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双因素方差分析

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双因素方差分析

一、无交互作用下的方差分析

设A与B是可能对试验结果有影响的两个因素，相互独立，无交互作用。设

在双因素各种水平的组合下进行试验或抽样，得数据结构如下表： 表6－4

因素B 均值

1B 2B „„

nB

因

素

A 1A 11X 12X „„ nX1 .1X

2A 21X 22X „„ nX2 .2X

   „„  

rA 1rX x „„ rnX .rX

均值

1.X 2.X „„

nX. X 表中每行的均值.iX（i=1,2,„r）是在因素A的各个水平上试验结果的平均

数；每列的均值jX.(j=1,2,„,n)是在因素B的各种水平上试验的平均数。以上数据的离差平方和分解形式为：

SST=SSA+SSB+SSE （6.13）

上式中：

2)(XXSSTij (6.14)

2.2.)()(XXnXXSSAii (6.15)

2.2)()(XXrXXSSBjj （6.16）

2..)(XXXXSSEjiij (6.17) SSA表示的是因素A的组间方差总和，SSB是因素B的组间方差总和，都是

各因素在不同水平下各自均值差异引起的；SSE仍是组内方差部分，由随机误差

产生。各个方差的自由度是：SST的自由度为nr-1，SSA的自由度为r-1，SSB

的自由度为n-1，SSE的自由度为nr-r-n-1=（r-1）(n-1)。

各个方差对应的均方差是：

对因素A而言： 1rSSAMSA （6.18）

对因素B而言： 1nSSBMSB （6.19）

对随机误差项而言： 1nrnrSSEMSE （6.20） 我们得到检验因素A与B影响是否显著的统计量分别是： )]1)(1(,1[~nrrFMSEMSAFA （6.21） )]1)(1(,1[~nrnFMSEMSBFB （6.22）

【例6-2】某企业有三台不同型号的设备，生产同一产品，现有五名工人轮

流在此三台设备上操作，记录下他们的日产量如下表。试根据方差分析说明这三

台设备之间和五名工人之间对日产量的影响是否显著？（α=0.05）。 表6－5

工人一 工人二 工人三 工人四 工人

五

设备A 64 72 63 81 78

设备B 75 66 61 73 80

设备C 78 67 80 69 71

解：检验的假设有二个，第一个假设是针对设备（设为A因素）的：

01H：三台设备对日产量没有显著影响；

11H：三台设备对日产量有显著影响。 第二个假设是针对人员（设为B因素）的：

02H：工人技术对日产量没有显著影响；

12H：工人技术对日产量有显著影响。 将以上数据输入Excel表格中，进行“无重复双因素分析”，Excel输出的

方差分析表如下：

表6－6 Excel输出的方差分析表

差异源 SS df MS F P-value F crit

行 (A因

素) 10.53333 2 5.266667 0.092371 0.91273 4.458968

列

(B因

素) 161.0667 4 40.26667 0.706226 0.60969 3.837854

误差 456.1333 8 57.01667

总计 627.7333 14

从上表可知：F=0 .092 <)8,2(05.0F=4.46 ， 接受01H，没有证据证明三

台设备对日产量有显著影响；BF=0.706<)8,4(05.0F=3.84，也接受02H，也没有证据证明五名工人的技术对日产量有显著影响。

二、有交互作用的方差分析

为了研究两个因素是否独立，有无交互作用，我们需要在各个因素水平组合

下，进行重复试验；因此，有交互作用时，方差分析的数据结构不同于无交互作用。设因素A与因素B每一对水平搭配下重复试验的次数都是m，得到试验数据

结构如表6－7。 表6－7

因素B

1B 2B „„

nB

因

素

A 1A

mXXX

11112111

mXXX

12122121

„„ nmnn

XXX

12111

2A

mXXX

21212211

mXXX

22222221

„„ nmnn

XXX

22212

   „„  rA mrrr

XXX

11211

mrrr

XXX

22221

„„

rnmrnrn

XXX

21

表中的ijlX表示的是在因素水平组合（iA，jB）下第l次试验的结果。在此组合下试验结果的平均值为：

m

lijlijXmX1.1 （6.23）

进一步记：

n

jm

lijliXnmX11..1 （6.24）

r

im

lijljXrmX11..1 （6.25）

ijlXrnmX1 （6.26） 则我们类似地有以下的离差平方和分解形式：

SST=SSA+SSB+SSAB+SSE （6.27）

式中： 2)(XXSSTijl (6.28)

2)(XXnmSSAi (6.29)

2..)(XXrmSSBj （6.30）

2.....)(XXXXmSSABjiij （6.31） 2.)(ijijlXXSSE (6.32)

与无交互作用的双因素方差分解相比，这里多出了一项SSAB，它刚好反映了两个因素交互作用的结果。离差平方和SST、SSA、SSB、SSAB和SSE的自由度

分别是rnm-1、r-1、n-1、(r-1)(n-1)和rn(m-1)。我们得到如下的均方差： 1rSSAMSA （6.33） 1nSSBMSB （6.34） )1)(1(nrSSABMSAB （6.35） )1(mrnSSEMSE （6.36）

则检验因素A与B影响是否显著的统计量分别是： ),1(~rnrnmrFMSEMSAFA （6.37） ),1(~rnrnmnFMSEMSBFB （6.38）

检验交互影响是否显著的统计量度是： ]),1)(1[(~rnrnmnrFMSEMSABFAB （6.39）

【例6-3】为了分析光照因素A与噪音因素B对工人生产有无影响，光照效

应与噪音效应有交互作用，在此两因素不同的水平组合下做试验，结果如表6-8

（表中数据为产量）：

表6－8

因素B

1B 2B 3B

因

素

A 1A 15 15 17 19 19 16 16 18 21

2A 17 17 17 15 15 15 19 22 22

3A 15 17 16 18 17 16 18 18 18

4A 18 20 20 15 16 17 17 17 17

解：检验的假设有三个：

01H：光照因素A对产量没有显著影响；

11H：光照因素A对产量有显著影响。

02H：噪音因素B对产量没有显著影响；

12H：噪音因素B对产量有显著影响。 03H：光照效应与噪音效应没有交互作用；

13H：光照效应与噪音效应有交互作用。 将以上数据输入Excel表格中，进行“有重复双因素分析”，Excel输出的

方差分析表如下：

表6－9方差分析表

差异源 SS Df MS F P-value F crit

样本

(B因素) 28.388889 2 14.1944 9.46296 0.00093

3.40283

列

(A因素) 2.0833333 3 0.69444 0.46296 0.71077 3.00879

交互 63.833333 6 10.6389 7.09259 0.0002 2.50819 内部 36 24 1.5

总计 130.30556 35

从上表可知：AF=0.46296 <)24,3(05.0F=3. 00879， 接受01H，没有充分证据

说明光照对产量有显著影响；BF=9.46296>)24,2(05.0F=3.40283，拒绝02H，有充

分证据说明噪音对产量有显著影响；ABF=7.09259>)24,6(05.0F=2.50819，拒绝03H，

有充分证据说明光照与噪音存在交互作用并由此对产量产生显著影响。

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双因素方差分析习题

双因素方差分析习题

1. 某湖水在不同季节氯化物含量测定值如表所示。问不同季节氯化物含量有无差别若有差别，进行32个水平的两两比较。

表 某湖水不同季节氯化物含量/（mg/L）

春 夏 秋 冬

解：

2.有三种抗凝剂（123,,AAA）对一标本作红细胞沉降速度（一小时值）测定，每种抗凝剂各作5次，问三种抗凝剂对红细胞沉降速度的测定有无差别。

1A 15 11 13 12 14

2A 13 16 14 17 15

3A 13 15 16 14 12

解：

3.将18名原发性血小板减少症患者按年龄相近的原则配为6个单位组，每个单位组中的3名患者随机分配到A、B、C三个治疗组中，治疗后的血小板升高情况见表，问3中治疗方法的疗效有无差别

表 不同人用鹿茸后血小板的升高值/(4310/mm)

年龄组 A B C

1

2

3

4

5

6

解：

4.某研究人员以kg剂量纯苯给大鼠皮下注射染毒，每周3次，经45天后，实验动物白细胞综述下降至染毒前的50%左右，同时设置未染毒组。两组大鼠均按照是否给予升高白细胞药物分为给药组和不给药组，试验结果见表，试作统计分析。

表 实验效应指标（吞噬指数）数据

未染毒组 染毒组

不给药 给药 不给药 给药

解：

5.某SARS研究所对31名自愿者进行某项生理指标测试，结果如表所示：

SARS患者

疑似者

非患者

问：（1）这三类人的该项生理指标有差别吗（0.05）

（2）如果有差别，请进行多重比较分析。（0.05）

解：

6.将24家生产产品大致相同的企业，按资金分为三类，每个公司的每100元销售收入的生产成本（单位：元）如表所示。这些数据能否说明三类公司的市场生产成本有差异（假定生产成本服从正态分布，且方差相同）（0.05）

表

20-30 30-50 50以上

69 75 77

双因素试验的方差分析(精)

双因素试验的方差分析(精)

实验三 双因素试验的方差分析

实验目的：1掌握单因素实验方差分析的方法与步骤；

2正确分析输出结果中的各参数，并得出正确结论。

试验内容：

某种火箭使用4种燃料，3种推进器进行射程试验。在每种燃料与每种推进器的组合下火箭各发射两次，射程数据见表3.1。

表3.1 火箭的射程数据

B推进

器

A燃料 1B 2B 3B ..iT

1A 58.2，52.6 56.2，41.2 65.3，60.8 334.3

2A 49.1，42.8 54.1，50.5 51.6，48.4 296.5

3A 60.1，58.3 70.9，73.2 39.2，40.7 342.4

4A 75.8，71.5 58.2，51.0 48.7，41.4 34，6.6

..jT 468.4 455.3 396.1 1319.8

试在水平05.0下，检验不同燃料（因素)A、不同推进器（因素)B下射程是否有显著差异？交互作用是否显著？

操作步骤：

1.在excel的工作表中输入如表3.1所示的的样本数据。

2.点击“工具—数据分析—方差分析：可重复双因素方差分析”，在弹出对话框的输入区域，拖动鼠标选择样本值A1:D9；每一样本的行数，输入2；显著性水平设置为0.05，如图3.1所示。

图3.1 应用excel“数据分析”功能求双因素等重复方差分析的有关参数

3．点击确定，输出参数的窗口如图3.2所示。

图3.2 应用excel“数据分析”功能求双因素等重复方差分析的有关参数

结果分析：

图3.2 中仅列示了输出结果中的方差分析表。“样本”即燃料因子，“列”即推进器因子，“交互”为燃料和推进器因子的交互作用，SS 为平方和；df 是自由度；P-value 为P

值，即所达到的临界显著水平；F crit 是Fα（t-1，N-t）的值。

由方差分析表可知，因子A （燃料）的作用是一般显著的（P-value的值为0.025969<0.05）;因子B（推进器）的作用是高度显著的（P-value的值为0.003506<0.01）；而交互作用是极其显著的（P-value的值为6.15E-05<<0.01）,这说明燃料的作用于与推进器之间有着密切的关系，也即每种推进器都有各自最合自得最佳燃料。

双因素方差分析习题 2

双因素方差分析习题 2

1. 某湖水在不同季节氯化物含量测定值如表6.16所示。问不同季节氯化物含量有无差别？若有差别，进行32个水平的两两比较。

表6.16 某湖水不同季节氯化物含量/（mg/L）

春 夏 秋 冬

22.6 19.1 18.9 19.0

22.8 22.8 13.6 16.9

21.0 24.5 17.2 17.6

16.9 18.0 15.1 14.8

20.0 15.2 16.6

13.1

21.9 18.4 14.2 16.9

21.5 20.1 16.7 16.2

21.2 21.2 19.6 14.8

解：

2.有三种抗凝剂（123,,AAA）对一标本作红细胞沉降速度（一小时值）测定，每种抗凝剂各作5次，问三种抗凝剂对红细胞沉降速度的测定有无差别。

1A 15 11 13 12 14

2A 13 16 14 17 15

3A 13 15 16 14

12

解：

3.将18名原发性血小板减少症患者按年龄相近的原则配为6个单位组，每个单位组中的3名患者随机分配到A、B、C三个治疗组中，治疗后的血小板升高情况见表6.17，问3中治疗方法的疗效有无差别？

表6.17 不同人用鹿茸后血小板的升高值/(4310/mm)

年龄组 A B C

1 3.8 6.3 8.0

2 4.6 6.3 11.9

3 7.6 10.2 14.1

4 8.6 9.2 14.7

5 6.4 8.1 13.0

6 6.2 6.9 13.4

解：

4.某研究人员以0.3mL/kg剂量纯苯给大鼠皮下注射染毒，每周3次，经45天后，实验动物白细胞综述下降至染毒前的50%左右，同时设置未染毒组。两组大鼠均按照是否给予升高白细胞药物分为给药组和不给药组，试验结果见表6.18，试作统计分析。

表6.18 实验效应指标（吞噬指数）数据

未染毒组 染毒组

不给药 给药 不给药 给药

3.80 3.88 1.85 1.94

3.90 3.84 2.01 2.25

双因素的方差分析

双因素的方差分析

双因素的多重比较方法

生物工程 10212575 陈晓穗

摘要：本文首先扼要地介绍了多重比较的方法种类，其次引用了一个实例具体地展示了无交叉相互作用的双因素的多重比较方法。

关键词：最小显著差数法 最小显著极差法 双因素 多重比较

1.前言

用方差分析检验样本的差异是否显著后，获得了显著或极显著的结论。此时人们便想进一步的了解具体到哪些平均数间有显著差异，哪些不显著。这就有必要进行两两地比较平均数，以判断这两组数据的显著差异性。统计学把多个平均数两两间互相比较称为多重比较。多重比较常有的方法有：最小显著差数法和最小显著极差法。

2．多重比较法

2.1 多重比较法的种类

2.1.1 最小显著差数法

最小显著差数法，简称LSD。它其实只是t检验的一个简单变形,并未对检验水准做出任何校正,只是在标准误的计算上充分利用了样本信息, 为所有组的均数统一估计出了一个更为稳健的标准误,其中MS误差是方差分析中计算得来的组内均方,它一般用于计划好的多重比较。由于单次比较的检验水准仍为α,因此可认为LSD法是最灵敏的。此法的基本作法是：在F检验显著的前提下，先计算出显著水平为α的最小显著差数LSD，然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值..jixx与其比较。若..jixx＞LSDa时，则.ix与.jx在α水平上差异显著；反之，则在α水平上差异不显著。最小显著差数由..)(jiexxdfaaStLSD计算。式中)(edft为在F检验中误差自由度下，显著水平为α的临界t值，..jixxS为均数差异标准误，由nMSSexxji/2..算得。其中eMS为F检验中的误差均方，n为各处理的重复数。当显著水平α=0.05和0.01时，从t值表中查出)(05.0edft和)(01.0edft，代入式得： ....)(01.001.0)(05.005.0jiejiexxdfxxdfStLSDStLSD

2.1.2 最小显著极差法