抛物线的焦点和准线关系

抛物线焦点弦长公式角度
抛物线焦点弦长公式与角度之间的关系可以通过以下步骤推导：
首先，设抛物线方程为y2=2px，其中p是焦距。

1.焦点和准线：
•焦点坐标为F(2p,0)。

•准线方程为x=−2p。

2.焦点弦：
•设抛物线上的两点为A(x1,y1)和B(x2,y2)。

•焦点弦AB通过焦点F，因此AF和BF的长度分别为(x1−2p )2+y12和(x2−2p)2+y22。

3.利用抛物线性质：
•由于A和B在抛物线上，根据抛物线的定义，有AF=x1+2p 和BF=x2+2p。

•因此，焦点弦AB的长度为AF+BF=x1+x2+p。

4.与角度的关系：
•如果我们考虑焦点弦AB与x轴之间的夹角θ，那么AB的长度也可以通过三角函数来表示。

•假设AB在x轴上的投影长度为d，则AB=cosθd。

•由于d与x1和x2有关，因此θ与x1,x2和p之间存在某种关系。

5.具体计算：
•要得到具体的公式，需要知道x1和x2的值，这通常通过解抛物线方程和直线方程（如果给出直线方程）的联立方程得到。

•一旦得到x1和x2，就可以计算AB的长度，并进一步分析它与θ的关系。

6.特殊情况：
•如果直线AB是垂直于x轴的，那么θ=2π，此时AB的长度就是2p（因为x1=x2=2p）。

请注意，上述推导是一个一般性的描述，并没有给出具体的公式。

实际上，焦点弦长与角度之间的具体关系取决于直线AB的方程以及它与抛物线的交点。

在特定情况下，可能需要进一步的分析和计算来得到焦点弦长与角度之间的精确关系。

已知焦点和准线求抛物线方程从数学的角度来看，抛物线是一种非常特殊的曲线。

它是由一个固定点（焦点）和一条固定直线（准线）确定的。

在求解抛物线方程时，我们需要已知焦点和准线。

让我们来了解一下抛物线的基本特征。

抛物线是对称的，焦点在抛物线的中垂线上，并且焦点和准线之间的距离等于焦点到抛物线上任意一点的距离。

这些特点对于求解抛物线方程非常重要。

假设我们已知焦点的坐标为$(a, b)$，准线的方程为$y = k$，其中$k$是准线的斜率。

现在，我们来推导出抛物线的方程。

我们可以设抛物线上一点的坐标为$(x, y)$。

根据焦点和准线的特点，我们可以得到以下两个等式：1. 焦点到抛物线上一点的距离等于焦点到准线的距离，即$\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = |y-k|$。

2. 焦点在抛物线的中垂线上，即$x = a$。

将这两个等式代入抛物线的方程中，可以得到：$\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = |y-k|$将方程两边平方，可以消去绝对值，得到：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = (y-k)^2$展开并整理，可以得到：$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = y^2 - 2ky + k^2$化简后，可以得到抛物线的方程：$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = -2ky + k^2$进一步整理，可以得到标准形式的抛物线方程：$x^2 + (-2a)y + (a^2 + b^2 - k^2) = 0$至此，我们已经成功求解了抛物线的方程。

需要注意的是，由于抛物线的对称性，方程中的系数也具有对称性。

也就是说，如果我们已知焦点和准线，那么抛物线的方程是唯一确定的。

通过以上的推导和分析，我们可以看出，已知焦点和准线求抛物线方程是一道非常经典的数学问题。

它不仅要求我们熟练掌握抛物线的基本特征和求解方法，还需要我们灵活运用数学知识解决实际问题。

抛物线的三种表达式一、抛物线的定义和特点1. 抛物线的定义抛物线是一种二次曲线，由一个定点F和一条定直线L组成。

在平面几何中，抛物线可以通过多种方式来表达和描述。

本文将介绍抛物线的三种常见表达式。

2. 抛物线的特点抛物线的特点主要包括： 1. 对称性：抛物线是关于焦点F的对称曲线。

2. 函数性：抛物线可以表示为函数的形式，即y = f(x)。

3. 焦点和准线：焦点F是抛物线上的一个特殊点，准线是与抛物线垂直且通过焦点F的直线。

二、一般式表达式1. 一般式表达式的形式抛物线的一般式表达式是最常见和最基本的形式，它可以表示为： Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0其中，A、B、C、D、E、F为常数，且A和C不同时为0。

2. 一般式表达式的特点一般式表达式具有以下特点： 1. 既包括了二次项又包括了一次项，可以表示出抛物线的倾斜程度和位置。

2. 通过系数A、B、C的符号和大小，可以确定抛物线的朝向和形状。

三、顶点式表达式1. 顶点式表达式的形式抛物线的顶点式表达式是以抛物线的顶点为基准，它可以表示为： y = a(x - h)^2 + k其中，a、h、k为常数，且a不等于0。

2. 顶点式表达式的特点顶点式表达式具有以下特点： 1. 通过顶点坐标(h, k)可以确定抛物线在平面坐标系中的位置。

2. 通过参数a的值可以确定抛物线的开口方向和形状。

四、焦点和准线式表达式1. 焦点和准线式表达式的形式抛物线的焦点和准线式表达式是以抛物线的焦点和准线为基准，它可以表示为：4a(x - p)^2 = 4a(p - q)(y - k)其中，a、p、q、k为常数，且a不等于0。

2. 焦点和准线式表达式的特点焦点和准线式表达式具有以下特点： 1. 通过焦点坐标(p, k)和准线的位置可以确定抛物线的位置和形状。

2. 通过参数a的值可以确定抛物线的开口方向和准线的位置。

五、总结抛物线是一种常见的二次曲线，本文介绍了抛物线的三种常见表达式：一般式表达式、顶点式表达式和焦点和准线式表达式。

抛物线的基本知识点抛物线是一种二次曲线，具有特殊的形状，其方程一般形式为y=ax^2+bx+c。

在这个方程中，a、b、c是常数，且a不等于0。

抛物线在数学和物理学中都有广泛的应用，了解其基本知识点有助于理解和解决相关问题。

1.定义和特点：抛物线是指平面上满足二次方程y=ax^2+bx+c的所有点的轨迹。

其中a、b、c是常数，且a不等于0。

抛物线的特点有：-对称性：抛物线关于垂直于它的直线（通常是x轴）对称。

-焦点和准线：抛物线上的每个点到焦点的距离等于该点到准线（通常是x轴）的距离，这个点的坐标称为焦点的坐标，准线的方程也可以通过抛物线方程推导得到。

-极值点：抛物线的极值点（最高点或最低点）是抛物线的顶点，坐标可以通过求导数为0的点得到。

2.抛物线的标准方程：抛物线一般可以写为标准方程y=ax^2+bx+c的形式，其中a、b、c是常数。

-当a>0时，抛物线开口向上，极值点为最低点。

-当a<0时，抛物线开口向下，极值点为最高点。

3.抛物线的焦点和准线：抛物线的焦点与准线是抛物线的重要参数。

- 焦点的坐标为（h, k），其中h=-b/(2a)，k=c-(b^2-4ac)/(4a)。

这个点到抛物线的任意一点的距离等于该点到准线的距离。

- 准线的方程为y=k-(b^2-4ac)/(4a)，其中k=c-(b^2-4ac)/(4a)，这个方程表示与抛物线每个点距离相等的直线。

4.抛物线的焦距和焦直径：焦距是焦点到准线的距离，而焦直径是焦点之间的距离。

焦距的长度等于，1/(4a)，焦直径的长度等于，1/a。

5.抛物线的图象和方程的性质：-抛物线的图象是平面上的一条曲线，可以通过绘制和连接抛物线上的点得到。

-抛物线的方程是描述抛物线的关系式，通过方程可以得到抛物线的各个参数和性质。

-抛物线的对称轴是垂直于准线，并通过极值点的直线。

-抛物线的开口方向和曲线的形状由a的正负决定。

-若a>0，则抛物线开口向上，极值点为最低点。

抛物线方程的基本知识点一、抛物线的定义及特点抛物线是一种二次曲线，它的形状像一个开口朝上或朝下的弧形。

抛物线具有以下特点：1. 抛物线对称性：抛物线关于其顶点对称。

2. 抛物线焦点和准线：抛物线有一个焦点和一条准线，其中焦点是到抛物线上任意一点距离与该点到准线距离之差的绝对值相等的点，准线则是与焦点垂直且通过抛物线顶点的直线。

3. 抛物线方程：一般来说，我们可以通过给定的抛物线顶点和焦点来确定其方程。

二、求解抛物线方程1. 标准式方程标准式方程是指以原点为中心的、开口朝上或朝下的抛物线所满足的方程。

标准式方程如下：y = ax^2 + bx + c其中 a, b, c 是常数，a 不等于零。

2. 顶点式方程顶点式方程是指以 (h, k) 为顶点、开口朝上或朝下的抛物线所满足的方程。

顶点式方程如下：y = a(x - h)^2 + k其中 a, h, k 是常数，a 不等于零。

3. 焦点式方程焦点式方程是指以 (h, k) 为顶点、焦点为 (h, k + p) 或 (h, k - p)、准线为 y = k - p 或 y = k + p 的抛物线所满足的方程。

焦点式方程如下：(x - h)^2 = 4p(y - k)其中 h, k, p 是常数，p 不等于零。

三、抛物线的性质1. 抛物线的对称轴是准线：抛物线关于其对称轴对称。

2. 抛物线的焦距相等：抛物线上任意一点到其焦点的距离与该点到准线的距离之差相等。

3. 抛物线上任意一点的切线斜率等于该点处切线与准线之间夹角的正切值。

4. 抛物线上任意一条过顶点和与准线垂直的直线在抛物线上的交点到顶点距离相等。

5. 抛物线上两个不同位置处的切线平行当且仅当这两个位置在抛物线上对称。

四、应用1. 物理学中，抛体运动可以通过将重力加速度分解为水平方向和竖直方向的分量，然后将竖直方向的运动描述为抛物线运动来进行。

2. 工程学中，抛物线的形状被广泛应用于设计弓形桥、天线、反射镜等。

抛物线的标准方程及抛物线与直线的位置关系知识点概括：抛物线的概念抛物线的概念1、平面内与一定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线。

2、抛物线的性质、抛物线的性质::抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程22(0)y pxp =>22(0)y pxp =->22(0)x pyp =>22(0)x pyp =->图形焦点坐标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p (0,)2p -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2py =范围 0x ³ 0x £0y ³ 0y £对称性 x 轴x 轴y 轴 y 轴 顶点 (0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率 1e =1e =1e =1e =焦半径 02x p PF +=02x p PF -=02y p PF +=02y p PF -=焦点弦)(21x x p AB ++=)(21x x p AB +-=)(21y y p AB ++= )(21y y p AB +-=o Fxy l oxy F l xyo F l+2p ， (2)12x x 2x 或x 2＝43y B．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－42x ；当焦点在y 轴上时，抛物线方程为x 2＝42＝3，∴p ＝6. ∴圆心M 的轨迹方程为y 2＝12x . 公式3.3.通径：过通径：过通径：过抛物线抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦H 1H 2称为通径；通径：称为通径；通径：|H |H 1H 2|=2P 4、焦点弦：过抛物线22y px =(0)p >焦点F 的弦AB ，若1122(,),(,)A x y B x y ，则(1)||AF =x 0=42p ，12y y =－p 2．例1、当a 为任何值时，为任何值时，直线直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过定点P ，则过P 点的抛物线的物线的标准方程标准方程为( ) A ．y 2＝－93y解析：由直线过定点P ，所以îíìx ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，得定点P (－2,3)．因为抛物线过定点P ，所以，当焦点在x 轴上时，方程为y 2＝－93y .选A. 例2、动圆M 经过点A (3,0)且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆求动圆圆心圆心M 的轨迹方程．解：设圆M 与直线l 相切于点N . ∵|MA |＝|MN |，∴圆心M 到定点A (3,0)和定直线x ＝－3的距离相等．根据抛物线的定义，M 在以A 为焦点，l 为准线的抛物线上． ∵p例3、已知抛物线C 的焦点F 在x 轴的正半轴上，点A (2，32＋2＝4，p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x . 巩固练习：1、（2013年山东数学（理））已知抛物线1C ．316 B ．38 C ．233 D ．433【答案】【答案】D D 2、（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 2)在抛物线内．若抛物线上一动点P 到A 、F 两点距离之和的最小值为4，求抛物线C 的方程．的方程．解：设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，其准线为x ＝－p 2，过P 点作抛物线准线的垂线，垂足为H (图略)，由定义知，|PH |＝|PF |.∴|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PH |，故当H 、P 、A 三点共线时，|P A |＋|PF |最小． ∴|P A |＋|PF |的最小值为p:212y x p =(0)p >的焦点与的焦点与双曲线双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一于第一象限象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条的一条渐近线渐近线,则p = （ ）A 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为的方程为 （ ）A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =【答案】【答案】C C3、（2013年上海市春季年上海市春季高考数学高考数学试卷）试卷）已知已知 A B 、为平面内两定点为平面内两定点,,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线的垂线,,垂足为N .若2MN AN NB l=×,其中l 为常数,则动点M 的轨迹不可能是的轨迹不可能是 （ ） A ．圆．圆 B ．椭圆 C ．抛物线．抛物线 D ．双曲线．双曲线 【答案】【答案】C C+2p ， (2)12x x =42p ，12y y =－p 2．(3) (3) 弦长弦长)(21x x p AB ++=，则AB =q 2sin 2p（5）AF 1+BF 1=P24、（2013年高考江西卷（理））抛物线22(0)x py p =>的焦点为F,F,其其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点,若ABF D 为等边三角形,则P =_____________【答案】【答案】6 65、（2013年安徽数学（理）试题）已知年安徽数学（理）试题）已知直线直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点两点..若该抛物线上存在点C ,使得ABC Ð为直角为直角,,则a 的取值范围为的取值范围为___ _____. ___ _____. 【答案】),1[+¥6、（ 2013年江苏卷（数学））抛物线2x y =在1=x 处的切线与两处的切线与两坐标轴坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与包含三角形内部与边界边界).).若点若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是的取值范围是__________.__________. 【答案】úûùêëé-21,21、焦点弦：过抛物线22y px =(0)p >焦点F 的弦AB ，若1122(,),(,)A x y B x y ， 则(1)||AF =x 0,p x x x x =³+21212,即当x 1=x 2时,通径最短为2p (4) (4) 若若AB 的倾斜角为θ2. 221212120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p pp-＜ 由22x py =得22x y p=，则,xy p ¢= 所以12,.MAMBx x kkpp==因此直线MA :102(),xy p x x p+=- 直线MB :202().xy p x x p+=-所以211102(),2x x p x x p p +=- ① 222202().2x x p x x p p +=- ② 由①、②得: 0122.x x x =+所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列. (2)解：由(1)知，当x 0=2时，时， 将其代入①、②并整理得：将其代入①、②并整理得：弦长公式2121221||1||1||AB k x x y y k=+-=+-3.3.点点P(x 0,y 0)和抛物线22y px =(0)p >的位置关系的位置关系(1) (1)点点P(x 0,y 0)在抛物线22y px =(0)p >内Ûy 20<2px 0 (2) (2)点点P(x 0,y 0)在抛物线22y px =(0)p >上Ûy 20=2px 0 (3) (3)点点P(x 0,y 0)在抛物线22y px =(0)p >外Ûy 2>2px 0例1、如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0)，M 为直线p y 2-=上任意一点，过M 引抛物线的切线，引抛物线的切线，切点切点分别为A ，B . (1)求证：A ，M ，B 三点的横坐标成三点的横坐标成等差数列等差数列；(2)已知当M 点的坐标为点的坐标为（（2，p 2-）时，时， 410AB =，求此时抛物线的方程； (3)是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 解:(1)证明：由题意设2211440,x x p --= 2222440,x x p --=所以x 1、x 2是方程22440x x p --=的两根，因此212124,4,x x x x p +==-又22210122122,2ABx x x x x p p k x x p p -+===-所以2.AB k p =由弦长公式2221212241()411616.AB k x x x x p p=++-=++的方程为011(),xy y x x p-=-由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212(,)22x x y y ++也在直线AB 上，上，代入得033.xy x p=若D （x 3,y 3）在抛物线上，）在抛物线上， 则2330322,x py x x ==因此x 3=0或x 3=2x 0. 即D (0，0)或202(2,).x D x p(1(1’ ’ 当x 0=0时，则12020x x x +==，此时，点M (0,-2p )适合题意. (2(2’ ’ 当00x ¹，对于D (0，0)又0,AB x k p=AB ⊥CD ，所以222201212201,44AB CDx x x x x k k p px p++===- 即222124,x x p +=-矛盾. 对于202(2,),x D x p 又410AB =，所以p =1或p =2，因此所求，因此所求抛物线抛物线方程为22x y =或24.x y =(3)解：设D (x 3,y 3)，由题意得C (x 1+ x2, y 1+ y 2), 则CD 的中点坐标为123123(,),22x x x y y y Q ++++设直线AB ，此时2212222212120002(2,),,224CDx x x x x x p C x kpx px +++==因为22120(2,),2x x C x p+此时直线CD 平行于y 轴，轴，解:（1）证明：设221122(,)(,)A x x B x x 、，(,)(,)E EF F E x y B x y 、则直线AB 的方程：()222121112x x y x x x x x -=-+-, 即：121()y x x x x x =+- 因00(,)M x y 在AB 上，所以012012()y x x x x x =+- ① 又直线AP 方程：2101x yy x y x -=+由210012x y y x y x x yì-=+ïíï=î得：2210010x yx x y x ---= 所以22100012111,E E E x y y y x x x y x x x -+=Þ=-= 同理，同理，200222,F F y y x y x x =-= 所以直线EF 的方程：201201212()y x x y y x x x x x +=-- 令令0x x =-得: 0120012[()]yy x x x y x x =+-将①代入上式得0y y =，即N 点在直线EF 上.即证即证. .yxPNOMAEBF又00,ABx kp=¹所以所以直线直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾，，与题设矛盾， 所以00x ¹时，不存在符合题意的M 点. 综上所述，仅存在一点M (0，-2p )适合题意. 例2、已知已知抛物线抛物线2y x =和三个点00000(,)(0,)(,)M x y P y N x y -、、2000(,0)y x y ¹>，过点M 的一条直线交抛物线于A 、B 两点，AP BP 、的延长线分别交的延长线分别交曲线曲线C 于E F 、．（1）证明E F N 、、三点三点共线共线；（2）如果A 、B 、M 、N 四点共线，问：是否存在0y ，使以，使以线段线段AB 为直径的圆与抛物线有异于A 、B 的交点？如果存在，求出0y 的取值范围，并求出该交点到直线AB 的距离；若不存在，请说明理由．由．（2）解：由已知A B M N 、、、.共线，所以()0000,,(,)A y y B y y - 以AB 为直径的为直径的圆的方程圆的方程：()2200x y y y +-=由()22002x y y y x y ì+-=ïí=ïî得()22000210y y y y y --+-=所以0y y =（舍去），01y y =-要使圆与要使圆与抛物线抛物线有异于,A B 的交点，则010y -³所以存在01y ³，使以AB 为直径的圆与抛物线有异于,A B 的交点(),T T T x y 则01T y y =-，所以交点T 到AB 的距离为()00011T y y y y -=--= 例3、已知已知直线直线:1L x my =+（0m ¹）过）过椭圆椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点F ，且交椭圆C 与A ，B 两点.（1）若抛物线243x y =的焦点为椭圆C 的上的上顶点顶点，求椭圆C 的方程；的方程； （2）对于（）对于（11）中的椭圆C ，若直线L 交y 轴于点M ，且12,MA AF MB BF l l ==，当m 变化时，求12l l +的值，由已知得222(5)3x x y +=-+-，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所于是0254 3.1k y kk ++=+注意:本题中条件” 12,MA AF MB BF l l ==”的处理很好! 巩固练习：1、在直角在直角坐标系坐标系xOy 中，曲线1C 上的点均在圆222:(5)9C x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的上点的距离的最小值最小值. （Ⅰ）求曲线1C 的方程；的方程；（Ⅱ）设000(,)(3)P x y y ¹±为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点,A B 和,C D .证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点,A B ,,C D 的纵坐标之积为定值的纵坐标之积为定值. .解:（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y 以22(5)5x y x -+=+.化简得曲线1C 的方程为220y x =.解法2 ：由题设知，由题设知，曲线曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，的距离，因此，曲线曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =.（Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，上运动时，P P 的坐标为0(4,)y -，又03y ¹±，则过P 且与圆且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个，每条切线都与抛物线有两个交点交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.01218.724y yk k +=-=- ②② 由101240,20,k x y y k y x -++=ìí=î得21012020(4)0.k y y y k -++= ③③ 设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则0112120(4).y k y yk +×= ④④同理可得0234220(4)y k y y k +×=⑤⑤ 于是由②，④，⑤三式得于是由②，④，⑤三式得于是由②，④，⑤三式得: :010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++由023222c --=结合0c >,解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =.(Ⅱ) ) 抛物线抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x ¢= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),),则切线则切线,PA PB 的斜率分别为整理得2200721890.k y k y ++-= ①① 设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故=2012012124004()16y k k y k k k k éù+++ëû==6400 所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.2、（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知抛物线C 的顶点为原点为原点,,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为322.设P 为直线l 上的点上的点,,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) ) 求抛物线求抛物线C 的方程的方程; ;(Ⅱ) ) 当点当点()00,P x y 为直线l 上的定点时上的定点时,,求直线AB 的方程的方程; ; (Ⅲ) ) 当点当点P 在直线l 上移动时上移动时,,求AF BF ×的最小值. 【答案】【答案】((Ⅰ) ) 依题意依题意依题意,,设抛物线C 的方程为24x cy =,112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112xy y x x -=-,,21BF y =+, 所以()221212121AF BF y y yy y x y×=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y æö+-+=++=++ç÷èø所以当012y =-时．1617 B ．1615 C 即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --= 因为切线,PA PB均过点()00,P x y ,所以1220x x y y --=,2002220x x y y --=所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解的两组解. . 所以所以直线直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) ) 由由抛物线定义可知11AF y =+所以()()()121212111AF BF y y y y y y ×=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=ìí=î,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = , AF BF ×取得取得最小值最小值,且最小值为92.课后作业：1．抛物线28y x =的准线方程是（方程是（ ）(A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =- 2.抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（的纵坐标是（ ）A ．87D ．0 3.在抛物线y px 22=上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为（的值为（ ）则=×OB OA （ ）（A ）43 （B ）－43（C ）3 （D ）－3 6．已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（的坐标为（ ）A. （41，－1）B. （41，1） C. （1，2） D. （1，－2）7．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l,经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l,垂足为K ，则△AKF 的面积是（的面积是（ ））（A ）4 （B ）33 (C) ．．10．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = 一、选择题：12345678ABCDBACB题 号答 案二.填空题:9．x A. 12 B. 1 C. 2 D. 4 4．与．与直线直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x 2的切线方程是（是（） (A) 2x-y+3=0 (B) 2x-y-3=0 (C) 2x-y+1=0 (D) 2x-y-1=0 5、设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，43 (D)8 8．已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN MP MN NP ×+× ＝0，则动点P （x ，y ）的）的轨迹方程轨迹方程为（为（ ） （A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-= 二.填空题:9．在．在平面直角坐标系平面直角坐标系xOy xOy中，已知抛物线关于中，已知抛物线关于中，已知抛物线关于x x 轴对称，顶点在原点，顶点在原点O O ，且过点P(2,4)P(2,4)，则该抛物线的方程是，则该抛物线的方程是 ．11．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、AB 为直径的圆方程是________________. 12．已知抛物线x y 42=，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(),(),2211y x B y x 、两点，则y 2221y +的最小值是的最小值是y 82= ； 10． -1. ． 11．4)1(22=+-y x ；12． 32 。

九年级抛物线知识点2a-b在数学课堂上，当老师提及到抛物线，我们通常都会很兴奋。

它是一种优雅而有趣的曲线，常常出现在我们生活中各种各样的形状中。

在这篇文章中，我们将深入研究九年级抛物线知识点2a-b，并探讨它们的实际应用。

1. 抛物线的方程：y = ax² + bx + c学习抛物线的第一步就是理解它的方程式。

一般来说，抛物线的方程可以写成 y = ax² + bx + c。

其中，a、b和c是常数。

a决定了抛物线的张开程度，a>0时，抛物线面向上打开，a<0时，抛物线面向下打开。

b则表示抛物线在x轴的位置，c是抛物线的y轴偏移量。

例如，当a=1，b=0，c=0时，方程变为y = x²，我们可以将其绘制成一条对称的抛物线。

2. 抛物线的顶点抛物线是一个连续光滑的曲线，它通常有一个最高点或最低点，我们称之为顶点。

顶点是抛物线的关键特征之一，它的横坐标可以通过计算公式x = -b/2a得到。

当找到顶点的横坐标后，将其代入方程式可以获得顶点的纵坐标。

通过计算顶点的坐标，我们可以更好地理解抛物线的形状和性质。

顶点也可以帮助我们求解一些实际问题，如抛物线的最大值或最小值。

3. 抛物线的焦点和准线除了顶点，抛物线还有两个特殊的点，分别是焦点和准线。

焦点是抛物线上到焦点距离和到准线距离相等的点。

准线是指与抛物线平行，且与抛物线不相交的一条直线。

通过焦点和准线，我们可以更好地理解抛物线的特性。

例如，焦点与顶点之间的距离称为焦距，它是抛物线的一个重要参数。

焦距越小，抛物线越扁平。

4. 抛物线的应用抛物线不仅在数学中有重要的地位，它还在现实世界中有广泛的应用。

让我们探讨一些实际问题中抛物线的应用。

首先，抛物线的形状使得它在物理学中得到了广泛应用。

例如，当一个物体自由落体时，其运动轨迹可以由一条抛物线表示。

通过理解抛物线的特性，我们可以计算出物体的最大高度、飞行距离等参数。

其次，抛物线也在工程学中发挥着重要的作用。

抛物线准线方程式
抛物线的准线方程公式：y=-p/2。

平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。

抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。

它有许多表示方法，例如参数表示、标准方程表示等等。

准线特点：
在抛物线y^2=2px中，焦点是(p/2，0），准线的方程是x= -p/2，离心率e=1，范围：x≥0。

在抛物线y^2= -2px 中，焦点是( -p/2，0），准线的方程是x=p/2，离心率e=1，范围：x≤0。

在抛物线x^2=2py 中，焦点是（0，p/2），准线的方程是y= -p/2,离心率e=1，范围：y≥0。

在抛物线x^2= -2py中，焦点是（0，-p/2），准线的方程是y=p/2，离心率e=1，范围：y≤0。

有关抛物线的所有知识点在数学的世界中，抛物线是一个非常重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用，从物理学中的抛体运动到工程学中的桥梁设计，从数学本身的函数研究到计算机图形学中的曲线绘制。

接下来，让我们一起深入了解抛物线的各个方面。

一、抛物线的定义抛物线可以用多种方式来定义。

最常见的是平面内到一定点 F（焦点）和定直线 l（准线）距离相等的点的轨迹。

也就是说，对于抛物线上的任意一点 P，它到焦点 F 的距离等于它到准线 l 的距离。

例如，如果有一个抛物线，其焦点为 F(0, 2)，准线为 y ＝－2，那么对于抛物线上的点 P(x, y)，就有 PF 的距离等于 P 到准线的距离，即√（x 0)²＋（y 2)²＝｜y ＋ 2| 。

二、抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种形式：1、当抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，开口向右时，方程为 y²＝2px（p ＞ 0），其中 p 为焦点到准线的距离。

2、当抛物线的焦点在 x 轴的负半轴上，开口向左时，方程为 y²＝－2px（p ＞ 0）。

3、当抛物线的焦点在 y 轴的正半轴上，开口向上时，方程为 x²＝2py（p ＞ 0）。

4、当抛物线的焦点在 y 轴的负半轴上，开口向下时，方程为 x²＝－2py（p ＞ 0）。

以 y²＝ 2px 为例，焦点坐标为（p/2, 0)，准线方程为 x ＝ p/2。

三、抛物线的性质1、对称性抛物线关于其对称轴对称。

对于形如 y²＝ 2px 的抛物线，其对称轴为 x 轴；对于形如 x²＝ 2py 的抛物线，其对称轴为 y 轴。

2、顶点抛物线的顶点是其对称轴与抛物线的交点。

在标准方程中，顶点坐标为（0, 0) 。

3、焦半径抛物线上一点到焦点的距离叫做焦半径。

对于抛物线 y²＝ 2px 上的一点 P(x₀, y₀)，其焦半径为 x₀＋ p/2 。

y=x平方的焦点坐标和准线方程
首先，我们知道抛物线的标准方程是y = ax^2 + bx + c，其
中a、b和c分别是抛物线的参数。

对于y = x^2这个特定的抛物线，a = 1，b = 0，c = 0。

焦点坐标的x坐标可以通过公式 x = -b / (2a) 来计算。

在这
种情况下，b = 0，a = 1，因此x = 0。

将x = 0代入y = x^2中，得到焦点坐标的y坐标，即焦点坐标为(0, 0)。

接下来，我们来计算准线方程。

准线是与抛物线相切的直线，
它的方程是y = (1/4a)x + c，其中a是抛物线的参数。

在这种情
况下，a = 1，所以准线的方程是y = (1/4)x + c。

为了找到准线方程中的常数c，我们需要知道准线与抛物线的
焦点重合。

我们已经知道焦点坐标是(0, 0)，将这个坐标代入准线
方程得到0 = (1/4)0 + c，因此c = 0。

因此，准线的方程是y = (1/4)x。

这就是抛物线y = x^2的焦
点坐标和准线方程的全面回答。

抛物线的性质抛物线是一种基本的数学曲线，具有许多独特的性质和应用。

本文将从几何和代数的角度探讨抛物线的性质，以及它在实际生活中的一些应用。

一、抛物线的定义和基本特征抛物线是一种由平面上的一个点P和一个定点F及一条直线l构成的几何图形。

其中，定点F称为焦点，直线l称为准线。

对于平面上的任意一点Q，其到焦点F的距离与其到准线l的距离的平方成正比。

抛物线的几何特征可以用数学表达式y = ax^2 + bx + c来表示，其中a、b、c为常数，a不等于零。

1.1 焦点和准线抛物线的焦点F位于抛物线的对称轴上，离开准线的距离等于离开抛物线的顶点的距离。

抛物线上的每个点到焦点的距离与到准线的距离的比值都相等，这个比值称为离心率，用e表示。

准线是与抛物线关于对称轴对称的直线。

具体的计算公式可以由抛物线的焦点和准线的坐标表示。

1.2 对称性和顶点抛物线具有关于对称轴的对称性。

对于抛物线上的任意一点P(x,y)，其关于对称轴的对称点P'的坐标为P'(-x,y)。

抛物线的顶点是对称轴上的一个点，其坐标可以通过求导或者由抛物线的标准方程得出。

二、抛物线的性质抛物线除了上述的定义和基本特征外，还有一些重要的性质和定理。

下面将介绍几个常见的抛物线性质。

2.1 切线和法线考虑抛物线上的一点P(x,y)，其切线的斜率为y'。

由于抛物线的方程是二次函数，可以通过求导得到切线的斜率。

切线与抛物线在点P处相切，其方程可以由点斜式或者斜截式得出。

法线是与切线垂直的线段，其斜率为倒数的负数。

根据几何关系可以得出切线和法线在点P 处垂直。

2.2 点的位置关系给定一个点Q(x,y)，如何判断其是否在抛物线上？可以将点Q的坐标带入抛物线的方程中，若等式成立，则点Q在抛物线上；若不成立，则点Q不在抛物线上。

2.3 判别式和焦点位置由抛物线的标准方程y=ax^2+bx+c可得到判别式D=b^2-4ac。

根据判别式的值，可以判断抛物线的性质：若D大于零，则抛物线开口向上或向下，焦点在对称轴上方或下方；若D等于零，则抛物线开口向上或向下，焦点与顶点重合；若D小于零，则抛物线开口向上或向下，但焦点不存在于实数范围内。

高一数学抛物线知识点汇总高一数学 - 抛物线知识点汇总一、抛物线的定义抛物线是平面解析几何中的一个重要曲线，由平面上的一条直线（称为准线）和一个点（称为焦点）确定。

所有与准线的距离与与焦点的距离相等的点的轨迹形成了抛物线。

二、抛物线的标准方程抛物线的标准方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中a、b、c为常数，且a≠0。

三、抛物线的性质1. 对称性：抛物线关于准线及焦点均具有对称性。

2. 焦距：焦点与准线之间的距离称为焦距，记为f。

3. 焦点坐标：抛物线的焦点坐标为(Fx, Fy)，其中Fx = -(b/(2a))，Fy = c - (b^2 - 1)/(4a)。

4. 准线方程：准线的方程为y = -(b^2 - 1)/(4a)。

5. 判别式：判别式Δ = b^2 - 4ac可以确定抛物线的开口方向及与x轴的交点情况。

- 当Δ > 0时，抛物线开口朝上，并且与x轴有两个交点。

- 当Δ = 0时，抛物线开口朝上，并且与x轴有一个交点。

- 当Δ < 0时，抛物线开口朝下，与x轴无交点。

四、抛物线的焦点与直线的关系1. 焦点到准线的距离等于焦点到抛物线上任意一点的距离。

2. 焦点到直线的距离等于焦点到直线的垂线上的点的距离。

五、抛物线的平移抛物线沿x轴平移h个单位，y轴平移k个单位后的方程为：y = a(x - h)^2 + k六、抛物线的应用1. 物理学中，抛物线可以描述自由落体运动的轨迹。

2. 工程学中，抛物线常用于建筑物、桥梁等结构的设计。

3. 数学学科中，抛物线是解析几何中的重要概念，应用于函数图像的绘制、优化问题的求解等多个领域。

高一数学的抛物线知识点汇总到此结束。

抛物线作为解析几何的基础内容之一，掌握它的定义、方程、性质以及应用是十分重要的。

希望本文的介绍能够对你的学习有所帮助，同时也加深对抛物线的理解。

抛物线焦点坐标公式抛物线是一个常见的曲线形状，可以通过焦点和直线的关系来描述。

焦点坐标公式是用来计算抛物线焦点位置的公式。

在笛卡尔平面坐标系中，抛物线的焦点坐标可以使用以下公式计算：如果抛物线的准线是与y轴平行的线段，并且焦点位于x轴上，那么焦点的坐标形式为(0,p)，其中p是焦距。

如果抛物线的准线是与x轴平行的线段，并且焦点位于y轴上，那么焦点的坐标形式为(p,0)，其中p是焦距。

在抛物线一般情况下，可以使用标准形式的抛物线方程 y = ax^2 + bx + c 来计算焦点坐标。

其中 a、b、c 是常数。

要计算焦点坐标，首先需要将抛物线方程转化为顶点坐标形式(h,k)。

顶点坐标公式为h=-b/(2a)和k=c-(b^2/(4a))。

然后，根据抛物线方程的类型，可以使用以下公式计算焦点坐标：1.如果抛物线开口向上（a>0），那么焦点坐标形式为(h,k+1/(4a))。

2.如果抛物线开口向下（a<0），那么焦点坐标形式为(h,k-1/(4a))。

这些公式是通过将标准形式的抛物线方程转化为顶点坐标形式，并利用几何关系推导得出的。

我们可以通过一个例子来说明如何计算抛物线焦点坐标。

假设我们有一个抛物线方程y=2x^2-4x+3首先，我们需要将抛物线方程转化为顶点坐标形式。

通过求解h和k，我们可以得到h=-(-4)/(2*2)=1和k=3-((-4)^2/(4*2))=-1然后，根据抛物线开口方向，我们可以确定焦点坐标形式。

由于a>0，这个抛物线开口向上。

所以焦点坐标形式为(1,-1+1/(4*2))=(1,-1+1/8)=(1,-7/8)。

因此，这个抛物线的焦点坐标为(1,-7/8)。

总结起来，抛物线焦点坐标可以通过将抛物线方程转化为顶点坐标形式，并利用抛物线开口方向来计算。

这个公式可以用来计算抛物线的焦点位置，以及研究抛物线的特性和行为。

一般抛物线准线方程
一般来说，抛物线的准线方程可以通过以下步骤得到。

首先，我们知道抛物线的一般方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c分别是抛物线的系数。

现在我们来推导抛物线的准线方程。

1. 首先，确定抛物线的焦点和直线的方程。

抛物线的焦点可以通过公式(-b/2a, c-b^2/4a)计算得到。

接下来，我们需要确定这个焦点所在的直线方程，即准线方程。

2. 接下来，我们可以使用焦点和直线的性质来得到准线方程。

根据几何性质，抛物线的准线是与焦点垂直，并且经过抛物线的顶点。

因此，我们可以得到准线方程为x=-b/2a。

3. 最后，我们可以将这个准线方程与抛物线的一般方程结合起来，从而得到抛物线的准线方程。

将x=-b/2a代入抛物线的一般方程y=ax^2+bx+c中，即可得到抛物线的准线方程为y=c-b^2/4a。

综上所述，抛物线的准线方程为y=c-b^2/4a，其中a、b和c 分别是抛物线的系数。

这个准线方程可以帮助我们更好地理解抛物线的性质和特点。