2017-2018学年高二数学人教A版选修4-5教师用书：第4讲 1 数学归纳法 含答案 精品

一 数学归纳法

1．了解数学归纳法的原理及其使用范围．(重点)

2．会利用数学归纳法证明一些简单问题．(重点、难点)

教材整理 数学归纳法的概念

阅读教材P46～P50，完成下列问题．

一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：

(1)证明当n＝n0时命题成立；

(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明_n＝k＋1时命题也成立．

在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．

数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是( )

A．k∈N B．k＞1，k∈N＋

C．k≥1，k∈N＋ D.k＞2，k∈N＋

【解析】 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1.

【答案】 C

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2： 解惑：

疑问3：

解惑：

用数学归纳法证明等式

用数学归纳法证明：

1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.

【精彩点拨】 要证等式的左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“n＝k”到“n＝k＋1”时要注意项的合并．

【自主解答】 ①当n＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，所以等式成立．

②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即

1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，则当n＝k＋1时，

左边＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2

＝1k＋2＋…＋12k＋12k＋1＋1k＋1－12k＋2

＝1k＋2＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＝右边，

所以，n＝k＋1时等式成立．

由①②知，等式对任意n∈N＋成立．

1．用数学归纳法证明等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．

2．利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节．

1．用数学归纳法证明：

12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．

【证明】 (1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，

右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，就是

12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．

当n＝k＋1时，

12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2

＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－2

＝－k(2k＋1)－(4k＋3)

＝－(2k2＋5k＋3)

＝－(k＋1)，

所以n＝k＋1时等式也成立，

根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．

用数学归纳法证明整除问题

用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)．

【精彩点拨】 先验证n＝1时命题成立，然后再利用归纳假设证明，关键是找清f(k＋1)与f(k)的关系并设法配凑．

【自主解答】 (1)当n＝1时，原式＝(3×1＋1)×7－1＝27，能被9整除，命题成立．

(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，(3k＋1)·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，

·7k＋1－1

＝·7k－1

＝·7k－1

＝＋9(2k＋3)·7k.

∵和9(2k＋3)·7k都能被9整除，

∴＋9(2k＋3)·7k能被9整除，

即·7k＋1－1能被9整除，

即当n＝k＋1时命题成立．

由(1)(2)可知，对任何n∈N＋，命题都成立，即(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)．

1．证明本题时关键是用归纳假设式子(3k＋1)·7k－1表示n＝k＋1时的式子． 2．用数学归纳法证明整除问题关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证．一般地，证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a(或一个代数式g(n)) 整除，主要是找到f(k＋1)与f(k)的关系，设法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k＋1)＝f(k)·f1(k)＋f2(k)．

2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除.

【导学号：32750064】

【证明】 (1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36,36能被9整除，命题成立．

(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，

当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3

＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33

＝＋9(k2＋3k＋3)，

由归纳假设知，上式中两项都能被9整除，故n＝k＋1时，命题也成立．

由(1)和(2)可知，对n∈N＋命题成立.

证明几何命题

平面内有n(n≥2，n∈N＋)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论．

【精彩点拨】 (1)从特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性结论f(n)；(2)利用数学归纳法证明．

【自主解答】 当n＝2时，f(2)＝1 ；当n＝3时，f(3)＝3；

当n＝4时，f(4)＝6.

因此猜想f(n)＝nn－2(n≥2，n∈N＋)．

下面利用数学归纳法证明：

(1)当n＝2时，两条相交直线有一个交点，

又f(2)＝12×2×(2－1)＝1.

∴n＝2时，命题成立．

(2)假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)＝12k(k－1)，

当n＝k＋1时，其中一条直线记为l，剩下的k条直线为l1，l2，…，lk.

由归纳假设知，剩下的k条直线之间的交点个数为f(k)＝kk－2. 由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，

所以直线l与l1，l2，l3，…，lk的交点共有k个，

∴f(k＋1)＝f(k)＋k＝kk－2＋k＝k2＋k2

＝kk＋2＝k＋k＋－1]2，

∴当n＝k＋1时，命题成立．

由(1)(2)可知，命题对一切n∈N＋且n≥2时成立．

1．从特殊入手，寻找一般性结论，并探索n变化时，交点个数间的关系．

2．利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律并结合图形直观分析，要讲清原因．

3．在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明．

【解】 设分割成线段或射线的条数为f(n)，则f(2)＝4，f(3)＝9，f(4)＝16.

猜想n条直线分割成线段或射线的条数f(n)＝n2(n≥2)，下面利用数学归纳法证明．

(1)当n＝2时，显然成立．

(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时，

结论成立，f(k)＝k2.

则当n＝k＋1时，设有l1，l2，…，lk，lk＋1，共k＋1条直线满足题设条件．

不妨取出直线l1，余下的k条直线l2，l3，…，lk，lk＋1互相分割成f(k)＝k2条射线或线段．

直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k＋1条射线或线段．k条直线l2，l3，…，lk－1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条．

故f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2，

∴当n＝k＋1时，结论正确．

由(1)(2)可知，上述结论对一切n≥2且n∈N＋均成立．

数学归纳法的概念

探究1 数学归纳法中，n取的第一个值n0是否一定是1?

【提示】 n0不一定是1，指适合命题的第一个正整数，不是一定从1开始．

探究2 如何理解数学归纳法的两个步骤之间的关系？ 【提示】 第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的桥梁，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论，因为单靠步骤(1)无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判断．同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就无意义了．

用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算的结果是( )

A．1

B．1＋a

C．1＋a＋a2

D．1＋a＋a2＋a3

【精彩点拨】 注意左端特征，共有n＋2项，首项为1，最后一项为an＋1.

【自主解答】 实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an＋1，所以n＝1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1＋a＋a2.

【答案】

C

1．验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.

2．递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．

4．当f(k)＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k，则f(k＋1)＝f(k)＋________.

【解析】 f(k＋1)＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－1k＋，

∴f(k＋1)＝f(k)＋12k＋1－1k＋.

【答案】 12k＋1－12k＋2