2019版八年级数学下册第十六章二次根式16.3二次根式的加减第2课时教案新版新人教版
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人教版数学八年级下册16.3《二次根式的加减》说课稿一. 教材分析人教版数学八年级下册16.3《二次根式的加减》这一节,是在学生已经掌握了二次根式的性质和运算法则的基础上进行讲解的。
本节内容主要让学生学会如何进行二次根式的加减运算,进一步培养学生的运算能力和数学思维能力。
教材通过例题和练习题的形式,让学生在实际操作中掌握二次根式加减的计算方法,并能够灵活运用。
二. 学情分析在教学这一节之前,学生已经学习了二次根式的性质,包括根号下的数可以分为完全平方数和非完全平方数,以及二次根式的乘除运算。
但是,对于二次根式的加减运算,学生可能还存在一定的困难,特别是在处理含有同类项和非同类项的二次根式加减时,容易出错。
因此,在教学过程中,需要引导学生理清思路,明确二次根式加减的规则。
三. 说教学目标1.让学生掌握二次根式的加减运算法则,能够正确进行二次根式的加减运算。
2.培养学生的运算能力和数学思维能力,使学生在解决实际问题时,能够灵活运用二次根式的加减运算法则。
3.通过二次根式的加减运算,让学生体会数学的规律性和逻辑性,提高学生的数学素养。
四. 说教学重难点1.教学重点:让学生掌握二次根式的加减运算法则,能够正确进行二次根式的加减运算。
2.教学难点:如何引导学生理解并处理含有同类项和非同类项的二次根式加减问题。
五. 说教学方法与手段1.采用启发式教学法,引导学生通过观察、分析、归纳总结,发现二次根式加减的规律。
2.使用多媒体教学手段,通过动画、图片等形式,直观地展示二次根式的加减过程,帮助学生理解。
3.学生进行小组讨论和合作交流,让学生在讨论中解决问题,提高学生的团队协作能力。
六. 说教学过程1.导入:通过一个实际问题,引出二次根式的加减运算,激发学生的学习兴趣。
2.新课讲解:讲解二次根式的加减运算法则,并通过例题演示如何进行二次根式的加减运算。
3.学生练习:让学生独立完成一些二次根式的加减运算题目,巩固所学知识。
第十六章 二次根式16.1 二次根式第1课时 二次根式的概念1.理解二次根式的概念.2.≥0)的意义解答具体题目.自学指导:阅读教材第2页至3页,完成下列的问题.知识探究平方根的性质:正数有2个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.思考:用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:(1)面积为S 的正方形的边长为__________;(2)要修建一个面积为6.28 m 2的圆形喷水池,它的半径约为__________m ;(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时的高度h(单位:m)满足关系h=5t 2如果用含有h 的式子表示t ,则t=__________...开平方时,被开方数a 的取值范围是a ≥0(为什么?)自学反馈(1)下列式子,哪些是二次根式?哪些不是二次根式?1x 、、1x y +≥0,y ≥0).判断二次根式的依据是一个形式一个条件,二者缺一不可.(2)当a 是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?a≥1a≥-3 2a≤3a≥0a≤0任意实数a>3任意实数任意实数二次根式中求字母的取值范围的依据是:被开方数大于等于零.活动1 小组讨论例1 当x?解:x≥2.例2当x11x+在实数范围内有意义?解:x≥-32且x≠-1.有二次根式的要考虑二次根式的被开方数大于等于零,有分母的要考虑分母不为零.例3已知,求xy的值.解:2 5 .当被开方数互为相反数时被开方数只能为零.活动2 跟踪训练1.要画一个面积为18的长方形,使它的长宽之比为3∶2,它的长宽应取多长?解:长:2.用代数式表示:(1)面积为S的圆的半径.(2)面积为S且两条邻边的比为2∶3的长方形的长和宽.解:(2)3.教材第3页上框练习.活动3 课堂小结1.二次根式的概念.2.二次根式的判断方法.3.怎样求二次根式的被开方数中字母的取值范围.第2课时 二次根式的性质1.≥0)是一个非负数.2.理解二次根式的两个性质)2=a(a ≥0)≥0).3.会运用上述两个性质进行有关计算和化简.自学指导:阅读教材第3页至4页,完成下列的问题.知识探究(—)当a>0a ;当a=00概括:≥0)是一个非负数.知识探究(二)根据算术平方根的意义填空:)2=4;)2=2;2=13;)2=0.概括:一般地:2=a (a ≥0)知识探究(三)=2;=0.01;23=0.=a (a ≥0)二次根式的三个性质:≥0)是一个非负数;)2=a(a ≥0);≥0).自学反馈1.计算:2 )2 2 )2 解:(1)32;(2)45;(3)56;(4)74. 2.化简:解:(1)3;(2)4;(3)5;(4)3.3.代数式的概念:用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、开方等)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式.活动1 小组讨论例1 计算:(1) 2 (2)2解:(1)1.5;(2)20.例2 化简:( 2 (2解:(1)16;(2)5.一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.一个负数的平方的算术平方根等于这个负数的相反数.例3 =0,求a2013+b2013的值.解:≥00,∴a=-1,b=1.∴a2013+b2013=0.二次根式本身具有非负性.活动2 跟踪训练1.计算:2)2解:(1)3;(2)18.2.说出下列各式的值:解:(1)0.3;(2)17;(3)-π;(4)-10.3.计算:22解:(1)5;(2)0.2;(3)0.6;(4)2 3 .4.教材第4页下框练习.活动3 课堂小结二次根式的性质:≥0)是一个非负数.2=a(a≥0)=a(a≥0)16.2 二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法1.≥0,b≥0)并运用它进行计算.2.(a≥0,b≥0)并运用它进行解题和化简.自学指导:阅读教材第6页至7页,并完成预习内容.知识探究请同学们完成填空:=6,=6;=20,=20;=60,=60.参考上面的结果,用“>、<或=”填空.归纳:(a≥0,b≥0)反过来(a≥0,b≥0)自学反馈1.计算:解:.2.化简:解:(1)12;;(3)3|xy|;.活动1 小组讨论例1计算:×解:例2 化简:解:(2)36;;.(1)开方后可以移到根号外的因数或因式叫开得尽方的因数或因式.例3 计算:解:;;14写成7×2,同样(2)中写成10=5×2,方便开方.例4判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正:=4.解:(1)不正确.(2)不正确..带分数的整数部分和分数部分是相加的关系,而不是相乘的关系.活动2 跟踪训练1.计算:解:(2)6;2.化简:解:(1)77;(2)15;3.和cm,则这个长方形的面积为4.教材第7页下框练习.活动3 课堂小结掌握二次根式的乘法规定和积的算术平方根的性质:≥0,b≥0)(a≥0,b≥0)及应用.第2课时 二次根式的除法1.≥0,b>0)(a ≥0,b>0)及利用它们进行计算和化简. 2.利用具体数据,通过学生练习活动,发现规律,归纳出除法规定,并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.自学指导:阅读教材第8页至10页,并完成预习内容.知识探究请同学们完成填空:对二次根式的除法规定:两个二次根式相除,根指数不变,被开放数相除.自学反馈1.计算:解:(1)2;(2)2.下面利用这个规律来计算和化简一些题目.2.化简:解:(1)8;(2)83b a ;.活动1 小组讨论例1 计算:解:;(1)除了用除法公式外,还可进行分母有理化.例2 化简:解:. 例3 计算:(可以用两种方法计算)解:(1)5;(2)3(3)a.观察上面各小题的最后结果,比如等,这些二次根式有哪些特点: (1)被开方数的因数是整数,因式是整式;(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.满足以上两点的二次根式,就叫做最简二次根式.在二次根式的运算中,一般要把最后结果化为最简,且结果的分母中不含二次根式.活动2 跟踪训练1.化简:解:(1)2;. 2.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2.5cm ,BC=6cm ,求AB 的长.解:6.5cm.3.教材第10页的中框练习.活动3 课堂小结1.二次根式的除法规定.2.逆用法则.3.最简二次根式的概念.16.3 二次根式的加减第1课时二次根式的加减1.使学生知道怎样将根式化为最简二次根式.2.使学生通过合并被开方数相同的二次根式,会进行二次根式的加法与减法运算.自学指导:阅读教材第12页至13页的部分,完成以下问题.知识探究1.合并同类项:(1)2x+3x (2)2x2-3x2+5x2解:(1)5x;(2)4x2.这几道题你是运用什么知识做的?加减法则2.化简:(1(2(3解:(1;(2)(3)3.如何进行二次根式的加减计算?先化简,再合并.自学反馈计算:解:;;;活动1 小组讨论例1 计算:解:;.比较二次根式的加减与整式的加减,你能得出什么结论?例2计算:解:进行二次根式的加减运算时,必须先将其化简,是被开方数相同的二次根式才可合并. 活动2 跟踪训练1.下列计算是否正确?为什么?解:(1)不正确.此式结果为.(2)不正确.此式结果为5.(3)正确.2.计算:(6)a解:;;;(6)17a(7)0;. 3.教材第13页下框练习.计算结果中的二次根式必须是最简二次根式.活动3 课堂小结怎样进行二次根式的加减计算.第2课时 二次根式的混合运算1.含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.2.复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算.自学指导:阅读教材第14页的部分,完成以下问题.知识探究1.计算:(1)(2x+y)·zx (2)(2x 2y+3xy 2)÷xy解:(1)2x 2z+xyz ;(2)2x+3y.2.计算:(1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(2x+1)2+(2x-1)2解:(1)4x 2-9y 2;(2)8x 2+2.思考:如果把上面的x 、y 、z 改写成二次根式呢?以上的运算规律是否仍成立呢?仍成立.整式运算中的x 、y 、z 是一种字母,它的意义十分广泛,可以代表所有一切,当然也可以代表二次根式,所以整式中的运算规律也适用于二次根式.3.计算:))·) 2解:(1)43;(3)-6;在二次根式的运算中,多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.活动1 小组讨论例1 计算:)÷解:;(2)2-32例2 计算:-5) )解:;(2)2.活动2 跟踪训练1.计算:)2)2解:+;;(4)a-b;(5)9;(6)4;在进行二次根式加减混合运算时能用乘法公式的,运用公式会使计算简便.2.已知+1,,求下列各式的值:(1)x2+2xy+y2(2)x2-y2解:(1)12;这类计算的简便方法是先变形,再代入求值.3.教材第14页下框练习.活动3 课堂小结1.如何计算二次根式加减混合运算.2.计算结果中的二次根式必须是最简二次根式.。
第十六章二次根式教材简析本章的内容主要包括:二次根式的概念和性质、二次根式的乘除、二次根式的加减.在中考中,本章重在考查二次根式的概念和性质以及运用二次根式的运算法则进行化简、求值.教学指导【本章重点】二次根式的性质和运算.【本章难点】灵活运用二次根式的性质及运算法则进行相关的化简与实数的简单运算.【本章思想方法】1.掌握类比思想.如:类比算术平方根的概念理解二次根式的性质,类比整式的运算法则理解二次根式的运算法则.2.掌握分类讨论思想.如:在进行二次根式的化简时,当被开方数中有字母且没有给出字母的取值范围时,应考虑对字母的取值进行分类讨论.3.体会整体思想.如:在求含有二次根式的代数式的值时,有时从整体角度考虑,将已知条件和待求值的式子进行变形后整体代入求值.课时计划16.1二次根式2课时16.2二次根式的乘除2课时16.3二次根式的加减2课时16.1二次根式第1课时二次根式的概念教学目标一、基本目标【知识与技能】理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围.【过程与方法】经历观察、比较、总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.【情感态度与价值观】经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用意识.二、重难点目标【教学重点】二次根式的概念,二次根式有意义的条件.【教学难点】求二次根式中字母的取值范围.教学过程环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P2~P3的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.一个正数有两个平方根;0的平方根为0;在实数范围内,负数没有平方根.因此,在实数范围内开平方时,被开方数只能是正数或0.2.一般地,我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.3.下列式子中,不是二次根式的是(B)A.45B.-3C.a2+3D.2 3环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】下列各式中,哪些是二次根式,哪些不是二次根式?11,-5,(-7)2,313,15-16,3-x(x≤3),-x(x≥0),(a-1)2,-x2-5,(a-b)2(ab≥0).【互动探索】(引发学生思考)要判断一个根式是不是二次根式,一是看根指数是不是2,二是看被开方数是不是非负数.【解答】因为11,(-7)2,15-16=130,3-x(x≤3),(a-1)2,(a-b)2(ab≥0)中的根指数都是2,且被开方数均为非负数,所以都是二次根式.313的根指数不是2,-5,-x(x≥0),-x2-5的被开方数都小于0,所以不是二次根式.【互动总结】(学生总结,老师点评)判断一个式子是不是二次根式,要看所给的式子是否具备以下条件:(1)带二次根号;(2)被开方数是非负数.【例2】当x________,x+3+1x+1在实数范围内有意义.【互动探索】(引发学生思考)二次根式有意义要满足什么条件?本题是否还要考虑其他条件?【分析】要使x+3+1x+1在实数范围内有意义,必须同时满足被开方数x+3≥0和分母x+1≠0,解得x≥-3且x≠-1.【答案】≥-3且x≠-1【互动总结】(学生总结,老师点评)使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况:一是分母不为零,二是偶次方根的被开方数为非负数,三是零次幂的底数不为零.活动2巩固练习(学生独学)1.下列式子中,是二次根式的是(A)A.-7B.3 7C.x D.x 2.使式子-(x-5)2有意义的未知数x有(B) A.0 个B.1 个C.2 个D.无数个3.当x是多少时,2x+3x+x2在实数范围内有意义?解:依题意,得⎩⎪⎨⎪⎧2x +3≥0,x ≠0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥-32,x ≠0.∴当x ≥-32且x ≠0时,2x +33+x 2在实数范围内没有意义.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】若实数x 、y 满足y >x -2+6-3x +3,求|y -3|-(x -y )2的值.【互动探索】要求|y -3|-(x -y )2的值,需确定出x 、y 的取值范围.根据式子y >x -2+6-3x +3,可以确定出x 、y 的取值范围.【解答】由题意,得x -2≥0且6-3x ≥0, 解得x =2,则y >3.故|y -3|-(x -y )2=y -3-y +2=2-3=-1.【互动总结】(学生总结,老师点评)利用二次根式有意义的条件求出x 的值,从而确定y 的取值范围,然后利用二次根式的性质化简代数式.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)二次根式⎩⎪⎨⎪⎧概念有意义的条件——被开方数是非负数练习设计请完成本课时对应训练!第2课时 二次根式的性质教学目标一、基本目标 【知识与技能】理解a (a ≥0)是一个非负数、(a )2=a (a ≥0)和a 2=a (a ≥0),并利用它们进行计算和化简;了解代数式的概念.【过程与方法】在明确(a )2=a (a ≥0)和a 2=a (a ≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性;通过小组合作交流,培养学生的合作意识.【情感态度与价值观】通过二次根式的相关计算,进而解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力. 二、重难点目标 【教学重点】 二次根式的性质. 【教学难点】运用二次根式的性质进行有关计算.教学过程环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P3~P4的内容,完成下面练习. 【3 min 反馈】1.(1)当a >0时,a 表示a ;(2)当a =0时,a 表示0概括:一般地,a (a ≥0)是一个非负数.2.教材P3“探究”,根据算术平方根的意义填空: (1)(4)2=4; (2)2=2;⎝⎛⎭⎫132=13; (0)2=0. (2)一般地,(a )2=a (a ≥0). 3.教材P4“探究”,填空: (1)22=2;0.012=0.01; ⎝⎛⎭⎫232=23; 02=0.(2)一般地,a 2=a (a ≥0).教师点拨:二次根式的三个性质:(1)a (a ≥0)是一个非负数;(2)(a )2=a (a ≥0);(3)a 2=a (a ≥0).4.用基本运算符号把数或表示数的字母连结起来的式子,我们称这样的式子为代数式. 5.计算:0.019 6×22 500=21;549=73. 环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算:(1)( 1.5)2; (2)(25)2; (3)16; (4)(-5)2.【互动探索】(引发学生思考)一个非负数的算术平方根的平方等于什么?当二次根式的被开方数是一个完全平方数,开方时有什么规则?【解答】(1)()1.52 =1.5. (2)(25)2=22×(5)2=4×5=20. (3)16=(42)=4. (4)()-52=52=5.【互动总结】(学生总结,老师点评)一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.当二次根式的被开方数是一个完全平方数时,a 2=||a =⎩⎨⎧a ()a ≥0;-a()a <0.【例2】化简下列二次根式. (1)8a 3b (a ≥0,b ≥0); (2)(-36)×169×(-9).【互动探索】(引发学生思考)根据开方的定义化简.注意:二次根式的结果是最简二次根式.【解答】(1)8a 3b =22·a 2·2ab =(2a )2·2ab =2a 2ab . (2)(-36)×169×(-9)=36×169×9=6×13×3=234.【互动总结】(学生总结,老师点评)(1)若被开方数中含有负因数,则应先化成正因数;(2)将二次根式尽量化简,使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(式),即化为最简二次根式.活动2 巩固练习(学生独学) 1.下列各式正确的是( D ) A .(-4)×(-9)=-4×-9 B .16+94=16×94C .449=4×49D .4×9=4×92.计算:(1)(9)2; (2)-(3)2; (3)64; (4)a 2+2a +1. 解:(1)9. (2)-3. (3)8. (4)a 2+2a +1=()a +12=||a +1.当a ≥-1时,原式=a +1;当a <-1时,原式=-a-1.3.已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简:(a +1)2+2(b -1)2-|a -b |.解:从数轴上a 、b 的位置关系,可知-2<a <-1,1<b <2,且b >a ,故a +1<0,b -1>0,a -b <0,原式=|a +1|+2|b -1|-|a -b |=-(a +1)+2(b -1)+(a -b )=b -3.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长,化简(a +b +c )2-(b +c -a )2+(c -b -a )2. 【互动探索】根据三角形的三边关系,得出b +c >a ,b +a >c .根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子,然后去绝对值符号合并即可.【解答】∵a 、b 、c 是△ABC 的三边长,∴b +c >a ,b +a >c ,∴原式=|a +b +c |-|b +c -a |+|c -b -a |=a +b +c -(b +c -a )+(b +a -c )=a +b +c -b -c +a +b +a -c =3a +b -c .【互动总结】(学生总结,老师点评)解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系,进行变换后,结合二次根式的性质进行化简.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)二次根式的性质⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0(a ≥0)(a )2=a (a ≥0)a 2=|a |=⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)a (a <0)练习设计请完成本课时对应训练!16.2二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法教学目标一、基本目标【知识与技能】理解a·b=ab(a≥0,b≥0),ab=a·b(a≥0,b≥0),并利用它们进行计算和化简.【过程与方法】经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖、相互补充的关系;培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.【情感态度与价值观】鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.二、重难点目标【教学重点】二次根式的乘法运算法则.【教学难点】运用二次根式的乘法运算法则进行简单的运算.教学过程环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P6~P7的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.教材P6“探究”,计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?(1)4×9=6,4×9=6;(2)16×25=20,16×25=20;(3)25×36=30,25×36=30.a≥0,b≥0.规律:一般地,二次根式的乘法法则是a·b=ab()2.把a·b=ab反过来,就得到ab=a·b,利用它可以进行二次根式的化简.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算:(1)3×5; (2)13×27; (3)9×27; (4)12× 6. 【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的乘法运算法则进行计算. 【解答】(1)3×5=15. (2)13×27=13×27=9=3. (3)9×27=9×27=92×3=9 3. (4)12×6=12×6= 3. 【互动总结】(学生总结,老师点评)利用二次根式的乘法运算法则进行计算时,注意被开方数必须是非负数.【例2】化简:(1)9×16; (2)16×81; (3)81×100; (4)4a 2b 3; (5)54.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时,需要注意什么?【解答】(1)9×16=9×16=3×4=12. (2)16×81=16×81=4×9=36. (3)81×100=81×100=9×10=90. (4)4a 2b 3=4·a 2·b 3=2·a ·b 2·b =2ab b . (5)54=9×6=32×6=3 6.【互动总结】(学生总结,老师点评)积的算术平方根是二次根式乘法法则的逆用,注意被开方数必须是非负数.活动2 巩固练习(学生独学)1.等式x +1·x -1=x 2-1成立的条件是( A ) A .x ≥1 B .x ≥-1 C .-1≤x ≤1 D .x ≥1或x ≤-12.计算: (1)12×3; (2)23×315; (3)23×3512×5936. 解:(1)6. (2)310. (3)18.3.判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正: (1)(-4)×(-9)=-4×-9; (2)41225×25=4×1225×25=4×1225×25=412=8 3. 解:(1)不正确.改正:(-4)×(-9)=4×9=36=6. (2)不正确. 改正:41225×25=11225×25=11225×25=112=47. 活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】比较大小:(1)35与53; (2)-413与-511.【互动探索】由于根号外的因数不为1,可以将根号外的因数移到根号内,再比较被开方数的大小.【解答】(1)35=9×5=45, 53=25×3=75. 因为45<75,所以35<5 3. (2)-413=-16×13=-208, -511=-25×11=-275.因为208<275,所以-208>-275,所以-413>-511.【互动总结】(学生总结,老师点评)要比较两个二次根式的大小,可以先运用二次根式的乘法运算法则,将根号外的数移到根号内,再比较被开方数的大小.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)练习设计请完成本课时对应训练!第2课时二次根式的除法教学目标一、基本目标【知识与技能】1.理解ab=ab(a≥0,b>0)和ab=ab(a≥0,b>0)及利用它们进行运算;2.理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.【过程与方法】通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念,并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求.【情感态度与价值观】在经历二次根式除法运算法则的过程中,获得成就感,建立学习数学的信心和兴趣.二、重难点目标【教学重点】最简二次根式的概念,二次根式的除法运算法则.【教学难点】二次根式商的算术平方根的运用.教学过程环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P8~P10的内容,完成下面练习.【3 min反馈】(一)二次根式的除法1.教材P8“探究”,计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?(1)49=23,49=23;(2)1625=45,1625=45;(3)3649=67,3649=67.规律:一般地,二次根式的除法法则是ab=ab()a≥0,b>0.2.把ab=ab反过来,就得到ab=ab()a≥0,b>0,利用它可以进行二次根式的化简.(二)最简二次根式1.观察教材P8~P9例4、例5、例6中各小题的最后结果,比如22,310,2aa等,可以发现这些式子有如下两个特点:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.2.在二次根式的运算中,一般要把最后结果化为最简二次根式,并且分母中不含二次根式.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算:(1)123;(2)32÷18;(3)14÷116;(4)648.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则进行计算.【解答】(1)原式=123=4=2 .(2)原式=32÷18=32×8=3×4=2 3.(3)原式=14÷116=14×16=4=2.(4)原式=648=8=2 2.【互动总结】(学生总结,老师点评)利用二次根式的除法运算法则进行计算时,注意被开方数必须是非负数,结果必须是最简二次根式.【例2】化简:(1)364;(2)64b29a2;(3)35;(4)22-1.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简.【解答】(1)原式=364=38.(2)原式=64b29a2=8b3a.(3)原式=35=3×55×5=155.(4)原式=2×()2+1()2-1()2+1=2+22-1=2+ 2. 【互动总结】(学生总结,老师点评)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简时,注意将结果化为最简二次根式.活动2 巩固练习(学生独学) 1.计算113÷213÷125的结果是( A ) A .27 5B .27C . 2D .272.如果xy(y >0)是二次根式,那么化为最简二次根式是( C ) A .xy(y >0) B .xy (y >0) C .xyy(y >0) D .以上都不对3.化简: (1)483; (2)0.7; (3)23-1; (4)6-56+5. 解:(1)4. (2)7010. (3)3+1. (4)11-230. 活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】已知9-x x -6=9-xx -6,且x 为偶数,求(1+x )x 2-5x +4x 2-1的值.【互动探索】等式形式符合商的算术平方根公式→确定x 的取值范围→化简所求式子【解答】由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧ 9-x ≥0,x -6>0,即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤9,x >6,∴6<x ≤9.∵x 为偶数,∴x =8, ∴原式=(1+x )(x -4)(x -1)(x +1)(x -1)=(1+x )x -4x +1=(1+x )x -4(x +1)=(1+x )(x -4). ∴当x =8时,原式=4×9=6.【互动总结】(学生总结,老师点评)根据商的算术平方根的性质化简时,分子中被开方数是非负数,分母中被开方数是正数.环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)练习设计请完成本课时对应训练!16.3二次根式的加减第1课时二次根式的加减教学目标一、基本目标【知识与技能】通过合并被开方数相同的二次根式,会进行二次根式的加法与减法运算.【过程与方法】在分析问题的过程中,渗透对二次根式加减法的理解,再总结经验,用它来指导二次根式的计算和化简.【情感态度与价值观】鼓励学生积极参与数学活动,体会合作学习的先进性.二、重难点目标【教学重点】会将二次根式化为最简二次根式,掌握二次根式加减法的运算.【教学难点】运用二次根式的加减运算解决问题.教学过程环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P12~P13的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.一般地,二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.2.计算下列各式.(1)22+32;(2)28-38+58;(3)7+27+9×7;(4)33-23+ 2.解:(1)原式=(2+3)2=5 2.(2)原式=(2-3+5)8=48=8 2.(3)原式=7+27+37=(1+2+3)7=67.(4) 原式=(3-2)3+2=3+ 2.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算: (1)27+13+12; (2)32+48-8+3; (3)3⎝⎛⎭⎫22-63+ 1.5-223;(4)()6-222+()23-1()23+1.【互动探索】(引发学生思考)运用二次根式的加减法法则及乘法公式进行计算,在计算时要注意哪些问题?【解答】(1)27+13+12=33+33+23=1633. (2)32+48-8+3=32+43-22+3=2+5 3. (3)3⎝⎛⎭⎫22-63+ 1.5-223=26-2+62-223=326-53 2.(4)()6-222+()23-1()23+1=6-412+8+()12-1=25-8 3.【互动总结】(学生总结,老师点评)计算二次根式的加减法时,先把二次根式化为最简二次根式,再合并同类二次根式.计算二次根式的混合运算时,注意运算顺序.【例2】已知a -5-2+b -5+2=0,求a 2+b 2+7的值.【互动探索】(引发学生思考)根据算术平方根的非负性,可得a =5+2,b = 5-2,然后再代入求值即可.【解答】由题意,得a -5-2=0,b -5+2=0,解得a =5+2,b =5-2,a 2+b 2+7=5+4+45+5+4-45+7=5.【互动总结】(学生总结,老师点评)此题主要考查了二次根式的加减,关键是掌握算术平方根具有非负性.活动2 巩固练习(学生独学) 1.计算32-2的值是( D ) A .2 B .3 C . 2D .2 22.若最简二次根式3a -8与17-2a 可以合并,则a =5. 3.计算: (1)348-913+312; (2)(48+20)+(12-5). 解:(1)=15 3. (2)63+ 5. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知4x 2+y 2-4x -6y +10=0,求23x 9x +y 2x y 3-x 21x -5x yx的值. 【互动探索】先将已知等式进行变形,把它配成完全平方式,得(2x -1)2+(y -3)2=0,即可求出x 、y 的值.再根据二次根式的加减运算,先把各项化成最简二次根式,再合并同类二次根式,最后代入求值.【解答】∵4x 2+y 2-4x -6y +10=4x 2-4x +1+y 2-6y +9=(2x -1)2+(y -3)2=0,∴x =12,y =3. 原式=23x 9x +y 2x y3-x 21x+5x y x=2x x +xy -x x +5xy =x x +6xy . 当x =12,y =3时,原式=12×12+632=24+3 6. 【互动总结】(学生总结,老师点评)化简求值时一般是先化简为最简二次根式,再代入求值.化简时不能跨度太大,缺少必要的步骤易造成错解.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)二次根式的加减法则:二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.练习设计请完成本课时对应训练!第2课时 二次根式的混合运算教学目标一、基本目标 【知识与技能】掌握含有二次根式的混合运算和含有二次根式的乘法公式的应用. 【过程与方法】复习整式运算知识并将该知识应用于含有二次根式的混合运算. 【情感态度与价值观】理解知识间的类比,进一步体会数学学习方法的重要性. 二、重难点目标 【教学重点】熟练地进行二次根式的混合运算,进一步提高运算能力. 【教学难点】正确地运用二次根式混合运算法则及运算律进行运算,并把结果化简.教学过程环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P14的内容,完成下面练习. 【3 min 反馈】1.二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样,即先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的.2.在二次根式的运算中,多项式乘法法则和乘法公式仍然适用. 3.计算: (1)13×27; (2)35; (3)80-45; (4)(25-2)2. 解:(1)3. (2)155. (3) 5. (4)22-410. 环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算: (1)12223×9145÷35; (2)⎝⎛⎭⎫312-213+48÷23+⎝⎛⎭⎫132;(3)2-(3+2)÷3.【互动探索】(引发学生思考)如何进行二次根式的混合运算? 【解答】(1)原式=12×9×83×145×53=12×9×229= 2. (2)原式=⎝⎛⎭⎫63-233+43÷23+13=2833×123+13=143+13=5. (3)原式=2-3+23=2-1-233.【互动总结】(学生总结,老师点评)二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样,即先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的.【例2】计算:(1)(2+3-6)(2-3+6); (2)(2-1)2+22(3-2)(3+2); (3)⎝⎛⎭⎫6-1332-3424×(-26).【互动探索】(引发学生思考)(1)利用平方差公式进行计算即可;(2)先利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可;(3)利用乘法分配律进行计算即可.【解答】(1)原式=[2+(3-6)][2-(3-6)]=(2)2-(3-6)2=2-(9-218)=2-9+62=-7+6 2.(2)原式=2-22+1+22×(3-2)=2-22+1+22=3. (3)原式=⎝⎛⎭⎫6-66-326×(-26)=-236×(-26)=8. 【互动总结】(学生总结,老师点评)利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式;在二次根式的混合运算中,整式乘法的运算律同样适用.活动2 巩固练习(学生独学) 1.下列计算:①(2)2=2;② (-2)2=2;③(-23)2=12;④(2+3)( 2-3)=-1.其中正确的有( D )A .1个B .2个C .3个D .4个2.如果(2+2)2=a +b 2(a ,b 为有理数),则a = 6,b = 4. 3.计算: (1)(6+8)×3; (2)(46-32)÷22; (3)(5+6)(3-5); (4)(10+7)(10-7).解:(1)32+2 6.(2)23-32.(3)13-3 5.(4)3.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】先化简,再求值:1x+y+1y+yx x+y,其中x=5+12,y=5-12.【互动探索】化简式子→代入x、y的值进行计算【解答】1x+y+1y+yx(x+y)=xyxy(x+y)+x(x+y)xy(x+y)+y2xy(x+y)=xy+x(x+y)+y2xy(x+y)=(x+y)2xy(x+y)=x+y xy.当x=5+12,y=5-12时,x+y=5,xy=1,所以原式= 5.【互动总结】(学生总结,老师点评)求代数式的值,如果直接代入计算比较繁琐,可以根据式子特点,整体代入进行计算.环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)二次根式的混合运算同整式的混合运算顺序相同,乘法公式和乘法法则同样适用.练习设计请完成本课时对应训练!。
数学教案-二次根式的加减法(第二课时)教学目标•理解二次根式的定义和性质;•掌握二次根式的加减法的基本方法;•运用二次根式的加减法解决实际问题。
教学内容1.二次根式的回顾2.二次根式的加法3.二次根式的减法4.实际问题解决教学步骤步骤一:二次根式的回顾•复习学生上节课的内容,回顾二次根式的定义和性质。
•提醒学生在计算二次根式时要注意化简和合并同类项的方法。
步骤二:二次根式的加法1.引导学生分析二次根式的加法规律。
2.通过示例,教授二次根式的加法运算方法。
–先合并同类项,然后进行化简;–若根号内有相同的项,则合并相同项。
3.再通过基础练习巩固学生对二次根式的加法的掌握程度。
–提醒学生在计算时要注意合并同类项和化简。
步骤三:二次根式的减法1.引导学生分析二次根式的减法规律。
2.通过示例,教授二次根式的减法运算方法。
–先合并同类项,然后进行化简;–若根号内有相同的项,则合并相同项。
3.再通过基础练习巩固学生对二次根式的减法的掌握程度。
–提醒学生在计算时要注意合并同类项和化简。
步骤四:实际问题解决1.提供一个实际问题,要求学生运用二次根式的加减法解决问题。
–问题示例:某户外广告牌的底座一边的长度是√5 米,另一边是√7 米,求广告牌底座的周长。
2.引导学生分析并解决实际问题。
–通过合并同类项求出底座的周长。
教学要点•二次根式的加法和减法的基本方法;•注意合并同类项和化简的步骤;•运用二次根式的加减法解决实际问题。
教学拓展1.深入讨论二次根式的加减法在实际问题中的应用。
–提供更复杂的问题,要求学生进行分析和解决。
2.引导学生通过练习进一步巩固二次根式的加减法的运算技巧。
总结•通过本节课的学习,学生理解了二次根式的加减法的基本方法,并能够灵活运用于实际问题。
•学生要注意合并同类项和化简的步骤,且在运用二次根式的加减法解决问题时,要善于进行问题分析和解决。
注意:以上教学内容及步骤为一种设置方式,仅供参考。
实际教学中,可以根据学生的实际情况和教学需要进行灵活调整。
16.3二次根式的加减
第2课时
【教学目标】
知识与技能:
1.会进行二次根式的混合运算.
2.会解含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.
过程与方法:
经历探索二次根式的混合运算方法步骤的过程,进一步培养学生的计算能力.
情感态度与价值观:
通过对二次根式的混合运算的探索,让学生体会探索学习的乐趣,从而培养学生解决问题的能力.
【重点难点】
重点:会进行二次根式的混合运算.
难点:会进行二次根式的混合运算.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课:
复习引入:
请同学们完成下列各题:
1.计算:(1)(2x+y)·zx;(2)(2x2y+3xy2)÷xy;
2.计算:(1)(2x+3y)(2x-3y);(2)(2x+1)2+(2x-1)2
教师点评:这些内容是整式运算的再现.主要有(1)单项式×单项式;(2)单项式×多项式;(3)多项式÷单项式;(4)完全平方公式;(5)平方差公式的运用.
提出问题:
如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢?以上的运算规律是否仍成立呢?
解:仍成立.
整式运算中的x、y、z是一种字母,它的意义十分广泛,可以代表所有一切,当然也可以代表二次根式,所以,整式中的运算规律也适用于二次根式.
这节课我们继续学习二次根式的加减.
二、探究归纳
活动1:二次根式的混合运算
1.填空:
(1)(+)×=×+×
=3+6………………依据______
=9.
(2)(+3)(-5)=()2-5+3-15
………………依据________法则
=-2-13.
(3)(+)(-)=()2-()2
………………依据______
=2-3=-1.
(4)(-2)2=()2-2××2+(2)2
………………依据______
=6-12+12=18-12.
答案:(1)乘法分配律(2)多项式乘法(3)平方差公式(4)完全平方公式2.思考:根据(1)(2)(3)(4)的填空,你能得到什么结论?
答案:多项式的乘法法则、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适用.
3.归纳:在二次根式的混合运算中,多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用.活动2:例题讲解:
【例1】计算:(1)(4+3)2;
(2)(2+3)(2-3);
(3)(2+)(2-)-(1+)2.
解:(1)(4+3)2=42+2×4×3+(3)2
=16+24+45=61+24.
(2)(2+3)(2-3)
=(2)2-(3)2=12-18=-6.
(3)(2+)(2-)-(1+)2
=22-()2-(1+2+2)
=4-3-1-2-2=-2-2.
总结:根据题目特点灵活应用运算律、乘法法则和乘法公式进行计算、化简.
【例2】计算:(-)÷+(1-)2
解:(-)÷+(1-)2
=÷-÷+1-2+3
=-2+1-2+3=2-.
点拨:二次根式的混合运算的方法:二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的.
三、交流反思
这节课我们学习了二次根式的混合运算,整式的乘法法则、乘法公式和运算律在二次根式运算中同样适用,二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的.
四、检测反馈
1.计算:(-)(+)的结果是()
A.2
B.-2
C.2
D.-2
2.下列各式正确的是()
A.(+)=×=7
B.(+)(-)=5-
C.(-)(+)=3-2=1
D.(-)2=5-3=2
3.若x=-,y=+,则xy的值为()
A.2
B.2
C.a+b
D.a-b
4.计算:(9-5)÷2=________.
5.计算:(+1)(-1)=________;(+1)2=________.
6.已知a=3+2,b=3-2,则ab2-a2b=________.
7.计算:(1)·;
(2)(2-)(+);
(3)(3+2)2;
(4)(-)(--);
(5)(+)(-)×-()-1.
五、布置作业
教科书第15页习题16.3第4,6,8题.
六、板书设计
七、教学反思
1.整式的乘法法则及乘法公式在二次根式运算中的应用,可通过对复习引入中的分析,归纳总结二次根式仍然满足整式的运算规律,所以直接可用整式的运算规律.二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立.
教师出示例题和练习题目,引导学生类比多项式的乘法法则和乘法公式进行计算.体会整式的乘法法则及公式和二次根式运算的联系.教师强调最后结果要化成最简二次根式.
2.关于二次根式的混合运算,要引导学生在复习巩固整式运算的基础上,采用类比的方法讲授二次根式的混合运算,强调整式运算的分配律、多项式的乘法法则和乘法公式在二次根式混合运算中同样适用,注意运算顺序,多练习掌握二次根式的混合运算的方法.。