二次函数在中学数学教学中的应用

数学教学通讯投稿邮相：sxjxtx c@〉课程教材教法让知识走出课堂——以初中数学“二次函数”的教学为例李永树重庆市两江新区金溪初级中学校401120［摘要］文章以初中数学“二次函数”的概念教学为例，阐述了在初中数学教学中应怎样重点培养学生的数学思维和应用策略，利用学法指导和创设实践情境帮助中学生走出知识课堂，从生活中发现数学问题，解决数学问题.［关键词］初中数学；二次函数；生活情境;数学意识初中数学教育是以数学问题为对象，用于强化学生数学思维、提高创新 能力的一种能动性教学课程.这不仅局限于对传统课堂知识的理论讲解,更侧重于通过教学活动经验的积累,从日常生活和客观情境中汲取理论经验，让数学知识走出课堂,形成对初中数学教育课程的深度理解.新课程改革对数学课程标准提出明确的指导意见：“初中数学教育应当从学生实际的生活情境出发,通过创设多样化的学习环境，让数学教育从传统教育课堂转变为更加灵活开放的知识性实践教育,激发学生参与数学知识的积极性，明确数学教学对于提高学生综合素质的战略意义”|1］.从这一点看,首先需要了解初中数学课程在改革道路上存在的误区，提供针对性的改革教学策略,让学生在参与课外实践、熟悉掌握新媒体教育模式的同时,更能够提高自身的数学思维和创新能力，从中领悟数学教育模式改革带来的乐趣，并学习用数学的眼光看待问题，解决问题.0数学知识改革实践的误区要点拓宽初中数学的教学活动场域、增强数学教学的有效性，首先应当以分析数学知识改革实践的误区作为前提.传统的数学课堂教学方式是在教师的引导下帮助学生了解理论结构，解析问题因子，因而学生对教学内容的掌握往往有一定的主观性和滞后性.随着新课程改革教育的不断深入，开始注重对数学教育课程的一系列实践创新.无论是对教学内容的调整，还是教学方式的改革，都有其重要的现实意义.但与此同时,由于片面追求快速的数学课程改革目标，在初中数学课堂教学改革过程中也相继出现了难以忽视的客观性问题.一方面是只注重方式改革却忽视了学法指导,另一方面是只讲究情境创设却忽视了解决问题的动机.如何能够针对这些问题进行有效调整,准确把握中等数学教育在其内容和形式上的和谐统一，已经引起了诸多数学教育从业者的高度重视.1.只重视教法改革而忽视学法指导初中数学内容知识的讲解应当是形式改革和学法指导的统一.但对于大多数数学教育工作者而言,过分注重教学形式的改革，忽视了学法指导对于学生知识技能习得的重要意义，会使初中数学知识局限于狭窄的理论讲解，难以对学术技法拥有更深刻的研究和分析,并对数学知识走出课堂产生很大的限制性.由于受到应试教育的影响，中学数学教育课程从过去的“秧田式”学习形式逐渐转变为小组学习的课堂参与方式，虽在一定程度上变革了传统的数学课程教育模式,却没有考虑到学生的现实情况设定行之有效的教学目标，对数学教材的改革多应付于教学计划的完成，无法培养学生主动参与数学课外实践教学的日常习惯121.由此观之，数学知识限制课堂的一大关键因素就在于教育形式的改革与学生学习方式的培养难以达到平衡状态,以考试结果为导向的数学改革策略,让学生的合作交流与自主探索能力得不到充分提升，课基金项目：该文为重庆市教育学会(2018-2020年)基础教育科研立项课题“核心素养背景下初中数学课堂有效情境创设研究”(XH2018A87)的项目戒果.作者简介:李永树(1980-),本科学历，中学高级教师，从事初中数学教学工作.2020年3月仲旬)<03数学教学通讯投稿邮相:sxjxtx c@ >课程教材教法程改革实践也就无法发挥重要作用.2.难以平衡数学应用性和数学理论性传统的数学教学注重的是对应用题的理论经验总结,往往局限于纸上谈兵的教学发展阶段，难以获得数学理论和数学应用的有机统一,学生从书本中获取的数学知识也无法真正联系生活实际,因而成为只具有抽象理论思想的数学符号.随着新课改教学活动的不断深入,初中数学课程开始注重对应用性问题的探讨,将带有普遍生活韵味的数学问题与抽象性的理论知识联系起来考查,让学生从普遍的生活场景中挖掘数学课堂存在的意义，这也在一定程度上提高了数学知识的可实用性|31.但有些教师过分注重对数学应用性问题的研究,反而忽视了数学课程本身具有的理论性经验总结.特别是包括二次函数在内的数学知识讲解,在创设数学问题情境之后，难以获取数学符号的理论性转换,把“生活化应用”作为数学课堂唯一的教学追求,完全避开了数学知识在逻辑推演、经验归纳等方面的重要性，无法摆脱传统课堂教学模式的限制，亦会使初中数学教育改革走向极端的发展道路.3.情境创设的目的有待明确“让数学知识走出课堂”除了要具备基本的学法指导之外，更应通过创设多样化的教学情境,提高学生参与课外活动的学习兴趣.从理论上讲，情境创设的最终目的是用于提高学生的实际操作能力和创新思维能力,但考虑到现实情况，若学生仅停留在单纯的实践活动层面，不能够根据具象的活动行为在脑海中形成完整抽象的知识体系,就无法获得真正的数学思维,初中数学课程最终也会沦落为简单的活动课，对数学意识的培养和教育显得越发困难.从建 构主义的角度来讲，数学思维的建构除了是数学自身发展的内部需要,也同样来自于社会现实的客观性发展需求.数学意义的建构应当从与之对应的社会情境间建立起必然的联系,仅通过实践活动本身来创设学习情境不利于数学信息的渗透,只有建立在明确教学目标基础上的数学活动,才能够帮助学生从课外实践中积累更多的知识信息,把课堂外的社会情境运用到特定的数学知识分析当中,为数学思维的培养奠定坚实的基础.0数学知识走出课堂的实践策略对于初中数学知识教育而言,传统的课堂教学模式更加侧重于对数学内容的理论性经验总结,新课改形势下对教学活动生活化的情境创新，则是立足于中等数学教育的应用性战略层面,帮助学生从生活中领悟课堂知识的奥秘，从而形成完整的知识结构框架.让数学知识走出课堂，不光需要考虑到教学内容的理性逻辑,更应该注重教学活动的应用型战略优势.如何根据传统数学教育以及新课改要求下中学数学教育改革的误区,提供针对性的实践教学策略，让初中数学知识走出课堂，提高教学活动的有效性,已经成为新课改条件下对初中数学教学课程调整提出的重要需求.从其实践策略来看，必须要从以下几点出发:首先，初中数学应当注重教学改革与学法指导的有效统一,帮助学生探求多元化的学习策略,全面提高其理论素养和文化知识;其次，应当强化从理论性教学到应用性教学的转移,平衡基础理论和实践应用的逻辑关系,坚持理论和实践的和谐发展；最后,通过创设实践情境来提炼数学教育课程的本质性特征,让学生能够在趣味性的学习场所中提升自己的应用技能.1.重视教学改革和学法指导的统一教学形式的改革除了是对教学大纲的设计和创新,还应以培养学生的逻辑思维和文化素养为根本.随着新课改的不断深入，新形势下的数学教学改革仍旧需要以美育教育为教学目标，既要注重学科建设的创造性,同时也应重视教学方法对学生学习过程的指导性建议，真正把握初中数学教育的核心.相比小学阶段的数学教学,初中数学无论是学生的逻辑思维还是计算能力都已经有所提升，必须考虑到学生的实际情况,引导每一位同学找到合适的学习方法，进而增强分析问题、解决问题的能力.新课改形势下教学方式的变革，需要以优化教学过程为目标，指导教师既要做好自己的本职教育工作，同时也应加强学生对数学原理的指导，将抽象的数学思想转变为具象化的数学符号,使学生更容易掌握高质量的学习方法，从而实现教学改革和学法指导的有效统一.我们以初中数学课程“二次函数”为例.以往教师在讲解二次函数的基本概念时，多是直接基于二次函数的基本形式y=ax2+bx+c（a屹0）|4］，对其中的各项参数进行讲解和分析,忽视了教学方法对理论概念的促进作用.二次函数作为初中阶段重要的函数类型，不仅同学生过去接触到的一元二次方程有紧密的关联，其函数概念更蕴含着十分重要的数学思想.新课改形势下对“二次函数”教学案例的新设计,应当以二次函数的概念教学为基础,探究多种理论学习方法，全方位建构完整的二次函数逻辑体系.首先，根据二次函数的概念教学规律，采用类比教学法帮助学生掌握概念的形成过程.一方面可以从纵向上类比一次函数，了解二次函数学习的一般规律；另一方面则与一元二次方程、二次多项式进行横向比较，探究函数各变量的变化规律,形成完整的数学知识体系.其次，应当做好课前的预习指导和课后的巩固学习.二次函数的概念形成应当是循序渐进、步步为营的教学过程，通过预习培养学生的求知欲望，又在课后复习中对概念知识进行巩固和梳理，除了能够引导学生利用科学的学习方法获取知识,还可以从中挖掘出最灵活的数学思维,避免学生因陷入程式化的窠臼而用错学习方法，进而提高受教育者的思维水平和学习水平.2.强化理论性教学与应用性教学的平衡中国数学教学体系在很长一段时间内具有明显的理论学习和应用学习的界限.理论性教学侧重于从学科建设的重要理论基础出发，进一步凸显学科教育的理论认知和科学研究;应用性教学则是从基础理论的角度出发,以实际应用为导向侧重于数学教育的案例分析和实践研究|51.初中数学教学虽未对实践研究和科学研究做出明确的判断,但总体而言更倾向于教学体系的理论层面，一定意义上忽视了数学作为实践基础性教学的重要作用.基于此,初中04>2020年3月（中旬）数学教学通讯投稿邮箱：sxjxtx c@＞课程教材教法数学教学的改革,应当是理论性教学和应用性教学形式的统一.既要注重理论概念的继承和创新，通过适当的素材选取,尽可能贴近学生的日常生活和社会现实，从而达到理论性教学和应用性教学的平衡.正确处理理论学习和实践应用的关系,是对二次函数概念教学进行深入解读的基础.通过更新现有学科的基础知识和基本技能,引导学生建立完整的二次函数模型，并将“形式化”的理论知识运用到解决实际问题的实践经验中，进一步体会二次函数的实际应用价值.基于二次函数的认知规律，学生可通过明确其中一个变量来得到另一变量的求解，但对函数概念定义的解读，并非采用单一的背诵形式，而是通过具体的应用分析展开概念辨析,形成主体对客体的逐渐认知.针对二次函数的应用性教学安排两个变量探究问题，教师以拱桥桥洞、商品价格等相关案例为背景，引导学生关注实际问题中的相关变量，建构与之相对应的函数概念模型，从而将应用型问题转变为一般的函数问题.在不断强化统一的培养目标的基础上，利用理论与应用相结合的教学策略提高学生的科学思维及其应用水平，鼓励学生主动参与到数学案例的理论研究和实践分析中，更能够早日实现教学改革的预期目标.3.创设实践教学场景提炼数学的本质特征初中数学课程是一门带有强烈抽象性思维的学科艺术，对于刚刚接触数学思维的初中生而言，倘若仅用单纯的知识理念进行灌输，往往只能获得事倍功半的教学效果.因此如何对传统的数学教学模式进行创新,使数学学科与特定的实践情境相结合,进一步加深受教育者对数学知识的概念理解,也是广大数学教育从业者亟须解决的难题.让数学知识走出课堂,意味着要从基本概念深入到应用型策略问题，通过日常生活情境提炼初中数学的本质特征,使知识性内容与学生的生活环境交相呼应，更能够提高数学教育改革的有效性.在生活情境中提炼数学本质,应明确数学课程的设计意图，并以此为基础从学生亲身经历的生活场景出发,在具体的实践操作过程中感受数学知识，这种新形式的教学方式才能够真正体现数学内容“生活化”的教学方向，帮助学生更好地学习理论概念.与此同时，利用新媒体技术平台与二次函数的教学过程实现全方位融合，可以让枯燥的理论知识走出数学课堂，更能够让教学内容得以直观化展现,进一步深入初中数学教学的现代化改革.要让二次函数教学走出课堂，一方面可根据二次函数的理论知识,将其贯穿在学生的日常生活场景中，并在生活情境中提炼数学本质，具体应当涉及以下几方面内容：（1）针对二次函数的导语引用进行设计:二次函数在日常经济生活中具有广泛的应用，投资消费、销售定价、路径设计等都可利用二次函数进行解决.（2）针对二次函数的基本形式进行实践性操作训练：中学教师可带领本班同学到学校附近的动物园进行实战操作,引导学生观察喷泉抛射过程中的运动路径，由此引向二次函数的抛物线；紧接着询问学生,该动物园旅游一圈下来大概5km,试让学生计算游玩时间t和游玩平均速度"之间的函数关系；在旅游过程中，根据动物活动的范围让学生计算园区的面积S同长方形长度x的函数关系.通过多角度的问题设置，给学生创设熟悉的生活情境，有利于解析二次函数的基本形式.（3）针对二次函数的设计意图进行总结:通过日常生活情境串联起二次函数的应用解析,让学生能够正确处理涉及二次函数的相关问题，并能够准确把握数学应用学习的本质奥秘.除此之外，这种能动性的应用教学模式更充分激发了受教育者的实践积极性，将理论与实践结合起来，有利于课外教学活动的顺利实施.另一方面，新媒体技术赋予了数学资源较强的现时性特征,二次函数涉及的众多知识内容都来源于数字化信息教材，并可以通过慕课、公众号、小程序等各种媒体平台大范围推广数学知识,真正实现二次函数走出传统课堂的教育创新.教师可结合慕课、微信小程序等信息技术，对二次函数的有关特性进行研究，引导学生根据慕课知识，解答课后习题,深入掌握二次函数的顶点坐标以及对称轴等理论知识，进而有效体会二次函数蕴含的数学思维，并据此开拓多元化的解题思路.结语《义务教育数学课程标准》曾对数学教学活动提出若干指导意见,考虑到中学生在知识建构与信息获取之间面临诸多障碍，从学生的学习内容出发，适当调整学习场所，营造多样化的学习氛围已经成为新课改形势下进行数学教育改革的战略需求.“让数学知识走出课堂”涉及两个重要的教学因素:一方面，作为教学主体的教师和学生不应当局限于传统的课堂教学模式,在拓宽知识学习场域的同时，更应关注学生数学思维的培养以及数学经验的积累，试图通过理论与实践的统一来完成高质量的数学教学目标；另一方面，良好的数学教学情境也是帮助学生建构数学知识体系、培养逻辑思维的关键要素.无论是通过生活情境提炼数学的本质特征,还是利用多媒体平台强化重要的数学思维,抑或经由学法指导下的数学教学活动，赋予数学知识以美的韵味,皆是从不同层面提高学生的综合性学习技能，用具象的学习活动代替抽象的理论讲解,才能够真正达到立德树人的培养目标.总体而言，“让数学知识走出课堂”绝非是对传统教学场域的简单调整,它建构在教学主体对数学课程的能动性实践过程中，通过关注学生的理论知识建构、课外实践积累与思维方式拓展，由此形成数学课程的多样化教育，从生活中领悟数学课程的奥秘,才能让知识更好地投入到实践中去.参考文献：[1]朱彩华.初中数学“生活化”教学策略浅析[J].数学教学通讯,2019（02）.[2]谢辉.核心素养驱动下二次函数课堂教学的探析[J]■数学教学研究,2017,36（10）[3]秦春华.新课程背景下初中二次函数教学策略研究[D].四川师范大学,016.[4]周进.浅谈数学教学与生活的自然链接[J],数学学习与研究,2013（24）.[5]赵静.九年级学生二次函数认知的调查研究[D].苏州大学,2011.2020年3月仲旬）＜05。

GVANGJSIH GYAUYUZ课改论坛·【摘要】本文以人教版数学九年级上册《二次函数》教学为例，阐述在课前、课中以及课后三个教学阶段围绕“智学”“智达”“智研”“智评”“智练”等五个环节，开展初中数学智慧教学的途径，以突显学生的学习主体地位，让学生进行个性化学习，培养学生的自主学习能力，发展学生的数学思维。

【关键词】智慧教学《二次函数》初中数学【中图分类号】G【文献标识码】A【文章编号】0450-9889（2021）01-0049-03随着教育信息化的推进，“智慧教育”诞生了。

早期的智慧教育更关注信息技术的应用是多是少；随着时间的推移，我们渐渐发现智慧教育还带来了教育观念的转变，教师应在信息化环境下，在“以学生为中心”理念的指导下，进行教学重构的智慧教学。

我校学生水平参差不齐，为兼顾个体差异、满足个性发展，笔者在布鲁纳认知结构学习论等理论的支撑下，以信息技术与学科融合为特色，以培养学生的自主学习能力、发展数学思维为目的，指导学生进行个性化学习活动的构建，在课前、课中和课后等教学阶段围绕“智学”“智达”“智研”“智评”“智练”这五个环节，构建教学闭环。

（见下图）“智学”是指融合网络信息的课前自主学习，自学资源丰富、获取便利，学情数据支撑下的备课更有针对性；“智达”是指融合信息技术的自学成果展示，方式多样化，课堂效率高；“智研”是指融合信息技术的小组探究学习，还学生学习体验，教师分层辅导；“智评”是指融合信息技术的课堂学习评价，便捷获取的学情大数据使得评价时效性强、精准度高；“智练”是指融合信息技术的课后练习，获取便利的资源使得布置分层练习更有针对性，学生作业数据随时查看，即时评改功能让学生能及时解惑，实现“课课清”。

在反复的教学实践和反思中，笔者逐渐形成智慧教学的三个“智慧”层面：突显学生为主体的教学培养学生的学习能力，发展学生的数学思维，体现学生智慧；教师更新观念，落实融合信息技术以学生为主体的教学，提升职业素养，体现教师智慧；信息技术与教学有机融合，使教学高效、便利且精准，体现技术智慧。

第一章二次函数本章是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。

二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。

伽利略所发现的、通过比萨斜塔实验验证的、著名的自由落体运动公式就是二次函数刻画物体运动的最好例证，是最重要的物理学公式之一。

二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。

二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。

和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。

本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。

函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。

学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。

本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。

二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。

本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。

新课程标准下初中数学二次函数教学策略研究摘要：数学学习兴趣与数学学习方法一同构成了初中学生数学学习质量优良与否的重要影响因素，幸运的是，这两者都可以被教师的教学方法和教学途径所改变，因此，教师需要对教学设计投以足够的重视。

二次函数不仅是初中教学的部分内容，更是整个函数教学的重要阶段，对学生初中数学的整体学习效果有着极其重要的影响。

教师在关注教学方法、力图融会贯通以为学生的函数学习打下良好基础之外，还应当适当地调整数学教学的方式与途径，灵活地选择教学素材，运用生动的教学情景与幽默的教学语言引导学生在愉悦体验中深化对函数知识的理解。

本文就以初中“二次函数”的教学为例，简单阐述二次函数的教学策略。

关键词：二次函数；初中数学教学；策略分析引言二次函数是学生在简单基础的一次函数之外所接触到的函数部分内容。

尽管相对于更加复杂的三次函数以及三角函数简单许多，但相对于一次函数而言难度大大增加，并且对学生接下来的函数部分学习有着准备性、基础性的作用，教师必须重视二次函数的教学设计，绝不能掉以轻心。

同时，由于学生的数学基础水平不同，教师在联系一次函数展开教学的过程中也需要重视方式方法，在帮助学生理解的基础上带领学生对简单一次函数进行基本的复习，在融会贯通的前提下优化整体教学质量。

初中数学的教学内容与教学目标较之于小学数学教学可以说是上了一个台阶，随之而来的，教师的教学责任与学生的学习难度都有了一定程度的提高。

许多学生因为无法适应初中数学的教学内容和教学方法而失去学习兴趣，最终导致了数学成绩的下降乃至整体学习水平的下降。

一、二次函数的概念同一次函数类似，二次函数也有其基本表示形式与一些关于最高次、图像和其他概念方面的要求。

在教学二次函数的过程中，过分抽象的教学语言和教学方案可能并不能帮助学生更深入地理解其定义和概念，还有可能使得学生认为二次函数过于深奥抽象而不可捉摸，影响学生的学习态度与学习观念，初中教师有必要在教学二次函数部分时参照一次函数的相关知识，帮助学生了解二次函数。

【热身训练】1. 已知二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c ＋1(a ≠0)的值域是[1，＋∞)，则1a ＋9c的最小值是________．答案: 32. 已知函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是________．解析：①当a ＝0时，f (x )＝2x －3，符合条件；答案: ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 3. 已知奇函数f (x )是定义在R 上的单调函数，若函数y ＝f (x 2)＋f (k －x )只有一个零点，则实数k 的值是________．4. 若方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个正根，则实数a 的取值范围是________．答案: a ＜0【热点追踪】二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延．作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系．这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题.（一）函数在给定区间上的最值问题例1. 已知二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1(a ≠0)在x ∈[－3,2]上有最大值4，求实数a 的值．答案: a ＝38或a ＝－3 变式1 已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋1，求函数f (x )在区间[－1,1]上的最值．答案:f (x )max ＝f (1)＝a ，f (x )min ＝f (－1)＝－a .变式2 求二次函数f (x )＝ax 2＋(2a －1)x －3(a ≠0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2上的最大值． 答案:f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a －124a －3，a ＜－1－34a －32，－1≤a ＜25且a ≠0.8a －5，a ≥25（二）二次方程的根的分布问题例2. 已知函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a ＋2(a ∈R )．(1)若f (x )的两个零点均小于2，求实数a 的取值范围；(2)方程f (x )＝0在(1,2)上有且只有一个实根，求实数a 的取值范围．变式1 已知函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a ＋2(a ∈R )，若f (x )有一个小于1与一个大于2的两个零点，求实数a 的取值范围．答案: 187变式2 已知函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a ＋2(a ∈R )，方程f (x )＝0在(1,2)上有实根，求实数a 的取值范围．答案: 2＜a ＜187（三）可转化为二次函数的问题例3. 已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数．(1)求实数k 的值；(2)设函数g (x )＝log 4⎝⎛⎭⎪⎫a ·2x －4a 3，若函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．变式1 函数f (x )＝4x －2x ＋1＋4－x ＋2－x ＋1在[0,2]上的值域为________．答案: ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，13716 变式2 函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．答案: －14【乘热打铁】1． 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案: (－2,2]2． 若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k 的取值范围是________．答案: 12＜k ＜233． 若关于x 的不等式m ≤lg x 3·lg x 12恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案: m ≤－lg 224． 已知函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋3(m ∈R )，若关于x 的方程f (x )＝0有实数根，且两根分别为x 1，x 2，则(x 1＋x 2)·x 1x 2的最大值为________．答案: 2。

思维导图在二次函数复习教学中的应用汤展潘(福建省连江华侨中学ꎬ福建福州３５０５９９)摘㊀要:文章把握 双减 政策要求ꎬ明确二次函数复习要点的基础上ꎬ对如何利用思维导图开展初中数学复习教学进行了深入的研究ꎬ期望在思维导图的有效助力下解决以往复习教学的不足ꎬ并从整体上提升二次函数复习效率.关键词:二次函数ꎻ思维导图ꎻ复习中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１７－００３８－０３收稿日期:２０２３－０３－１５作者简介:汤展潘(１９７４ꎬ１０－)ꎬ男ꎬ福建省连江人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀受应试教育的影响ꎬ教师会采取题海战术为学生布置大量练习题ꎬ让学生从大量习题中总结出规律和方法.但对初中生来讲ꎬ这样的复习枯燥㊁乏味ꎬ会让学生产生审美疲劳ꎬ不利于学生的长远发展.思维导图是通过图画㊁代号㊁连线的方式构建大脑思维过程ꎬ这一方法可以应用到各阶段㊁各学科教学中来.初中数学知识点多且杂ꎬ而且复习任务重ꎬ学生出现遗漏在所难免.为了提升数学复习效率ꎬ帮助学生建立起系统化的知识体系ꎬ教师要有意识地将思维导图应用其中.１思维导图和数学复习概述思维导图以中心为关键ꎬ通过特定关联向四周发散ꎬ并利用颜色和字体的变化将思维过程清晰地展现出来.在思维导图引领下的学习中ꎬ通过中心词向四周发散ꎬ可以将知识展现出来ꎬ方便学生的理解和记忆.数学复习课即根据学科特点与要求对知识点进行回顾ꎬ通过对知识点的整理深化学生的理解ꎬ提升学生的认知结构.对学生来讲ꎬ经过一个单元的学习ꎬ前面学习的知识会出现一定的遗忘ꎬ所以做好单元复习非常重要[１].２利用思维导图开展初中数学复习的功能２.１巧用思维导图ꎬ完成知识的概括初中数学知识点多且杂ꎬ而且知识以散乱的状态分布在学生脑海中.利用思维导图可以帮助学生对这些知识进行系统整理和概括ꎬ清晰地展现知识的结构ꎬ帮助学生将知识点以符号㊁图像的形式印刻在脑海中ꎬ进而助力学生学习效率的提升[２].２.２巧用思维导图ꎬ训练学生的思维逻辑相当一部分学生习惯从点和面对问题开展思考ꎬ因逻辑思维单一所以无法将知识整体地展现出来.思维导图的应用可以让学生从不同的角度开展思考ꎬ探寻知识的关联点[３].这一过程的开展不但拓宽了学生的视野范围ꎬ而且补充了学生原来没有的思维ꎬ同时还让学生掌握了科学的学习方法.２.３巧用思维导图ꎬ做好评价与反思学生在数学复习阶段会遇到诸多困难ꎬ师生都可以借助思维导图进行反思.通过反思让他们在已有基础上获得提升.因初中生素质的差异ꎬ他们制作的思维导图也有很大的区别.教师指导学生对思维导图的差异做分析和对比ꎬ通过学习他人的长处弥补自己的不足[４].而教师通过对学生思维导图的分８３析看到自己教学中的不足ꎬ从而改进教学ꎬ推动教学发展.３ 双减 政策下创新复习教学的必要性 双减 政策明确提出了减轻学生繁重课业负担的要求.数学具有一定的抽象性㊁逻辑性ꎬ因此对初中生来讲存在一定的难度.以往的数学复习以教师讲㊁学生记为主ꎬ但结果都不太理想.在这一模式下ꎬ教师讲得辛苦ꎬ学生也跟不上教师的思路.出现这一情况的根源在于学生的主体地位被忽视ꎬ学生的学习积极性没有被激发ꎬ进而导致学生无法主动地参与其中ꎬ无法探寻到知识点的关系ꎬ更不要谈提升学生的复习效率了.教学实践表明ꎬ相当一部分的学生在课堂能够听得懂ꎬ但自己做题却错误百出.这种情况的原因有以下两种:第一ꎬ数学知识点多且具有复杂性ꎬ需要学生掌握㊁记忆的定理和公式很多ꎻ第二ꎬ学生对数学概念的理解不够ꎬ只能通过机械式记忆来获取知识.这并非学生智力原因ꎬ而是教师没有根据学生的实际情况采取合理的教学模式.随着 双减 政策的落实ꎬ突出学生主体地位㊁减轻学生负担㊁提升学生学习效率成了教师致力研究的问题.而这一目标的实现ꎬ需要教师重新审视当下课堂ꎬ积极创新教学模式ꎬ思维导图便是有效的复习模式之一[５].４思维导图在初中数学复习中的应用在数学复习阶段ꎬ要想让学生全面㊁系统地掌握知识ꎬ教师就要巧妙利用思维导图优化数学课堂ꎬ以确保教学质量的提升.利用思维导图开展二次函数复习不但能帮助学生对知识点进行查缺补漏ꎬ还能建立起系统的网络知识体系ꎬ对于从整体上提升学生的复习效率有着重大意义.基于此ꎬ文章从以下几个方面对思维导图在初中数学复习中的应用进行了深入的研究.４.１利用思维导图ꎬ构建知识网络体系二次函数知识点具有杂乱㊁无序的特征.数学复习以优化学习方法㊁巩固知识点为主ꎬ而如何巧用思维导图优化内容㊁帮助学生建立起系统网络体系是教师必须要解决的问题[６].可以从以下两个方面开展:第一ꎬ指导学生记录好常见的错题ꎬ并在课后请教教师和同学ꎻ第二ꎬ基于错题典例ꎬ制作思维导图ꎬ作为日后复习的重点.在复习二次函数的过程中ꎬ借助图像引出定义㊁表达式㊁性质等ꎬ同时明确好关键要点ꎬ例如表达式有三种ꎬ分别有一般式ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ(ａ不等于０)ꎬ顶点式ｙ＝ａ(ｘ－ｈ)２＋Ｋꎬ交点式ｙ＝ａ(ｘ－ｘ１)(ｘ－ｘ２)ꎻ图像分为ａ大于０和ａ小于０两种.通过层层细化将二次函数的有关知识清晰地展现出来.４.２巧用思维导图ꎬ突破难点问题每个章节知识都有重难点ꎬ二次函数的复习也是如此.因此ꎬ在复习中ꎬ教师可以利用思维导图来突出重点突破难点.例如二次函数图像位置的确定是一大难点ꎬ具体分为ａ>０且ｂ>０ꎻａ>０且ｂ<０ꎻａ<０且ｂ<０ꎻａ<０且ｂ>０这几种情况ꎬ还需要学生根据ｃ㊁ә与０的关系做出进一步的判断.但如若在复习时ꎬ教师将几种不同的情况以思维导图的方式展现出来ꎬ那么难点就不攻自破ꎬ进而取得好的教学效果.４.３巧用思维导图ꎬ开展课后练习练习是学习的重要一环ꎬ对学生知识的巩固有着积极的作用.而保持学生学习的积极性与主动性ꎬ思维导图是一种有效的措施.在二次函数的复习中ꎬ首先指导学生对章节知识点进行整理ꎬ并根据自己的理解划分二次函数概念㊁规律㊁重难点ꎬ并根据自己的理解构建自己的思维导图.然后教师根据学生的作品把握学生对章节知识点的学习情况ꎬ并指出错误让其修改.之后ꎬ在复习课上展示典型的作品ꎬ让学生对比分析思维导图的优劣ꎬ教师做最后的总结.在这一过程中ꎬ不但深化了学生对课后内容的理解而且帮助学生建立起了系统的知识体系ꎬ并从根本上提升了初中生的自主学习能力.４.４提供互评契机ꎬ扭转学生的学习态度以往的教学评价只关注学生的课堂知识学习情况ꎬ思维导图的应用则可以检测出学生知识关联的理解力ꎬ进而对学生创新思维水平进行评价.通过指导学生绘制思维导图ꎬ可以让教师了解学生学习的进展ꎬ并对其做出正确的诊断进而优化教学.可见思维导图是对学生开展评价的好工具ꎬ学生根据思维９３导图的反馈可以把握住概念间的联系ꎬ以检测学生对学习材料的理解情况进而采取有效的措施弥补[８].另外ꎬ学生在思维导图绘制中表现出的自然情感ꎬ特别是专门的思维导图绘制软件出现之后ꎬ借助先进的多媒体软件可以构建美丽的画面.因此ꎬ思维导图的应用不仅用来评价学生对知识的理性认识ꎬ更能了解学生的情感发展状况.通过对比学生的思维导图ꎬ不断优化方法ꎬ通过共性指导和个性辅导推动班级学生学习能力的共同提升.５利用思维导图开展数学复习需要注意的问题５.１把握复习的实质数学复习即将日常散乱的知识以归纳的方式展现出来ꎬ以深化学生对知识的理解ꎬ实现学生对知识的融会贯通ꎬ从根本上提升学生解决实际问题的能力.其立足点是深化认识ꎬ本质是把握知识点的关联ꎬ并通过分类㊁整理㊁建构形成系统的知识体系ꎬ以存储在学生的脑海中.５.２思维导图制作不能代办教师在组织学生利用思维导图开展数学复习的过程中ꎬ要明确学生的主体地位ꎬ尽量给足学生时间ꎬ并在合适的地方㊁采取合适的方法对其进行引导ꎬ切不可代替学生.学生只有真正参与到思维导图的制作中来ꎬ才能真正理清各知识点的关联ꎬ建构起自己的知识体系.５.３思维导图训练要循序渐进思维导图是一种发散性的思维工具ꎬ对刚接触的学生来讲很难掌握.在具体的应用中ꎬ很多学生不会主动参与其中ꎬ但这并非是思维导图与学生不相适应的问题ꎬ而是任何一个新事物的接触都有一个过程ꎬ需要教师根据具体情况提出不同的要求ꎬ并将思维导图与学科特征㊁学生实际情况结合起来.而且思维导图具有开放性的特征ꎬ导致教师难以预料到课堂的生成ꎬ需要教师随时准备解决课堂的突发事件ꎬ这同时对教师自身素养提出了很高要求.５.４思维导图制作不能束于高阁绘制思维导图并非是最终的目的ꎬ教师要善于指导学生根据思维导图的制作发现自己学习中的不足并加以纠正ꎬ并将章节知识点以思维导图的方式整理出来生成期末复习导图ꎬ作为总复习的第一手资料.当然ꎬ教师也可以将思维导图作为培养学生思维的有效途径:第一ꎬ从点出发ꎬ沿着不同的方向达到这一目标ꎬ通过多种思路㊁方案来解决问题.第二ꎬ在思维导图引导的复习中ꎬ学生不再是听者ꎬ而是做自己复习的掌控者.利用思维导图激发学生的复习兴趣ꎬ让学生在回忆㊁讨论㊁整理中做自己的主导者.经过一段时间的训练ꎬ学生会得心应手ꎬ乐在其中.综上所述ꎬ利用思维导图开展数学复习ꎬ可以助力学生建立知识体系㊁把握知识点的关联ꎬ进而使学生的综合素养得到不同程度的提高.参考文献:[１]彭高阳.利用思维导图设计二次函数复习课:人教版第二十二章二次函数复习课的教学设计[Ｊ].中国校外教育(中旬刊)ꎬ２０１７(７):５９－６０.[２]黄波波ꎬ卫星.浅谈思维导图在初中数学单元复习中的应用[Ｊ].新西部(中旬刊)ꎬ２０１７(６):１５７－１５８.[３]高子懿.浅谈思维导图在初中数学单元复习课中的应用:以一次函数为例[Ｊ].科教文汇ꎬ２０２０(３０):１４３－１４５.[４]宋家平.利用思维导图上好初中数学二次函数复习课[Ｊ].儿童大世界(下半月).２０１９(１):１０５.[５]胡少华.探究怎样巧用思维导图教学提升初中数学复习课效率[Ｊ].文理导航(中旬)ꎬ２０１７(１０):２２.[６]赵洋ꎬ黄秦安.思维导图在初中数学课堂教学中的功能与价值[Ｊ].数学通报ꎬ２０２０(５):２１－２４ꎬ４５.[７]邵明ꎬ杨玉敏.思维导图在初中数学复习课教学中的应用[Ｊ].鞍山师范学院学报ꎬ２０２０(２):２４－２９.[８]胡丽香.思维导图在初中数学复习课教学中的应用[Ｊ].中学课程辅导(教学研究)ꎬ２０２０(２７):６.[责任编辑:李㊀璟]０４。

浅谈二次函数在中学数学中的重要性作者：周志琛来源：《现代企业教育》2007年第07期摘要：从中学数学教材中看，二次函数占有重要的地位，不管在代数中，解析几何中，利用此函数的机会特别多；同时各种数学思想如函数的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想，等价转换的思想利用二次函数作为载体，展现的最为充分。

本文就此对二次函数综合问题作一浅析。

关键词：数学教学二次函数在中学代数中有一块很重要的内容，那就是二次函数。

二次函数既简单又具有丰富的内涵和外延。

可以作为函数来研究，也可以结合图形来研究。

作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等性质，还可建立起二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的有机联系；结合图形，二次函数的图象是一条抛物线，它可以联系其它平面曲线讨论相互之间的关系。

这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问。

在中学代数的函数及其图象这一章中，蕴含的辩证观点极为丰富。

这一章教学内容的最大特点是“变”：变化、变量、运动，正如恩格斯所说的“数学中的转折点是笛卡儿的变数。

有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。

”现代课程理论及教学实践证明，搞好这一章的教学，不仅可以帮助学生深化对以前所学的过基础知识的理解，提高数学能力，形成运动、变化、联系的意识，而且能较自然地培养学生辩证唯物主义的世界观。

一、常量与变量辩证法认为，世界上的万事万物，都是相互联系、运动、变化和发展的。

常量，是相对于某一过程或另一个变量而言的。

绝对的常量是没有的。

因为物质的运动是绝对的，静止是相对的，故物动则变。

既然如此，相对的常量是有的，绝对的常量是不存在的。

因此，在教学过程中，为帮助学生认识常量与变量这一辩证关系，可以取以下实例：（1）物理学中的匀速直线运动，速度是常量，时间与路程均为变量；在实际运动的过程中，绝对的匀速运动是没有的。

-057-2021年第12期︵总第264期︶教学案例JIAOXUE ANLI引 言函数概念是中学数学中一个十分重要的基本概念，在整个中学阶段的数学学习中起着非常重要的作用。

在初中阶段，学生只需了解函数的基本概念及基本性质，如单调性、奇偶性、周期性等即可。

而不同于初中函数的学习，高中阶段，学生要学习函数的概念、定义域、函数解析式等更加抽象的内容。

函数的基本性质也需要在任意函数中体现出来，而并不只局限于某一特殊函数［1］。

正是这些严密抽象的数学语言、多变丰富的表达方式，使得函数成为刚步入高中阶段的学生最难理解与掌握的内容。

因此，要想做好高中函数的入门教学工作，教师就要处理好二次函数的教学衔接工作。

本文主要从初高中二次函数的教学差异着手，提出了初高中二次函数教学衔接的具体建议。

一、初高中二次函数教学差异（一）要求不同初中对二次函数的要求相对较低，只要求学生了解常量与变量的含义，能从变量的角度来理解二次函数的概念，能通过描点、画图掌握二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点、函数的对称轴、有无最值的求解即可。

高中对二次函数的要求则相对较高，要求学生学会用集合对应的语言来刻画二次函数，并且此阶段学习的二次函数更加抽象、复杂。

对于二次函数解析式和最值的考查，在初中的教学中，教师往往会通过以下例题引入。

例1：已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过A (-1,10)，B (1,4)，C (2,7)三点。

（1）求该抛物线的解析式；（2）利用配方法或公式法求该抛物线的顶点坐标和对称轴。

解：（1）由已知的三点，可得关于a ，b ，c 的三元一次方程组解这个方程组，得a =2，b =-3，c =5.所求二次函数是y =2x 2-3x +5（2）根据公式法，对称轴，顶点坐标是,则y =2x 2-3x +5的对称轴为34，顶点坐标为.而在高中数学教学中，例题的难度会增加很多。

例2：已知f (x )=ax 2-2x +1，若13≤a ≤1，且f (x )在[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )=M (a )-N (a )，求g (a )的表达式.解：因为，由13≤a ≤1，得1≤1a ≤3，所以.当1≤1a ≤2，即12≤a ≤1时，M (a )=f (3)=9a -5，故；当2≤1a≤3，即13≤a ≤12时，M (a )=f (1)=a -1，故.所以由以上例题可知，初中求解二次函数的解析式一般是用待定系数法，求顶点或顶点坐标一般也采用配方法或者公式法；而学习高中二次函数，要求学生能够熟练地应用配方法讨论函数的对称轴及最值问题，理解不同形式的最值、单调性问题，掌握所应用的数形结合思想、分类讨论思想及化归与转化的数学思想。

三个“二次”在函数中的应用奉贤中学姚建新2009年【学习目标】1．掌握二次函数、二次方程、二次不等式三个“二次”之间内在的联系。

2．较熟练地运用三个“二次”解决相关的问题。

3．通过三个“二次”的学习，提高分析问题、解决问题和综合思考问题的能力。

4．培养积极地探索精神和树立事物间普遍联系的辩证唯物主义观点。

【学习重点与难点】三个“二次”之间的相互转化及综合应用【课前小练】三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系。

填空：【课堂讲解】例题：已知不等式11)1(22-≤+-+≤-x m x 有唯一解，求实数m 的值变式1：关于x 的二次方程x 2+(m-1)x+1=0在区间[]2,0上有两解，求实数m 的取值范围变式2：关于x 的二次方程x 2+(m-1)x+1=0在区间[]2,0上有解，求实数m 的取值范围变式3：若抛物线y= x 2+(m-1)x+1与连接两点M(0,-1),N(2,3)的线段（包括M,N 两点）有两个不同的交点，求实数m 的取值范围变式4：关于x 的不等式x 2+(m-1)x+1>0在区间[]2,0恒成立，求实数m 的取值范围变式5：若抛物线y= x 2+(m-1)x+1恒在连接两点M(0,-1),N(2,3)的线段（包括M,N 两点）的上方，求实数m 的取值范围【课后反馈】1、 已知不等式61022≤++≤px x 有唯一解，求p 的值2、 已知当m ∈R 时，函数f(x)=m(x 2-1)+x-a 的图像和x 轴恒有公共点，求实数a 的取值范围3、 已知二次函数f(x)=x 2-3x+p-1,若在区间[0,1]内至少存在一个实数，使f(c)>0，求实数p的取值范围4、 设f(x)=4x 2-4(a+1)x+3a+3(a )R ∈,若方程f(x)=0有两个均小于2的不同实数根，问关于x的不等式(a+1)x 2-ax+a-1<0是否对于一切实数x 都成立？5、 设函数54)(2--=x x x f 。

二次函数教学中存在的问题及解决策略摘要：函数是初中数学课程的基本概念之一，是教学的重要内容，在九年级数学教学中，二次函数又是重中之重。

而在实际课堂教学中，学生的认知水平与二次函数的内容存在着一定的矛盾，使学生难以真正掌握这一模块的知识。

鉴于此，教师应找到学生在二次函数学习中产生困难的原因并对此深入分析，在找到原因后，教师还需要有针对性地解决这一问题，从而使教学呈现出高效性。

关键词：二次函数教学；存在问题；解决策略引言二次函数是学生在简单基础的一次函数之外所接触到的函数部分内容。

尽管相对于更加复杂的三次函数以及三角函数简单许多，但相对于一次函数而言难度大大增加，并且对学生接下来的函数部分学习有着准备性、基础性的作用，教师必须重视二次函数的教学设计，绝不能掉以轻心。

同时，由于学生的数学基础水平不同，教师在联系一次函数展开教学的过程中也需要重视方式方法，在帮助学生理解的基础上带领学生对简单一次函数进行基本的复习，在融会贯通的前提下优化整体教学质量。

1初中生学习二次函数困难的原因学生在学习二次函数时，存在困难的因素有很多。

最主要体现在三个方面。

其一，二次函数知识本身的原因。

因为函数概念本身就具有一定的抽象性，并且二次函数的图像和性质具有一定的复杂性，相比较之前学生学习过的一次函数，图象所反应出的性质更加复杂。

此外，二次函数的应用问题也是学生学习困难的原因之一，由于实际问题产生的背景复杂，涉及到的变量多，使学生在建立数学模型时存在很大的困难；其二，学生自身的原因。

由于学生的认知发展水平不够，并且九年级学生的抽象思维还未真正形成，他们在学习二次函数时，思维只能停留在具体数字的认识上；其三，教师的教学方法较为陈旧。

受传统教育理念的影响，教师还选择照本宣科，忽视学生思维的发展，例如，在判断哪些为二次函数时，教师往往以题海战术训练学生，这样会使学生达不到理解的程度。

2二次函数教学的有效策略1.巧用信息技术，降低理解难度二次函数呈现出一定的抽象性，对学生而言，容易使他们产生思维的障碍，鉴于此，信息技术的出现能够为课堂教学注入新活力，同时，也能够在一定程度上降低学生的理解难度。