函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳

函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳

一 定义

引言

设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正数N ，使得当N n >时，对一切D x ∈，都有

()()ε<-x f x f n 则称函数列{}n f 在上一致收敛于()x f ，记作

()()x f x f n

→→

()∞→n ，D x ∈

设()x u n 是定义在数集E 上的一个函数列，表达式

()()(),21 ++++x u x u x u n E x ∈ )

1(称为定义在E 上的函数项级数,简记为()x u n n ∑∞

=1

或()x u n ∑；称

()()x u x S n

k k n ∑==1

, E x ∈, ,2,1=n )2(

为函数项级数)1(的部分和函数列．

设数集D 为函数项级数∑∞

=1

)(n n x u 的收敛域，则对每个D x ∈，记∑∞

==1

)()(n n x u x S ，即

D x x S x S n n ∈=∞

→),()(lim ，称)(x S 为函数项级数∑∞

=1

)(n n x u 的和函数，称)

()()(x S x S x R n n -=为函数项级数∑)(x u n 的余项．

定义1]1[ 设{})(x S n 是函数项级数∑)(x u n 的部分和函数列，若{})(x S n 在数集D 上一致收敛于函数)(x S ，或称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛．

由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以可以根据函数列一

致收敛性定义得到等价定义．

定义2]1[ 设{})(x S n 是函数项级数∑)(x u n 的部分和函数列，函数列{})(x S n ，和函数)(x S 都是定义在同一数集D 上，

若对于任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当N n >时，对一切D x ∈，都有ε<-)()(x S x S n ，则称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛．

同时由ε<-=)()()(x S x S x R n n ，故)(x R n 在D x ∈上一致收敛于0．

定义3 设函数项级数∑)(x u n 在区间D 上收敛，其和函数为∑∞

==1)()(n n x u x S ，部分和

函数列∑==n

k n n x u x S 1

)()(，若0>∃o ε，+∈∀N N ，N n o >∃及D x ∈'∃，使得o n x s x s o ε≥'-)()(，

则函数项级数∑)(x u n 在区间D 上非一致收敛．

例1 试证∑∞

=1n n x 在[]r r ,-）10(<

证明 显然∑∞=1

n n x 在)1,1(-内收敛于

x

x

-1． 对任意的0>ε，欲使当N n >和r x r ≤≤-时，恒有

ε<-=--

+=∑x

x

x x

x n n

k k 111

1

成立,只要当N n >时,恒有

ε<-+r

r n 11

成立,只要当N n >时,恒有

()r

r n lg 1lg 1ε

->+ 成立,只要当N n >时，恒有

()r r n lg 1lg ε

->

成立，只要取()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=r r N lg 1lg ε即可．依定义，∑∞

=1n n

x 在[]r r ,-上一致收敛于x x -1． 存在e o 2=

ε，对任意自然数N ，都存在N N n o >+=1和()1,12

1

-∈++=N N x o ，使 ε2

1111111

1

1

>⎪

⎭⎫

⎝

⎛+++=-=--++=∑N o n o o o n k k o

N N x x x x x

o o

成立，依定义，∑∞

=1

n n x 在)1,1(-内不一致收敛．

二 函数项级数一致收敛性的判定方法

定理1 Cauchy 一致收敛准则]1[

函数项级数()∑x u n 在数集D 上一致敛的充要条件为：

对0>∀ε，总+∈∃N N ，使得当N n >时，对一切D x ∈和一切正整数p ，都有

()()ε<-+x S x S n p n 或 ()()()ε<++++++x u x u x u p n n n 21 或

()ε<∑++=p

n n k k

x u 1

特别地，当1=p 时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件：

推论1 函数项级数在()∑x u n 在数集D 上一致收敛的必要条件是函数列(){}x u n 在D 上一致收敛于0．

定理2]

2[ 函数项级数()x u n n ∑∞

=1在点集D 上一致收敛于)(x S 的充分必要条件是：

()()0:sup lim 1=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧∈-∑=∞

→D x x S x u n k n n ．

定理3 放大法]3[

(){}x S n 是函数项级数()∑x u n 的部分和函数列,和函数)(x S ,都是定义在同一数集D 上,

对于任意的n ,存在数列{}n a ()0>n a ,使得对于D x ∈∀,有()()()n n n a x S x S x R <-=,且