四川省成都市第七中学高中2020届高三高中毕业班三诊模拟数学(理科)试题

2020届四川省成都市第七中学高中高三高中毕业班三诊模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2,3,4A =-，{}2|,B y y x x A ==∈，则A B =I （ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1,4C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,0,1,4-【答案】B【解析】根据集合A 求得集合B ，由此求得A B I . 【详解】由于{}1,0,1,2,3,4A =-，所以对于集合B ，y 的可能取值为()222222111,00,24,39,416-======，即{}0,1,4,9,16B =. 所以{}0,1,4A B =I . 故选：B 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．已知复数11iz =+，则z =（ ）A ．2B ．1CD ．2【答案】A【解析】首先利用复数除法运算化简z ，再求得z 的模. 【详解】依题意()()()11111122i z i i i ⋅-==-+⋅-，所以z ==. 故选：A 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 3．设函数()f x 为奇函数，当0x >时，()22f x x =-，则()()1ff =（ ）A ．-1B ．-2C ．1D ．2【答案】C【解析】根据奇函数的性质以及函数()f x 的解析式，依次求得()1f ，()()1f f 的值.【详解】函数()f x 为奇函数，()21121f =-=-，()()()()()11111ff f f =-=-=--=.故选：C 【点睛】本小题主要考查奇函数的性质，属于基础题.4．已知单位向量1e u r ，2e u u r 的夹角为23π，则122e e -=u r u u r （ ）A ．3B ．7C D【答案】D【解析】利用平方再开方的方法，结合已知条件以及向量运算，求得122e e -u r u u r .【详解】依题意，122e e -==u r u u r==故答案为：D 【点睛】本小题主要考查平面向量模和数量积的运算，属于基础题.5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =±，则双曲线的离心率是（ ）A ．BC ．10D ．109【答案】A【解析】由渐近线求得b a ，由双曲线的离心率c e a ==. 【详解】Q 双曲线()222210,0x y a b a b-=>> ∴其焦点在x 轴上根据焦点在x 轴上的渐近线为：by x a=±又Q 该双曲线的渐近线方程为3y x =±，∴3ba=， ∴双曲线的离心率2211310c b e a a ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭故选：A. 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，涉及双曲线的渐近线方程，考查了分析能力和计算能力，属于基础题..6．已知等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】结合等比数列通项公式可求得q 的范围，可验证充分性和必要性是否成立，由此得到结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由14a a <得：311a a q <，又10a >，31q ∴>，解得：1q >，243115a a q a q a ∴=<=，充分性成立；由35a a <得：2411a q a q <，又10a >，42q q ∴>，解得：1q >或1q <-， 当1q <-时，3410a a q =<，41a a ∴<，必要性不成立.∴“14a a <”是“35a a <”的充分不必要条件.故选：A . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到等比数列通项公式的应用，属于基础题. 7．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A ．3?i ≤B ．4?i ≤C ．5?i ≤D ．6?i ≤【答案】C【解析】根据程序框图的运行，循环算出当31S =时，结束运行，总结分析即可得出答案. 【详解】由题可知，程序框图的运行结果为31， 当1S =时，9i =； 当1910S =+=时，8i =； 当19818S =++=时，7i =； 当198725S =+++=时，6i =； 当1987631S =++++=时，5i =. 此时输出31S =. 故选：C. 【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.8．已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( ) A ．②③ B ．②③④C ．①④D ．①②③【答案】C【解析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可. 【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若//αβ，//αγ，则//βγ，故①正确； 若//a α，//a β，平面,αβ可能相交，故②错误； 若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能平行，故③错误； 由线面垂直的性质可得，④正确； 故选：C 【点睛】本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.9．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，6l ，95，则该数列的第8项为( ) A ．99 B ．131C ．139D ．141【答案】D【解析】根据题中所给高阶等差数列定义，寻找数列的一般规律，即可求得该数列的第8项； 【详解】Q 所给数列为高阶等差数列设该数列的第8项为x根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列， 得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列 即得到了一个等差数列，如图：根据图象可得：3412y -=，解得46y =9546x y -==解得：141x = 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了数列的新定义，解题关键是理解题意和掌握等差数列定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题． 10．已知log e a π=，ln eb π=，2e lnc π=，则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】B【解析】因为1b c +=，分别与中间量12做比较，作差法得到12b c <<，再由211log e log e 22a ππ==>，最后利用作差法比较a 、c 的大小即可.【详解】解：因为1b c +=，分别与中间量12做比较，2223111ln ln e ln 022e 2e b ππ⎛⎫-=-=< ⎪⎝⎭，432211e 1e ln ln e ln 0222c ππ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，则12b c <<，211log e log e 22a ππ==>，()112ln ln 20ln ln a c ππππ-=--=+->，所以b c a <<， 故选：B . 【点睛】本题考查作差法比较大小，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题.11．过正方形1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使得l 与直线1B C ，1C D 所成的角均为60︒，则这样的直线l 的条数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由11//B C A D 将问题转化为过点A 在空间作直线l ，使得l 与直线1A D ，1C D 所成的角均为60︒，1条在平面11AC D 内，2条在平面11AC D 外. 【详解】因为11//B C A D ，所以A 作直线l ，使得l 与直线1B C ，1C D 所成的角均为60︒，即过点A 在空间作直线l ，使得l 与直线1A D ，1C D 所成的角均为60︒.因为1160A DC ∠=o ，11A DC ∠的外角平分线与11,DA DC 所成的角相等，均为60o ，所以在平面11AC D 内有一条满足要求.因为11A DC ∠的角平分线与11,DA DC 所成的角相等均为30o ，将角平分线绕点D 向上转动到与面11AC D 垂直的过程中，存在两条直线与直线11,DA DC 所成的角都等于60o .故符合条件的直线有3条. 故选：C 【点睛】本题考查直线与直线所成的角，属于基础题.12．已知P 是椭圆2214x y +=上一动点，()2,1A-，()2,1B ，则cos ,PA PB u u u r u u u r 的最大值是（ ） A ．62- B ．17 C ．177- D ．1414【答案】A【解析】记,PA PB θ=u u u r u u u r，考虑θ90<o ，当直线AP 、BP 之中有一条直线的斜率不存在时tan 4AB AP θ==，当直线AP 、BP 斜率都存在时由tan 1AP BP AP BPk k k k θ-=+⋅求出tan θ关于y 的表达式，利用换元法和基本不等式即可求得tan θ的范围，再由21cos 1tan θθ=+转化为cos θ的范围即可求得最大值.【详解】记,PA PB θ=u u u r u u u r，若θ90>o ，则cos 0θ<；若90θ=o ，则cos =0θ；考虑θ90<o ，当直线AP 、BP 之中有一条直线的斜率不存在时，不妨设P 点位于左顶点，此时直线AP 斜率不存在，tan 4ABAPθ==； 当直线AP 、BP 斜率都存在时，设(,)P x y ，有2214x y +=，22114(1)22tan 1114(1)122AP BP AP BPy y k k y x x y y k k x y x x θ-----+-===--+⋅-+-+⋅+-2224(1)4(1)444(1)321y y y y y y --==--+---+，(11)y -≤≤令1[0,2]t y =-∈，则24tan 384tt t θ=-+-，当0t =时，tan 0θ=(此时1,,cos 1y θπθ===-)，当(0,2]t ∈，44tan 24443883t t t t θ==≥=⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭，当且仅当43t t =即t =时取等号，则cos θ===. 综上所述，cos ,PA PB u u u r uu u r的最大值是4.故选：A 【点睛】本题考查椭圆中的最值问题、椭圆的几何性质、直线的斜率，涉及换元法求函数的最值、基本不等式、同角三角函数的关系，属于较难题.二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()112n n a S n -=+≥，则4a =______. 【答案】8【解析】根据()112n n a S n -=+≥可得11n n a S +=+，两式相减可得12n n a a +=(2)n ≥，利用递推关系即可求解. 【详解】()112n n a S n -=+≥Q ①，11n n a S +∴=+②，②-①得，12n n a a +=(2)n ≥，当2n =时，211112a S a =+=+=，3224a a ∴==， 4328a a ∴==，故答案为：8 【点睛】本题主要考查了数列的项n a 与前n 项和n S 的关系，考查了利用递推关系求数列的项，属于中档题.14．已知实数x ，y 满足线性约束条件117x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是______. 【答案】15【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线2y x z =-+在y 轴上截距的几何意义求最大值即可. 【详解】作出可行域如图，由2z x y =+可得2y x z =-+， 平移直线2y x =-，当直线过点A 时，2z x y =+在y 轴上截距最大，由17y x y =-⎧⎨+=⎩解得8,1x y ==-，即(8,1)A -,此时z 的最大值为28115z =⨯-=， 故答案为：15 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，数形结合，属于中档题. 15．如图是一种圆内接六边形ABCDEF ，其中BC CD DE EF FA ====且AB BC ⊥.则在圆内随机取一点，则此点取自六边形ABCDEF 内的概率是______.【答案】322π【解析】半径为1，利用三角形面积公式得出六边形ABCDEF ，最后由几何概型概率公式计算即可. 【详解】连接AC ，显然，AC 中点O 为ABC ∆的外接圆圆心，设半径为1 连接,,,FO EO DO BO由于BC CD DE EF FA ====，AC 为直径，则180454BOC ︒∠==︒，135AOB ∠=︒该六边形的面积为A F EFO EDO DCO BCO AO O B S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=+++++12132551112122BCO AOB S S ∆∆=+=⨯⨯⨯⨯⨯=则此点取自六边形ABCDEF 内的概率为23232212P ππ==⋅故答案为：322π【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算，涉及了三角形面积公式的应用，属于中档题. 16．若指数函数x y a =（0a >且1a ≠）与三次函数3y x =的图象恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是______.【答案】31,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据题意可得：由两个函数xy a =（0a >且1a ≠）与3y x =图像的交点转化为方程3x a x =的解，再由方程3ln ln xa x=转化为两函数()ln f x a =与3ln ()x g x x =图像的交点，再利用导数求出函数3ln ()x g x x=的单调性及最大值，从而可得到()ln f x a =的取值范围即可求出实数a 的取值范围. 【详解】 由题意可得：指数函数xy a =（0a >且1a ≠）与三次函数3y x =的图象 恰好有两个不同的交点，等价于方程3x a x =有两个不同的解，对方程3x a x =两边同时取对数得：3ln ln x a x =， 即ln 3ln x a x =，0x ≠Q ，3ln ln xa x∴=， 从而可转化为：()ln f x a =与3ln ()xg x x=在图像上有两个不同的交点， ()22133ln 31ln ()x x xx g x x x ⋅--'==当()0,x e ∈时，()0g x '>， 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，所以函数()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 所以函数()g x 在x e =处取到极大值，也是最大值，最大值为3e， 又因为当()0,1x ∈时，()0<g x ， 当()1,x ∈+∞时，()0>g x ， 所以30()ln f x a e<=≤， 解得31e a e<≤故答案为：31,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查了函数与方程以及利用导数求函数的最大值，考查了学生的计算能力，属于一般题.三、解答题17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2tan sin a bA B=. （1）求角A 的大小；（2）若a =2b =，求ABC V 的面积.【答案】（1）3A π=（2 【解析】（1）根据正弦定理sin sin a b A B =和2tan sin a b A B=，得到2sin tan a aA A =，然后利用同角三角函数基本关系式化简求解.（2）根据a =2b =，3A π=，利用余弦定理求得c ，再代入1sin 2ABC S bc A =V 求解. 【详解】（1）由正弦定理知sin sin a b A B=，又2tan sin a bA B =，所以2sin tan a aA A=. 所以1cos 2A =，因为0A π<<， 所以3A π=.（2）因为7a =，2b =，3A π=，由余弦定理得2227222cos 3c c π=+-⨯⨯，即2230c c --=. 又0c >，所以3c =. 故ABC V 的面积为1133sin 23sin 2232ABC S bc A π==⨯⨯⨯=V . 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）.根据检查结果：得分在[]80,100评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在[)60,80评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在[)40,60评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在[)20,40评定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如下图：（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数； （2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“优”、“良”、“中”、“差”的班级中抽取10个班级，再从这10个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，记抽样复核的2个班级获得的奖励小红旗面数和为X ，求X 的分布列与数学期望()E X . 【答案】（1）中位数为70分.（2）见解析，()195E X =【解析】（1）根据频率分布直方图中中位数的计算公式计算即可.（2）先根据分层抽样确定10个班级中优”、“良”、“中”、“差”的班级的人数，再根据奖励小红旗的面数确定X 的可能取值，再根据古典概型概率计算公式求解X 每个取值对应的概率，最后列出分布列求解数学期望. 【详解】解：（1）得分[)20,40的频率为0.005200.1⨯=； 得分[)40,60的频率为0.010200.2⨯=； 得分[]80,100的频率为0.015200.3⨯=；所以得分[)60,80的频率为()10.10.20.30.4-++=. 设班级得分的中位数为x 分，于是600.10.20.40.520x -++⨯=，解得70x =. 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分.（2）由（1）知题意“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为0.3，0.4，0.2，0.1.又班级总数为40.于是“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为12，16，8，4. 分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为3，4，2，1. 由题意可得X 的所有可能取值为1，2，3，4，5，6.11122102(1)45C C P X C ===，2112142101(2)9C C C P X C +===，1111132441011(3)45C C C C P X C +===， 2114232104(4)15C C C P X C +===，11432104(5)15C C P X C ===，232101(6)15C P X C ===. 所以X 的分布列为211144117119()12345645945151515455E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==. 所以X 的数学期望()195E X =.【点睛】本题考查频率分布直方图中中位数的计算，同时也考查了古典概型概率的计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.19．如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB =，23MD =.（1）证明：AB ⊥平面ADM ； （2）若//CD AB 且23CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，求直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）15. 【解析】（1）根据2AB AM ==，22MB =，利用勾股定理得到AB AM ⊥，再由AB AD ⊥，利用线面垂直的判定定理证明.（2）由2AM AD ==，23MD =易得120MAD ∠=︒，在平面ADM 内过点A 作x 轴垂直于AM ，再结合（1）以AM ，AB 所在直线为y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得EC uuu r 的坐标，平面BDM 的一个法向量n r，设直线EC 与平面BDM 所成角为θ，则由sin cos ,EC nEC n EC nθ⋅==u u u r ru u u r r u u u r r 求解. 【详解】（1）因为2AB AM ==，22MB = 所以222AM AB MB +=， 所以AB AM ⊥.又AB AD ⊥，且AM AD A =I ，AM ⊂平面ADM ，AD ⊂平面ADM ，所以AB ⊥平面ADM .（2）因为2AM AD ==，23MD =， 所以120MAD ∠=︒，在平面ADM 内过点A 作x 轴垂直于AM ，又由（1）知AB ⊥平面ADM ， 分别以AM ，AB 所在直线为y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系A xyz -.则()3,1,0D-，43,1,3C ⎫-⎪⎭，()0,0,2B ，()0,2,0M .因为2BE EM =，所以420,,33E ⎛⎫⎪⎝⎭. 所以723,,33EC ⎫=-⎪⎭u u u r ，()0,2,2BM =-u u u ur ，)3,1,2BD =--u u u r .设平面BDM 的一个法向量为(),,n x y z =r， 则00BM n BD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v vu u u v v ，即220320y z x y z -=⎧⎪--=，取1z =得)3,1,1n =r.设直线EC 与平面BDM 所成角为θ，则413sin cos ,54553EC n EC n EC nθ⋅====⨯u u u r ru u u r r u u ur r .所以直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值为15. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，向量法求线面角问题，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.20．已知函数()ln x f x xαα=，(),x e ∈+∞.其中Z α∈.（1）证明：0()3x ef x x e+<-； （2）记()()()()2101F x e f x f x f x -=++.若存在[)()*0,1x n n n N∈+∈使得对任意的(),x e ∈+∞都有()()0F x F x ≥成立.求n 的值.（其中 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）.【答案】（1）见解析（2）5n = 【解析】（1）将不等式0()3x e f x x e +<-变形为3ln x ex x e->+，利用导数得出单调性，即可证明0()3x ef x x e+<-； （2）由条件得出()F x 的解析式，进行两次求导，得出()F x 在(],5e 严格单调递减，在41,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭严格单调递增.，由单调性得出n 的值.【详解】解：（1）要证明0()3x e f x x e +<-，即证明3ln x ex x e->+，(),x e ∈+∞. 令3()ln x eg x x x e-=-+，(),x e ∈+∞.则22214()'()0()()e x e g x x x e x x e -=-=>++. 于是()g x 在(),e +∞单调递增，所以()()0g x g e >=即3ln x ex x e->+，(),x e ∈+∞. 所以0()3x ef x x e+<-. （2）221011()()()()ln ln ln e x F x e f x f x f x x x x x -=++=++22ln x x e x x++=，(),x e ∈+∞. 则()222(21)ln (ln 1)'()(ln )x x x x x e x F x x x +-+++=()()22222ln (ln )x e x x x e x x --++=.令()()2222()ln h x x ex xx e =--++，(),x e ∈+∞.当(),x e ∈+∞时，由（1）知3ln x e x x e->+.则()()22223()x e h x x e x x e x e ->--+++2412(41)22e x e x x x +⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭（i ）当41,2e x +⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，于是()0h x >，从而()'0F x >.故()F x 在41,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭严格单调递增.其中41 5.936562e +=L .（ii ）当(],5x e ∈时， 则()()2222()ln5h x x exx e ≤--++()()22222223x e x x e x x e <--++=--22030e ≤-<.（用到了223x x e --在(],5e 单调递增与27e >）于是()'0F x <，故()F x 在(],5e 严格单调递减. 综上所述，()F x 在(],5e 严格单调递减，在41,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭严格单调递增.因为4162e +<，所以[)05,6x ∈.所以5n =. 【点睛】本题主要考查了利用导数证明不等式以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于较难题.21．已知点P 是抛物线C ：212y x =上的一点，其焦点为点F ，且抛物线C 在点P 处的切线l 交圆O ：221x y +=于不同的两点A ，B . （1）若点()2,2P ，求AB 的值；（2）设点M 为弦AB 的中点，焦点F 关于圆心O 的对称点为'F ，求'F M 的取值范围.【答案】（1）AB =（2）12⎫⎪⎪⎢⎣⎭【解析】（1）利用导数求出过点()2,2P 的抛物线的切线，切线与圆相交，根据弦心距、半径、弦长的关系求解即可；（2）设点()00,P x y ，联立切线与圆的方程消元可得一元二次方程，由韦达定理求出中点M的坐标，由两点间距离公式表示出'F M =，令201t x =+换元，利用函数的单调性即可求出取值范围. 【详解】设点()00,P x y ，其中20012y x =. 因为'y x =，所以切线l 的斜率为0x ，于是切线l ：20012y x x x =-. （1）因为()2,2P ，于是切线l ：22y x =-. 故圆心O 到切线l的距离为d =于是5AB ===. （2）联立22200112x y y x x x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得()223400011104x x x x x +-+-=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，(),M x y .则312201x x x x +=+，()()2324000141104x x x ⎛⎫∆=--+-> ⎪⎝⎭.解得2022x -<<+又200x ≥，于是2002x ≤<+于是()301220221x x x x x +==+，()22000201221x y x x x x =-=-+. 又C 的焦点10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是'10,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故'F M ===令21t x =+，则13t ≤<+于是'F M ==因为3t t+在⎡⎣单调递减，在+单调递增.又当1t =时，'12F M =；当t =时，'F M =当3t =+时，'1122F M -=>. 所以'F M的取值范围为12⎫⎪⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，0απ≤≤）.在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射线l 的极坐标方程是6πθ=.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若射线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求OA OB ⋅的值. 【答案】（1）24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤⎪⎝⎭；（2）1 【解析】（1）先将曲线C 的参数方程通过消去参数α得出其普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程；（2）设1,6A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，联立射线l 与曲线C 的极坐标方程，得出121ρρ=，根据极坐标的定义即可求解OA OB ⋅的值. 【详解】（1）消去参数α得()()22230x y y -+=≥，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得22(cos 2)(sin )3ρθρθ-+=，即24cos 10ρρθ-+=.所以曲线C 的极坐标方程为24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤⎪⎝⎭. （2）将6πθ=代入24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤⎪⎝⎭得210ρ-+=， 设1,6A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，则121ρρ=，于是121OA OB ρρ⋅==. 【点睛】本题主要考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，以及对极坐标的定义的理解.23．己知0a >，0b >，且24a b +=，函数()2f x x a x b =++-在R 上的最小值为m .（1）求m 的值；（2）若22a mb tab +≥恒成立，求实数t 的最大值.【答案】（1）2（2）最大值为【解析】(1)去绝对值把函数()f x 写成分段函数，再利用函数()f x 的单调性确定当2a x =-时函数()f x 取到最小值m ，代入计算即可求出m 的值； (2)由已知不等式22a mb tab +≥可转化为22a mb t ab +≤，即要求出22a mb ab +的最小值，利用基本不等式可求出22a mb ab+的最小值为t ≤，从而求出实数t 的最大值.【详解】解：（1）()3,,22,,23,(,)a x a b x a f x x a x b x a b x b x a b x b ⎧⎛⎫--+∈-∞- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎤=++-=++∈-⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪+-∈+∞⎪⎩. 当,2a x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，函数()f x 单调递减， 当,2a x b ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增， 当(),x b ∈+∞时，函数()f x 单调递增， 所以当2a x =-时函数()f x 取到最小值， 所以2422222a a ab m f a b +⎛⎫=-=-++=== ⎪⎝⎭. （2）因为22a mb tab +≥恒成立，且0a >，0b >， 所以22a mb t ab+≤恒成立即min a mb t b a ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，由（1）知2m =，于是a mb b a +≥==当且仅当2a b b a =时等号成立即)410a =>，(220b =>，所以t ≤，故实数t 的最大值为【点睛】本题考查了含两个绝对值的分段函数的最值，考查了利用基本不等式求最小值，属于一般题.。

初高中数学学习资料的店第1页 初高中数学学习资料的店成都七中2020届高中毕业班三诊模拟数 学(理科)参考答案及评分意见第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.B ；2.A ；3.C ；4.D ；5.A ；6.A ；7.B ；8.C ；9.D ； 10.B ； 11.C ； 12.A.第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题(每小题5分,共20分)13.8； 14.15；15.2π； 16.3e (1,e ). 三、解答题(共70分)17. 解：(1)由正弦定理知sin sin a b A B =,又2,tan sin a b A B =所以2.sin tan a a A A= 于是1cos ,2A =因为0π,A <<所以π.3A = L L 6分 (2)因为π2,,3a b A ===22π222cos ,3c c =+-⨯⨯即2230.c c --=又0,c >所以 3.c = 故ABC ∆的面积为11πsin 23sin 2232bc A =⨯⨯⨯= L L 12分18.解：(1)得分[20,40)的频率为0.005200.1⨯=；得分[40,60)的频率为0.010200.2⨯=； 得分[80,100]的频率为0.015200.3⨯=；所以得分[60,80)的频率为1(0.10.20.3)0.4.-++=设班级得分的中位数为x 分,于是600.10.20.40.520x -++⨯=,解得70.x = 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分. L L 5分(2)由(1)知题意“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为0.3,0.4,0.2,0.1.又班级总数为40.于是“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为12,16,8,4．分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为3,4,2,1. 由题意可得X 的所有可能取值为1,2,3,4,5,6. 211214410101111111324221120211(1),(2),(3,145945)C C C C C C P X P X P C C C X C C C +=======+== 2432111123101021304224(4),(5),(6)41151515.C C C C P X P X P X C C C C C ========+= L L 9分 所以X。

绝密★启用前2020届四川省成都市第七中学高中高三高中毕业班三诊模拟数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2,3,4A =-，{}2|,B y y x x A ==∈，则A B =I （ ） A ．{}0,1,2B ．{}0,1,4C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,0,1,4-答案：B 根据集合A 求得集合B ，由此求得A B I .解：由于{}1,0,1,2,3,4A =-，所以对于集合B ，y 的可能取值为()222222111,00,24,39,416-======，即{}0,1,4,9,16B =.所以{}0,1,4A B =I .故选：B点评：本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2．已知复数11iz =+，则z =（ ）A ．2B ．1CD ．2 答案：A首先利用复数除法运算化简z ，再求得z 的模.解：依题意()()()11111122i z i i i ⋅-==-+⋅-，所以z ==. 故选：A点评：本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题.3．设函数()f x 为奇函数，当0x >时，()22f x x =-，则()()1f f =（ ）A ．-1B ．-2C ．1D ．2 答案：C 根据奇函数的性质以及函数()f x 的解析式，依次求得()1f ，()()1ff 的值. 解：函数()f x 为奇函数，()21121f =-=-，()()()()()11111f f f f =-=-=--=. 故选：C点评：本小题主要考查奇函数的性质，属于基础题.4．已知单位向量1e u r ，2e u u r 的夹角为23π，则122e e -=u r u u r （ ）A ．3B ．7C D答案：D 利用平方再开方的方法，结合已知条件以及向量运算，求得122e e -u r u u r .解：依题意，122e e -==u r u u r ==故答案为：D 点评： 本小题主要考查平面向量模和数量积的运算，属于基础题.5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =±，则双曲线的离心率是（ ）AB C ．10 D ．109答案：A由渐近线求得b a ，由双曲线的离心率c e a ==. 解：Q 双曲线()222210,0x y a b a b-=>> ∴其焦点在x 轴上根据焦点在x 轴上的渐近线为：b y x a=± 又Q 该双曲线的渐近线方程为3y x =±， ∴3b a=，∴双曲线的离心率c e a ====故选：A.点评：本题考查求双曲线的离心率，涉及双曲线的渐近线方程，考查了分析能力和计算能力，属于基础题..6．已知等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A结合等比数列通项公式可求得q 的范围，可验证充分性和必要性是否成立，由此得到结果.解：设等比数列{}n a 的公比为q ，由14a a <得：311a a q <，又10a >，31q ∴>，解得：1q >， 243115a a q a q a ∴=<=，充分性成立；由35a a <得：2411a q a q <，又10a >，42q q ∴>，解得：1q >或1q <-，当1q <-时，3410a a q =<，41a a ∴<，必要性不成立.∴“14a a <”是“35a a <”的充分不必要条件.故选：A .点评：本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到等比数列通项公式的应用，属于基础题.7．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A ．3?i ≤B ．4?i ≤C ．5?i ≤D ．6?i ≤答案：C 根据程序框图的运行，循环算出当31S =时，结束运行，总结分析即可得出答案. 解：由题可知，程序框图的运行结果为31，当1S =时，9i =；当1910S =+=时，8i =；当19818S =++=时，7i =；当198725S =+++=时，6i =；当1987631S =++++=时，5i =.此时输出31S =.故选：C.点评：本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.8．已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( )A ．②③B ．②③④C ．①④D ．①②③ 答案：C根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.解：根据面面平行的性质以及判定定理可得，若//αβ，//αγ，则//βγ，故①正确； 若//a α，//a β，平面,αβ可能相交，故②错误；若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能平行，故③错误；由线面垂直的性质可得，④正确；故选：C点评：本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.。

2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第1题5分2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟文科第1题5分设集合A={x|x2−4x+3<0}，B={x|2x−3>0}，则A∪B=（）．)A. (−3,−32)B. (−3,32)C. (1,32D. (1,+∞)2、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第2题5分2018~2019学年天津和平区天津市耀华中学高二下学期期中第2题5分2019~2020学年3月江苏南京建邺区中华中学高二下学期月考第3题5分2016年高考真题全国卷II理科第1题5分2017~2018学年广东广州天河区广州市第八十九中学高三上学期期中理科第1题5分已知z=(m+3)+(m−1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）．A. (−3,1)B. (−1,3)C. (1,+∞)D. (−∞,−3)3、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第3题5分2019~2020学年4月陕西西安碑林区西安市铁一中学高三下学期月考理科（二模）第7题5分2018~2019学年广东深圳福田区深圳明德实验学校高二下学期期中理科第9题5分2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟文科第3题5分某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）．A. 13B. 12C. 23D. 344、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第4题5分 设向量a →=(m,1)，b →=(1,2)，且|a →+b →|2=|a →|2+|b →|2，则m =（ ）．A. 1B. 2C. −1D. −25、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第5题5分 2018~2019学年江苏徐州丰县期末第4题5分2018~2019学年12月北京海淀区中国人民大学附属中学高三上学期月考理科第4题5分 2018~2019学年广东深圳南山区高一上学期期末第8题5分2018~2019学年12月天津津南区天津市咸水沽一中高三上学期月考文科第5题5分若将函数y =2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（ ）．A. x =kπ2−π6(k ∈Z) B. x =kπ2+π6(k ∈Z) C. x =kπ2−π12(k ∈Z) D. x =kπ2+π12(k ∈Z)6、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第6题5分 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟文科第6题5分2016年高考真题全国卷III 理科第4题5分2019~2020学年北京海淀区北京一零一中学高三下学期开学考试第4题某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15∘C ，B 点表示四月的平均最低气温约为5∘C ．下面叙述不正确的是（ ）．A. 各月的平均最低气温都在0∘C以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均气温高于20∘C的月份有5个7、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第7题5分2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟文科第7题5分2018~2019学年6月贵州遵义汇川区遵义航天高级中学高三下学期月考理科第7题3分2018~2019学年12月贵州遵义汇川区遵义航天高级中学高三上学期月考文科（四模）第6题5分2018~2019学年3月天津河东区天津市第五十四中学高一下学期月考第7题4分某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是（）．A. 2B. 4C. 6D. 88、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第8题5分2020~2021学年江苏南京玄武区南京外国语学校高一上学期期中第5题3分已知a=243，b=425，c=2513，则（）．A. b<a<cB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b9、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第9题5分2020~2021学年四川成都青羊区成都石室中学（文庙校区）高二上学期开学考试第12题5分2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟文科第9题5分2019~2020学年3月江西南昌青山湖区江西师范大学附属中学高一下学期月考第9题5分2019~2020学年11月陕西西安雁塔区西安高新第一中学高三上学期月考理科（五模）第7题5分在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos⁡∠BAC=（）．A. 3√1010B. √1010C. −√1010D. −3√101010、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第10题5分已知P(x0,y0)是椭圆C:x24+y2=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若PF1→⋅PF2→<0，则x0的取值范围是（）．A. (−2√33,2√3 3)B. (−2√63,2√6 3)C. (−√33,√3 3)D. (−√63,√6 3)11、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第11题5分点P是棱长为3的正四面体ABCD的面ABC内一动点，DP=52，设异面直线DP与BC所成的角为α，则sin⁡α的最小值为（）．A. 2√65B. 2√35C. √34D. √6−√2212、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第12题5分定义在区间[−π,π]的函数f(x)=2cos⁡2x+[2sin⁡x]有（）个零点．（其中[x]表示不大于实数x的最大整数）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第13题5分2019~2020学年天津和平区天津市第一中学高二下学期期中第15题2016年高考真题全国卷I理科第14题5分2019~2020学年北京海淀区北京一零一中学高三下学期开学考试第11题(2x+√x)5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）14、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第14题5分2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟文科第14题5分2017~2018学年10月河北邯郸大名县大名县第一中学高三上学期月考文科第18题4分若x，y满足约束条件{x−y+1⩾0x−2y⩽0x+2y−2⩽0，则z=x+y的最大值为．15、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第15题5分2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟文科第15题5分在△ABC中，∠A=60°，BC=2√3，D为BC中点，则AD最长为．16、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第16题5分2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟文科第16题5分抛物线y2=2px(p>0)上点A与焦点F距离为2，以AF为直径的圆与y轴交于点H(0,1)，则p=．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第17题12分2020~2021学年北京西城区北京师范大学实验中学高二下学期期中第15题10分2014年高考真题湖北卷理科第18题2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟文科第17题12分2018~2019学年10月山东潍坊寿光市山东省寿光市第一中学高三上学期月考第20题12分已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n>60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．18、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第18题12分2017~2018学年4月江苏南通启东市启东中学高二下学期月考理科第19题16分2014年高考真题福建卷理科第18题为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1) 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2) 商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．19、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第19题12分如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中AB=2AD=2√2，E为DC中点，将它沿AE折成直二面角D−AE−B．(1) 求证：AD⊥平面BDE．(2) 如果AH→=λHB→(λ>0)，求二面角H−AD−E的余弦值．20、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第20题12分2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟文科第20题12分已知椭圆x 2a2+y2b2=1，O为坐标原点，长轴长为4，离心率e=12．(1) 求椭圆方程．(2) 若点A，B，C都在椭圆上，D为AB中点，且CO→=2OD→，求△ABC的面积？21、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第21题12分已知f(x)=e x−ax−1(a∈R)．(1) 若f (x )⩾0对x ∈R 恒成立，求实数a 范围．(2) 求证：对∀n ∈N ∗，都有√n!n <e ．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第22题10分 2018~2019学年1月山西太原小店区山西省实验中学高三上学期月考理科第23题10分 2018~2019学年4月湖南长沙雨花区雅礼中学高三下学期月考理科第22题10分2014年高考真题新课标卷II 文科第23题2018~2019学年4月湖南长沙雨花区雅礼中学高三下学期月考文科第22题10分在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos⁡θ，θ∈[0,π2]．(1) 求C 的参数方程；(2) 设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y =√3x +2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟理科第23题10分 2020年四川成都武侯区成都市第七中学高三下学期高考模拟文科第23题10分2015~2016学年3月湖南长沙开福区长沙市第一中学高三下学期月考理科第24题10分 若a >0,b >0，且1a +1b=√ab ． (1) 求a 3+b 3的最小值；(2) 是否存在a 、b ，使得2a +3b =6？并说明理由．1 、【答案】 D;2 、【答案】 A;3 、【答案】 B;4 、【答案】 D;5 、【答案】 B;6 、【答案】 D;7 、【答案】 C;8 、【答案】 A;9 、【答案】 C;10 、【答案】 B;11 、【答案】 A;12 、【答案】 D;13 、【答案】10;;14 、【答案】3215 、【答案】3;16 、【答案】2;17 、【答案】 (1) a n=2或a n=4n−2．;(2) 存在，最小值为41．;18 、【答案】 (1) P=1，E(X)=40．2;(2) 选择方案二：20，20，40，40．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) cos⁡θ=√3．3;20 、【答案】 (1)x 24+y 23=1．;(2) 92．;21 、【答案】 (1) {a |a =1}．;(2) 证明见解析．; 22 、【答案】 (1) {x =1+cos⁡t y =sin⁡t，(t 为参数，0⩽t ⩽π)． ;(2) (32,√32)． ;23 、【答案】 (1) a 3+b 3的最小值为4√2;(2) 不存在a ，b 使得2a +3b =6，证明见解析． ;。

成都七中2020届高三下学期第三次模拟考试数 学(理科)第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{1,0,1,2,3,4},{|,}A B y y x x A =-==∈,则A B =I(A){0,1,2} (B){0,1,4} (C){1,0,1,2}- (D){1,0,1,4}- 2. 已知复数11iz =+,则||z =(A)2(B)1 (D)2 3. 设函数()f x 为奇函数,当0x >时,2()2,f x x =-则((1))f f = (A)1- (B)2- (C)1 (D)24. 已知单位向量12,e e 的夹角为2π3,则122e e -=(A)3 (B)75. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =±,则双曲线的离心率是(C)10 (D)1096. 在等比数列{}n a 中,10,a >则“41a a <”是“53a a <”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件7. 如图所示的程序框图,当其运行结果为31时,则图中判断框①处应填入的是(A)6?i ≤ (B)5?i ≤ (C)4?i ≤ (D)3?i ≤8. 已知,a b 为两条不同直线,,,αβγ为三个不同平面,下列命题：①若///,,/ααγβ则//βγ；②若//,//,a a αβ则//αβ；③若,,αγγβ⊥⊥则αβ⊥；④若,,a b αα⊥⊥则//a b .其中正确命题序号为 (A)②③(B)②③④(C)①④(D)①②③9. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为 (A)99(B)131(C)139(D)14110. 已知πlog e,a =πln ,eb =2e ln ,πc =则(A)a b c << (B)b c a <<(C)b a c <<(D)c b a <<11. 过正方形1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ,使得l 与直线11,B C C D 所成的角均为60︒,则这样的直线l 的条数为(A)1 (B)2 (C) 3 (D) 412. 已知P 是椭圆2214x y +=上一动点,(2,1),(2,1)A B -,则cos ,PA PB u u u r u u u r 的最大值是(D)14第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上. 13.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且111,1(2),n n a a S n -==+≥则4a =14. 已知实数,x y 满足线性约束条件117x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩,则目标函数2z x y =+的最大值是15. 如图是一种圆内接六边形ABCDEF ,其中BC CD DE EF FA ====且.AB BC ⊥则在圆内随机取一点,则此点取自六边形ABCDEF 内的概率是16. 若指数函数x y a =(0a >且1)a ≠与三次函数3y x =的图象恰好有两个不同的交点,则实数a 的取值范围是0.005频率组距得分0.0150.010O三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 已知2.tan sin a bA B= (1)求角A 的大小； (2)若7,2,a b ==求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效,对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查(满分100分,最低分20分).根据检查结果：得分在[80,100]评定为“优”,奖励3面小红旗；得分在[60,80)评定为“良”,奖励2面小红旗；得分在[40,60)评定为 “中”,奖励1面小红旗；得分在[20,40)评定为“差”,不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如下图：(1)依据统计结果的部分频率分布直方图,求班级卫生量化打分检查得分的中位数；(2)学校用分层抽样的方法,从评定等级为“优”、“良”、“中”、“差”的班级中抽取10个班级,再从这10个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核,记抽样复核的2个班级获得的奖励小红旗面数和为X ,求X 的分布列与数学期望()E X .19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥M ABCD -中,2,2.,,3AB AM AD MB MD AB AD =====⊥ (1)证明：AB ⊥平面ADM ； (2)若//CD AB 且23CD AB =,E 为线段BM 上一点,且2BE EM =,求直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知函数22e (),(e,).ln x xf x x x x++=∈+∞ (1)证明：当(e,)x ∈+∞时,3eln ex x x ->+；(2)若存在*0[,1)()x n n n N ∈+∈使得对任意的(e,)x ∈+∞都有0()()f x f x ≥成立. 求n 的值.(其中e 2.71828=L 是自然对数的底数).21.(本小题满分12分)已知点P 是抛物线21:2C y x =上的一点,其焦点为点,F 且抛物线C 在点P 处的切线l 交圆:O 221x y +=于不同的两点,A B .(1)若点(2,2),P 求||AB 的值；(2)设点M 为弦AB 的中点,焦点F 关于圆心O 的对称点为,F '求||F M '的取值范围.请考生在第22,23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑.22.(本小题满分10分)选修44-：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数,0πα≤≤).在以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,射线l 的极坐标方程是π6θ=.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若射线l 与曲线C 相交于,A B 两点,求||||OA OB ⋅的值.23.(本小题满分10分)选修45-：不等式选讲已知0,0,a b >>且24,a b +=函数()2f x x a x b =++-在R 上的最小值为.m (1)求m 的值；(2)若22a mb tab +≥恒成立,求实数t 的最大值.成都七中2020届高三第三次模拟考试数 学(理科)参考答案及评分意见第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.B ；2.A ；3.C ；4.D ；5.A ；6.A ；7.B ；8.C ；9.D ； 10.B ； 11.C ； 12.A.第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题(每小题5分,共20分)13.8； 14.15；15.2π； 16.3e (1,e ).三、解答题(共70分)17. 解：(1)由正弦定理知sin sin a b A B =,又2,tan sin a b A B =所以2.sin tan a aA A=于是1cos ,2A =因为0π,A <<所以π.3A = L L 6分(2)因为π2,,3a b A ===22π222cos ,3c c =+-⨯⨯即2230.c c --=又0,c >所以 3.c =故ABC ∆的面积为11πsin 23sin 223bc A =⨯⨯⨯=L L 12分18.解：(1)得分[20,40)的频率为0.005200.1⨯=；得分[40,60)的频率为0.010200.2⨯=； 得分[80,100]的频率为0.015200.3⨯=；所以得分[60,80)的频率为1(0.10.20.3)0.4.-++=设班级得分的中位数为x 分,于是600.10.20.40.520x -++⨯=,解得70.x = 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分. L L 5分 (2)由(1)知题意“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为0.3,0.4,0.2,0.1.又班级总数为40.于是“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为12,16,8,4．分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为3,4,2,1. 由题意可得X 的所有可能取值为1,2,3,4,5,6.211214410101111111324221120211(1),(2),(3,145945)C C C C C C P X P X P C C C X C C C +=======+== 2432111123101021304224(4),(5),(6)41151515.C C C C P X P X P X C C C C C ========+=L L 9分 所以X 的分布列为X1 2 3 4 5 6 P 245 19 1145415 415 11511144145945151217119()123456515.455E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==所以X 的数学期望19().5E X = L L 12分19.解：(1)因为2AB AM ==,22MB =所以222.AM AB MB +=于是.AB AM ⊥ 又,AB AD ⊥且,AM AD A AM =⊂I 平面,ADM AD ⊂平面ADM ,所以AB ⊥平面.ADM L L 5分 (2)因为2,23AM AD MD ===所以120.MAD ∠=︒如图所示,在平面ADM 内过点A 作x 轴垂直于AM ,又由(1)知AB ⊥平面ADM ,于是分别以,AM AB 所在直线为,y z 轴建 立空间直角坐标系.A xyz -于是4(3,1,0),(3,1,),(0,0,2),(0,2,0).3D C B M --因为2BE EM =,于是42(0,,).33E 所以72(3,,),(0,2,2),(3,1,2).33EC BM BD =-=-=--u u u r u u u ur u u u r设平面BDM 的法向量为,n r 于是00BM n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r即220.320y z x y z -=⎧⎪--=取1z =得3,1,1).n =r 设直线EC 与平面BDM 所成角为θ,则413sin cos ,.54553EC n EC n EC nθ⋅====⨯u u u r ru u u r r u u u r r 所以直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值为1.5L L 12分20.解：(1)令3e ()ln ,(e,).e x g x x x x -=-∈+∞+则22214e (e)()0.(e)(e)x g x x x x x -'=-=>++于是()g x 在(e,)+∞单调递增,所以()(e)0,g x g >=即3eln ,(e,).ex x x x ->∈+∞+ L L 5分 (2)22222222(21)ln (e )(ln 1)(e )ln (e )().(ln )(ln )x x x x x x x x x x f x x x x x +-+++--++'== 令2222()(e )ln (e ),(e,).h x x x x x x =--++∈+∞当(e,)x ∈+∞时,由(1)知3e ln .e x x x ->+则222223e 4e 1()(e )(e )2(4e 1)2(),e 2x h x x x x x x x x x -+>--++=-+=-+ (i)当4e 1[,)2x +∈+∞时,于是()0h x >,从而()0.f x '> 故()f x 在4e 1[,)2++∞严格单调递增.其中4e 15.936562+=LL L 9分 (ii)当(e,5]x ∈时,则2222222222()(e )ln 5(e )2(e )(e )3e h x x x x x x x x x ≤--++<--++=--2203e 0.≤-<(用到了223e x x --在(e,5]单调递增与2e 7>)于是()0f x '<,故()f x 在(e,5]严格单调递减. L L 11分综上所述,()f x 在(e,5]严格单调递减,在4e 1[,)2++∞严格单调递增. 因为4e 16,2+<所以0[5,6).x ∈所以 5.n = L L 12分21.解：设点00(,)P x y ,其中2001.2y x =因为,y x '=所以切线l 的斜率为0,x 于是切线2001:.2l y x x x =-(1)因为(2,2),P 于是切线:2 2.l y x =-故圆心O 到切线l的距离为d =于是||5AB === L L 5分(2)联立22200112x y y x x x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得22340001(1)10.4x x x x x +-+-= 设1122(,),(,),(,).A x y B x y M x y 则301220,1x x x x +=+32240001()4(1)(1)0.4x x x ∆=--+-> 又200,x ≥于是2002x ≤<+于是32200120022001,.22(1)22(1)x x x x x y x x x x x +===-=-++ 又C 的焦点1(0,),F 于是1(0,).F '-故||F M '===L L 9分令201,t x =+则13t ≤<+于是||F M'==因为3t t+在单调递减,在+单调递增.又当1t =时,1||2F M '=；当t =时,||F M '=； 当3t =+时,11||.2F M'=> 所以||F M '的取值范围为1).2 L L 12分 22.解：(1)消去参数α得22(2)3(0)x y y -+=≥将cos ,sin x y ρθρθ==代入得 22(cos 2)(sin )3,ρθρθ-+=即24cos 10.ρρθ-+=所以曲线C 的极坐标方程为2π4cos 10(0).3ρρθθ-+=≤≤ L L 5分(2)法1：将π6θ=代入2π4cos 10(0)3ρρθθ-+=≤≤得210ρ-+=,设12ππ(,),(,),66A B ρρ则12 1.ρρ=于是12|||| 1.OA OB ρρ⋅==L L 10分法2：π3θ=与曲线C 相切于点,M π||2sin 1,3OM == 由切割线定理知2|||||| 1.OA OB OM ⋅== L L 10分23.解：(1)3, (,),2()2, [,],23, (,).a x a b x a f x x a x b x a b x b x a b x b ⎧--+∈-∞-⎪⎪⎪=++-=++∈-⎨⎪+-∈+∞⎪⎪⎩.当(,)2ax ∈-∞-时,函数()f x 单调递减；当(,)x b ∈+∞时,函数()f x 单调递增.所以m 只能在[,]2a b -上取到.当[,]2ax b ∈-时,函数()f x 单调递增.所以2() 2.222a a a bm f a b +=-=-++== L L 5分(2)因为22a mb tab +≥恒成立,且0,0a b >>,所以22a mb t ab +≤恒成立即mina b mb t a ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭.由(1)知2m =,于是a b a mb +≥== 当且仅当2aab =时等号成立即1)0,2(20.a b =>=> 所以t ≤,故实数t 的最大值为 L L 10分。