2+y2的最小值为______．13.已知a、b、c都是实数，若函数的反函数的定义域是（-∞，+∞），则c的所有取值构成的集合是______．14.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为______．15.已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），在区间（-1，1）内有两个零点，则a2-2b的取值范围是______．16.已知O为△ABC的外心，，，则λ+μ的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.如图，圆柱是矩形O1OAA1绕其边O1O所在直线旋转一周所得，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点．（1）求三棱锥A1-ABC体积与圆柱体积的比值；（2）若圆柱的母线长度与底面半径相等，点M是线段AO1的中点，求异面直线CM与BO1所成角的大小．18.如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得tan∠BAN=，在A处正西方向1km的点C处，用测角器测得tan∠BCN=1，现有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km ，4万元/km．（1）求A、B两点间的距离；（2）请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由．19.a∈R，函数（Ⅰ）a的值，使得f（x）为奇函数；（Ⅱ）若a≥0且对任意x∈R都成立，求a的取值范围．20.在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（x，y），总存在一个点Q（x'，y'）满足关系式：（λ＞0，μ＞0），则称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．（1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换φ，使得椭圆4x2+9y2=36变换为一个单位圆；（2）在同一直角坐标系中，△AOB（O为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换（λ＞0，μ＞0）得到△A'O'B'，记△AOB和△A'O'B'的面积分别为S与S'，求证：；（3）若△EFG的三个顶点都在椭圆（a＞b＞0），且椭圆中心恰好是△EFG的重心，求△EFG的面积．21.已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），且不等式|f（x）|≤2019|2x-x2|对任意的x∈[0，10]都成立，数列{a n}是以7+a为首项，公差为1的等差数列（n∈N*）．（1）当x∈[0，10]时，写出方程2x-x2=0的解，并写出数列{a n}的通项公式（不必证明）；（2）若无穷数列{b n}满足对任意的m，n∈N*都成立，求证：数列{b n}是等差数列；（3）若（n∈N*），数列{c n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，求的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵={y|y≥0}，B={y|y=log2x}=R，∴A∩B={y|y≥0}=[0，+∞）．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：当A＞B时，若AB均为锐角，则tan A＞tan B＞0，此时|tan A|＞|tan B|，若A为钝角，则π-A为锐角，B＜π-A，则tan（π-A）=-tan A＞tan B＞0，此时|tan A|＞|tan B|，综上：当A＞B时，“|tan A|＞|tan B|”．当“|tan A|＞|tan B|”时，若AB均为锐角，则tan A＞tan B＞0，此时tan A＞tan B，即A＞B，若A为钝角，满足条件，若B为钝角，则tan（π-B）=-tan B＜tan A，即π-B＜A，A+B＞π，故B不可能为钝角，综上，当“|tan A|＞|tan B|”时，“A＞B”，故“A＞B”是“|tan A|＞|tan B|”的充要条件，故选：C．根据充要条件的定义，结合正切函数的图象和性质，分析：“A＞B”⇒“|tan A|＞|tan B|”和“|tan A|＞|tan B|”⇒“A＞B”的真假后，可得答案．本题考查了充要条件的判断，做题时一定要细心，是一道基础题，熟练掌握充要条件的定义是解答的关键．3.【答案】B【解析】解：由消去参数θ可得-y2=1，如图所示：经过P（6，2）且与双曲线的两条渐近线平行的直线满足题意．故选：B．将曲线的参数方程化成普通方程为双曲线方程，结合图象可知，当过P的直线与双曲线的渐近线平行时，满足题．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．4.【答案】A【解析】解：{a n}为等差数列，则使等式|a1|+|a2|+…+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|，=|a1-2|+|a2-2|+…+|a n-2|，则：数列{a n}中的项一定有正有负，不妨设a1＜0，d＞0，因为|a1|+|a2|+…+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|=|a1-2|+|a2-2|+…+|a n-2|=2019为定值，故设，且得d＞3．若a i＜0，且a i+1＜0，则|a i|-|a i+1|=1，同理若a i≥0，则|a i+1|-|a i|=1，所以==k，所以数列{a n}的项数为2k．所以：|a1|+|a2|+..+|a n|=-a1-a2-a3-…-a k+a k+1+a k+2+…+a2k，=-2（a1+a2+a3+…+a k）+（a1+a2+a3+…+a k+a k+1+…+a2k）=-2（ka1+d）+（2ka1+），=k2d=2019，由于：d＞3，所以：k2d=2019＞3k2，解得：k2＜673，故：k≤25，n≤50．故选：A．首先数列{a n}中的项一定满足既有正项又有负项，不妨设满足，从而判断数列中的项为偶数项，利用凑配法和关系式的变换求出n的最大值．本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，数列的求和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于难题．5.【答案】【解析】解：原不等式等价于等价于x（2x-1）＜0解得故答案为（）通过移项、通分；利用两个数的商大于0等价于它们的积大于0；将分式不等式转化为二次不等式，解二次不等式求出原不等式的解集．本题考查将分式不等式等价转化为二次不等式、考查二次不等式的解法．6.【答案】【解析】解：由z（1+i）=2+4i，得z=，∴|z|=．故答案为：．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．7.【答案】±【解析】解：∵在x轴、y轴正方向上的投影分别是-3、4，∴=（-3，4），||==5．则的单位向量==±．故答案为：±．在x轴、y轴正方向上的投影分别是-3、4，可得=（-3，4），可得的单位向量=．本题考查了向量数量积性质、单位向量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】-20【解析】解：写出二项式的通项，通项T r+1=C6r（-x）r=（-1）r C6r x r，令r=3得x3项的系数是（-1）3C63=-20．故答案为：-20利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，令x的指数为3得到r的值，代入通项求出含x3项的系数，得到结果．本题考查二项式系数的性质，本题解题的关键是写出展开式的通项公式，这是解决二项展开式的特定项问题的工具．9.【答案】4【解析】解：双曲线-y2=1经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，可得双曲线的顶点坐标（2，0），所以，解得p=4．故答案为：4．求出双曲线的顶点，得到抛物线的焦点坐标，即可求解P即可、本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．10.【答案】0.6【解析】解：∵E、F是互斥事件，P（E）=0.2，P（E∪F）=0.8，∴P（F）=P（E∪F）-P（E）=0.8-0.2=0.6．故答案为：0.6．由E、F是互斥事件，得到P（F）=P（E∪F）-P（E），由此能求出结果．本题考查概率的求法，考查互斥事件的概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】【解析】解：设f（x）=sin x+arcsin x，则函数定义域为[-1，1]，则f（x）在[-1，1]为单调递增的奇函数，所以-sin1-≤f（x）≤sin1+，即|f（x）|∈[0，sin1+]，故答案为：sin1+．由三角函数的单调性、奇偶性得：f（x）在[-1，1]为单调递增的奇函数，所以-sin1-≤f（x）≤sin1+，即|f（x）|∈[0，sin1+]，得解．本题考查了三角函数的单调性、奇偶性，属中档题．12.【答案】【解析】解：根据实数x、y满足条件画出可行域，z=x2+y2，表示可行域内点P到原点距离的平方，当z是点Q到直线x+y-1=0的距离的平方时，z最小，最小值为d2==，故答案为：．根据条件画出可行域，z=x2+y2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点P到原点距离的最值，从而得到z最值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．13.【答案】{0}【解析】解：函数的反函数的定义域是（-∞，+∞），即函数f（x）的值域为（-∞，+∞），若a≥0，显然不合题意，则a＜0，此时y=x2的值域为[a2，+∞）；则需y=的值域包含（-∞，a2），结合函数y=在（a，c）内有意义，则c=0．∴c的所有取值构成的集合是{0}．故答案为：{0}．由题意可得，函数f（x）的值域为（-∞，+∞），当a≥0，显然不合题意，则a＜0，此时y=x2的值域为[a2，+∞）；然后结合反比例函数的图象及函数y=在（a，c）内有意义，可得c=0，则答案可求．本题考查互为反函数的两个函数特性间的关系，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．14.【答案】【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为3的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PO⊥AD，AO=1，OD=2，△POD是以∠POD为直角的直角三角形，△PDC是以∠PDC为直角的直角三角形．则最长棱为PC=．故答案为：．由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为3的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PO⊥AD，AO=1，OD=2，△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PDC 是以∠PDC为直角的直角三角形，求解三角形得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．15.【答案】（0，2）【解析】解：由题意，要使函数f（x）=x2+ax+b在区间（-1，1）上有两个零点，只要，其对应的平面区域如下图所示：则当a=0，b=0时，a2-2b取最小值0，当a=-2，b=1时，a2-2b取最大值2，所以a2-2b的取值范围为（0，2）；故答案为：（0，2）．列出满足条件约束条件，画出满足条件的可行域，进而可得答案．本题考查了函数零点的分布，线性规划，关键是结合二次函数图象等价得到不等式组．16.【答案】【解析】解：设△ABC的外接圆半径为1，以点O为原点建立坐标系，因为∠ABC=，所以，设A（1，0），C（-，），B（x，y），则=（1-x，-y），=（--x，-y），=（-x，-y），因为，所以，解得：，因为点B在圆x2+y2=1上，所以λμ=，所以（λ+μ）2（λ+μ）≥0，解得：λ+μ≥2或，又点B只能在优弧AC上，所以，即λ+μ的最大值为，故答案为：．由平面向量的坐标运算、向量相等得：因为∠ABC=，所以，设A（1，0），C（-，），B（x，y），则=（1-x，-y），=（--x，-y），=（-x，-y），因为，所以，解得：，由重要不等式得：因为点B在圆x2+y2=1上，所以λμ=，所以（λ+μ）2（λ+μ）≥0，解得：λ+μ≥2或，又点B只能在优弧AC上，所以，得解本题考查了平面向量的坐标运算、向量相等及重要不等式，属难度较大的题型．17.【答案】解：（1）设矩形O1OAA1的边长分别为OA=a，A1A=b，则，，∴；（2）连接OM，则OM∥O1B，连接MC，则∠OMC为异面直线CM与BO1所成角，设OA=AA1=2，则，OM=，OC=2，∵点C是弧AB的中点，∴OC⊥平面ABO1，则OC⊥OM，在Rt△MOC中，有MC=，∴cos∠OMC=，则异面直线CM与BO1所成角的大小为．【解析】（1）设矩形O1OAA1的边长分别为OA=a，A1A=b，由体积公式分别求出三棱锥A1-ABC体积与圆柱体积，作比得答案；（2）连接OM，则OM∥O1B，连接MC，则∠OMC为异面直线CM与BO1所成角，设OA=AA1=2，然后求解三角形得答案．本题考查棱锥与圆柱体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．18.【答案】（本题满分为14分）解：（1）过B作MN的垂线，垂足为D，如图示：在Rt△ABD中，tan∠BAD=tan∠BAN=，所以AD=BD，在Rt△BCD中，tan∠BCD=tan∠BCN==1，所以CD=BD．则AC=AD-CD=BD-BD=BD=1，即BD=3，所以CD=3，AD=4，由勾股定理得，AB==5（km）．所以A，B两镇间的距离为5km．…（4分）（2）方案①：沿线段AB在水下铺设时，总铺设费用为5×4=20（万元）．…（6分）方案②：设∠BPD=θ，则θ∈（θ0，），其中θ0=∠BAN，在Rt△BDP中，DP==，BP==，所以AP=4-DP=4-．则总铺设费用为2AP+4BP=8-+=8+6•．…（8分）设f（θ）=，则f′（θ）==，令f'（θ）=0，得θ=，列表如下：θ（θ0，）（，）f'（θ）-0+f（θ）↘极小值↗所以f（θ）的最小值为f（）=．所以方案②的总铺设费用最小为8+6（万元），此时AP=4-．…（12分）而8+6＜20，所以应选择方案②进行铺设，点P选在A的正西方向（4-）km处，总铺设费用最低．…（14分）【解析】（1）由tan∠BAN=，∠BCN=，得到|AD|，|DB|、|AB|间的关系，然后利用直角三角形的性质求解；（2）方案①：总铺设费用为5×4=20（万元）．方案②：设∠BPD=θ，则θ∈（θ0，），其中θ0=∠BAN，在Rt△BDP中，DP==，BP==，则总铺设费用为2AP+4BP=8-+=8+6•．设f（θ）=，则f′（θ）==，求出函数的极小值，即函数的最小值得答案．本题考查了简单的数学建模思想方法，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．19.【答案】解：（1）函数为奇函数，即f（0）==0，解得a=1，∴f（x）=，定义域为R，且满足f（-x）===-f（x），∴f（x）是定义域R上的奇函数；即a=1时，f（x）为定义域R上的奇函数；（2）不等式f（x）＜化为＜，a≥0时，2x+a＞0，所以不等式化为3（2x-a）＜（a-2）（2x+a），即a2+a＞（5-a）•2x；要使该不等式对任意x∈R都成立，由a≥0且2x＞0，所以5-a≤0，即a≥5即可；所以a的取值范围是a≥5．【解析】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了等价转化问题，是中档题．（1）根据奇函数的定义与性质，利用f（0）=0求得a的值，再验证求得a的值时，f（x）是奇函数；（2）根据题意把不等式化为a2+a＞（5-a）•2x，要使不等式对任意x∈R都成立，得出5-a≤0即可．20.【答案】（1）解：伸缩变换为（λ＞0，μ＞0），代入x′2+y′2=1，得到（λx）2+（μy）2=1，即36λ2x2+36μ2y2=36，①将①式与4x2+9 y2=36比较，得λ=，μ=，故所求的伸缩变换为；（2）证明：以OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设A（a，0），B（b，c），则，经平面直角坐标系中的伸缩变换（λ＞0，μ＞0），得到A（λa，0），B（λb ，μc）．∴，∴=；（3）解：设E（x1，y1），F（x2，y2），G（x3，y3），∵△EFG重心是原点，∴，，∴x3=-（x1+x2），y3=-（y1+y2），当直线EF的斜率不存在时，E（-，），F（-，-），G（a，0），或E（，），F（，-），G（-a，0），此时S△EFG=；当直线EF的斜率存在时，设直线EF的方程为y=kx+m，由，得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0．，，y1+y2=k（x1+x2）+2m==，∴x3=，，∵G（x3，y3）在椭圆上，∴，∴4m2=b2+a2k2，∵|EF|===．点G（x3，y3）到直线AB的距离d==，∴S△EFG=|EF|d=．综上所述，△ABC的面积是定值．【解析】（1）把伸缩变换代入x′2+y′2=1，得到36λ2x2+36μ2y2=36，与4x2+9 y2=36比较求得λ=，μ=，则答案可求；（2）以OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设A（a，0），B（b，c），求出经平面直角坐标系中的伸缩变换后得到的A′（λa，0），B′（λb，μc），再分别求出S与S'，作比得答案；（3）设E（x1，y1），F（x2，y2），G（x3，y3），由△EFG重心是原点，得x3=-（x1+x2），y3=-（y1+y2），然后分类求解得答案．本题考查平面直角坐标系中的伸缩变换，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题．21.【答案】解：（1）当x∈[0，10]时，方程2x-x2=0的解为：x=2，x=4．不等式|f（x）|≤2019|2x-x2|对任意的x∈[0，10]都成立，∴|f（2）|≤0，|f（4）|≤0，化为：4+2a+b=0，16+4a+b=0，解得a=-6，b=8．∴a n=1+n-1=n．（2）=＞0，∵=对任意的m，n∈N*都成立，∴|b n+m-b m-b n|≤0，又|b n+m-b m-b n|≥0，∴b n+m-b m-b n=0，即b n+m=b m+b n，令m=1可得b n+1=b n+b1，∴b n+1-b n=b1．∴数列{b n}是等差数列．（3）由（1）可得：=（n∈N*），∴=（++……+），显然{}是递减数列，故≤S1=．∵＞n，∴S n＞1+2+3+…+n=，∴＞+．∴的取值范围是．【解析】（1）令f（2）=0，f（4）=0计算a，b的值，从而得出出数列{a n}的通项公式；（2）由条件可知b n+m-b m-b n=0，令m=1可得结论；（3）利用放缩法得出最小值，根据递减数列得出最大值．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。