高中立体几何证明平行的专题训练
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FGGABCDECABDEF高中立体几何证明平行的专题训练
深圳市龙岗区东升学校——罗虎胜
立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为
线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：
（1） 通过“平移”。
（2） 利用三角形中位线的性质。
（3） 利用平行四边形的性质。
（4） 利用对应线段成比例。
（5） 利用面面平行，等等。
(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质
1．如图，四棱锥P－的底面是平行四边形，点E、F 分 别为棱、 的中点．求证：∥平面；
分析：取的中点G，连.，，则易证是平行四边形
2、如图，已知直角梯形中，∥，⊥，＝1，＝2，＝1＋3，
过A作⊥，垂足为E，G、F分别为、的中点，现将△沿折叠，使得⊥.
（Ⅰ）求证：⊥面； （Ⅱ）求证：∥面；
分析：取的中点H，连则易证是平行四边形 EFBACDP（第1题图） DEB1A1C1CABFM
3、已知直三棱柱－A1B1C1中，D, E, F分别为1, 1, 的中点，
M为的中点, ⊥. 求证：
（Ⅰ）C1D⊥； （Ⅱ）C1D∥平面B1.
分析：连，易证C1是平行四边形，于是
4、如图所示, 四棱锥底面是直角梯形, ,,ADCDADBA2, E为的中点, 证明:
//EBPAD平面;
分析:：取的中点F，连则易证是
平行四边形
(2) 利用三角形中位线的性质
5、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG。
分析：连交于H，易证是△的中位线
6、如图，是正方形，O是正方形的中心，E是的中点。 求证： ∥平面 A
B
C D E
F G
M
7．如图，三棱柱—A1B1C1中， D为的中点.
求证：1面1；
分析：连B1C交1于点E，易证是
△B1的中位线
8、如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，
090,BADFABBC//12AD，BE//12AF，,GH分别为,FAFD的中点
（Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形；
（Ⅱ）,,,CDFE四点是否共面？为什么？
（.3） 利用平行四边形的性质
9．正方体—A1B1C1D1中O为正方形的中心，M为1的中点，
求证： D1平面A11;
分析：连D1B1交A1C1于O1点，易证四边形1O1
是平行四边形
P E D
C B A 10、在四棱锥中，∥，21，中点为PDE.
求证：∥平面；
分析：取的中点F，连则易证
是平行四边形
11、在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，∠ 90，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.
（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;
（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．
（I）证法一：
因为，，，90ACB，
所以90,EGFABC∽.EFG
由于2，因此，2，
连接，由于，BCFG21
在ABCD中，M是线段的中点，则，且BCAM21
因此且，所以四边形为平行四边形，因此。
又FA平面，GM平面，所以平面。
(4)利用对应线段成比例
12、如图：S是平行四边形平面外一点，M、N分别是、上的点，且SMAM=NDBN，
求证：∥平面
分析：过M作，过N作
利用相似比易证是平行四边形
13、如图正方形与交于，M，N分别为和上的点且求证：∥平面
分析：过M作，过N作
利用相似比易证是平行四边形
（6） 利用面面平行
14、如图，三棱锥ABCP中，PB底面ABC，90BCA，，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且2AFFP.
（1）求证：BE平面PAC；
（2）求证：//CM平面BEF；
分析: 取的中点N，连、，易证平面
A
