浙江省中考数学第六单元圆测试练习(新版)浙教版

浙教版2021年中考数学总复习《圆》一、选择题1.如图，在⊙O中与∠1一定相等的角是( )A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠52.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数为（）A.60°B.50°C.40°D.30°3.如图，⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC的度数是（）A.110°B.70°C.55°D.125°4.如图，四边形ABCD内接于半圆O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（）A.40°B.60°C.70°D.80°5.如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=40°，则∠ABC的度数为（）A．20° B．25° C．40° D．50°6.阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（）A．（60°，4）B．（45°，4）C．（60°，2）D．（50°，2）7.已知⊙O的半径为r,其内接正六边形,正四边形,正三角形的边长分别为a,b,c,则a:b:c值为（）A.1：2：3B.3：2：1C.1：：D.：：18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°二、填空题9.将面积为32π的半圆围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．10.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”。

第六章 圆第一节 圆的基本性质姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2017·山东泰安中考)如图，△ABC 内接于⊙O，若∠A＝α，则∠OBC 等于( )A ．180°－2αB ．2αC ．90°＋αD ．90°－α2．(2017·湖北宜昌中考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AC 平分∠BAD，则下列结论正确的是( )A ．AB ＝AD B ．BC ＝CD C.AB ︵＝AD ︵D ．∠BCA＝∠ACD3. (2017·四川泸州中考)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的长是( )A.7B ．27C ．6D ．84．(2018·浙江温州模拟)在公园的O 处附近有E ，F ，G ，H 四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)，现计划修建一座以O 为圆心，OA 为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E ，F ，G ，H 四棵树中需要被移除的为( )A ．E ，F ，GB ．F ，G ，HC ．G ，H ，ED ．H ，E ，F5．(2017·浙江湖州中考)如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC.以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D.若∠BAC＝40°，则AD ︵的度数是__________度.6．(2017·四川自贡中考)如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB＝AC，∠ABC＝30°，BD是⊙O的直径，如果CD＝433，则AD＝______．7．(2016·浙江绍兴中考)如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为________cm.8．如图，点P是四边形ABCD外接圆⊙O上任意一点，且不与四边形顶点重合，AD是⊙O的直径，AB＝BC＝CD，连结PA，PB，PC.若PA＝a，则点A到PB和PC的距离之和AE＋AF＝__________.9．在直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点．已知一个圆的圆心在原点，半径等于5，那么这个圆上的格点有________个.10．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A(13，0)，直线y ＝kx －3k ＋4与⊙O 交于B ，C 两点，则弦BC 的长的最小值为________.11．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1＝∠BCD. (1)求证：CB∥PD；(2)若BC ＝3，sin ∠BPD＝35，求⊙O 的直径．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，OF⊥AC于点F.(1)请探索OF和BC的关系并说明理由；(2)若∠D＝30°，BC＝1时，求圆中阴影部分的面积(结果保留π)．13．(2018·河北模拟)如图，已知线段AB＝2，MN⊥AB于点M，且AM＝BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C(点C在线段BD上)，连结AC，DE.(1)当∠APB＝30°时，求∠B的度数；(2)求证：AB2＝BC·PB；(3)在点P的运动过程中，当MP＝4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值．14. (2018·浙江温州中考)小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ 所在的直线经过点M ，PB ＝5 cm ，小正六边形的面积为4932cm 2，则该圆的半径为______cm .15．(2018·浙江宁波中考)如图1，直线l ：y ＝－34x ＋b 与x 轴交于点A(4，0)，与y 轴交于点B ，点C 是线段OA 上一动点(0＜AC ＜165)．以点A 为圆心，AC 长为半径作⊙A 交x 轴于另一点D ，交线段AB 于点E ，连结OE 并延长交⊙A 于点F.(1)求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；(2)如图2，连结CE，当CE＝EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；(3)当点C在线段OA上运动时，求OE·EF的最大值．参考答案【基础训练】1．D 2.B 3.B 4.A 5.140 6.4 7.25 8.1＋32 a【拔高训练】 9．12 10.2411．(1)证明：∵∠D＝∠1，∠1＝∠BCD， ∴∠D＝∠BCD，∴CB∥PD. (2)解：如图，连结AC.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠A CB ＝90°. ∵CD⊥AB，∴CB ︵＝BD ︵， ∴∠BPD＝∠CAB，∴sin∠CAB＝sin∠BPD＝35，即BC AB ＝35. ∵BC＝3，∴AB＝5，即⊙O 的直径是5.12．解：(1)OF∥BC，OF ＝12BC.理由如下：由垂径定理得AF ＝CF. ∵AO＝BO ，∴OF 是△ABC 的中位线． ∴OF∥BC，OF ＝12BC.(2)连结OC.由(1)知OF ＝12BC.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∵∠D＝30°，∴∠A＝30°. ∴AB＝2BC ＝2，∴AC＝ 3. ∴S △AOC ＝12×AC×OF＝34.易得∠AOC＝120°，OA ＝1， ∴S 扇形AOC ＝120·π·OA 2360＝π3.∴S 阴影＝S 扇形AOC －S △AOC ＝π3－34.13．(1)解：∵MN⊥AB，AM ＝BM ，∴PA＝PB ，∴∠PAB＝∠B.∵∠APB＝30°，∴∠B＝75°.(2)证明：如图1，连结MD.图1∵MD 为△PAB 的中位线，∴MD∥AP，∴∠MDB＝∠APB.∵∠BAC＝∠MDC＝∠APB，又∵∠BAP＝180°－∠APB－∠B，∠ACB＝180°－∠BAC－∠B， ∴∠BAP＝∠ACB.∵∠BAP＝∠B，∴∠ACB＝∠B，∴AC＝AB ，由(1)可知PA ＝PB ，∴△ABC∽△PBA，∴AB PB ＝BC AB， ∴AB 2＝BC·PB.(3)解：如图2，记MP 与圆的另一个交点为R.图2∵MD 是Rt△MBP 的中线，∴DM＝DP ，∴∠DPM＝∠DMP＝∠RCD，∴RC＝RP.∵∠ACR＝∠AMR＝90°，∴AM 2＋MR 2＝AR 2＝AC 2＋CR 2，∴12＋MR 2＝22＋PR 2，∴12＋(4－PR)2＝22＋PR 2，∴PR＝138，∴MR＝198. Ⅰ.当∠ACQ＝90°时，AQ 为圆的直径，∴Q 与R 重合，∴MQ＝MR ＝198； Ⅱ.如图3，当∠QCD＝90°时，图3在Rt△QCP 中，PQ ＝2PR ＝134，∴MQ＝34；Ⅲ.如图4，当∠QDC＝90°时，图4 ∵BM＝1，MP ＝4，∴BP＝17，∴DP＝12BP ＝172. ∵cos∠MPB＝MPPB ＝DP PQ ，∴PQ＝178， ∴MQ＝158.Ⅳ.如图5，当∠AEQ＝90°时，图5 由对称性可得∠AEQ＝∠BDQ＝90°，∴MQ＝158. 综上所述，MQ 的值为198或34或158. 【培优训练】14．815．(1)解：∵直线l ：y ＝－34x ＋b 与x 轴交于点A(4，0)， ∴－34×4＋b ＝0，∴b＝3，∴直线l 的函数表达式y ＝－34x ＋3，∴B(0，3)，∴OA＝4，OB ＝3.在Rt△AOB 中，tan∠BAO＝OB OA ＝34.(2)①证明：如图，连结DF ，DE.∵CE＝EF ，∴∠CDE＝∠FDE，∴∠CDF＝2∠CDE.∵∠OAE＝2∠CDE，∴∠OAE＝∠ODF.∵四边形CEFD 是⊙O 的圆内接四边形，∴∠OEC＝∠ODF，∴∠OEC＝∠OAE.∵∠COE＝∠EOA，∴△COE∽△EOA.②解：如图，过点E 作EM⊥OA 于M.由①知，tan∠OAB＝34. 设EM ＝3m ，则AM ＝4m ，∴OM ＝4－4m ，AE ＝5m ，∴E(4－4m ，3m)，AC ＝5m ，∴OC＝4－5m.由①知，△COE∽△EOA，∴OC OE ＝OE OA， ∴OE 2＝OA·OC＝4(4－5m)＝16－20m.∵E(4－4m ，3m)，∴(4－4m)2＋9m 2＝25m 2－32m ＋16，∴25m 2－32m ＋16＝16－20m ，∴m＝0(舍去)或m ＝1225， ∴4－4m ＝5225，3m ＝3625， ∴E(5225，3625)． (3)解：如图，设⊙O 的半径为r ，过点O 作OG⊥AB 于G ，连结FH. ∵A(4，0)，B(0，3)，∴OA＝4，OB ＝3，∴AB＝5，∴12AB×OG＝12OA×OB，∴OG＝125， ∴AG＝OG tan ∠AOB ＝125×43＝165，∴EG＝AG －AE ＝165－r. ∵EH 是⊙O 直径，∴EH＝2r ，∠EFH＝90°＝∠EGO. ∵∠OEG＝∠HEF，∴△OEG∽△HEF，∴OE HE ＝EG EF， ∴OE·EF＝HE·EG＝2r(165－r)＝－2(r －85)2＋12825， ∴当r ＝85时，OE·EF 最大值为12825.。

浙教版初三圆测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 圆的半径为3，则圆的周长是（）。

A. 18πB. 6πC. 9πD. 3π2. 已知圆的直径为10，那么这个圆的面积是（）。

A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π3. 在圆中，弦AB所对的圆心角的度数是60°，则弦AB的长度是（）。

A. 3B. 6C. 9D. 124. 圆内接四边形ABCD中，若∠A=∠C=90°，则四边形ABCD是（）。

A. 矩形B. 菱形C. 平行四边形D. 梯形5. 已知圆的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P与圆的位置关系是（）。

A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外D. 无法确定二、填空题（每题2分，共10分）6. 圆的面积公式为：________。

7. 圆的周长公式为：________。

8. 圆的内接四边形对角互补，即∠A + ∠C = ∠B + ∠D = ________。

9. 已知圆的半径为r，弧长为l，则扇形的面积为________。

10. 点P在圆上，若OP=r，则点P是圆的________。

三、计算题（每题5分，共20分）11. 已知圆的半径为7，求圆的周长。

12. 已知圆的直径为14，求圆的面积。

13. 在圆中，弦AB的长度为8，弦AB所对的圆心角为120°，求弦AB 所对的圆心角的弧度。

14. 已知圆内接四边形ABCD，其中∠A=∠C=90°，AB=6，CD=8，求四边形ABCD的面积。

四、解答题（每题15分，共30分）15. 已知点P在圆O上，OP=10，PA=6，PB=8，求圆O的半径r。

16. 已知圆的半径为r，圆心角α，求扇形的弧长l。

答案：一、选择题1. A2. B3. C4. A5. A二、填空题6. πr²7. 2πr8. 180°9. 1/2lr 10. 圆心三、计算题11. 圆的周长为14π。

12. 圆的面积为7π。

课时训练(二十七) 直线与圆的地点关系|夯实基础|1.[2018·常州] 如图K27-1,AB是☉O的直径,MN是☉O的切线,切点为N,假如∠MNB=52°,则∠NOA的度数为()图K27-1A.76°B.56°C.54°D.52°2.[2017·滨州] 若正方形的外接圆半径为2,则其内切圆半径为( )A. B.2 C. D.13.[2017·日照] 如图K27-2,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,连接PO并延伸交☉O于点C,连接AC,AB=10,∠P=30°,则AC的长度是( )图K27-2A.5B.5C.5D.4[2018·河北]如图K273,点为△的心里,4,3,2,将∠平移使其极点与重合,则图中暗影部.-ABC AB=AC=BC=ACB分的周长为( )1图K27-3A.4.5B.4C.3D.25.[2017·杭州] 如图K27-4,AT切☉O于点A,AB是☉O的直径,若∠ABT=40°,则∠ATB= . 图K27-46.[2017·枣庄]如图K27-5,在平行四边形ABCD中,AB为☉O的直径,☉O与DC相切于点E,与AD订交于点F,已知1 2,∠60°,则弧的长为.AB=C=FE图K27-57.[2018·包头] 如图K27-6,AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C的切线与BA的延伸线交于点D,点E在上(不与点B,C重合),连接BE,CE.若∠D=40°,则∠BEC= 度.图K27-68.[2018·岳阳] 如图K27-7,以AB为直径的☉O与CE相切于点C,CE交AB的延伸线于点E,直径AB=18,∠A=30°,弦CD⊥AB,垂足为点F,连接AC,OC,则以下结论正确的选项是.(写出全部正确结论的序号)2①= ;②扇形OBC的面积为π;③△OCF∽△OEC;④若点P为线段OA上一动点,则AP·OP有最大值20.25.图K27-79. [2018·葫芦岛]如图K27-8,AB是☉O的直径,=,E是OB的中点,连接CE并延伸到点F,使EF=CE,连接AF 交☉于点,连接,O DBDBF.求证:直线BF是☉O的切线;若OB=2,求BD的长.图K27-8精选文档310.[2018·沈阳] 如图K27-9,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE延伸线于点C.若∠ADE=25°,求∠C的度数;若AB=AC,CE=2,求☉O半径的长.图K27-9|拓展提高|11.[2018·宁波] 如图K27-10,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以点P为圆心,PM长为半径作☉P.当☉P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为.4图K27-1012.[2018·南京] 结果这样偶合!下边是小颖对一道题目的解答.题目:如图K27-11,Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D,AD=3,BD=4,求△ABC的面积.图K27-11解:设△ABC的内切圆分别与AC,BC相切于点E,F,CE的长为x.依据切线长定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.依据勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.整理,得x2+7x=12.因此S△ABC= A C·BC(x+3)(x+4)(x2+7x+12)×(12+12)=12.5小 12恰巧就是3×4,即△ABC的面等于AD与BD的.是偶合?你帮她达成下边的探究.已知:△ABC的内切与AB相切于点D,AD=m,BD=n.能够一般化 ?若∠C=90°,求:△ABC的面等于mn.倒来思虑呢 ?若AC·BC=2mn,求:∠C=90°.改一下条件⋯⋯(3)若∠C=60°,用m,n表示△ABC的面.6精选文档参照答案1 A [分析]∵为切点,∴⊥,则∠90°,.MNON MN O=已知∠MNB=52°,∴∠BNO=38°,ON=OB,∴∠BNO=∠B,∴∠NOA=2∠BNO=76°,选项A正确.2.A [分析] 如图,由“正方形的外接圆半径为2”可得OB=2,∠OBC=45°,由切线性质可得∠OCB=90°,因此△OBC为等腰直角三角形,因此OC=OB= .3.A [分析] 过点O作OD⊥AC于点D,∵AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,AB⊥AP,∴∠BAP=90°.∵∠P=30°,∴∠AOP=60°,∴∠AOC=120°.OA=OC,∴∠OAD=30°.AB=10,∴OA=5,∴OD=AO=,∴AD= = ,7AC=2AD=5,应选A.4.B [分析] 设△ABC的AB边上的高为h,△MNI的周长为a,MN边上的高为r,则△ABC的内切圆半径为r,∴△ABC的面积··()··,∴49,∴=.∵△∽△,∴=,∴△MNI的周长=×(432)4,应选=ABh =AB+BC+ACrh=r MNI ABC++=B.5.50°[分析] ∵AT是☉O的切线,∴∠TAB=90°,又∵∠ABT=40°,∴∠ATB=50°.6.π[分析] 如图,连接OE,OF,∵CD是☉O的切线,OE⊥CD,∴∠OED=90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∠C=60°,∴∠A=∠C=60°,∠D=120°.OA=OF,∴∠A=∠OFA=60°,∴∠DFO=120°,∴∠EOF=360°-∠D-∠DFO∠-DEO=30°,∴的长= ×6=π.7115[分析]连接,,由是切线得∠90°又由于∠40°,可得∠50°由于,可得∠65°.OCAC CDOCD=D=COD=.OA=OCOAC=由于四边形是圆内接四边形,由圆内接四边形对角互补获得∠的度数ACEB BEC①③④[分析]∵是☉的直径,且⊥, ABCDAB=,故①正确;∵∠A=30°,∴∠COB=60°,8∴扇形OBC的面积= ·π·2=π,故②错误;∵CE是☉O的切线,∴∠OCE=90°,∴∠OCD=∠OEC,∠EOC=∠COF,∴△OCF∽△OEC,故③正确; 设AP=x,则OP=9-x,∴AP·OP=x(9-x)=-x2+9x=-x-2 +,∴当x=时,AP·OP的最大值为=20.25,故④正确.故答案为①③④.9.解:(1)证明:连接OC,∵AB是☉O的直径, = ,∴∠AOC=∠BOC=90°.E是OB的中点,EF=CE,∴△COE≌△FBE.∴∠FBE=∠COE=90°.∴直线BF是☉O的切线.∵△COE≌△FBE,OB=2,∴BF=OC=2.在Rt△ABF中,由勾股定理得AF=2 .AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴△ADB∽△ABF,∴=,即=,解得BD=.10.解:(1) 如图,连接OA,由切线的性质可得∠OAC=90°,∵∠ADE=25°,∴∠AOC=50°,∴∠C=40°.9∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠AOC=2∠B,∴∠AOC=2∠C.∵∠OAC=90°,∴∠AOC+∠C=90°,即3∠C=90°,∴∠C=30°.∵∠OAC=90°,∴OA=OC.设☉O的半径为r,∵CE=2,r=(r+2).∴r=2.∴☉O的半径为2.11.3或4 [分析](1) 当☉P与DC相切时,如图①所示,设BP=x,则PC=8-x.DC与圆相切,∴PC=PM.又∵M是AB中点,∴BM=4.2 2 2在Rt△BMP中,依据勾股定理可得BM+BP=MP,x2+42=(8-x)2,解得x=3,∴BP=3.如图②所示,当☉P与DA相切时,1过点P作PE⊥AD,交AD于点E.∵☉P与DA相切于点E,∴EP=MP=8.2 2 2在Rt△BMP中,依据勾股定理可得BM+BP=MP,B P=4 =.综上所述,BP的值为3或4.2[分析](1)依据题目中所给的方法由切线长定理知,,,依据勾股定理得AE=AD=mBF=BD=nCF=CE=x(x+m)2+(x+n)2=( m+n)2,即x2+(m+n)x=mn,再利用三角形的面积公式计算;( 2)由AC·BC=2mn得(x+m)(x+n)=2mn,即x2+(m+n)x=mn,再利用勾股定理逆定理求证;(3)作AG⊥BC,由三角函数得AG=AC·sin60°= (x+m),CG=AC·cos60°=(x+m),BG=BC-CG=(x+n)-(x+m),在Rt△ABG中,依据勾股定理可得x2+(m+n)x=3mn,最后利用三角形的面积公式计算可得.解:设△ABC的内切圆分别与AC,BC相切于点E,F,CE的长为x.依据切线长定理,得AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x.证明:如图,在Rt△ABC中,依据勾股定理,得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2.整理,得x2+(m+n)x=mn.因此S△ABC=AC·BC=(x+m)(x+n)11[x2+(m+n)x+mn](mn+mn)=mn.证明:由AC·BC=2mn,得(x+m)(x+n)=2mn,整理,得x2+(m+n)x=mn,22222222222因此AC+BC=(x+m)+(x+n)=2[x+(m+n)x]+m+n=m+n+2mn=(m+n)=AB.依据勾股定理的逆定理,得∠C=90°.如图,过点A作AG⊥BC,垂足为G.在Rt△ACG中,AG=AC·sin60°=(x+m),CG=AC·cos60°=(x+m).因此BG=BC-CG=(x+n)-(x+m).在Rt△ABG中,依据勾股定理,得+ =(m+n)2,整理,得x2+(m+n)x=3mn,因此S△ABC=BC·AG1 2精选文档=(x+n)·(x+m)[x2+(m+n)x+mn](3mn+mn)mn.13。

2023年浙教版数学圆的性质练习题及答案一、选择题1. 在一个圆中，直径的长度等于半径的两倍，求这个圆的面积与周长之比。

A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：162. 已知一个正方形的对角线的长度是6cm，求这个正方形内切圆的半径是多少？A. 1.5cmB. 2cmC. 2.5cmD. 3cm3. 圆的周长是12π cm，求这个圆的面积。

A. 6π cm²B. 18π cm²C. 36π cm²D. 72π cm²二、填空题1. 直径为10cm的圆的周长是多少cm？答案：10π cm2. 一个正方形的内切圆的半径是4cm，则这个正方形的边长是多少cm？答案：8cm3. 已知一个扇形的半径为6cm，弧长为4cm，则扇形的圆心角是多少度？答案：60°三、解答题1. 已知一个长方形的长为12cm，宽为8cm，将它的一个边平移到长边上，使得形成一个圆形。

求圆的半径。

解：将长方形的一条边平移到长边上后，形成的图形是一个圆的梯形截面，而圆形截面的周长等于长方形的边长。

设圆的半径为r，则2πr = 12，解得r = 6cm。

所以，圆的半径为6cm。

2. 已知一个梯形的上底长为8cm，下底长为12cm，高为10cm。

将这个梯形旋转一周形成一个圆锥，求圆锥的体积。

解：将梯形旋转形成的图形是一个圆锥，圆锥的底面半径等于梯形的平均底长，即 (8 + 12) ÷ 2 = 10cm。

圆锥的高等于梯形的高，即10cm。

圆锥的体积可以通过公式V = (1/3)πr²h 计算，代入半径和高的值，得到V = (1/3)π(10)²(10) = 100π cm³。

所以，圆锥的体积为100π cm³。

四、解答题（含证明）1. 证明：在一个圆中，半径相等的弧所对的圆心角也相等。

证明：设在一个圆中，弧AB和弧CD的半径均为r，且弧AB所对的圆心角为θ。

第六单元圆检测卷(时间：120分钟 满分：150分)一、 选择题(每小题5分，共40分)1．下列命题中，正确的有( B )①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知⊙O 的直径CD ＝10cm ，弦AB ＝8cm ，且AB ⊥CD ，垂足为点M ，则AC 的长为( C )A ．2 5 cmB ．4 5 cmC ．2 5 cm 或4 5 cmD ．2 3 cm 或4 3 cm3．如图C6－1，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( A )A ．51°B ．56°C ．68°D ．78°(图C6－1)4．如图C6－2为正六边形网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上．设定AB 边如图，若△ABC 是直角三角形，则这样的三角形有( D )(图C6－2)A ．4个B ．6个C ．8个D ．10个5．如图C6－3，将边长为22的正方形ABCD 沿直线l 向右翻转(不滑动)，当正方形连续翻转10次后，正方形的中心O 经过的路径长是( D )(图C6－3)A ．102B ．202πC ．5πD ．10π6．如图C6－4，矩形ABCD 的长为6，宽为3，点O 1为矩形的中心，⊙O 2的半径为1，O 1O 2⊥AB 于点P ，O 1O 2＝6.若将⊙O 2绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现( B )(图C6－4)A ．3次B ．4次C ．5次D ．6次7．如图C6－5，AB 为⊙O 的直径，C ，D 在圆上，AC ＝2，BC ＝4，CD ＝BD ，则tan ∠CAD 的值等于 ( C )(图C6－5)A.53B.5－1C.5－12D.5－13提示：连结OD 交BC 于E ，则DE ＝5－1，CE ＝2，故tan ∠CAD ＝5－12.8．如图C6－6，AB 为⊙O 的直径，C 是AB ︵的中点，点D 在半径OA 上，过点D的弦FG ⊥AB ，点F 在AC ︵上，射线CD 交⊙O 于点E ，若CF ∥BE ，则有下列结论：①∠FBA ＝∠CBF ＋∠ABE ；②△BCF ∽△BDE ；③FG ＝FB ；④S △BCF ＋S △BDE ＝S △BCD ，其中正确的是( B )(图C6－6)A ．①③B ．②④C ．②③④D ．①②③④提示：①如果成立，由CB ︵＝CA ︵＝EF ︵＝90°，得CF ︵＝EG ︵，∴∠CBF ＝∠ABE ，∴E 是AG ︵的中点，故△CDF ≌△GDE ，∴CD ＝DG ＝DF ，这显然是不可能的，故①错误．②∵∠CBF ＝∠ABE ，∠CFB ＝∠DEB ，∴△BCF ∽△BDE ，故②正确． ③如图DS6－1，连结BG ，过点F 作FK ∥EG 交CE 于K ，连结BK .(图DS6－1)∵CF ∥BE ，∴四边形FCBE 是等腰梯形，∴BF ＝CE .∵FG ⊥AB ，∴CE ＞FG ，∴BF ＞FG ，故③错误．④∵AB 垂直平分线段FG ，∴BF ＝BG ＝EC ，∴CE ︵＝BG ︵，∴∠CBE ＝∠GEB ，∴BC ∥EG ∥FK ，∴S △BCF ＝S △BCK .易证△EGD ≌△KFD ，∴DE ＝DK ，∴S △BDE ＝S △BDK ，∴S △BCF ＋S △BDE ＝S △BCD ，故④正确．二、 填空题(每小题5分，共40分)9．如图C6－7，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1＋2，点O 在AB 上，⊙O 经过点A ，切BC 于点E ，交AB 于点D ，则⊙O 的半径为__2__．(图C6－7)10．在同圆中，下列命题是真命题的是__①③__．(填编号)①平分弧的直径，垂直弧所对的弦；②圆周角的平分线，平分圆周角所对的弦；③平行弦所夹的弧相等；④同一条弦所对的圆周角相等．11．如图C6－8，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝4，⊙O是△ABC的内切圆，与AC切于点E，则AE的长为__1.5__．(图C6－8)12．在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，点P，Q分别是△ABC的内心与外心，则|∠BPC－∠BQC|的值是__0__．13．如图C6－9，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以C为圆心，AC 长为半径画弧，交AB于点D，则AD的长为__7.2__．(图C6－9)14．在半径为1的⊙O中，弦AB，AC的长分别为3和2，则∠BAC的度数为__15°或75°__．15．如图C6－10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则cos∠ODA＝__55__．(图C6－10) DS6－2提示：如图DS6－2，过点O 作OE ⊥AB 于E ，则OE ＝2，DE ＝1. 16．如图C6－11，在半径为6cm 的⊙O 中，C ，D 为直径AB 的三等分点，点E ，F 分别在AB 两侧的半圆上，∠BCE ＝∠BDF ＝60°，连结AE ，BF .则图中两个阴影部分的面积和为__611__cm 2.(图C6－11) DS6－3 提示：如图DS6－3，延长EC 交⊙O 于点G ，过点O 作OM ⊥CE 于M ，过点A 作AH ⊥CG 于H ，连结OE ，则OM ＝3，EM ＝33，AH ＝23，∴S 阴影＝ S △AEG ＝12×233×23＝611.三、 解答题(共70分)17．(10分)赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．若桥跨度AB ＝40m ，主拱高CD ＝10m.(1)如图C6－12－1，请通过尺规作图找到桥弧所在圆的圆心O (保留作图痕迹)；(2)如图C6－12－2，求桥AB ︵所在圆的半径R .(图C6－12－1)(图C6－12－2) 解：(1)略；(2)25 m.18．(12分)如图C6－13，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连结DE.过点A 作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C，D，F，与AD相交于点G.(图C6－13)(1)求证：△AFG∽△DFC；(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．解：(1)略；(2)连结CG，易证△EDA∽△ADF和△AFG∽△DFC，得AGDC＝EA DA，由勾股定理得CG＝5，∴⊙O的半径为5 2.19．(12分)如图C6－14－1，⊙O的半径r＝253，弦AB，CD交于点E，C为AB︵的中点，过D点的直线交AB延长线于点F，且DF＝EF.(1)试判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)如图C6－14－2，连结AC，若AC∥DF，BE＝35AE，求CE的长．(图C6－14－1) (图C6－14－2)解：(1)如图DS6－4，连结OC，OD，易证∠ODC＋∠EDF＝∠OCD＋∠DEF＝90°，∴DF与⊙O相切．(图D6－4)(2)如图DS6－4，连结OC 交AB 于H ，连结OA .设AC ＝AE ＝5k ，BE ＝3k ，则AH ＝4k ，CH ＝3k ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2532＝(4k )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫253－3k 2，解得k ＝2， ∴CE ＝62＋22＝210.20．(14分)已知△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，D 是BC ︵一点，E 是DB 延长线上一点，AE ＝AD .(1)如图C6－15－1，求证：BE ＝CD ；(2)如图C6－15－2，若AB ＝2，∠BAC ＝90°，BD ︵＝12CD ︵，求阴影部分的面积．(图C6－15－1) (图C6－15－2)(1)证明：证△ABE ≌△ACD ，得BE ＝CD . (2)解：如图DS6－5，连结CD ，过点C 作CF ⊥AD 于F ，S △ABE ＝S △ACD ＝12×3×(1＋3)＝123＋32，(图DS6－5)S 弓形＝14π×2－1，∴S 阴影＝123＋32－⎝ ⎛⎭⎪⎫14π×2－1＝5＋3－π2. 21．(16分)已知：在平面直角坐标系中，以O 为圆心，5为半径作⊙O 交x 轴正半轴于B，交y轴负半轴于C，点A(a，b)是第一象限内⊙O上一点．(1) ①求点A的横、纵坐标a，b满足的关系式；②如图C6－16－1，若点A在直线y＝x＋1上，求点A的坐标；(2)如图C6－16－2，点D在x轴下方的直线y＝x＋1上，点E是x轴正半轴上一点，∠OEC＝∠CAD，在(1)的条件下，求点E的坐标；(3)如图C6－16－3，对于任意一点A，试用尺规作图在x轴上找一点N，连结AN交⊙O于点M，使得AM＝MN，并用含a，b的式子表示点N的坐标(直接写出结果)．(图C6－16－1)(图C6－16－2) (图C6－16－3)解：(1)①a2＋b2＝25；②A(3，4)．(2)如图DS6－6－1，连结CM交AD于N，不难求得CN＝32，AN＝62，∴AN ＝2CN，∴OE＝2OC，∴E(10，0)．(图DS6－6－1) (图DS6－6－2) (3)如图DS6－6－2，过A作AK⊥y轴于K，作OK的垂直平分线交⊙O于M1，M2，分别连结AM1，AM2，并延长交x轴于N1，N2，连结OM1，OM2，则AM1＝M1N1，AM2＝M2N2，易知OP＝12OK＝12b.由勾股定理，得PM1＝OM21－OP2＝12100－b2，∴N1(－100－b2－a，0)，N2(100－b2－a，0)．22．(16分)如图C6－17，在锐角等腰三角形ABC中，AB＝AC，点O为△ABC外接圆的圆心，连结OC，过点B作AC的垂线，交⊙O于点D，交OC于点E，交AC于点F，连结AD和CD.(图C6－17) (备用图)(1)若∠BAC＝2α，则∠BDA＝__90－α__(用含α的代数式表示)．(2)①求证：OC∥AD；②若E为OC的中点，求ADOC的值．(3)若x＝S△ADCS△BEC，y＝ADOC，求y关于x的函数关系式．(2)①证明：如图DS6－7，连结AO并延长分别交BD，BC，⊙O于H，G，M，连结CM.(图DS6－7)由(1)知，∠OAC＝α.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝α.∵∠ACB＝90°－α，BD⊥AC，∴∠BFC＝90°，∴∠CBF＝90°－∠ACB＝α，∴∠CAD＝∠CBF＝α，∴∠CAD ＝∠OCA＝α，∴OC∥AD.②解：由①知，∠OAC＝α＝∠CAD，∵BD⊥AC，∴AH＝AD.设OH＝a.∵∠OCA ＝α，∴∠OEH＝∠CEF＝90°－α.∵∠CBF＝α，∴∠OHE＝∠BHG＝90°－α，∴∠OEH＝∠OHE，∴OE＝OH＝a.∵点E是OC的中点，∴OC＝2a，∴OA＝OC ＝2a ，∴AH ＝OA ＋OH ＝2a ＋a ＝3a ，∴AD OC ＝AH OC ＝3a 2a ＝32.(3)解：易知∠CBD ＝∠BCM ，易证△BGH ≌△CGM ，得HG ＝MG . 设MG ＝m ，⊙O 的半径为r ，则OG ＝r －m ，AG ＝2r －m ，AH ＝2r －2m ，∴y ＝AH r ＝2－2m r ①.由△ACD ∽△BCE ，得S △ADC S △BEC ＝AC 2BC 2＝AC 24CG 2， ∴AC 2＝4x ·CG 2.将上式代入△ACG 中的勾股定理，得CG ＝2r －m 4x －1. 在Rt △COG 中，CG ＝OC 2－OG 2＝r 2－（r －m ）2， ∴2r －m 4x －1＝r 2－（r －m ）2，∴2r －m 4x －1＝m ， ∴2r －m 4x －1＝m .∴m r ＝12x ②. 将②代入①，得y ＝2－2×12x ＝2－1x ， 即y 关于x 的函数关系式为y ＝2－1x .。

九年级《圆》测试题一、选择题1．如图，点A B C ，，都在⊙O 上，若34C =∠， 则AOB ∠的度数为（ ） A ．34B ．56C ．60D ．682．已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7， 则两圆的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切 3．如图，圆内接正五边形ABCDE 中，∠ADB ＝（ ）． A ．35° B ．36° C ．40° D ．54° 4．⊙O 中，直径AB ＝a ， 弦CD ＝b ,,则a 与b 大小为（ ）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ≤bD ． a ≥b 5．如图，⊙O 内切于ABC △，切点分别为DEF ，，． 已知50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，， 那么EDF ∠等于（ ） A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°6．边长为a 的正六边形的面积等于（ ） A ．243aB ．2aC ．2233a D ．233a7．如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方 向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的 方向折向行走。

按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时 处于弧AB 上，此时∠AOE ＝56°，则α的度数是（ ） A ．52° B ．60° C ．72° D ．76°8．一个圆锥的高为33，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ）A ．9πB ．18πC ．27πD ．39π二、填空题（第1题图）D（第5题图）EABCD（第3题图）（第7题图）9． ⊙O 1和⊙O 2相外切，若O 1O 2=8，⊙O 1的半径为3，则⊙O 2的半径为_______ 10．如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P =50°，则∠AOB =________度，=∠BAC _______度。

单元测试(六)[范围:圆限时:45分钟满分:100分]一、选择题(每题5分,共35分)1.若正三角形的外接圆半径为,则这个正三角形的边长是()A.2B.3C.4D.52.如图D6-1,☉O的直径AB=6,若∠BAC=50°,则劣弧AC的长为()图D6-1A.2πB.C.D.3.如图D6-2,AB是☉O的直径,C是☉O上的点,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,若∠A=30°,则sin E的值为()图D6-2A. B.C.D.4.如图D6-3,AB是圆锥的母线,BC为底面直径,已知BC=6 cm,圆锥的侧面积为15π cm2,则sin∠ABC的值为()图D6-3A.B.C.D.5.[2018·重庆A卷]如图D6-4,已知AB是☉O的直径,点P在BA的延长线上,PD与☉O相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若☉O的半径为4,BC=6,则PA的长为()图D6-4A.4B.2C.3D.2.56.如图D6-5,已知圆内接正三角形的面积为,则该圆的内接正六边形的边心距是 ()图D6-5A.2B.1C.D.7.将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒,水平放置在桌面上,水杯的底面如图D6-6所示,已知水杯内径(图中小圆的直径)是8 cm,水的最大深度是2 cm,则杯底有水部分的面积是 ()图D6-6A.(π-4) cm2B.(π-8) cm2C.(π-4) cm2D.(π-2) cm2二、填空题(每题5分,共30分)8.如图D6-7,四边形ABCD内接于☉O,E为BC延长线上一点,若∠A=n°,则∠DCE= .图D6-79.一圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形,若该圆锥的底面圆的半径为4 cm,则圆锥的母线长为.10.如图D6-8,☉O是△ABC的外接圆,∠A=45°,BC=4,则☉O的直径为.图D6-811.如图D6-9,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(20,0),点B的坐标是(16,0),点C,D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形,则点C的坐标为.图D6-912.已知△ABC的三边a,b,c满足a+b2+|c-6|+28=4+10b,则△ABC的外接圆半径= .13.如图D6-10,在扇形AOB中,∠AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是的中点,点D在OB上,点E在OB的延长线上,当正方形CDEF的边长为2时,阴影部分的面积为.图D6-10三、解答题(共35分)14.(11分)在一次数学活动课中,某数学小组探究求环形花坛(如图D6-12①所示)面积的方法.现有以下工具:①卷尺;②直棒EF;③T型尺(CD所在的直线垂直平分线段AB).(1)在图D6-12中,请你画出用T型尺找大圆圆心的示意图(保留画图痕迹,不写画法);(2)如图D6-11,小华说:“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积,具体做法如下:将直棒放置到与小圆相切,用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M,N之间的距离,就可求出环形花坛的面积.”如果测得MN=10 cm,请你求出这个环形花坛的面积.图D6-11图D6-1215.(12分)如图D6-13,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,作ED⊥EB交AB于点D,☉O是△BED的外接圆.(1)求证:AC是☉O的切线;(2)已知☉O的半径为2.5,BE=4,求BC,AD的长.图D6-1316.(12分)如图D6-14,在四边形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC.(1)求∠A+∠C的度数;(2)连结BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由;(3)若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足AE2=BE2+CE2,求点E运动路径的长度.图D6-14参考答案1.B2.D[解析] 连结OC,∵∠BAC=50°,∴∠AOC=80°,∴==,故选D.3.A[解析] 连结OC,∵CE是☉O的切线,∴OC⊥CE.∵∠A=30°,∴∠BOC=2∠A=60°,∴∠E=90°-∠BOC=30°,∴sin E=sin30°=.故选A.4.C[解析] ∵圆锥侧面积为15π,则母线长L=2×15π÷6π=5,利用勾股定理可得OA=4,故sin∠ABC=.5.A[解析] 如图,连结OD.∵PC切☉O于点D,∴OD⊥PC.∵☉O的半径为4,∴PO=PA+4,PB=PA+8.∵OD⊥PC,BC⊥PD,∴OD∥BC,∴△POD∽△PBC,∴=,即=,解得PA=4.故选A.6.B[解析] 如图,设△ABC的边长为a,则S△ABC=a2,∴a2=,解得a=2或a=-2(舍),∴BC=2.∵∠BAC=60°,BO=CO,∴∠BOC=120°,则∠BCO=30°.∵OH⊥BC,∴BH=BC=1,在Rt△BOH中,BO=BH÷cos30°=,∴圆的半径r=.如图,正六边形内接于圆O,且半径为,可知∠EOF=60°,OF=.在△EOF中,OE=OF,OD⊥EF,∴∠FOD=30°.在Rt△DOF中,OD=OF·cos30°=×=1,∴边心距为1.7.A[解析] 连结OA,OB,作OD⊥AB于C,交☉O于点D,则CD=2,AC=BC, ∵OA=OD=4,CD=2,∴OC=2,在Rt△AOC中,sin∠OAC==,∴∠OAC=30°,∴∠AOB=120°,AC==2,∴AB=4,∴杯底有水部分的面积=S扇形AOB-S△AOB=-×4×2=π-4(cm2).故选A.8.n°[解析] 圆内接四边形的对角互补,所以∠BCD=180°-∠A,而B,C,E三点在一条直线上,则∠DCE=180°-∠BCD,所以∠DCE=∠A=n°.9.12 cm[解析] 设母线长为R,由“圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长”得,=2π×4,解得R=12,即圆锥的母线长为12 cm.10.4[解析] 解法一:如图①,过点B作直径BD,连结DC,则∠BCD=90°.∵∠A=45°,∴∠D=45°,∴△BDC是等腰直角三角形.∵BC=4,∴根据勾股定理得直径BD=4.解法二:如图②,连结OB,OC.∵∠A=45°,∴∠O=90°,∴△OBC是等腰直角三角形.∵BC=4,∴根据勾股定理得半径OB=2,∴☉O的直径为4.11.(2,6)[解析] 过点M作MN⊥CD,垂足为点N,连结CM,过点C作CE⊥OA,垂足为点E,因为点A的坐标是(20,0),所以CM=OM=10.因为点B的坐标是(16,0),所以CD=OB=16.由垂径定理可知,CN=CD=8,在Rt△CMN中,CM=10,CN=8,由勾股定理可知MN=6,所以CE=MN=6,OE=OM-EM=10-8=2,所以点C的坐标为(2,6).12.[解析] 原式整理得:b2-10b+25+a-1-4+4+|c-6|=0,(b-5)2+()2-4+4+|c-6|=0,(b-5)2+(-2)2+|c-6|=0.∵(b-5)2≥0,(-2)2≥0,|c-6|≥0,∴b=5,c=6,a=5,∴△ABC为等腰三角形.如图所示,作CD⊥AB,设O为外接圆的圆心,则OA=OC=R.∵AC=BC=5,AB=6,∴AD=BD=3,∴CD==4,∴OD=CD-OC=4-R,在Rt△AOD中,R2=32+(4-R)2,解得R=.13.2π-4[解析] 连结OC,∵在扇形AOB中,∠AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是的中点, ∴∠COD=45°,∴OC==4,∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积,即S阴影=×π×42-×(2)2=2π-4.14.解:(1)如图①,点O即为所求.(2)如图②,设切点为C,连结OM,OC.∵MN是切线,∴OC⊥MN,∴CM=CN=5,∴OM2-OC2=CM2=25,∴S圆环=π·OM2-π·OC2=25π.∴这个环形花坛的面积是25π cm2.15.[解析] (1)连结OE,利用圆的半径相等得到∠OEB=∠OBE,利用BE平分∠ABC交AC于点E得到∠CBE=∠OBE,进而得到∠OEB=∠CBE,最后利用OE∥BC得到∠OEA=90°,从而得到AC是☉O的切线;(2)由(1)知∠CBE=∠OBE,可以证明△BCE∽△BED,利用相似三角形的对应边成比例可以得到BC的长,再由OE∥BC得到△AOE∽△ABC,利用相似三角形的对应边成比例可以得到AD的长.解:(1)证明:如图所示,连结OE,∵OE=OB,∴∠OEB=∠OBE.∵BE平分∠ABC交AC于点E,∴∠CBE=∠OBE,∴∠OEB=∠CBE,∴OE∥BC,∴∠OEA=∠C=90°,∴OE⊥AC,∴AC是☉O的切线.(2)∵ED⊥EB,∠C=90°,∴∠BED=∠C=90°,由(1)知∠CBE=∠OBE,∴△BCE∽△BED,∴=.∵☉O的半径为2.5,BE=4,∴=,∴BC=.∵OE∥BC,∴△AOE∽△ABC,∴=,∵OE=2.5,BC=,AO=AD+OD=AD+2.5,AB=AD+BD=AD+5,∴=,∴AD=.16.[解析] (1)根据四边形内角和为360°,结合已知条件即可求出答案;(2)将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAD',连结DD'(如图),由旋转的性质和等边三角形的判定得△BDD'是等边三角形,由旋转的性质根据角的计算可得△DAD'是直角三角形,根据勾股定理得AD2+AD'2=DD'2,即AD2+CD2=BD2;(3)将△BCE绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE',连结EE'(如图),由等边三角形的判定得△BEE'是等边三角形,结合已知条件和等边三角形的性质可得AE2=EE'2+AE'2,即∠AE'E=90°,从而得出∠BE'A=∠BEC=150°,从而得出点E是在以O为圆心,OB为半径的圆周上运动,运动轨迹为,根据弧长公式即可得出答案.解:(1)∵在四边形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,∴∠A+∠C=360°-∠B-∠D=270°.(2)AD2+CD2=BD2.理由:如图,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得△BAD',连结DD'.∵BD=BD',CD=AD',∠DBD'=60°,∠BAD'=∠C,∴△BDD'是等边三角形,∴DD'=BD.又∠BAD+∠C=270°,∴∠BAD'+∠BAD=270°,∴∠DAD'=90°.∴AD2+AD'2=DD'2,即AD2+CD2=BD2.(3)如图,将△BEC绕点B逆时针旋转60°得△BE'A,连结EE'.∵BE=BE',∠EBE'=60°,∠BEC=∠BE'A,∴△BEE'是等边三角形.∴∠BE'E=60°,BE=EE'.∵AE2=BE2+CE2,CE=AE',∴AE2=EE'2+AE'2.∴∠AE'E=90°.∴∠BE'A=150°.∴∠BEC=150°.∴点E在以BC为弦,优弧BC所对的圆心角为300°的圆弧上.以BC为边在BC下方作等边三角形BCO,则O为圆心,半径BO=1.∴点E的运动路径为,的长==.。

一、选择题（每题5分，共25分）1. 圆的周长公式为C=πd，其中d表示圆的直径，π表示圆周率。

若圆的周长为10π，则圆的半径为（）A. 1B. 2C. 3D. 52. 在直角坐标系中，点A（3，4）关于圆O：x²+y²=25的对称点为（）A.（-3，-4）B.（-3，4）C.（3，-4）D.（3，4）3. 圆心角∠AOB的度数为（）A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°4. 下列关于圆的性质中，错误的是（）A. 同圆中，半径相等的弦所对的圆心角相等B. 同圆中，弦的长度与圆心角的度数成正比C. 同圆中，半径相等的弦所对的圆心角相等D. 圆的直径所对的圆心角是直角5. 已知圆O的半径为r，圆心角∠AOB的度数为θ，则圆弧AB的长度为（）A. rθB. πrθC. 2πrθD. πr²θ二、填空题（每题5分，共25分）6. 圆的直径为8cm，则圆的周长为________cm。

7. 圆心为（2，3），半径为5的圆的标准方程为________。

8. 已知圆O的方程为x²+y²=16，点P（4，2）在圆O上，则OP的长度为________。

9. 在直角坐标系中，圆O的方程为x²+y²=25，点A（5，0）关于圆O的对称点为________。

10. 圆的半径为r，圆心角∠AOB的度数为θ，则圆弧AB的长度为________。

三、解答题（每题10分，共40分）11. 已知圆O的方程为x²+y²=9，点P（3，0）在圆O上，求圆心角∠POA的度数。

12. 在直角坐标系中，圆O的方程为x²+y²=16，点A（0，4）在圆O上，求圆心O 到直线y=2x+3的距离。

13. 已知圆O的半径为r，圆心角∠AOB的度数为θ，求圆弧AB的长度。

14. 已知圆O的方程为x²+y²=25，点P（3，4）在圆O上，求点P关于圆O的对称点Q的坐标。