高考数学一轮复习第七节抛物线课件理新人教A版

则d1＝
t2＋1，d2＝
2 t2＋1 .
因此，四边形ADBE的面积
S＝12|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3) t2＋1.
设M为线段AB的中点，则Mt，t2＋12. 因为E→M⊥A→B，而E→M＝(t，t2－2)，A→B与向量(1，t)平行，
所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1. 当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4 2. 因此，四边形ADBE的面积为3或4 2.
1．(易错题)抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为( B )
1 A.4
B．－14
C．4
D．－4
2．过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是( A ) A．y2＝－92x或x2＝34y B．y2＝29x或x2＝43y C．y2＝29x或x2＝－43y D．y2＝－92x或x2＝－43y
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则 |PQ|＝________.
35 A. 5
B．2
11 C. 5
D．3
2．(多选题)(2021·山东济宁模拟)已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，圆
C：x2＋(y－1)2＝16与抛物线E交于A，B两点，点P为劣弧
上不同
于A，B的一个动点，过点P作平行于y轴的直线l交抛物线E于点N，则下 列说法正确的是( BCD )
A．点P的纵坐标的取值范围是(2 3，5) B．|PN＋|NF|等于点P到抛物线准线的距离
A．(0,0) C．(1， 2)
B．21，1 D．(2,2)
考法(二) 点与准线的距离之和最小问题 [例2] (2021·邢台摸底)已知M是抛物线x2＝4y
上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是 __________． [解析] 依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l： y＝－1引垂线，垂足为M1(图略)，则有|MA| ＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA| ＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1,5)到y＝－1 的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，

所以 p=4.
D )
2.( 选 择 性 必 修 一 P136T3 改 编 ) 过 抛 物 线 y2=4x 的 焦 点 的 直 线 l 交 抛 物 线 于
P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于(
A.9
B.8
C.7
B
D.6
解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
②因为未知数只有p,所以只需利用待定系数法确定p的值.
与抛物线有关的最值问题
[例1] (多选题)(2022·福建泉州模拟)已知A(a,0),M(3,-2),点P在抛物线
y2=4x上,则下列选项正确的是(
)
A.当a=1时,|PA|最小值为1
B.当a=3时,|PA|的最小值为3
C.当a=1时,|PA|+|PM|的最小值为4
第7节
抛物线
[课程标准要求]
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、
顶点、离心率).
2.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.
1.抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 相等 的点的轨迹叫
做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点
,直线l叫做抛物线的 准线
2
2

所以 y =-4x 或 x = y.


答案:y2=-4x 或 x2= y


抛物线的定义及标准方程
2
1.(2022·全国乙卷)设 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,点 A 在 C 上,点 B(3,0),若
B
|AF|=|BF|,则|AB|等于(
A.2
解析:法一

两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( A )
A．16 B．14 C．12 D．10
【解析】 由抛物线 y2＝4x 知 F(1,0)，故可设直线 l1 的方程 为 y＝k(x－1)，直线 l1 的方程与 y2＝4x 联立并消去 y，整理得 k2x2 －(2k2＋4)x＋k2＝0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝2＋k42，x1·x2 ＝kk22＝1，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋k42，同理 l2 的方程为 y＝－1k(x －1)，与 y2＝4x 联立可得|DE|＝4＋4k2.∴|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋k42＝ 8＋4(k2＋k12)≥8＋4×2＝16.当 k＝±1 时取等号．故选 A.
(1)已知椭圆y52＋x2＝1 与抛物线 x2＝ay 有相同的焦点 F，O 为原点， 点 P 是抛物线准线上一动点，点 A 在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|
的最小值为( A )
A．2 13 B．4 2 C．3 13 D．4 6 (2)(2019·保定模拟)设抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，点 M 在
1.应用抛物线定义的两个关键点,1由抛物线定义，把抛物线上点 到焦点距离与到准线距离相互转化.
2注意灵活运用抛物线上一点 Px0，y0到焦点 F 的距离|PF|＝|x0| ＋p2或|PF|＝|y0|＋p2.
2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点 位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有 一个参数 p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
定是抛物线．( × )
(2)抛物线 y2＝4x 的焦点到准线的距离是 4.( × )
(3) 若 一 抛 物 线 过 点 P( － 2,3) ， 其 标 准 方 程 可 写 为 y2 ＝

规律方法
【训练 1】(2014· 山东省实验中学诊断)已知点 P 是抛物线 y2 ＝4x 上的动点， 点 P 在 y 轴上的射影是 M， 点 A 的坐标是(4， a)， 则当|a|＞4 时，|PA|＋|PM|的最小值是________ 9＋a2－1．
解 将 x＝4 代入抛物线方程 y2＝4x，
|a|＞4， 所以 A 在抛物 得 y＝± 4， 线的外部， 如图， 由题意知 F(1,0) 则抛物线上点 P 到准线 l：x＝－1 的距离为|PN|， 由定义知，|PA|＋|PM| ＝|PA|＋|PN|－1 ＝|PA|＋|PF|－1. 当 A，P，F 三点共线时， |PA|＋|PF|取最小值， 此时|PA|＋|PM|也最小， 最小值为|AF|－1＝ 9＋a2－1.
1．对抛物线定义的认识
(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一 定是抛物线．( ) (2)抛物线 y2＝4x 的焦点到准线的距离是 4.( )
2．对抛物线的标准方程与几何性质的理解
(3)(2013· 北京卷改编)若抛物线 y＝ax2 的焦点坐标为(0,1)，则 a 1 ＝ ，准线方程为 y＝－1.( ) 4 (4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的 线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x2＝－2ay(a＞0)的通径长 为 2a.( )
2．抛物线的标准方程与几何性质
图形 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p 的几何意义： 焦点 F 到准线 l 的距离 顶点 O(0,0) 对称轴 x＝0 y＝0 p p p p 焦点 F2，0 F－2，0 F0，2 F0，－2 性质 离心率 e＝1 p p p p 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 2 2 2 2 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下

弦.p越大,通径越大,抛物线的开口就越大;p越小,通径越小,抛物线的开口就
越小.
常用结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,α为弦AB所在直线的倾斜角,若
A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则
2
(1)x1x2= 4 ,y1y2=-p2;
2
(2)弦长|AB|=x1+x2+p= 2 ;

所以 2 =3,2p=12,其方程为x2=-12y.
(3)(2024·北京丰台模拟)在水平地面竖直定向爆破时,在爆破点炸开的每块
碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分.这些碎片能达到的区域
的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分(如图中虚线所示),称该
条抛物线为安全抛物线.若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米,碎
有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.
(3)(2024·北京海淀模拟)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于点A,B,
线段AB的中点的横坐标为4,则AB的长为( A )
A.10
B.8
C.5
D.4
解析 设AB的中点为C,则点的横坐标xC=4.过A,B,C分别作准线x=-1的垂线,
C:x2+(y+3)2=1外切,则动圆圆心M的轨迹方程为( A )
A.x2=-12y
B.x2=12y
C.y2=12x
D.y2=-12x
解析 设动圆圆心为M(x,y),半径为r,由题意可得点M与点C(0,-3)的距离是
r+1,点M到直线y=2的距离是r,则点M到直线y=3的距离是r+1.由抛物线的

【解】
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第十章·第一节
将 x＝3 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 6.∵ 6>2，∴A 在 抛物线内部，如图． 1 设抛物线上点 P 到准线 l：x＝－ 2的距离为 d，由定义知|PA | 7 ＋|PF|＝ |PA |＋d，当 PA⊥l 时， |PA |＋d 最小，最小值为 ，即 |PA | 2 7 ＋|PF|的最小值为 2，此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2＝2x，得 x＝2， ∴点 P 的坐标为(2,2)．
答案：9
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第十章·第一节
知识点二 标准 方程
抛物线的标准方程与几何性质 y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
y2＝2px (p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
______ ______
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
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答案：(1)D (2)B
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第十章·第一节
热点三 直线与抛物线的位置关系 考向 1 焦点弦问题 【例 3】 已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为 2 2的直 线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程； → → → (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求 λ 的值．
准线于点 E，D，
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第十章·第一节
设|BF|＝a，则由已知得： |BC|＝2a， 由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30° ， 在直角三角形 ACE 中，因为|AF|＝3， |AC|＝3＋ 3a，又 2|AE| 1 2 ＝|AC|，所以 3＋3a＝6，从而得 a＝1，因为 BD∥FG，所以 ＝3， p 3 求得 p＝2，因此抛物线方程为 y2＝3x.

则 y1，y2 是方程(*)的两个实数根，所以 y1y2＝－p2. 因为 y21＝2px1，y22＝2px2，所以 y21y22＝4p2x1x2， 所以 x1x2＝y412py222＝4pp42＝p42. (2)|A1F|＋|B1F|＝x1＋1 p2＋x2＋1 p2 ＝x1x2＋p2x（1＋xx1＋2＋xp2）＋p42. 因为 x1x2＝p42，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式， 得|A1F|＋|B1F|＝p42＋p2（|A|ABB|－| p）＋p42＝2p(定值)．
最小值为|AF|－1＝ 9＋a2－1.
答案 (1)52 (2) 9＋a2－1
课堂总结
规律方法 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与 抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大 的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想 焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问 题的重要途径．
()
A．x2＝8 3 3y
B．x2＝163 3y
C．x2＝8y
D．x2＝16y
(2)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两 点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为 ________．
课堂总结
解析 (1)∵xa22－by22＝1 的离心率为 2，
∴ac＝2，即ac22＝a2＋a2 b2＝4，∴ba＝ 3.
课堂总结
考点三 抛物线焦点弦的性质 【例3】 设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线
交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且 BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O. 证明 法一 由题意可设直线 AB 的方程为 x＝my＋p2， 代入 y2＝2px，得 y2－2pmy－p2＝0. 由根与系数的关系，得 yAyB＝－p2，即 yB＝－ypA2. ∵BC∥x 轴，且 C 在准线 x＝－p2上，∴C－p2，yB. 则 kOC＝－yBp2＝2ypA＝xyAA＝kOA.∴直线 AC 经过原点 O.

第七节 抛物线
基础个条件的点的轨迹是抛物线 (1)在平面内．
(2)动点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离相__等__． (3)定点不__在__定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准 方程
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
(2)设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p>0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则①x1x2＝p42，y1y2＝－p2. ②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2α(α为弦 AB 的倾斜角)． ③以弦 AB 为直径的圆与准线相切． ④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于 2p，通径是过 焦点最短的弦．
可得 y2－2y＋2t＝0.
所以 y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故 y2＝－1，y1＝3.
代入
C
的方程得
x1＝3，x2＝13.故|AB|＝4
13. 3
►规律方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的 位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过 抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝ x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一 般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等 解法．
B． 13
C．2
3 3
D． 5
(2)如图，设 A(x0，y0)，
则|AF|＝2x0－p2， 又|AF|＝x0＋p2， ∴2x0－p2＝x0＋p2， ∴x0＝32p，y0＝ 23|AF|＝ 23·2p＝ 3p.
又 A32p，
3p在双曲线的一条渐近线上．

答案：C
5.(2021 年新高考Ⅱ)若抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点到
直线 y＝x＋1 的距离为 2，则 p＝( )
A.1
B.2
C.2 2
D.4
答案：B
考点一 抛物线的定义及应用 [例 1] (1)设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，F 是抛 物线 y2＝4x 的焦点，若 B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为 ________.
考点三 抛物线的几何性质
[例 2](1)过点 P(－2,0)的直线与抛物线 C：y2＝4x 相交
于 A，B 两点，且|PA|＝21|AB|，则点 A 到抛物线 C 的焦点
的距离为( )
5
7
9
A.3
B.5
C.7
D.2
解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点 A，B 作直 线 x＝－2 的垂线，垂足分别为点 D，E.∵|PA|＝21|AB|， ∴3|PA|＝|PB|，∴33yx1＝1＋y22，＝x2＋2，
当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)， 则p2＝4，所以 p＝8， 此时抛物线的标准方程为 y2＝16x.故所求抛物线的标 准方程为 x2＝－12y 或 y2＝16x. 答案：A
2.设抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，点 M 在 C 上， |MF|＝5，若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的标准方程 为( )
A.y2＝4x 或 y2＝8x B.y2＝2x 或 y2＝8x C.y2＝4x 或 y2＝16x D.y2＝2x 或 y2＝16x
解析：由题意知，F 2p，0，抛物线的准线方程为 x ＝－2p，则由抛物线的定义知，xM＝5－p2，设以 MF 为直径 的圆的圆心为52，y2M，所以圆的方程为x－252＋y－y2M2＝ 245，又因为圆过点(0,2)，所以 yM＝4，又因为点 M 在 C 上， 所以 16＝2p5－p2，解得 p＝2 或 p＝8，所以抛物线 C 的 标准方程为 y2＝4x 或 y2＝16x.故选 C.

图形
y2＝2px 标准方程 (p＞0)
y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
(p＞0)
(p>0)
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F__p2_，__0_ _ F__－__p2_，_0__ F_0_，__p2__ F_0_，__－__p2__
离心率
答案：B
2．以双曲线
x2 3
－y2＝1的左焦点为焦点，顶点在原点的抛
物线方程是
()
A．y2＝4x
B．y2＝－4x
C．y2＝－4 2x
D．y2＝－8x
解析：由题意知抛物线的焦点为(－2,0)，又顶点在原 点，所以抛物线的方程为y2＝－8x. 答案：D
3．已知抛物线y2＝4x，圆F：(x－1)2＋ y2＝1，过点F作直线l，自上而下顺 次与上述两曲线交于点A，B，C， D(如图所示)，则下列关于|AB|·|CD| 的值的说法中，正确的是 ( ) A．等于1 B．等于4 C．最小值是1 D．最大值是4
角度一：到焦点与定点距离之和最小问题
1．(2016·赣州模拟)若点 A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线 y2＝2x
的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小
值的 M 的坐标为
()
A．(0,0)
B．12，1
C．(1， 2)
D．(2,2)
解析：过 M 点作左准线的垂线，垂足是 N，则|MF|＋|MA|
考点二 抛物线定义及应用 常考常新型考点——多角探明 [命题分析]
与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和 最小等等．