当前位置：文档之家 › 初二数学《三角形》拔高题

初二数学《三角形》拔高题

  • 格式：pdf
  • 大小：1.21 MB
  • 文档页数：28

三角形［全等三角形］［基础知识］1．全等三角形的基本判定方法有“边角边”，“角边角”，“角角边”，“边边边”四种．特别的是，在直角三角形中可用“边边角”即“斜边，直角边”来证明全等．证明两个三角形全等的要素是证明它们满足判定方法中的三个条件．通常使用逆向思维，从结果推导到已知．2．根据全等三角形的性质，它们的对应边，对应角，对应线段（角平分线，中线，高）都对应相等．我们常用全等三角形来证明线段和角的相等，线段和角的和差倍分等问题，还可用来证明直线的垂直与平行关系．3．三角形的内心：三角形内三条角平分线交于一点，它叫做三角形的内心．三角形内心到三角形三边的距离相等．［提示］○1在某些图形中，应添加辅助线以构造全等三角形，类似代数中的“辅助代数式”．（常用方法如截长补短法（如例2），倍长中线法（如例3）） ○2一题一般不止一种解法，应有选择性． ○3在竞赛中证明无需像平时那样严谨，有的推论可以不写． ［例题］1．如图1，已知BD ，CE 分别是ABC D 的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =．求证：①AP AQ =；②AP AQ ^．分析：由图可知要证AP AQ =据观察，AP 和AQ 位于ACQ D 和PBA D 对应相等，只需再证一角对应相等，即ACQ PBA = 即可．ＡBC():,9090,90,,9090,90BD CE ABC AC AB BEC BDC ABD BAC ACE BAC ABD ACEBP AC ACQ PBA ABD ACECQ AB ACQ PBA SAS AP AQCAQ PBD AC P CAP CAQ CAP QAP AP AQ D \ = =\ + = + = \ = ìï=ïïïD D = íïï=ïïî\D D \= = ^ + = \ + = =\^ 证明①分别是的边和上的高在和中≌②由①得即即.2．如图2，在ABC D 中，90BAC = ，AB AC =，BE 平分ABC ，CE BE ^，求证：12CE BD =． 分析：本题可按如图所示延长CE 和BABDA D ，得到BD CF =，又得BEF BEC D D ≌()():90,90,,,,,,,21122.BAC CE BEFCA F DBAFAC DAB FCA BDA AB AC FCA DBA FCA BDA SAS BD CFFEB CEB BEF BEC BE BE FBE CBE BEF BEC ASA EC E CE B F CF CECE C A F F B = ^\ = - = ìï = ïïïD D =íïï = ïïî\D D \=ìï = ïïïD D =íïï = ïïî\D D \==\== 证明在和中≌延长与交于≌点在和中.D 3．证明：在直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边的一半．已知：如图3－1，在ABC D 中，90ACB = ，CD 是中线．CB图2求证：12CD AB =． 分析：本题所求证的是“直角三角形斜边中线定理”， 有多种证法，在这里我们介绍“倍长中线”证法． 如图3－2所示作辅助线，可得一对全等三角形ADC D 和BDE D ，紧接着证ACB EBC D D ≌，就 可得到对应线段的比例关系了．()():,,,,9090,,,21..2,AD BD ADC BDE ADC BDE DC DE ADC BDE SAS AC BE A DBE AC BE ACB EBC AC BE ACB EBC C ACB EBC CB BC ACB EBC SAS AB C D E DC E CD CD A D BE B E ìï=ïïïD D = íïï=ïïî\D D \= = \ = \ =ìï=ïïïD D = íïï=ïïî\D D ===\\= 延长到证明在和中≌得≌使连在和中点4．如图4－1，ABC D 中，60A = ，ACB 的平分线CD 和ABC 的平分线BE 交于点G ．求证：GE GD =．分析：在题目条件中出现角平分线时，我们常从角平分线上一点向角的两边作 垂线，可得到一对全等三角形，在本题中也是如此．A CB 图3-1图3-2EBCA 评注： “倍长中线”是一种常用的辅助线，其目的是为了构造出全等三角形，将分散的条件集中到一个三角形中去．图4-1DBAC:42,60120,601,,20,,3,2.010,A ACB ABC CD ACB BE ABC BCG CBG CGB EGD G ACB GN GF GF GM GN GMAG CAB GAM GAN NGM NGA AGM Rt EGN Rt AG G GM AB GN AC GF B M C DG - =\ + =\ + = \ = = \==\=\ \ = =\ = + =D ^^D ^ 证明如图平分平分是平分线上一点同理是的连过平分线在和作中点()120,,.EGD NGM EGN DGM GN GM Rt EGN Rt DGM AAS GE GD ìï = = ïïï = íïï=ïïî\D D \=≌5．如图5－1，（1）已知ABC D 和111A B C D 中，11AB A B =，11BC B C =， 111100BAC B AC = = ，求证：111ABC A B C D D ≌．（2）前题中，若将条件改为11AB A B =，11BC B C =，11170BACB AC = = ，结论是否成立？分析：本题是典型的“SSA”特例，需要构造辅助直角三角形证全等．D 1D CA11图5-1BAC图4-2()()111111111111111111111111111111111:1:80,90,,,,,,.BAD B A D D D BAC B AC D D ABD A B D BAD B A D AB A B ABD A B D AAS BD B D BC B C Rt BDC Rt B D C B BD CA D B D C A D B D R D t D t B C R \ = = = = \ = ìï = ïïïD D = íïï=ïïî\D D \=ì=ïïD D íï=ïî\D ^D ^作于点于点解证明在和中≌在和中≌()()()1111111111*********,,,.2.52,B DC HL C C BAC B AC ABC A B C C C BC BC ABC A B C AAS ABC A B C \ = ìï = ïïïD D =íïï=ïïî\D D -D D 在和中≌结论不成立如图显然与6．如图6－1，在四边形ABCD 中，BC DC =，对角线平分DAB ．AB 与AD 的大小满足什么条件时，180D B + = ？请画图并证明你的结论． 分析：本题需对两种情况进行讨论：AB AD ¹和 AB AD =．这里提供的解法是作点C 在AB 和AD 构造全等三角形．()(作于点于点解①如图所示当时证明设平分在和中≌②当且时显然证明略:62,,:.,,18090,180,..AB AD D B AB AD AC DAB CE CFBC DC Rt BCE Rt DCF CE CF Rt BCE Rt DCF HL B CDFA C DCB E AB E CF AD ADC CDF AB AD B D B F -¹ + => \=ì=ïïD D íï=ïî\D D \ = \ + = + == = + = ^^ 7．如图7，已知AB CD ，AD BC ，AC 与BD 交于点O ，AE BD ^ 于点E ，CF BD ^于点F ，那么图中全等的三角形有 对． 分析：在此图中全等的三角形如下：A (A 1)B (B 1)C图5-2DAB DBC图6-2A B;;;;;.AED CFB AEO CFO ADO CBO ABO CDO AEB CFD ADB CBD D D D D D D D D D D D D ①≌②≌③≌④≌⑤≌⑥≌故应填6．8．如图8－1， 在ABC D 中，BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，AC AB BD =+，30C = ，求B的度数．分析：按截长补短法作辅助线．():82,,,,30,,2,,.60.AD BAC BAD CADAE AC AED ACD BAD CAD AD AD AED ACD SAS E C AE ACAE AB BE AC AB BDBE BD BDE E A AB E AE AC BC BDE DE - \ = ìï=ïïïD D = íïï=ïïî\D D \ = = ==+=+\= = \ = = = 延长到点解如图所示平使分和连在中≌9．如图9，在ABC D 中，5AB =，3AC =，则BC 边上的中线AD 的长l 的取值范围是（）． 分析：按倍长中线法作辅助线，可得一对全等三角形DEC D 和ABD D ，然后利用三角形的三边关系即可得到l 的取值范围．图8-1ABCAC图8-2图9评注： 在进行全等三角形有关的计数时可参考面积计数方法，分类计数，如在此题中可按三角形的面积从小到大分类，也可按相同顶点的三角形进行分类．这样做的好处就是不会漏数．A．14l << B．35l << C．23l << D．05l <<(),,:,,,5,8,42.,114,.DE AD ADB EDC ADB EDC AD E DE BD CD ADB EDC SAS EC AB AEC AC EC AE AE l AD AC AE ECAE l l A EC ìï=ïïïD D = íïï=ïïî\D D \==D +>\<<+>=\>>\<<解在和中≌延长到点使得连在中有即又即选 10． 如图10－1， 在四边形ABCD 中，E 是的中点，AD BC，设DCE S a D =，则ABCD S 四边形为？分析：延长CE 与DA ，可得一对全等三角形， 至此四边形的面积问题已成功转化为了三角形 的组合的面积问题．():102,,,22.ABCD CGD DCE AD BCAGE BCEAGE AGE BCE AEG AE BE AGE BCE AAS S S S a CE DA D D -\ = ìï = ïïïD D = íïï=ïïî\D D \=== 四边形解如图所示在和中延与≌长11． 如图11，ABC D 中，90C = ，A a =，以C 为中心将ABC D 旋转角q 到11A B C D 的位置（旋转过程中ABC D 的 形状保持不变）．B 点恰好在11A B 上，试用a 表示角q ． 分析： 分别表示a 和q 所表示的角的关系．利用三角形内角和 定理，等腰三角形的性质等解题．AD图10-1G B D图10-2图11()()()1111111111111111:,18018018018018018090901809090902.A A ACA ABA BCB CBB BCB B BCB ABC BCB ACB A a B ACB A CB CB CBB B a a q q a q a q a q a = = = = =\ = - + = - + = - + - - = -- + += +- = - - = -=\ = \ +-= -= 解又 12． 如图12，ABCD 中，60ABC = ， AD 平分BAC ，CE 平分ACB ，则AC 与AE CD +的大小关系为 ．分析：显然AC AE CD =+，作辅助线AF AE =，则 只需证CF CD =即可．而要想证它们相等，必须先证 ≌COD COF D D ．()()解分别平在上分在和中截取点得连≌使:60120,,601801806012018060,,,,.ABC BAC ACB AD CE BAC ACBCAD ACO AOC CAD ACO AOE COD AOC AE AF AOE AOF OAE OAF AO AO AOE A AC F A OF SAS A E A OF F OF =\ + =\ + =\ = - + = - = = = - = ìï=ïïïD D = íïï=ïïî\D D \ == ()在和中≌601206060,,,.AOE COF AOC AOF COF CODCOD COF COD COF CO CO OCD OCF COD COF ASA CD CFAC AF CF AE CD == - = - = \ = ìï = ïïïD D =íïï = ïïî\D D \=\=+=+13．如果一个三角形的两条角平分线又是它的两条高线，那么这个三角形的形状图12是 ．已知：如图13，在ABC D 中，AD ，BE 既是ABC D 的两条角 平分线，又是ABC D 的两条高线． 试判定ABC D 的形状并说明理由．分析：易证≌ADB ADC D D ，从而有AB AC BC ==，故 ABC D 是等边三角形．()解是的角平分线和高线在和中≌同理是等边三角形:,,90,,,.AD BE ABC BAD CAD ADB ADC BAD CAD ADB ADC AD AD ADB ADC ADB ADC ASA AB AC AB BCAB BC AC ABC D \ = = =ìï = ïïïD D =íïï = ïïî\D D \==\==\D 14．如图14－1，在ABC D 中，D ，E 是AB 上的两点，AD EB =，则AC BC + 与CD CE +的大小关系是 ． 分析：按倍长中线法作如图14－2所示辅助线， 可证≌GDF CEF D D ，利用三角形三边关系即可 证出AC BC CD CE +>+．图13图14-1图14-2()()取的中点连延长到点使得解如图所示在和中≌在和中≌连:142,,,,,,,,,,,,.AF BF AGF BCF AFG BFC GF CF AGF BCF SAS AG BC AD EB AF BFAF AD BF EB FD F AB F C EFD F CF G FE GFD CFE DFG EFC GF CF GF GF CF GD GA D CFE SAS GD CE-ìï=ïïïD D = íïï=ïïî\D D \===\-=-=ìï=ïïïD D = íïï=ïïî\D D \== .AC BC AC AG CD GD CD CE \+=+>+=+15． 如图15－1，在ABC D 中，90ACB = ， AC CB =，D 是AC 上一点，且AE 垂直BD 的延长线于点E ，且12AE BD =．求证： BD 是ABC 的平分线． 分析：要证BD 是ABC 的平分线，可证ABE CBE = ．采用截长补短法，延长AE 与BC 可得一对全等三角形，故得证．图15-1图15-2()证明如图所示在和中≌在延长与交于点和中:152,90,90,,,121,2,,90,.AED BCD ADE BDC FAC DBCACF DCB FCA ACB AC BD FAC DBC FCA ACB ASA AF BDAE BDAE AF AE FEAE FE ABE FBE AEB AE BC F B F E BE BE - = = = \ = ìï = = ïïïD D =íïï = ïïî\D D \==\==ìï=ïïïD D = = íïï=ïïî\ ()≌是的平分线.ABE FBE SAS ABE FBEBD ABC D D \ = \ 16．如图16， 在ABC D 中， AB AC =，直线l 过点A 且l BC ，ABC 的平分线与AC 和l 分别交于D ，E ，ACB 的平分线与AB和l 分别交于F ，G ．求证：DE FG =． 分析：欲证DE FG =，应先证≌AED AGF D D ．由等腰三角形和角平分线的性质可得ABE EBC ACG GCB = = = ，又由平行线的性质可得EAD GAF = ，进而可证≌AED AGF D D ．图16证明:,,,,,,,180,180AB AC ABC ACBABE EBC ACG GCB ABE EBC ACG GCB l BCAED EBC AGF GCB GAF ABC EAD ACB ABE AED ACG AGF EAD GAF AB AE AC AG AE AGAFG BFC GCB ABC ADE CDB EBC A =\ = = = \ = = = \ = = = = \ = = = \==\=\ = = - - = = - - ()在和中≌,,,.CB ADE AFGEAD GAF ADE AFG ADE AFG AE AG ADE AFG AAS DE FG \ = ìï = ïïïD D = íïï=ïïî\D D \=17．如图17，在ABC D 中，90BAC = ，四边形ABDE ， BCFG 是两个正方形，AB 的延 长线交DG 于点P ．求证： 2AC BP =．（辅助线提示：过点G 作 GH BP ^于点H ）分析：按如图所示作辅助线，可得 两对全等的三角形： ≌GBH BCA D D 和≌GHP DBP D D ，故有,,2,2.BH AC HP BP BH BP AC BP ====图17():,90909090,,,,90,,BCFG BC BG GBC GBH CBA BAC BCA CBA GBH BCAGHB BAC BGH ABC GBH BAC BG BC GBH BCA GBH BCA ASA BH AC GH BA BA BD GH BDGHP DBP GHP DBP GP \= = \ + = =+ = \ = ìï = = ïïïD D =íïï = ïïî\D D \===\= = = D D 证明四边形是正方形在和中≌在和中(),,22.H DPB GH BD GHP DBP AAS HP BP BH BPAC BP ìïïïï= íïï=ïïî\D D \==\=≌ 18．如图18－1，三所学校分别记作A ，B ，C ，体育场记作O它是ABC D 的三条角平分线的交点，O ，A ，B ，C 道路相连，一支长跑队伍从体育场O 出发，跑遍各校再回到O 指出哪条路线跑的距离最短（已知ABBC AC <<理由．几何语言表示，其次用作差法比较大小（可构造辅助用全等三角形）BCA 图18-1B CA图18-2()()()12312::;;..:,,~,18'.2,',',',''OABCO OACBO OBACO d d d AB AB AOB AOB BAO B AO AO AO AOB AOB SAS OB OB d d OA AB BC CO OA AC CB BO AB CO AC AC AB AB BO AB C -ìï=ïïïD D = íïï=ïïî\D D \=\-=+++-+++=+-=-=+解有三条线路①②③其中①的距离最短理由是记分别为线路①③在上的距截取离如图所示在和中≌()()1213'''''0..O AB B C B O CO B C B O d d d d OABCO -+-=-+<\<<\同理的距离最短19．有下列4个命题：①有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； ②有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；③三角形的六个边，角元素中，有五个元素分别相等的两个三角形全等； ④一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等．上述命题是否正确？若正确，说明理由；若不正确，请举出反例．分析：此题考察对于全等三角形判定的正确理解．这4个命题都是错误的，与判定标准无关．C B B'AH图19-1HA B图19-2图19-3B'A'BC 图19-4:4.:191,,',',AC AC ABC AB C BC B C ABC AH AH -ìï=ïïïD D =D íïï=ïïî解这个命题全部错误命题①的反例如图在和中但≌';:192,,',',AB C AB AB ABC ABC AC AC ABC AH AH D -ìï=ïïïD D =D íïï=ïïî命题②的反例如图在和中但≌';:194,, 1.6, 2.4, 3.6;''','' 2.4,'' 3.6,'' 5.4.'''''''''',',''',','',''ABC ABC AB AC BC A B C A B A C B C AB AC BCA B A C B C ABC A B C A A B B ABC A B C C C ABC AC A B BC A C D -D ===D =====\D D ìï = ïïï = ïïïD D = D íïï=ïïïï=ïïî命题③的反例如图作使作使∽在和中但≌''';:193,,,,,,,.,',,A B C ABC AD BE BC AC BAF BAC BC FA C BF BE ABC ABC AD AD ABC AB AB D -D = ìï=ïïïD D =D íïï=ïïî命题④的反例如图在中分别是边上的高作延长交于点在和中但≌'.,4.ABC D 综上所述这个命题全部错误20．如图20－1，OP 是AOB 的平分线，请利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：如图20－2，在ABC D 中，ACB 是直角，60B = ，AD ，CE 分别是BAC ，BCA 的平分线且相交于点F ，试判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．如图20－3，在ABC D 中，如果ACB 不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．分析：首先按要求作图，分别作两边的垂线，这样可用HL 判定其全等．先用SAS 判定AEF AGF D D ≌，得到AFEAFG = ，FE FG =，再用ASA 判定OP图20-1 图20-2图20-3CFG CFD D D ≌得到FG FD =，故FE FD =．D O P 图20-4G 图20-5B 图20-6()()(),,.,.:204,,,1.:205,12,,12,OE OE Rt OEC Rt OED EC ED Rt OEC Rt OED HL FE FD AD BACAG AE AEF AGF AF OP E E EC OA C ED OB D AC AG A AF AEF AGF E FG SAS A -ì=ïïD D íï=ïî\D D =- \ = ìï=ïïïD D = íïï=ïïî\D D \ ^^= 解如图所示在和中≌理由是如图所示平分在与中在上任取一点过点作于点于点≌在上截取连()(),.2223180236060,,,,,.34,.2.:206,FE AFG FE FG B AFE AFC AFE CFD GFC DFCGFC DFC CFG CFD CF CF CFG CFD ASA FG FD FE FD FE FD FGE F F FG AB G FH BC H = = + + =\ + = D \ = = = ìï = ïïïD D =íïï = ïïî\D D \===-^\ = ^ 为过点作于点于的外角在和中≌仍成立理由点是如图所示()902360,36011,,90,.HD F ABC GEF BAC FG FEHDF B GEF HDFGEF HDF EGF DHF FGE FHD FG FH EGF DHF AAS FE FD =+ = D \ = + = + = = + \ = ìï = ïïïD D = = íïï=ïïî\D D \= 是的内心在和中≌21．如图21，在ABC D 中，AD 是BAC外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点， 设PB m =，PC n =，AB c =，AC b=则()m n +与()b c +的大小关系是 ．分析：按如图取BA 延长线上的点E 使得 AE AC =，连ED ，EP ，证出ACP AEP D D ≌，推出CP EP =，根据三角形三边关系可证出m n b c +>+．():,,,.,,.,AD A CAD EADAE AC ACP AEP CAD EAD AP AP ACP AEP SAS P BA E AE AC ED E E PCPB PE AB AE m P n b c \ = ìï=ïïïD D = í=ïï=ïïî\D D \=\+>++>+ 解是的外角平分线在和中在的延长线上截取点使得≌连 ［直角三角形］1［基础知识］有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．关于它有如下几个重要的定理： 1．两锐角互余；2．斜边上的中线等于斜边的一半；3．两直角边的平方和等于斜边的平方；4．在直角三角形中，如果一个角是30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半；5．在一个三角形中，如果一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是直角三角形； 6．在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30 ．［例题］22．如图22，D ，E 是等边ABC D 两边上的两个点，AE =连BE ，AD 交于点P ，过点B 作BQ AD ^于点Q ．求证：:2BP PQ =．注：1 “直角三角形”在数学教材中并不是单独成节的内容．DBC图21AB图22(),:,,603012: 2.CA AB CAD ABE C EAB CD AE CAD ABE SAS CAD ABEQPB PAB PBA PAB PAE BP AD QBP PQ BP BP PQ ìï=ïïïD D = íïï=ïïî\D D \ = \ = + = + = ^\ = =\= 证明在和中≌23．已知ABC D 中，AB AC =，120A = ， D 是BC 的中点，DE AB ^于点E ．求证： 3BE AE =．:,1203012,903012243.AB AC A B C D BC AD BD AD AB DE AB ADE BAD B AE AD BE AB AE AD AE AE AE AE = = \ = = \^=^ = - = = \=\=-=-=-= 证明是的中点24．如图24－1，已知ABC D 中，30B = ，15C = ，D 是BC 上一点，90CAD = ．求证：2CD AB =．:242,,23,.022.AM MC MD CAM CA DC M AM MD CAM C CB AM ABCD AM AB -\== = \ = + = = = =\==取中点连证明如图CBA图23A BC 图24-1 M ABC图24-225．如图25－1，在D BD ，CE 是两条高，F BC ，DE FG DE ^．:252,,1212.,BD AC F BC DF BC EF BC DF EFG DE F F G DE D -^\==\=\^ 证明如图为的中点同理为的中点连 26．如图26，在ABC D 中，90B = ，M 为AB 使得AM BC =，N 为BC 上一点，使得CN BM =AN ，CM 交于点P ，试求APM 的度数．(),,,.:,,,,,,90,CD AM AMCD CD AM AMCD AD CM AD CMAM BCDC BCDC BC Rt DCN Rt CBM DCN B CN BM Rt DCN Rt CBM SAS DN CMC CD DN AB CD AM A ADADN MQN MCB QNC MCB D DN ì=ïïíïïî\\==\=ìï=ïïïD D = = íïï=ïïî\D D \== = = + = + = 解如图在四边形中四边形是平行四边形在和中过点作且连≌904545.CMB AND Rt DAN APM DAN = \D D \ == = 是等腰27．如图27，90BAC = ，AB AC =，M 是的中点，AD BM ^交BC 于D ，交BM 于E AMB DMC = ．分析：AMB 和DMC 所在的AME D 和DMC D 显然不全等，但这启示我们构造其它的全等三角形． 由于45C = ，90BAC = ，若作BAC的平分线AG ，结合求证中的条件AMB DMC = ，我们可断言FB C A 图25-1F BCA 图25-2D NMA C图26图27G DE CAGM CDM D D ≌，为证明，应找出另一对全等的三角形AGB CDA D D ≌，这样便建立了相对完整的证明链．():,,45,90,.90,4,.,5AB AC AGB ADC BAG ACD ABG AMB MAD EAB AE BMAMB EABABG MADAGB ADC ASA AG CDAM CM AMG CMD GA BAC AG BM M DCM AG C A G D M ì=ïïD D íï = = ïîì = - ïï\íï = - ïî^\ = = \D D \=ìï=ïïïD D = = íïï=ïî\ ïD 作的平分线证明在和中①②由①②得≌在和中交有于点().G CMD SAS AMB DMC D \ = ≌28．如果三角形两条边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形（ ）． 已知：如图28，在ABC D 中，AC ，BC 的垂直平分线ME ，MD 交AB 于点M ． 试判断ABC D 的形状并说明理由． :,,18090.AC BC M AB AM BM CMA ACMB BCMA ACMB BCM A B Rt \==\ = = + + + = \ + = \D 解的中垂线的交点在上该三角形为29． 如图29，锐角ABC D 中，BC AB <， AH 是边BC 上的高，BM 是边AC 上的中线， AH BM =．那么（ ）． C图28图29D H CA．是锐角三角形 B．是钝角三角形 C．是直角三角形 D．是等腰直角三角形A．30MBC = B．45MBC = C．30MBC > D．30MBC <:,.11221,230.MD BC D AH MDM AC MD AH BM Rt MBD MD BMMBC ^\\==D =\ = 解如图作于点是的中点在中30． 如图30，在ABC D 中，90C = ，67B = ，CM 为斜 边上的中线，CH 为斜边上的高．求MCH 的度数．分析：由中线可知CM BM =，继而得到67MCB B = = ， 故可求MCH 的度数．:67902344.CM BM MCB B BCH B MCH MCB BCH =\ = == - =\ = - = 解31． 如图31，Rt ACB D 中CD 是斜边上的高，A 的平分线AE 交CD 于点H ，交BCD 的平分线CF 于点G ．求证：HF BC ．:90......,,BAD CADECG HCG CAH DAHACG CAG ACH HCG CAG ACH HAD CAG CG AG CE CH HG GE CG GF CGE FGH CGE FGH ECG HFG HF BC= \ = = = + = + + = + + = \^=\== = \D D = \ 简证易得又可证≌32． 如图32，等腰Rt ABC D 中90C = ，M ，NAC ，BC 的中点，点D 在射线BM 上且2BD BM =在射线NA 上且2NE NA =．求证：BD DE ^． （辅助线提示：过点E 作EF AD ^于点F ）:90..CAN EFA EFD DAM EDF EF AD F ADM D D D D \ + = ^作于点简证则≌≌≌ 33． 如图33，在ABC D 中，90C = ，D 为AB 上一点图30ACBBCAD图32，作DE BC ^于E ，若BE AC =，12BD =2DE BC +=，求证：30ABC = ．（辅助线提示：延长BC 使得CF DE =，连AF :221,9011230.,,.BC DE BF ACF BEDAF BD FAC BFAB FAC BAC BC F C B BAC AF BCF DE F B A +=\=D D \== = = + = + ====\ = 简证易证≌长使又延到连 ［等腰三角形］［基础知识］1．有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．等腰三角形具有底角相等，三线合一等性质．它的判定有：○1有两个边相等或两个角相等的三角形是等腰三角形（即等角对等边）；○2符合“三线合一”性质，即顶角的角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合的三角形是等腰三角形．2．三条边都相等的三角形叫做等边三角形．等边三角形是特殊的等腰三角形．它的判定有：○1三个边都相等的三角形是等边三角形；○2三个角都相等的三角形是等边三角形；○3有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形；○4有两个角等于60 的三角形是等边三角形．3．等腰直角三角形具有所有三角形的性质．特有性质：○1两底角等于45 ；○2两腰相等． 4．在初中数学范围内，三角形内的五个特殊点简称“五心”．参考资料： /view/1413274.htm［提示］在含等腰三角形的题目中，常用的辅助线为：作等腰三角形底边上的高，这样可得一对全等三角形，解题突破口往往在于等腰三角形对称轴的选择．在一个角为60 的情况下，构造等边三角形也是不错的选择．［例题］34． 如图34，'AA ，'BB 分别是EAB ， DBC 的角平分线，若''AA BB AB ==，则 BAC 的度数为 ． F E B图34()():.''2,4'''41'1802118044180212.BAC x AB BB B BD x CBD x AB AA AA B ABA CBD xA AB x x x x x = =\ = ==\ = = = = -\ -++= = 解设又解得35．如图35，D 为等边ABC D 内一点，BF AB =，DBF=求BFD 的度数． （辅助线提示：连CD ）()():,60,,,1302.,,,30.ABC AB AC BC ACB AC BC ACD BCD AD BD CD CD ACD BCD SSS ACD BCD ACB BF AB BF BCBF BC BFD BCD DBF DBC BD BD BFD BCD SAS BFD BCD CD D \== =ìï=ïïïD D =íïï=ïïî\D D \ = = ==\=é=êêD D = êê=êë\D D \ = = 解等边在和中≌在和中≌连36． 如图36，在等腰Rt ABC D 中，90BAC = ， AD AE =，AF BE ^交BC 于F ，过F 作FG CD ^交BE 延长线于点G ．求证：BG AF FG =+．（辅助线提示：过点C 作CP AB 交AF 的延长线于P ）B图35图36 MP GEDAC:,,,,,90,90,45,.45A B E A PC A F B E A B E C A P C P A C A B A C A B E A PC B E A P A B E A C D A B A C B A C C A B A E A D A B E A C D A B E A C D A EB A B E C M F A C D A EB C M C F C M F P C P A B A F P A C B F C P D D ^\ = ^=\D D \=D D = = =\D D \ = + = + = \ = = = \ = \ 简证在和中≌过点作交的延长线于点①在和中≌,.M C F F C P F C F C M C F PC F M F PF A EB C M F M G E EG M G B E EG A P M G A F F P M G A F F M M G B G A F F G = =\D D \= = \D \=+=+=++=++\=+ 又≌②等腰③由①②③得37．如图37，五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，180ABC AED + =求证：AD 平分CDE ．（辅助线提示：延长DE 到F ，使得EF BC =()():180,,,,,,,,,,,.ABC AED AEF AED ABC AEFAB AE ABC AEF ABC AEF BC EF ABC AEF SAS AC AFCD BC DE EF DE DF AC AF ACD AFD C DE F EF BC D DF AD AD AF AC ACD AFD SSS + = + =\ = ìï=ïïïD D = íïï=ïïî\D D \==+=+=ìï=ïïïD D =íïï=ïïî\D =D 延长到使得连证明在和中≌在和中≌.ADC ADF AD CDE \ = \ 平分38．如图38，等腰ABC D 中，AB AC =，A =AD BC =，求BDC 的度数．（辅助线提示：作EAD ABC D D ≌，连EC ）39．（多证法实验题．．．．．．） 如图39－1，等腰ABC D 中，AB AC =，A BE 平分ABC ，求证：AE BE BC +=．（辅助线提示：○1在BC 上截取BG BE =，连FB图37EB A图38 评注： 本题这里用到了一种特殊的辅助线作法“作全等三角形”，事实证明构造等边三角形来解题是一种很重要的解题方法． :,208080,20,6060,4070180180,.AD BC A ABC ACB EAD ABC EAD ABC AED AE DE AB AC EAC EAD CAB AEC AEC ACE DEC CEA AED ED EA EC EDC ECD BDC EDC ADE EAD ABC EC = = \ = = D D \ = = = === = - =\D \ = = = - = ==\ = = \ = - - = D D 解≌≌等作图连如边A图39-1○2作EF BC 交AB 于点F ） :440,780,5100,312,640,.,4..BC BG BE EG E A AEF AF AEFB ECEF FBABC AEF GEC AE G E CAE BE G F BC AB F C BG BC = = = = D =\= = = \= = = = \D D \=\+==+= 简证易证故易证等腰故在上截取连过作交又≌于又40．如图40， 在ABC D 中，60ABC = ，ACB =中线AD ，CF 交于点P，角平分线BE 分别交AD ，CF Q ，S ．则图中等腰D 的个数是 ．:,2.ADC PSQ D D D 解仅为等腰故填41．如果一个三角形的外角平分线平行于三角形的一条 边，那么这个三角形一定（ ）．评注： 本题为多证法实验题，在此另附几种证法的辅助线示意图，请大家自行探索．NB图39-2 BA图39-3BA图39-4 ,,,.BE G EG EA A AM BC M B BN GA N =^^延长到使过作于过作于,,,.BC BG BE EG BC BF BA EF ==在上截取连在上截取连,,.,.BE G BG BC CG BC BF BA EF ==延长到使连在上截取连DABCB图41:41,,,.EAD CAD AD BC EAD B CAD C B C AB AC ABC = \ = = \ = =\D 解如图所示等腰A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是等腰三角形 D．是等腰直角三角形42． 如图42，60ABC BCD = = ，30AD BC +=，BD 平分ABC ，AD BC ，则四边形ABCD为 ．（辅助线提示：延长BA ，CD 交于点E）:60,,12,130,20,10250,.ABCD ABC BCD AD BC BCE ADE AB ADBD BCD ED CD CEAD ED CE BC BC BC BC CD AD AB C BA CD E = = \D D \= \====\+=====\= 四边形解均等边平分延长交于点43． 如图43，在等腰ABC D 中AB AC =，AD E 为AC 上一点且AE AD =，12EDC = 66B = ．:9012,78180102,1806666.AE AD AED ADE AD BCADE EDC EDC AED ADE DEC EDC DEC C DEC EDC C AB AC B C =\ = ^\ + == \ = = \ = - =D + + = \ = =\ = = 证明在中44．如图44－1，已知六边形ABCDEF 的各个内角等于120度，5AB AF +=，6AF FE +=，AB CD =，则六边形ABCDEF 的周长为 ． （辅助线提示：延长AB ，CD ，EF 交于PB 图42BA图43ABD E图44-1P图44-2:,,,,,.44-2,,,,5,6,5,6,5,1,515617,,,,..ABCDEF a b c d e f PBC AQF DER PQR a f f e a c PQR f a b b c d d e fa f e f c fb f d fa b c d e f f f f f AB CD EF P Q f f R D D D D +=+==D \++=++=++=-=-=-=+=\+++++=-+++-++-+= 解令六边形的各边长分别为如图易证均等边①②③又等边由①得由②得由③①得易知延长交于45．已知等腰ABC D 中一腰上的高等于1，这条高与底边的夹角等于45 ，求ABC S D ．1:45,,.2ABC Rt D D 解如图易证为等腰故面积为46． 如图46， 在ABC D 中，5AC BA ==，ACB =O 为ABC D 内一点，且10OAB = ，30OBA= AO 的长是 ．（辅助线提示：过点C 作CP AB ^交OB 于点P ，连AP:40,202040.5,.BCP ACP CAP PAO C CP A AOP OAB ABO ACP AOPA B OB P P O A A C \ = = = \ == + =\D D \=^= 解≌过作交于连47． P 是等边ABC D 的BC 边上任意一点，连AP ，以P 为顶点作60APQ = ，PQ 交ACB 的外角 平分线于点Q ．那么APQ D 是什么三角形？证明你的结论．AC图46BC PA 图47 :.:47,,60,12060,12060,,12060,18060,A P Q ABC A B A C A C B A CD C Q A C DA C Q D C Q P C Q PB E P E B E P B B P B EA E AB B E BC B P C P P E A A P Q A P E Q P C E P P E A C A B A P Q A P E E BD D \= = = \ = = = D \ = = =\=-=-= == \ + = - - = 解等边证明按如图所示作图等边平分易证等边作交于点()60,,,120,.Q P C P Q CA P E P Q C A E P P C Q A E P C P E A P C Q A E P P C Q A SA A P A Q A P Q = - = ìï = ïïïD D =íïï = = ïïî\D D \=\D 在和中≌等边48． 如图48，在ABC D 中，60C = ，AC BC >，分别以AB ，AC ，BC 为边作 ABC D 的形外等边三角形'ABC D ，'ACB D'BCA D ．⑴求证：''C BD B DC D D ≌； ⑵求证：''AC D DB A D ≌；⑶试比较ABC D ，'ABC D ，'CAB D ()()()111111111111*********:1,,60,,,.2,3.A BC A B C A B C AB C A B C A B C A BC AB C B D B C A B B C C B D C B D A B C C D A C B C D C A C BC B C A D C B D B B A C B D BD C C D A C A B D B A B C A A C D D BA S S S S S S S S D D D D D D D D == = + \D D \===\D D \=\D D ====\D D >>>+=+ 简证≌≌≌≌①②图48。

合集下载

五四制(山东)初二数学上册第一章《三角形》重难点题型总结(1)

五四制(山东)初二数学上册第一章《三角形》重难点题型总结(1)

五四制（山东）初二数学上册第一章《三角形》重难点题型总结【考点1三角形中“三线”概念辨析】【方法点拨】解决此类问题的关键是掌握三角形的角平分线，中线，线段的定义；根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上进行判断．【例1】下列说法错误的是（）A．三角形的高、中线、角平分线都是线段B．三角形的三条中线都在三角形内部C．锐角三角形的三条高一定交于同一点D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点【变式1-1】下列说法中错误的是（）A．三角形三条高至少有一条在三角形的内部B．三角形三条中线都在三角形的内部C．三角形三条角平分线都在三角形的内部D．三角形三条高都在三角形的内部【变式1-2】如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，AF 是中线，则下列说法中错误的是（）A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90°C．∠BAF＝∠CAFD．S △ABC ＝2S △ABF【变式1-3】如图，△ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 中点，延长BG 交AC 于E，F 为AB 上一点，且CF⊥AD 于H，下列判断，其中正确的个数是（）①BG 是△ABD 中边AD 上的中线；鲁教版五四制初中数学辅导②AD 既是△ABC 中∠BAC 的角平分线，也是△ABE 中∠BAE 的角平分线；③CH 既是△ACD 中AD 边上的高线，也是△ACH 中AH边上的高线．A．0B．1C．2D．3【考点2三角形中线的应用】【方法点拨】解决此类问题的关键是三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比．【例2】如图，△ABC 中，点D 是AB 边上的中点，点E 是BC 边上的中点，若S △ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是（）A．6B．4C．3D．2【变式2-1】如图，在△ABC 中，点D、E 分别为BC、AD 的中点，EF＝2FC，若△ABC 的面积为12cm 2，则△BEF 的面积为（）A．2cm 2B．3cm 2C．4cm 2D．5cm 2【变式2-2】如图，在△ABC 中，点D，E，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD，BE，CF 交于一点G，BD＝2DC，S △BGD ＝16，S △AGE ＝6，则△ABC 的面积是（）鲁教版五四制初中数学辅导A．42B．48C．54D．60【变式2-3】如图，△ABC 的三边的中线AD，BE，CF 的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S △ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是（）A．3B．4C．5D．6【考点3三角形的三边关系】【方法点拨】掌握三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边是解题关键.【例3】4根小木棒的长度分别为2cm，3cm，4cm 和5cm．用其中3根搭三角形，可以搭出不同三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式3-1】长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（）A．4B．5C．6D．7【变式3-2】已知a，b，c 是一个三角形的三边长，化简|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝．【变式3-3】△ABC 三边的长a、b、c 均为整数，a＞b＞c，a＝8，则满足条件的三角形共有个．【考点4利用三角形的高和角平分线性质求角】【例4】如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝38°，∠C＝64°．鲁教版五四制初中数学辅导（1）求∠DAE 的度数；（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F 在DA 的延长线上，FE⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），请用α、β的代数式表示∠DFE．【变式4-1】如图，在△ABC 中，∠B＜∠ACB，AD 平分∠BAC，P 为线段AD 上的一个动点，PE⊥AD 交直线BC 于点E．（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E 的度数；（2）当点P 在线段AD 上运动时，求证：∠E =12(∠ACB −∠B)．【变式4-2】如图，AD、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠B＝50°，∠ACB＝80°．点F 在BC 的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG 与AB 相交于点G．（1）求∠AGF 的度数；（2）求∠DAE的度数．【变式4-3】△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AE 是△ABC 的高．（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝62°，请说明∠DAE 的度数；（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C 的数量关系；（3）如图3，延长AC 到点F，∠CAE 和∠BCF 的角平分线交于点G，求∠G 的度数．鲁教版五四制初中数学辅导【考点5直角三角形的性质（一组垂直关系）】【方法点拨】解决此类问题的关键是掌握同角（等角）的余角相等.【例5】如图，CD 是直角△ABC 斜边AB 上的高，CB＞CA，图中相等的角共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【变式5-1】如图，AD⊥BC，垂足为D，点E 在AC 上，且∠A＝30°，∠B＝40°．求∠BFD 和∠AEF 的度数．【变式5-2】已知：如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是高，AE 是△ABC 内部的一条线段，AE 交CD 于点F，交CB 于点E，且∠CFE＝∠CEF．求证：AE平分∠CAB．【变式5-3】在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，P 是射线BC 上一动点（与B，C 点不重合），连接鲁教版五四制初中数学辅导AP．过点C 作CD⊥AP 于点D，交直线AB 于点E，设∠APC＝α．（1）若点P 在线段BC 上，且α＝60°，如图1，直接写出∠PAB 的大小；（2）若点P 在线段BC 上运动，如图2，求∠AED 的大小（用含α的式子表示）；（3）若点P 在BC 的延长线上运动，且a≠50°，直接写出∠AED 的大小（用含α的式子表示）．【考点6全等形的概念及应用】【方法点拨】解决此类问题根据能够完全重合的两个图形叫做全等形求解即可.【例6】下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（）A．B．C．D．【变式6-1】下列四个图形中，属于全等图形的是（）鲁教版五四制初中数学辅导A．③和④B．②和③C．①和③D．①②【变式6-2】如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）．【变式6-3】如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝．【考点7全等三角形性质的应用】【方法点拨】解决此类问题要抓住全等三角形的对应边相等，对应角相等，利用线段相等或角度之间的关系进行等量代换即可求解.【例7】如图，点B、E、A、D 在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AB＝7，AE＝2，则AD 的长是（）A．4B．5C．6D．7【变式7-1】如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC 的延长线交DE 于F，∠B＝∠D＝25°，∠ACB＝∠AED＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB 为（）鲁教版五四制初中数学辅导A．40°B．50°C．55°D．60°【变式7-2】如图，△ABC≌△AED，连接BE．若∠ABC＝15°，∠D＝135°，∠EAC＝24°，则∠BEA 的度数为（）A．54°B．63°C．64°D．68°【变式7-3】若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF 的周长为奇数，则EF 的值为（）A．3B．4C．1或3D．3或5【考点8判断全等三角形的对数】【方法点拨】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找．【例8】如图，AC、BD 相交于点E，AB＝DC，AC＝DB，则图中有全等三角形（）A．1对B．2对C．3对D．4对【变式8-1】如图，在AB、AC 上各取一点E、D，使AE＝AD，连接BD、CE 相交于点O，再连接AO、BC，若∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）鲁教版五四制初中数学辅导A．5对B．6对C．7对D．8对【变式8-2】如图，已知A、B、C、D 四点共线，AE∥DF，BE∥CF，AC＝BD，则图中全等三角形有（）A．4对B．6对C．8对D．10对【变式8-3】如图，AB∥CD，AD∥BC，AC 与BD 相交于点O，AE⊥BD，CF⊥AC，垂足分别是E，F．则图中共有（）对全等三角形．A．5B．6C．7D．8【考点9网格中全等三角形个数问题】【方法点拨】认真观察图形，利用SSS 判断即可．【例9】如图，在4×4方形网格中，与△ABC 有一条公共边且全等（不与△ABC 重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个鲁教版五四制初中数学辅导【变式9-1】如图，△DEF 的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，选取图中三个格点组成三角形，能与△DEF 全等（重合的除外）的三角形个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式9-2】如图，方格纸中△DEF 的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与△DEF 全等的格点三角形有（）个．A．9B．10C．11D．12【变式9-3】如图为正方形网格，顶点在格点上的三角形称为格点三角形，每个小正方形均为边长为1的正方形，图中与△ABC 全等的格点三角形（不含△ABC）共有（）个．A．4B．16C．23D．24【考点10全等三角形的判定（选择条件）】【方法点拨】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【例10】如图，点C、D 分别在BO、AO 上，AC、BD 相交于点E，若CO＝DO，则再添加一个条件，仍不能证明△AOC≌△BOD 的是（）鲁教版五四制初中数学辅导A．∠A＝∠B B．AC＝BD C．∠ADE＝∠BCE D．AD＝BC【变式10-1】如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC C．∠B＝∠E，∠A＝∠D D．BC＝DC，∠A＝∠D 【变式10-2】如图，AB＝DC，BF＝CE，需要补充一个条件，就能使△ABE≌△DCF，小明给出了四个答案：①AE＝DF；②AE∥DF；③AB∥DC；④∠A＝∠D，其中正确的是（）A．①③B．①②C．①②③D．①②③④【变式10-3】如图，已知：在△AFD 和△CEB，点A、E、F、C 在同一直线上，在给出的下列条件中，①AE ＝CF，②∠D＝∠B，③AD＝CB，④DF∥BE，选出三个条件可以证明△AFD≌△CEB 的有（）组．A．4B．3C．2D．1鲁教版五四制初中数学辅导【考点11全等三角形的判定（判定依据）】【方法点拨】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【例11】如图，在∠AOB 的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N 作OA、OB 的垂线，交点为P，画射线OP，则OP 平分∠AOB 的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 【变式11-1】工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA，OB 上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N 重合，过角尺顶点C 作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【变式11-2】如图，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，PA＝PB．则△OAP≌△OBP 的依据不可能是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 鲁教版五四制初中数学辅导【变式11-3】一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了（）A．带其中的任意两块B．带1，4或3，4就可以了C．带1，4或2，4就可以了D．带1，4或2，4或3，4均可【考点12全等三角形的判定与性质】【方法点拨】全等三角形的判定：全等三角形的4种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【例12】如图，已知AB＝AC，BD＝CD，过点D 作DE⊥AB 交AB 的延长线于点E、DF⊥AC 交AC 的延长线于点F，垂足分别为点E、F．（1）求证：∠DBE＝∠DCF．（2）求证：BE＝CF．【变式12-1】如图，三角形ABC 中，AD⊥BC 于D，若BD＝AD，FD＝CD．（1）求证：∠FBD＝∠CAD；（2）延长BF 交AC 于点E，求证：BE⊥AC．鲁教版五四制初中数学辅导【变式12-2】如图1，在△ABC 中，AB＝AC，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．（1）求证：∠ABE＝∠ACE；（2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F，CE 的延长线交AB 于点G．求证：EF＝EG．【变式12-3】已知：D，A，E 三点都在直线m 上，在直线m 的同一侧作△ABC，使AB＝AC，连接BD，CE．（1）如图①，若∠BAC＝90°，BD⊥m，CE⊥m，求证：△ABD≌△ACE；（2）如图②，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，请判断BD，CE，DE 三条线段之间的数量关系，并说明理由．【考点13全等三角形中的动点问题】【例13】如图，已知在△ABC 中，AB＝AC，BC＝12厘米，点D 为AB 上一点且BD＝8厘米，点P 在线段BC 上以2厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，设运动时间为t，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．（1）用含t 的式子表示PC 的长为；（2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t＝2时，三角形BPD 与三角形CQP 是否全等，请说明理由；（3）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，请求出点Q 的运动速度是多少时，能够使三角形BPD 与三角形CQP 全等？鲁教版五四制初中数学辅导【变式13-1】如图，在△ABC 中，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝8．点P 从点A 出发，沿折线AC﹣﹣CB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，点Q 从点B 出发沿折线BC﹣CA 以每秒3个单位长度的速度向终点A 运动，P、Q 两点同时出发．分别过P、Q 两点作PE⊥l 于E，QF⊥l 于F．设点P 的运动时间为t（秒）：（1）当P、Q 两点相遇时，求t 的值；（2）在整个运动过程中，求CP 的长（用含t 的代数式表示）；（3）当△PEC 与△QFC 全等时，直接写出所有满足条件的CQ 的长．【变式13-2】如图①，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A 出发，沿着三角形的边AC→CB→BA 运动，回到点A 停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝112或192时，△APC 的面积等于△ABC 面积的一半；（2）如图（2），在△DEF 中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC 的边上，若另外鲁教版五四制初中数学辅导有一个动点Q，与点P 同时从点A 出发，沿着边AB→BC→CA 运动，回到点A 停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q 的运动速度．【变式13-3】如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB 垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在射线BD 上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P 运动结束时，点Q 运动随之结束）．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t＝1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q 的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q 运动到何处时有△ACP 与△BPQ 全等，求出相应的x 的值．【考点14尺规作图】【例14】如图，已知∠1与线段a，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）：（1）作∠A＝∠1；（2）在∠A 的两边分别作AM＝AN＝a；（3）连接MN．【变式14-1】已知∠α，线段a，b，求作：△ABC，使∠B＝∠α，AB＝2a，BC＝b．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明）【变式14-2】如图，已知∠1与线段a，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）：鲁教版五四制初中数学辅导（1）作∠A＝∠1；（2）在∠A 的两边分别作AM＝AN＝a；（3）连接MN．【变式14-3】已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝2∠α，AB＝2α．（保留作图痕迹，不写作法）鲁教版五四制初中数学辅导参考答案与解析【例1】【分析】根据三角形的角平分线，中线，线段的定义；根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上进行判断．【解答】解：A、三角形的高、中线、角平分线都是线段，故正确；B、三角形的三条中线都在三角形内部，故正确；C、锐角三角形的三条高一定交于同一点，故正确；D、三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．故选：D．【点评】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解．【变式1-1】【分析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、三角形三条高至少有一条在三角形的内部，故正确；B、三角形三条中线都在三角形的内部，故正确；C、三角形三条角平分线都在三角形的内部，故正确．D、直角三角形有两条高就是直角三角形的边，一条在内部，钝角三角形有两条高在外部，一条在内部，故错误．故选：D．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记概念以及在三角形中的位置是解题的关键．【变式1-2】【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．【解答】解：∵AF 是△ABC 的中线，∴BF＝CF，A 说法正确，不符合题意；∵AD 是高，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，B 说法正确，不符合题意；∵AE 是角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，C 说法错误，符合题意；∵BF＝CF，∴S △ABC ＝2S △ABF ，D 说法正确，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．【变式1-3】【分析】根据三角形的高，中线，角平分线的定义可知．鲁教版五四制初中数学辅导【解答】解：①G 为AD 中点，所以BG 是△ABD 边AD 上的中线，故正确；②因为∠1＝∠2，所以AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，AG 是△ABE 中∠BAE 的角平分线，故错误；③因为CF⊥AD 于H，所以CH 既是△ACD 中AD 边上的高线，也是△ACH 中AH 边上的高线，故正确．故选：C．【点评】熟记三角形的高，中线，角平分线是解决此类问题的关键．【例2】【分析】根据S △ABC ＝12和点D 是AB 边上的中点，点E 是BC 边上的中点，即可得到△DEC 的面积，从而可以解答本题．【解答】解：∵S △ABC ＝12，点D 是AB 边上的中点，∴S △ACD ＝S △BCD ＝6，又∵点E 是BC 边上的中点，∴S △BDE ＝S △CDE ＝3，即阴影部分的面积是3，故选：C．【点评】本题考查三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式2-1】【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积，可得△ABE、△DBE、△DCE、△AEC 的面积相等，从而计算△BEC 的面积，根据EF＝2FC，可得结论．【解答】解：∵D 是BC 的中点，∴S △ABD ＝S △ADC （等底等高的三角形面积相等），∵E 是AD 的中点，∴S △ABE ＝S △BDE ，S △ACE ＝S △CDE （等底等高的三角形面积相等），∴S △ABE ＝S △DBE ＝S △DCE ＝S △AEC ，∴S △BEC =12S △ABC ＝6cm 2．∵EF＝2FC，∴S △BEF =23S △BCE ，∴S △BEF =23S △BEC ＝4cm 2．故选：C．【点评】此题考查了三角形的面积，根据三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分解答．【变式2-2】【分析】根据两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比，求出S △CGD ，S △CGE 的大小，进而求出S △BCE 的大小；然后根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，用S △BCE 的面积乘以2，求出△ABC 的面积即可．【解答】解：∵BD＝2DC，∴S △CGD =12S △BGD =12×16＝8；∵E 是AC 的中点，∴S △CGE ＝S △BGE ＝6，∴S △BCE ＝S △BGD +S △CGD +S △CGE 鲁教版五四制初中数学辅导＝16+8+6＝30∴△ABC 的面积是：30×2＝60．故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的面积的求法，以及三角形的中线的特征，解答此题的关键是要明确：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比．【变式2-3】【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC 的面积即为阴影部分的面积的3倍．【解答】解：∵△ABC 的三条中线AD、BE，CF 交于点G，AG：GD＝2：1，∴AE＝CE，∴S △CGE ＝S △AGE =13S △ACF ，S △BGF ＝S △BGD =13S △BCF ，∵S △ACF ＝S △BCF =12S △ABC =12×12＝6，∴S △CGE =13S △ACF =13×6＝2，S △BGF =13S △BCF =13×6＝2，∴S 阴影＝S △CGE +S △BGF ＝4．故选：B．【点评】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，正确的识别图形是解题的关键．【例3】【分析】先写出不同的分组，再根据三角形的任意两边之和大于第三边对各组数据进行判断即可得解．【解答】解：任取3根可以有一下几组：①2cm，3cm，4cm，能够组成三角形，②2cm，3cm，5cm，∵2+3＝5，∴不能组成三角形；③2cm，4cm，5cm，能组成三角形，③3cm，4cm，5cm，能组成三角形，∴可以搭出不同的三角形3个．故选：C．【点评】本题考查了三角形的三边关系，按照一定的顺序进行分组才能做到不重不漏．【变式3-1】【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论．【解答】解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；综上所述，得到三角形的最长边长为5．鲁教版五四制初中数学辅导故选：B．【点评】本题考查了三角形的三边关系，利用了三角形中三边的关系求解．注意分类讨论，不重不漏．【变式3-2】【分析】根据三角形三边关系得到a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解．【解答】解：∵a，b，c 是一个三角形的三条边长，∴a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝a+c﹣b﹣b+c﹣a+a﹣b﹣c＝a﹣3b+c，故答案为：a﹣3b+c．【点评】考查了三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减，关键是得到a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0．【变式3-3】【分析】结合三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”和已知条件，进行分析．【解答】解：根据已知条件和三角形的三边关系，得当a＝8，b＝7时，则c＝6或5或4或3或2；当a＝8，b＝6时，则c＝5或4或3；当a＝8，b＝5时，则c＝4．则满足条件的三角形共有9个．故答案为：9．【点评】考查了三角形三边关系，此题要能够把已知条件和三角形的三边关系结合起来考虑．【例4】【分析】（1）求出∠ADE 的度数，利用∠DAE＝90°﹣∠ADE 即可求出∠DAE 的度数．（2）求出∠ADE 的度数，利用∠DFE＝90°﹣∠ADE 即可求出∠DAE 的度数．【解答】解：（1）∵∠B＝38°，∠C＝64°，∴∠BAC＝78°，∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝39°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝77°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝13°．（2）∵B＝α，∠C＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝90°−12（α+β），∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝α+90°−12（α+β），∵AE⊥BC，鲁教版五四制初中数学辅导∴∠AEB＝90°，∴∠DFE＝90°﹣∠ADE =12（β﹣α）．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．【变式4-1】【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC 的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC 的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC 的度数，进一步求得∠E 的度数；（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．【解答】（1）解：∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∴∠BAC＝60°．∵AD 平分∠BAC，∴∠DAC＝30°．∴∠ADC＝65°．又∵∠DPE＝90°，∴∠E＝25°（2）证明：∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）．∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD =12∠BAC＝90°−12（∠B+∠ACB）．∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝90°−12（∠ACB﹣∠B）．∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°．∴∠ADC+∠E＝90°．∴∠E＝90°﹣∠ADC，即∠E =12（∠ACB﹣∠B）．【点评】此题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．掌握三角形的内角和为180°，以及角平分线的性质是解决问题的关键．【变式4-2】【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，根据三角形的内角定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠ACB＝80°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣80°＝50°，∵AE 是∠BAC 的角平分线，∴∠BAE =12∠BAC =25°，∵FG⊥AE，∴∠AHG＝90°，∴∠AGF＝180°﹣90°﹣25°＝65°；（2）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠AED＝∠B+∠BAE＝50°+25°＝75°，∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝15°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，垂直的定义，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．鲁教版五四制初中数学辅导【变式4-3】【分析】（1）根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC 的度数，由AD 是∠BAC 的平分线，可得∠DAC 的度数；在直角△AEC 中，可求出∠EAC 的度数，所以∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，即可得出；（2）根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC 的度数，由AD 是∠BAC 的平分线，可得∠DAC 的度数；在直角△AEC 中，可求出∠EAC 的度数，所以∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，即可得出；（3）设∠ACB＝α，根据角平分线的定义得到∠CAG =12∠EAC =12（90°﹣α）＝45°−12α，∠BCG =12∠BCF =12（180°﹣α）＝90°−12α，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝62°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣62°＝78°，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAC =12∠BAC＝39°，∵AE 是BC 边上的高，在直角△AEC 中，∵∠EAC＝90°﹣∠C＝90°﹣62°＝28°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝39°﹣28°＝11°；（2）∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAC =12∠BAC＝90°−12（∠B+∠C），∵AE 是BC 边上的高，在直角△AEC 中，∵∠EAC＝90°﹣∠C，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝90°−12（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠C）=12（∠C﹣∠B）；（3）设∠ACB＝α，∵AE⊥BC，∴∠EAC＝90°﹣α，∠BCF＝180°﹣α，∵∠CAE 和∠BCF 的角平分线交于点G，∴∠CAG =12∠EAC =12（90°﹣α）＝45°−12α，∠BCG =12∠BCF =12（180°﹣α）＝90°−12α，∴∠G＝180°﹣∠GAC﹣∠ACG＝180°﹣（45°−12α）﹣α﹣（90°−12α）＝45°．【点评】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的高、角平分线的性质，学生应熟练掌握三角形的高、中线和角平分线这些基本知识，能灵活运用解决问题．【例5】【分析】根据直角和高线可得三对相等的角，根据同角的余角相等可得其它两对角相等：∠A＝∠DCB，∠B＝∠ACD．【解答】解：∵CD 是直角△ABC 斜边AB 上的高，∴∠ACB＝∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCB，同理得：∠B＝∠ACD，鲁教版五四制初中数学辅导∴相等的角一共有5对，故选：D．【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握同角的余角相等是解题的关键．【变式5-1】【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠C，根据三角形的外角的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∴∠C＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，∠BFD＝90°﹣∠B＝50°，在△BCE 中，∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∴∠AEF＝180°﹣∠BEC＝100°．【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．【变式5-2】【分析】在△ADF 中，利用三角形内角和定理结合对顶角相等可得出∠DAF＝90°﹣∠AFD＝90°﹣∠CFE，在△AEC 中，利用三角形内角和定理可得出∠CAE＝90°﹣∠CEF，再结合∠CFE＝∠CEF 可得出∠DAF＝∠CAE，即AE 平分∠CAB．【解答】证明：∵CD⊥AB，∴在△ADF 中，∠DAF＝90°﹣∠AFD＝90°﹣∠CFE．∵∠ACE＝90°，∴在△AEC 中，∠CAE＝90°﹣∠CEF．∵∠CFE＝∠CEF，∴∠DAF＝∠CAE，即AE平分∠CAB．【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理以及角平分线的定义，利用三角形内角和定理，找出∠DAF＝90°﹣∠CFE 及∠CAE＝90°﹣∠CEF 是解题的关键．【变式5-3】【分析】（1）根据三角形外角的的性质可得结论；（2）根据三角形外角的性质和直角三角形两锐角互余可得结论；（3）分情况讨论：α＞50°或α＜50°根据三角形内角和可得结论．【解答】解：（1）如图1，当α＝60°时，∠APC＝60°，△APB 中，∠PAB＝∠APC﹣∠B＝60°﹣40°＝20°，（2）如图2，同（1）得：∠PAB＝α﹣40°，鲁教版五四制初中数学辅导∵CE⊥AP，∴∠ADE＝90°，∴∠PAB+∠AED＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠PAB＝90°﹣（α﹣40°）＝130°﹣α，（3）如图3，当α＞50°时，△APC 中，∠ACP＝90°，∠APC＝α，∴∠CAP＝90°﹣α，∵CD⊥AP，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝90°﹣（50°+90°﹣α）＝α﹣50°，②如图4，当α＜50°时，∴∠AED＝90°﹣∠PAE＝90°﹣（α+40°）＝50°﹣α，综上，∠AED 为α﹣50°或50°﹣α．【点评】本题考查了三角形外角的性质、直角三角形的两锐角互余、垂线的性质，熟练掌握这些性质是关键．【例6】鲁教版五四制初中数学辅导【分析】直接利用全等图形的性质进而得出答案．【答案】解：如图所示：图形分割成两个全等的图形，．故选：B．【点睛】此题主要考查了全等图形，正确把握全等图形的性质是解题关键．【变式6-1】【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【答案】解：①、②可以完全重合，因此全等的图形是①、②．故选：D．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．【变式6-2】【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形画线即可．【答案】解：如图所示：．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．【变式6-3】【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，进而得出答案．【答案】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，∴∠1+∠4＝90°，∵∠2和∠3所在的三角形全等，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠2+∠3十∠4＝180°．故答案为：180°．【点睛】此题主要考查了全等图形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用．【例7】【分析】根据全等三角形的性质可得AB＝ED，再根据等式的性质可得EB＝AD，进而可得答案．【答案】解：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝ED，∴AB﹣AE＝DE﹣AE，∴EB＝AD，鲁教版五四制初中数学辅导。

初二数学三角形试题答案及解析

初二数学三角形试题答案及解析

初二数学三角形试题答案及解析1.已知：如图，点E，F是□ABCD中AB，DC边上的点，且AE=CF，联结DE，BF．求证：DE =BF．【答案】详见解析【解析】根据平行四边形的性质证得AB=CD面积可得到DF=BE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得四边形DEBF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可证得．试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD．∵AE=CF，∴AB﹣AE=CD﹣CF，即EB=DF．∴四边形DEBF是平行四边形．∴DE=BF．【考点】平行四边形的判定与性质2.已知：如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上两点，且AE=CF．求证：BE=DF．【答案】详见解析【解析】利用平行四边形的性质可得∠BAE=∠DCF，再由全等三角形的判定定理可得出结论．试题解析∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC．∴∠BAE=∠DCF．在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（SAS）．∴BE=DF．【考点】1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．3.如图，AC交BD于点O，请你从三项中选出两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明.①OA=OC ②OB=OD ③AB∥CD【答案】证明见解析.【解析】由（1）、（2），可用SAS得到△AOB≌△COD⇒∠C=∠A⇒（3）AB∥DC；由（2）、（3），可用AAS得到△AOB≌△COD⇒（1）OA=OC；由（1）、（3），可用AAS得到△AOB≌△COD⇒（2）OB=OD．试题解析：命题：如图，AC交BD于点O，若OA=OC，OB=OD，那么AB∥DC．证明如下：∵OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD，∴△AOB≌△COD（SAS）．∴∠C=∠A．∴AB∥DC．【考点】1.开放型；2. 全等三角形的判定和性质．4.（10分）如图所示，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证： ME=BD．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由等腰直角△ABC，可证△BDC≌△ADC，得∠DCA=∠DCB=45o，然后求证∠BDM=∠EDC即可.（2）连接MC，可知△MDC是等边三角形，可求证∠EMC=∠ADC。

初二数学三角形-解答题难度：较易76题

初二数学三角形-解答题难度：较易76题

初⼆数学三⾓形-解答题难度：较易76题初⼆数学三⾓形-解答题难度：较易 76题⼀、解答题(本⼤题共76⼩题，共608.0分)1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂⾜为D，交AB于点E．⼜点F在DE的延长线上，且AF=CE．求证：四边形ACEF是菱形．2. 如图，正⽅形⽹格中的每个⼩正⽅形边长都是1，每个⼩格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三⾓形．(1)在图1中，画⼀个三⾓形，使它的三边长都是⽆理数；(2)在图2中，画出⼀个直⾓三⾓形，使它的三边长都是整数；(3)在图3中，画出⼀个中⼼对称图形．3. 在凸多边形中，四边形有2条对⾓线，五边形有5条对⾓线，经过观察、探索、归纳，你认为凸⼋边形的对⾓线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．4. 如图，已知DE垂直平分AB，分别交AB、BC于D、E两点，AE平分∠BAC，∠B=30°，BE=4，求AC的长．5. ⼀个三⾓形的三边长分别为、、(1)求它的周长(要求结果化简)；(2)请你给⼀个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三⾓形周长的值．6. 如图1，⼀扇窗户打开后⽤窗钩AB可将其固定．(1)这⾥所运⽤的⼏何原理是()(A)三⾓形的稳定性(B)两点之间线段最短；(C)两点确定⼀条直线(D)垂线段最短；(2)图2是图1中窗⼦开到⼀定位置时的平⾯图，若∠AOB=45°，∠OAB=30°，OA=60cm，求点B到OA边的距离．( ≈1.7，结果精确到整数)7. 已知，如图1，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，点C在直线BD上且与F重合，AB=FD，BC=DE(1)请说明△ABC≌△FDE，并判断AC是否垂直FE？(2)若将△ABC 沿BD⽅向平移⾄如图2的位置时，且其余条件不变，则AC是否垂直FE？请说明为什么？8. 如图，在△ABC中，点D是AB的中点，CE⊥AB于点E，∠BCE=60°，∠ACE=45°若DE=10，求CE的长．(结果保留根号)9. 已知正n边形的周长为60，边长为a(1)当n=3时，请直接写出a的值；(2)把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有⼈分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断⾔：“⽆论n取任何⼤于2的正整数，a与b⼀定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这⼀说法的n的值．10. 如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为(-2，8)，(-11，6)，(-14，0)，(0，0)．(1)确定这个四边形的⾯积，你是怎么做的？(2)如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形⾯积⼜是多少？11. 如图，正⽅形ABCD中，BC=2．点E在CD上，CE=1，将△BCE 绕点B逆时针旋转⾄△BAF的位置，且点F在DA的延长线上．(1)写出旋转⾓度；(2)试判断△BEF的形状；并求出线段EF的长．12. 如图，已知：△ABC中，BC＜AC，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，AC=9 cm，△BCE的周长为15 cm，求BC的长．13. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．求证：△ABD≌△ACD．14. 如图：在△ABC中，∠B=90°，AB=BD，AD=CD，求∠CAD的度数．15. 已知：E是AB、CD外⼀点，∠D=∠B+∠E，求证：AB∥CD．16. 看图回答问题：(1)内⾓和为2005°，⼩明为什么说不可能？(2)⼩华求的是⼏边形的内⾓和？(3)错把外⾓当内⾓的那个外⾓的度数你能求吗？是多少度呢？17. ⼀个多边形的外⾓和是内⾓和的，求这个多边形的边数．18. 如果⼀个正多边形的每个外⾓都是24°．(1)求这个多边形的边数．(2)求这个多边形的对⾓线的条数．19. ⼩华从点A出发向前⾛10m，向右转36°然后继续向前⾛10m，再向右转36°，他以同样的⽅法继续⾛下去，他能回到点A 吗？若能，当他⾛回到点A时共⾛多少⽶？若不能，写出理由．20. 如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE．求证：(1)△ACD≌△BEC；(2)CF⊥DE．21. 如图，A岛在B岛的北偏东30°⽅向，C岛在B岛的北偏东80°⽅向，A岛在C岛北偏西40°⽅向．从A岛看B、C两岛的视⾓∠BAC是多少？22. 如图所⽰，已知AB∥CD，分别探索下列四个图形中∠P与∠A，∠C的关系，请你从所得的四个关系中任选⼀个加以说明．23. 如图，△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．(1)试说明CD是△ABC的⾼；(2)如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．24. 已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，若∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，试求∠ABD的度数．25. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，垂⾜为E，若∠A=30°，CD=2．(1)求∠BDC的度数；(2)求BD的长．26. 阅读材料，并填表：在△ABC中，有⼀点P 1，当P 1、A、B、C没有任何三点在同⼀直线上时，可构成三个不重叠的⼩三⾓形(如图)．当△ABC内的点的个数增加时，若其它条件不变，三⾓形内互不重叠的⼩三⾓形的个数情况怎样？完成下表：ABC内点的个数 1 2 3 (1002)构成不重叠的⼩三⾓形的个数 3 5 …27. 如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB+BD与DE的长度有什么关系？并加以证明．28. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAE：∠EAB=4：1，求∠B的度数．29. 如图，AD为△ABC的⾓平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂⾜分别为E，F，连接EF，EF交AD于点G、试判断线段AD与EF的位置关系，并证明你的结论．30. 如图1，在△ABC与△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AB=BD，M、M′分别为AB、BD中点．(1)探索CM与EM′有怎样的数量关系？请证明你的结论；(2)如图2，连接MM′并延长交CE于点K，试判断CK与EK之间的数量关系，并说明理由．31. ⼀个多边形除去⼀个内⾓外，其余各⾓之和为2 750°，求这个多边形的边数及去掉的⾓的度数．32. 如图，已知：AB∥CD，求证：∠B+∠D+∠BED=360°．(⾄少⽤三种⽅法)33. ⼀个n边形的内⾓和⽐它的外⾓和⾄少⼤120°，n的最⼩值是多少？34. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，∠CEB=100°．求∠ADC的度数．35. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的⾼，AE是∠BAC的平分线，∠B=42°，∠DAE=18°，求∠C的度数．36. 如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于E、D两点，若AB=12cm，BC=10cm，∠A=50°，求△BCE的周长和∠EBC的度数．37. a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请⽤尺规画出O点位置，不写作法，保留痕迹．38. 如图，点A、E、B、D在同⼀条直线上，已知AC∥DF，∠C=∠F=110°，∠ABC=40°(1)求∠D的度数；(2)BC与EF有怎样的位置关系？请说明理由．39. 如图，按规定，⼀块模板中AB、CD的延长线应相交成85°⾓．因交点不在板上，不便测量，⼯⼈师傅连接AC，测得∠BAC=32°，∠DCA=65°，此时AB、CD的延长线相交所成的⾓是不是符合规定？为什么？40. 如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，连接DE，线段BE、CD相交于点O，若OD=2，求OC的长．41. 在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E．若∠CAB=∠B+30°，求∠AEB．42. 多边形内⾓和与某⼀个外⾓的度数总和是1350°，求多边形的边数．43. 在△ABC中，∠B=3∠A，∠C=5∠A，求△ABC的三个内⾓度数．44. ⼀个多边形每⼀个内⾓都为135°，求这个多边形对⾓线总条数．45. 如图，学校有⼀块三⾓形空地(即△ABC)，现准备将它分成⾯积相等的两块地，栽种不同的花草，请你把它分出来．(作图题要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明)．46. 如图，AB∥CD，分别探讨下⾯四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选⼀个加以说明．(适当添加辅助线，其实并不难)47. 如图所⽰，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．48. 如图，A点在B处的北偏东40°⽅向，C点在B处的北偏东85°⽅向，A点在C处的北偏西45°⽅向，求∠BAC及∠BCA的度数．49. 如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD= DC．50. 如图：△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D，(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；(2)若∠ABD：∠DBC=1：1，求∠A的度数．51. 已知⼀个多边形的每⼀个外⾓都等于30°，求这个多边形的边数和它的内⾓和的度数．52. 已知⼀个多边形的内⾓和⽐它的外⾓和的3倍少180°，求这个多边形的边数．53. 如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数．54. 已知：如图，在△ABC中，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，AE 平分∠DAC，∠B=60°；求∠DAE的度数．55. 如图，在△ABC中，∠B=47°，三⾓形的外⾓∠DAC和∠ACF 的平分线交于点E，求∠E的度数．56. 如图，已知在三⾓形ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的⾼，求∠DBC的度数．57. (1)画出△ABC的BC边上的⾼AD；(2)画出△ABC的AB边上的中线CE；(3)画出△ABC的AC边上的⾓平分线BF．58. 如图，在圆O中AB是直径，AT是经过点A的切线，弦CD垂直AB于P点，线段CP的中点为Q，连接BQ并延长交切线AT于T点，连接OT．(1)求证：BC∥OT；(2)若⊙O直径为10，CD=8，求AT的长；(3)延长TO交直线CD于R，若⊙O直径为10，CD=8，求TR的长．59. 已知：如图，在?ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E，DF与AE相交于点G．(1)求证：AE⊥DF；(2)若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．60. 已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上的⼀个动点(不与A、C重合)，EF⊥AB，垂⾜为F．(1)求证：AD=DB；(2)设CE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式；(3)当∠DEF=90°时，求BF的长？61. (A题)某市经济开发区建有B、C、D三个⾷品加⼯⼚，这三个⼯⼚和开发区A处的⾃来⽔⼚正好在⼀个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB=CD=900⽶，AD=BC=1700⽶．⾃来⽔公司已经修好⼀条⾃来⽔主管道AN，BC两⼚之间的公路与⾃来⽔管道交于E处，EC=500⽶．若⾃来⽔主管道到各⼯⼚的⾃来⽔管道由各⼚负担，每⽶造价800元．(1)要使修建⾃来⽔管道的造价最低，这三个⼯⼚的⾃来⽔管道路线应怎样设计并在图形中画出；(2)求出各⼚所修建的⾃来⽔管道的最低的造价各是多少元？(B题)如图，已知平⾏四边形ABCD及四边形外⼀直线l，四个顶点A、B、C、D到直线l的距离分别为a、b、c、d．(1)观察图形，猜想得出a、b、c、d满⾜怎样的关系式？证明你的结论．(2)现将l向上平移，你得到的结论还⼀定成⽴吗？请分情况写出你的结论．62. 如图，△ABC是某村⼀遍若⼲亩⼟地的⽰意图，在党的“⼗六⼤”精神的指导下，为进⼀步加⼤农村经济结构调整的⼒度，某村决定把这块⼟地平均分给四位“花农”种植，请你帮他们分⼀分，提供两种分法．要求：画出图形，并简要说明分法．63. 如图：已知△ABC与△DEF是⼀副三⾓板的拼图，A，E，C，D在同⼀条线上．(1)求证EF∥BC；(2)求∠1与∠2的度数．64. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂⾜，连接EC．(1)求∠ECD的度数；(2)若CE=5，求BC长．65. 在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，设△ABC的⾯积为s，周长为l，探索与a+b-c的值之间的关系．(1)填表：(2)分析后猜想：若设a+b-c=m(m为正实数)，则= (⽤m表⽰)；(3)请写出(2)中结论的推导过程．66. 已知：如图△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm．求BC的长．67. 将⼀副直⾓三⾓尺如图放置，已知AE∥BC，求∠AFD的度数．68. 已知：如图，在等边三⾓形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取⼀点E，使CE=CD．求证：BD=DE．69. 如图所⽰，直线AD和BC相交于O，AB∥CD，∠AOC=95°，∠B=50°，求∠A和∠D．70. 先阅读下⾯的内容，再解决问题，例题：若m 2+2mn+2n 2-6n+9=0，求m和n的值．解：∵m 2+2mn+2n 2-6n+9=0∴m 2+2mn+n 2+n 2-6n+9=0∴(m+n) 2+(n-3) 2=0∴m+n=0，n-3=0∴m=-3，n=3问题(1)若x 2+2y 2-2xy+4y+4=0，求x y的值．(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满⾜a 2+b 2=10a+8b-41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．71. 如图，BD是∠ABC的平分线，DE∥CB，交AB于点E，∠A=45°，∠BDC=60°，求△BDE各内⾓的度数．72. 如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．(1)若BC=10，则△ADE周长是多少？为什么？(2)若∠BAC=128°，则∠DAE的度数是多少？为什么？73. 如图①、②、③中，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN 中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点．(1)求图①中，∠APD的度数；(2)图②中，∠APD的度数为，图③中，∠APD的度数为；(3)根据前⾯探索，你能否将本题推⼴到⼀般的正n边形情况？若能，写出推⼴问题和结论；若不能，请说明理由．74. 已知：如图，?ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点．(1)求证：四边形EBFD是平⾏四边形；(2)若AD=AE=2，∠A=60°，求四边形EBFD的周长．75. 已知⼀次函数y= x+2的图象分别与坐标轴相交于A、B两点(如图所⽰)，与反⽐例函数y= (x＞0)的图象相交于C点．(1)写出A、B两点的坐标；(2)作CD⊥x轴，垂⾜为D，如果OB是△ACD的中位线，求反⽐例函数y= (x＞0)的关系式．76. ⼀个等腰三⾓形的周长为32 cm，腰长的3倍⽐底边长的2倍多6 cm.求各边长.。

初中数学八年级数学《三角形》综合题难题附答案

初中数学八年级数学《三角形》综合题难题附答案

八年级三角形综合题难题附答案第1节与三角形有关的线段一、三角形的边1、如图，点P是△ABC内部的一点．（1）度量线段AB，AC，PB，PC的长度，根据度量结果比较AB+AC与PB+PC的大小；（2）改变点P的位置，上述结论还成立吗？（3）你能说明上述结论为什么正确吗？【答案】（1）如图有：AB+AC＞PB+PC；（2）改变点P的位置，上述结论还成立；（3）如图，连接AP，BP，CP，延长BP交于AC于点E，在△ABE中有，AB+AE＞BE＝BP+PE △在△CEP中有，PE+CE＞PC △△+△得，AB+AE+PE+CE＞BP+PE+PC，AB+AC+PE＞BP+PE+PC，△AB+AC＞BP+PC．二、三角形的高、中线与角平分线1、如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是腰AC上的中线。

（1）若AB>BC，填空：△AD＝_____________；△△ABD的周长与△BEC的周长之差为_________。

（2）若△ABC的周长为20cm，BD将△ABC的周长分成差为4cm的两部分，求△ABC的边长。

【答案】（1）△EC；△AB-BC（2）8cm，8cm，4cm；或16/3cm，16/3cm，28/3cm2、如图，△ABC中，△C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm．若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm．设运动的时间为t秒．（1）当t＝6秒时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？（2）当t＝6.5秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？（3）当t为何值时，△BCP的面积为12cm2？【答案】（1）6；（2）6.5；（3）2或6.53、如图，已知在Rt△ABC中，△ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE△AD 于E，CF△AD于F，则BE+CF的值（）A．不变B．增大C．减小D．先变大再变小【答案】C第2节与三角形有关的角一、三角形的内角和1、△ABC中，∠A＝50°，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内）使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和C（如图）（1）填空：∠ABC+∠ACB＝______°，∠PBC+∠PCB ＝______°；（2）试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系，写出你的结论．【答案】（1）130；90；（2）∠ABP+∠ACP＝40°2、如图①，在△ABC中，∠A＝50°，有一块直角三角尺PMN放置在△ABC上（点P在△ABC内），使三角尺PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B、C．（1）填空：∠ABC+∠ACB＝___，∠PBC+∠PCB＝___；（2）试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系，请写出你的结论；（3）如图②，改变直角三角尺PMN的位置（点P在△ABC外），三角尺PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B、C，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）130；90；（2）∠ABP+∠ACP＝40°；（3）发生变化；∠ACP -∠ABP＝40°．3、问题情景：如图①，将一块直角三角板PMN放置在△ABC上（点P在△ABC内），使三角尺PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B、C．试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？（1）特殊探究：若∠A＝50°，则∠ABC+∠ACB＝___，∠PBC+∠PCB＝_____，∠ABP+∠ACP＝_____；（2）类比探究：请探究∠ABP+∠ACP与∠A的数量关系．（3）类比延伸：如图②如图②，改变直角三角尺PMN 的位置（点P在△ABC外），三角尺PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B、C，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）130°；90°；40°（2）∠ABP+∠ACP＝90°-∠A；（3）不成立；∠ACP -∠ABP＝90°-∠A．4、动手操作：（1）如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C，且BC△EF，已知△A＝30°，则△ABD +△ACD＝______°；（2）如图2，△BDC与△A、△B、△C之间存在着什么关系，并说明理由；（3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题：如图3，BE平分△ABD，CE平分△ACD，若△BAC ＝40°，△BDC＝120°，求△BEC的度数。