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安徽省马鞍山市2015届高中毕业班第三次教学质量检测数学(理)试题 Word版含答案

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2015年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测高三理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．． 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑．1.已知i 是虚数单位，则311i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭=（▲）A. 1B. iC. i - D 1- . 答案：B命题意图：复数及其运算. 简单题2.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（▲）A ．2y x=- B ．3y x = C ．2log y x =D ．tan y x =答案：B命题意图：函数及其性质. 简单题3. 已知0a >,0b >且1a ≠，则log 0a b >是(1)(1)0a b -->的（▲） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：C命题意图：函数性质与充要条件. 简单题4. 右图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为=720S ，则在判断框中应填入关于k 的判断条件是（▲）A ．6?k ≥B ．7?k ≥C ．8?k ≥D ．9?k ≥ 答案：C第4题图命题意图：程序框图 简单题5. 已知函数2sin(2)(||)2y x πϕϕ=+<的图象经过点(0,1),则该函数的一条对称轴方程为（▲）A ．12x π=-B ．6x π=-C ．12x π=D ．6x π=答案：D命题意图：三角函数及性质 简单题6. 右图是一个几何体的三视图，则该几何体体积为（▲）A.15B. 16C.17D.18 答案：A命题意图：三视图及几何体的体积计算中档题 7.已知直线21x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线:2cos M ρθ=交于,P Q 两点，则||PQ =（▲）A ．1B. C. 2D.答案：C命题意图：极坐标与参数方程 简单题8. 函数()1ln ||f x x x=+的图象大致为（▲）答案：B命题意图：函数性质与图象 中档题9. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（▲） A ．72 B ．168 C ．144 D ．120 答案：D命题意图：排列组合应用 难题解：先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空.（1）小品1，相声，小品2.有232448A A ⋅= （2）小品1，小品2，相声.有21223336A C A ⋅⋅= （3）相声，小品1，小品2.有21223336A C A ⋅⋅=俯视图侧视图正视图第6题图共有483636120++=种，选D ．10.已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，点(0,)A b ，过F ，A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若(2+1)AF AB =，则此双曲线的离心率是（▲）ABC ．D 答案：A命题意图：圆锥曲线及其性质 难题第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．11.设随机变量X 服从正态分布2(1,)N σ，且2(1)(3)P X a P X a ≤-=>-，则正数a = ▲ . 答案：2命题意图：正态分布 简单题12. 已知二项式21()n x x+的展开式的系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是 ▲ .答案：10命题意图：二项式定理 简单题13. 如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机取一点，则它取自阴影部分的概率为 ▲ . 答案：22e 命题意图：定积分，几何概型及指、对数函数。

中档题14. 设,a b 为正实数，则2a ba b a b+++的最小值为 ▲. 答案：2命题意图：基本不等式 难题15. 如图，四边形ABCD 是正方形，以AD 为直径作半圆DEA （其中E 是AD 的中点），若动点P 从点A 出发，按如下路线运动：A B C D E A D →→→→→→，其中2AP AB AE λμ=+()λμ∈R 、，第13题图E 第15题图则下列判断中：①不存在点P 使1λμ+=； ②满足λμ+2=的点P 有两个； ③ λμ+的最大值为3；④ 若满足k λμ+=的点P 不少于两个，则(0,3)k ∈. 正确判断的序号是 ▲ .（请写出所有正确判断的序号） 答案：②③命题意图：向量运算、线性规划及直线与圆的位置关系 难题三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知223cos cos 222C A a c b += （Ⅰ）求证：a b c 、、成等差数列；（Ⅱ）若,3B S π== 求b . 命题意图：三角函数与解三角形简单题解：（Ⅰ）由正弦定理得：223sin cos sin cos sin 222C A A C B += 即1cos 1cos 3sin sin sin 222C A A C B +++= ………………2分∴sin sin sin cos cos sin 3sin A C A C A C B +++=即sin sin sin()3sin A C A C B +++= ………………4分∵sin()sin A C B +=∴sin sin 2sin A C B += 即2a c b +=∴,,a b c 成等差数列。

………………6分（Ⅱ）∵1sin 2S ac B === ∴16ac = ……………8分又2222222cos (+)3b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=- ………………10分由（Ⅰ）得：2a c b += ∴224484b b b =-⇒= ………………12分17. (本小题满分12分)为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取60人，从文科乙班抽取50人参加环保知识测试。

（Ⅰ）根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关.（Ⅱ）现已知,,A B C 三人获得优秀的概率分别为111,,233，设随机变量X 表示,,A B C 三人中获得优秀的人数，求X 的分布列及期望()E X .附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++命题意图：2×2列联表，概率，分布列及期望 中档题解（Ⅰ）2×2由2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得，22110(40302020)7.8 6.635(4020)(2030)(4020)(2030)K ⨯-⨯=≈>++++，所以有99%的把握认为学生的环保知识成绩与文理分科有关…………………5分 （Ⅱ）设,,A B C 成绩优秀分别记为事件,,M N R ，则11(),()()23P M P N P R ===∴随机变量X 的取值为0，1，2，3……………………………………………6分 1222(0)()2339P x P M NR ===⨯⨯=,1221121214(1)()2332332339P x P M NR MNR M NR ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=1121111215(2)()23323323318P x P MNR MNR M NR ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=1111(3)()23318P x P MNR ===⨯⨯=……………………………………………10分E(X )=0×29+1×49+2×518+3×118=76…………………………………………………………12分 18. (本小题满分12分)如图，已知E ,F 分别是正方形ABCD 边BC ,CD 的中点，EF 与NMPDAC 交于点O ，,PA NC 都垂直于平面ABCD ，且2PA AB NC ==，M 是PA 中点．（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面NEF ； （Ⅱ）求二面角M EF N --的余弦值． 命题意图：空间点、线、面的位置关系 中档题 解：法1：（Ⅰ）连结BD ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD 又∵BD AC ⊥，AC PA A ⊥=，∴BD ⊥平面PAC ， 又∵,E F 分别是BC 、BD 的中点，∴EF BD ∥， ∴EF ⊥平面PAC ，又EF ⊆平面NEF ，∴平面PAC 平面NEF ；……………………………5分 （Ⅱ）连OM ，∵EF ⊥平面PAC ，O M ⊂平面PAC ，∴EF ⊥OM ，在等腰三角形NEF 中，点O 为EF 的中点，∴NO EF ⊥，∴MON ∠为所求二面角M EF N --的平面角， 设4AB =，∵点M 是PA 的中点，∴2AM NC ==，所以在矩形M NCA 中，可求得MN AC ==，NO =，MO ………………………………9分 在M ON ∆中，由余弦定理可求得：222cos 2OM ON MN MON OM ON +-∠==⋅⋅，∴二面角M EF N --的余弦值为12分 法2：（Ⅰ）同法1；…………………………………5分 （Ⅱ）设4AB =,建立如图所示的直角坐标系，则(0,0,4)P ,(4,4,0)C ，(4,2,0)E ，(2,4,0)F ，(0,0,2)M ，(4,4,2)N ∴(4,4,4)PC =-，(2,2,0)EF =-，则(0,2,2)EN =(0,2,2)EN =， 设平面NEF 的法向量为(,,)m x y z =，则02202200m EN y z x y m EF ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，令1x =，得1y =，1z =- 即(1,1,1)m =-，同理可求平面MEF 一个法向量(1,1,3)n =，…………………………………………9分∴cos ,m n <>==， ∴二面角M EF N --的余弦值为 ……………………………………12分 19. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和(1)2nn n a S +=，且11a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令ln n n b a =，是否存在(2,)k k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．命题意图：数列综合应用M A中档题（Ⅰ）解法1：当2n ≥时，11(1)22n n n n n n a na a S S --+=-=-， ……………1分 即1(2)1n n a a n n n --≥-． …………………………………………3分 所以数列{}n a n 是首项为111a=的常数列． ……………………4分所以1(*)nn a a n n n=⇒=∈N ． 所以数列{}n a 的通项公式为(*)n a n n =∈N ．…………………………6分解法2：当2n ≥时，11(1)22n n n n n n a na a S S --+=-=-， ………………………1分 即1(2)1n n a nn a n --≥-． …………………………………………………3分 ∴1321122113211221n n n n n a a a a n n a a n a a a a n n ----=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=--．………4分 因为11a =，符合n a 的表达式． ……………………………………………5分 所以数列{}n a 的通项公式为(*)n a n n =∈N ． …………………………6分（Ⅱ）假设存在(2,)k k k N ≥∈，使得k b ，1k b +，2k b +，成等比数列，即221k k k b b b ++=．……………………………………………………………………7分因为ln ln (2)n n b a n n ==≥， 所以2222ln ln(2)ln(2)ln ln(2)22k k k k k k b b k k +⎡⎤+++⎡⎤=⋅+<=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦……………………10分 2221ln(k 1)2k b +⎡⎤+<=⎢⎥⎣⎦. ……………………………………11分 这与221k k k b b b ++=矛盾．故不存在(2,)k k k N ≥∈，使得+1+2k k k b b b 、、成等比数列．………………………12分 20. (本小题满分13分)已知椭圆2221(3x y a a+= 的左、右顶点分别为A ,B ，右焦点为(,0)F c ，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，过点B 作椭圆C 的切线l ，直线AP 与直线l 的交点为D ，且当||BD =时，||=||AF DF .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当点P 运动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并证明你的结论． 命题意图：圆锥曲线与圆综合应用难题解：（Ⅰ）依题可知(,0)A a -、()D a ，…………1分由||||AF FD =，得，a c +=2分化简得2a c =，由223a c =+ 得 24a =……………4分故所求椭圆C 的方程是22143x y +=.………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()()2,0,2,0A B -,在点B 处的切线方程为2x =. 以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：由题意可知直线AP 的斜率存在，设直线AP 的方程为(2),(0)y k x k =+≠. 则点D 坐标为(2,4)k ，BD 中点E 的坐标为(2,2)k ． ………………………6分 由22(2),143y k x x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)1616120k x k x k +++-=． 设点P 的坐标为00(,)x y ，则由韦达定理：2021612234k x k --=+． ……………8分所以2026834k x k -=+，00212(2)34ky k x k =+=+． 因为点F 坐标为(1,0)，（1）当12k =±时，点P 的坐标为3(1,)2±，直线PF 的方程为1x =，点D 的坐标为(2,2)±.此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=与直线PF 相切 ………………9分（2）当12k ≠±时，直线PF 的斜率0204114PF y k k x k ==--.所以直线PF 的方程为24(1)14ky x k =--,即214104k x y k---=． …………11分故点E 到直线PF的距离221414|221||2|k k k d k -+-⨯-=== 综上得，当点P 运动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．……………………13分 21. (本小题满分14分)已知函数()ln af x x ax x=-+，其中a 为常数．（Ⅰ）若()f x 的图像在1x =处的切线经过点（3,4），求a 的值； （Ⅱ）若01a <<，求证：2()02a f >；（Ⅲ）当函数()f x 存在三个不同的零点时，求a 的取值范围．命题意图：函数与导数综合应用 难题解：由题知0x > （Ⅰ）211()(1)f x a x x'=-+ (1)12f a '∴=- ……………………………2分 4(1)(1)231f f -'==-又 11222a a ∴-=∴=- …………………………4分 （Ⅱ）223322()ln 2ln ln 22222a a a a f a a a =-+=+--，令32()2ln ln 22x g x x x =+--，则242222334(1)()22x x x g x x x x -+-'=--=……………………………………7分∴(0,1x ∈）时，()0,()g x g x '<单调递减， 故(0,1x ∈）时，1()(1)2ln 202g x g >=-->，∴当01a <<时，2()02a f > …………………………………………9分（Ⅲ）22211()(1)ax x af x a x x x -+-'=-+=①00()0,()a f x f x '≤+∞>当时，在（，）上，递增，∴()f x 至多只有一个零点，不合题意；…………………………………………10分 ②10()0,()2a f x f x '≥+∞≤当时，在（，）上，递减，∴()f x 至多只有一个零点，不合题意；…………………………………………11分③10()0,2a f x '<<=当时，令得121,1x x =<=> 此时，()f x 在1(0,)x 上递减，12(,)x x 上递增，2(,)x +∞上递减，所以，()f x 至多有三个零点。

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安徽省马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测理科数学.5

安徽省马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测理科数学.5

安徽省马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测数学（理科）试题考生注意事项：1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．2． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致．3． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4． 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效． 5． 考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B). 如果事件A 、B 相互，那么P(A·B)=P(A)·P(B).如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次重复试验中恰好发生k 次的概率：k n k kn n P P C k P --=)1()(.球的表面积公式：24R S π=，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：334R V π=球，其中R 表示球的半径.第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡上将正确选项的代号涂黑.1.设i 为虚数单位，则复数ii -12009在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合M={}02>∈xR x ，N={}0log 2>∈x R x ,则M C R N 等于A. {}1≤∈x R xB. {}1>∈x R xC. {}10≤<∈x R xD. {}10≤≤∈x R x俯视图正视图侧视图2222223．由函数)(sin )(R x x x f ∈=的图象经过平移得到函数)(/x f y =的图象，下列说法正确的是A. 向左平移π个单位长度B.向左平移 2π个单位长度 C. 向右平移π个单位长度 D.向右平移 2π个单位长度4. 下列说法正确的是A.做n 次随机试验，事件A 发生了m 次，则事件A 发生的概率为nm； B.样本容量很大时，频率分布直方图就是总体密度曲线； C.性检验是研究解释变量和预报变量的方法；D.从散点图看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，就称两个变量之间具有线性相关关系.5.在面积为S 的三角形ABC 内随机取一点M ，则三角形MBC 的面积S S MBC 21≤∆的概率为 A. 31 B.21 C.32 D.436. 一个多面体的直观图和三视图如下，则多面体A －CDEF 外接球的表面积是A.π3B. π34C.π12D. π487． 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作倾斜角为45º的直线交双曲线的右支于M ，若MF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率为A. 12+B. 3C. 2D.212+ 8.若n xx )3(3+的展开式中存在常数项，则n 的值可以是A.8B.9C. 10D. 12第6题图E FDCBA直观图9. 右图是一个算法的程序框图，当输入x=3时，输出y 的结果是0.5，则在计算框 中“？”处的关系式可以是A. 2x y = B. x y -=2C.x y 2=D. 21x y =10. 已知α、β为两个互相垂直的平面，a 、b 为一对异面直线 给出下面条件：①a ∥α，b ⊂β； ②a ⊥α，b//β； ③a ⊥α，b ⊥β.其中是a ⊥b 的充分条件的有A.②B.③C.②③D.①②③11. 1sin )(+=x x x f ，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2,21ππx x 时，有)()(21x f x f >，则21,x x 应满足的关系一定是A ：021>>x x B.210x x << C.21x x > D. 21x x >12.过抛物线2x y =上一动点P(t,t 2) (0<t<1)作此抛物线的切线l ，抛物线2x y =与直线x=0、x=1及切线l 围成的图形的面积为S,则S 的最小值为A.121 B.101 C.61 D.41第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13.已知曲线C 1,C 2的极坐标方程分别为)20,0(cos 4,3cos πθρθρθρ<<≥==，则曲线C 1,C 2交点的极坐标为 ;14. 已知点P y x ,(）满足条件）k k y x xy x 为常数(020⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥，若x+3y 的最大值为8，则=k ;15. 如图，四边形ABCD 中，=AB a , =AD b ,对角线AC 与BD 交于点O ， 若点O 为BD 的中点，OC AO 2=，则=BC ;开始 结束输入xx ≤0?输出yx=x-2NY第9题图 第15题图PABCDE F16.过点)1,2(的直线l 将圆4)2(22=-+y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k 等于 ;三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知函数)4(sin )4tan(12cos 2cos 4)(24x x x x x f -+--=ππ（Ⅰ）求)1217(π-f 的值; （Ⅱ）当]2,0[π∈x 时，求x x f x g 2sin )(21)(+=的最大值和最小值.18.（本小题满分12分）在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．（Ⅰ）求四棱锥P －ABCD 的体积V ；（Ⅱ）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ； （Ⅲ）求二面角C-PD-A 的余弦值.19. （本小题满分12分）某通道有三道门，在前两道门前的匣子里各有3把钥匙（第三道门前没有钥匙），其中一把能打开任何一道门，一把只能打开本道门，还有一把不能打开任何一道门.现从第一道门开始，随机地从门前的匣子里取一把钥匙开门，若不能进入，就终止；若能进入，再从第二道门前的匣子里随机地取一把钥匙，并用已得到的两把钥匙开门,若不能进入就终止；若能进入，继续用这两把钥匙开第三道门，记随机变量ξ为打开的门数. （Ⅰ）求0=ξ时的概率； （Ⅱ）求ξ的数学期望.20.（本小题满分12分）正项数列{}n a 满足11=a ，S n 为其前n 项和，且2)1(4+=n n a S （n ≥1）.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）等比数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为T n ，且b 1b 2b 3=8,又33221,,b a b a b ++成等差数列，求T n .21．(本小题满分12分)如图，已知圆C ：8)1(22=++y x ,定点A(1,0),M 为圆 上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足→AM =→AP 2,→AM ·→NP =0，点N 的轨迹为曲线E.（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）若过定点A(1,0)的直线l 交曲线E 于不同的两点G 、H ， 且满足∠GOH 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围.22. (本小题满分14分)设函数),,)()()(()(R c b a c x b x a x x f ∈---=（Ⅰ）若c b a ,,互不相等，且)()(//b f a f =，求证c b a ,,成等差数列;（Ⅱ）若b a ≠，过两点)0,(),0,(b a 的中点作与x 轴垂直的直线，此直线与)(x f y =的图象交于点P ，求证：函数)(x f y =在点P 处的切线过点（c,0）;（Ⅲ）若c=0, b a =,]1,0[+∈a x 时，22)(a x f <恒成立，求a 的取值范围.第21题马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测数学（理科）参考答案序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B ABDDCACCBDA二填空题 13.)6,32(π；14．－6 ； 15．43ab -；16.2.三．解答题17．解：（Ⅰ）)4cos()4sin(2cos )4(cos )4tan(12cos )2cos 1()(222x x xx x x x x f ++=++--+=ππππx xx x x 2cos 22cos 2cos 2)22sin(2cos 222==+=π………………………………………………………………4分36cos 265cos 2617cos 2)617cos(2)1217(-=-===-=-πππππf …………………………6分 （Ⅱ）)42sin(22sin 2cos )(π+=+=x x x x g …………………………………………………8分⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈45,4422,0ππππx x∴28max ==）（时x g x π…………………………………………………………………………10分 12min -==）（时x g x π………………………………………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）在R t△ABC 中，AB ＝13AC ＝2．在Rt△ACD 中，AC ＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝3AD ＝4．∴ABCD S ＝1122AB BC AC CD⋅+⋅115132233222=⨯⨯⨯=分则V ＝155323323= ……………………………………………………………… 4分（Ⅱ）∵PA ＝CA ，F 为PC 的中点，∴AF ⊥PC ． …………………………5分∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC ．∴CD ⊥PC ．∵E 为PD 中点，F 为PC 中点，∴EF ∥CD ．则EF ⊥PC ． …………………………7分 ∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF ．…………………………………………………………8分 （Ⅲ）以A 为坐标原点，AD,AP 所在直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则平面PAD 的法向量为：n =（1，0，0） 由（Ⅱ）知AF ⊥PC,AF ⊥CD ∴AF ⊥平面PCD ∴AF 为平面PCD 的法向量. ∵P(0,0,2),C )0,1,3(∴AF =)1,21,23(461414323),cos(=++==nAF n AF ,即二面角C-PD-A 的余弦值为46…………12分 19．解：设第一个匣子里的三把钥匙为A ，B ，C ，第二个匣子里的三把钥匙为a,b,c(设A,a 能打开所有门，B 只能打开第一道门，b 只能打开第二道门，C,c 不能打开任何一道门)（Ⅰ）31)0(1311===C C P ξ…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）91)1(13111311=⋅==C C C C P ξ(第一次只能拿B,第二次只能拿c) ……………………………6分91)2(13111311=⋅==C C C C P ξ(第一次只能拿B,第二次只能拿b) ……………………………8分94)3(131********31311=⋅+⋅==C C C C C C C C P ξ(第一次拿A,第二次随便拿，或第一次拿B ，第二次拿a) …10分35943912911310=⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE …………………………12分20.（Ⅰ）依题⎪⎩⎪⎨⎧+=+=≥--21121414,2）（）（时n n n n a S a S n 21221211114）（）（）（）（+=-⇒+-+=⇒--n n n n n a a a a a或111+=--n n a a 111--=--n n a a即或21=--n n a a 01=+-n n a a （舍去）,0>n a …………………………………………………3分 故{}n a 为等差数列，a 1=1，d=212-=n a n ………………………………………………………………………………………………5分（Ⅱ）设公比为q ，则由b 1b 2b 3=8，b n >022=⇒b …………………………………………………6分 又q q25,5,2+成等差数列 02522=+-q q ………………………………………………………………………………………8分⎩⎨⎧==121b q 或⎪⎩⎪⎨⎧==4211b q …………………………………………………………………………………10分 12-=n n T 或)211(8n n T -=……………………………………………………………………12分21解：（Ⅰ）依题PN 为AM 的中垂线NM NA =22||==+⇒CM NC NA …………………………………………………………2分又C （-1，0），A （1，0）所以N 的轨迹E 为椭圆，C 、A 为其焦点…………………………………………………………4分a=2，c=1，所以1222=+y x 为所求………………………………………………………5分 （Ⅱ）设直线l 的方程为：y=k （x-1）代入椭圆方程：x 2+2y 2=2得 （1+2k 2）x 2-4k 2x+2k 2-2=0 (1)设G （x 1，y 1）、H （x 2，y 2），则x 1，x 2是（1）的两个根.2221222121)1(2,214kk x x k k x x +-=+=+…………………………………………………………7分 依题0>⋅OB OA 02121>+y y x x0)()1(2212212>++-+k x x k x x k021421)1(2)1(2222222>++-+-+k kk k k k k ………………………………………………………9分解得：22-<>k k 或………………………………………………………………………12分22.解：（Ⅰ）'()()()()()()()f x x b x c x a x c x b x a =--+--+--若'()'()f a f c =，则()()()()a b a c c a c b --=--a c ≠ ab bc ∴-=- 即2a c b +=∴,,a b c 成等差数列……………………3分（Ⅱ）依题意2()(2),28()a b a b c a b P +--- 2222222222()4'()a b a b a b c b a a b b a a b c a b k f +-+----+-⨯+⨯+⨯-=-== ∴切线22()()42()(2):8a b a bx a b c a b l y -+=------令0y =得222c a b a bx --+=-，即x c = ∴切线过点(,0)c .……………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）0,c a b ==，则2()()f x x x a =-∴2'()()2()()(3)f x x a x x a x a x a =-+-=-- ①0a >时：3(0,)a x ∈时，'()0f x >，此时2()()f x x x a =-为增函数； 3(,)a x a ∈时，'()0f x <，此时2()()f x x x a =-为减函数；(,1)x a a ∈+时，'()0f x >，此时2()()f x x x a =-为增函数.而34,(1)1327()a a f a a f +=+=，依题意有322422721a a a a ⎧>⎪⎨⎪>+⎩2721a ∴<<………………10分②0a <时：()x f 在(0,||1)a +时，2max 1(1)(12)()|()x a a a f f -=--=∴22(1)(12)2a a a >-- 即3265104a a a -+->……（☆）记32651()4a a U a a -+-=，则22112512()202'()12a a U a a -+=-+>=∴()U a 为R 上的增函数，而(0)1U =-，∴0a <时，326510()4a a U a a -+-<=恒成立，（☆）无解.综上，2721a <<为所求.…………………………………………………………………………14分。

2015年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测理科数学试题及答案

2015年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测理科数学试题及答案

2015年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测高三理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．． 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑．1.已知i 是虚数单位，则311i i -⎛⎫⎪+⎝⎭=（▲）A. 1B. iC. i - D 1- .答案：B命题意图：复数及其运算. 简单题2.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（▲）A ．2y x=- B ．3y x = C ．2log y x = D ．tan y x =答案：B命题意图：函数及其性质. 简单题3. 已知0a >,0b >且1a ≠，则log 0a b >是(1)(1)0a b -->的（▲） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：C命题意图：函数性质与充要条件. 简单题4. 右图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为=720S ，则在判断框中应填入关于k 的判断条件是（▲）A ．6?k ≥B ．7?k ≥C ．8?k ≥D ．9?k ≥ 答案：C命题意图：程序框图简单题5. 已知函数2sin(2)(||)2y x πϕϕ=+<的图象经过点(0,1),则该函数的一条对称轴方程为（▲）A ．12x π=-B ．6x π=-C ．12x π=D ．6x π=第4题图答案：D命题意图：三角函数及性质 简单题6. 右图是一个几何体的三视图，则该几何体体积为（▲）A.15B. 16C.17D.18 答案：A命题意图：三视图及几何体的体积计算中档题 7.已知直线21x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线:2cos M ρθ=交于,P Q 两点，则||PQ =（▲）A ．1B. C. 2D.答案：C命题意图：极坐标与参数方程 简单题8. 函数()1ln ||f x x x=+的图象大致为（▲）答案：B命题意图：函数性质与图象 中档题9. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（▲） A ．72 B ．168 C ．144 D ．120 答案：D命题意图：排列组合应用 难题解：先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空.（1）小品1，相声，小品2.有232448A A ⋅= （2）小品1，小品2，相声.有21223336A C A ⋅⋅= （3）相声，小品1，小品2.有21223336A C A ⋅⋅= 共有483636120++=种，选D ．10.已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，点(0,)A b ，过F ，A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若(2+1)AF AB =，则此双曲线的离心率是（▲） ABC ．D 答案：A命题意图：圆锥曲线及其性质 难题俯视图正视图第6题图第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．11.设随机变量X 服从正态分布2(1,)N σ，且2(1)(3)P X a P X a ≤-=>-，则正数a = ▲ . 答案：2命题意图：正态分布 简单题12. 已知二项式21()n x x+的展开式的系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是 ▲ .答案：10命题意图：二项式定理 简单题13. 如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机取一点，则它取自阴影部分的概率为 ▲ .答案：22e命题意图：定积分，几何概型及指、对数函数。

2015届三模数学(文)试题

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2015年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测文科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号． 2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．． 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑．（1）在复平面内，复数2(2)i i-对应的点位于（ ▲ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【命题意图】本题考查复数的概念及运算，容易题. 答题要点：细心算，概念清，画图示，待定数 其它考查：模？共轭复数？实部？虚部？（2）若全集U R =，集合2{10}A x x =|-<，{(2)0}B x x x =|-≥，则()UA B 为（ ▲ ）A ．{2}x x |0<<B ．{1}x x |0<<C ．{1}x x |0≤<D ．{0}x x |-1<<【答案】B【命题意图】本题考查不等式的解法和集合的运算，容易题. 答题要点：不等式，认真解，画数轴，定好位，交与并，勿混淆 其它考查：交、并、补易错点：不等式求解错误，不等号方向搞错，补集端点遗漏或增加。

安徽省马鞍山市高三数学第三次质检测试 理 新人教版

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第5题图YN 2010年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意事项：1.答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．上答题无效．．．．．. 4.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）= P （A ）+ P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A·B ）= P （A ）·P （B ）球的体积3R 43π＝球V ，其中R 表示球的半径.锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数ii+-12的实部与虚部之和为A ．－2 B. －1 C. 1 D. 2 （2）若集合},,cos sin |{},12|{R x x x y y T R x S x ∈-==≥∈=集合则T S =A ．]2,(-∞B ．]2,0[C ．]2,2[-D ．),2[+∞- （3）已知数列{}n a 为等差数列，且π41371=++a a a ，则)tan(122a a +的值为 A ．3 B ．3- C ．3± D ．33-（4）γβα、、表示平面，b a 、表示直线，若γβ⊥，且α与γ相交但不垂直，则A ．γβ⊥⊂∀b b ,B ．γβ//,b b ⊂∀C ．γα⊥⊂∃a a ,D ．γα//,a a ⊂∃（5）给出30个数：1，2，4，7，11，…，其规律是第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推.下图是计算这30个数和的程序框图，则图中（1）、（2）应分别填上的是 A. i≤30；m=m+i B. i≤31；m=m+i C. i≤30；m=m+i -1 D. i≤31；m=m+i-1（6）某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩（满分150分）近似服从正态分布，其密度曲线函数为)(1021)(200)80(2R x ex f x ∈⋅=--π，下列命题中不正确．．．的是 A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在100分以上的人数与分数在50分以下的人数大体相同C ．分数在100分以上的人数与分数在60分以下的 人数大体相同D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10（7）不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-a y x y y x y x ,0,22,0表示的平面区域是一个四边形，则a 的取值范围是A ．)34,0(B ．)1,0(C ．)34,1( D ．)1,0()34,1(（8）设)(x f '是函数)(x f 的导函数，将)(x f y =和)(x f y '=的图像画在同一个平面直角坐标系中，不可能．．．的是（9）点P 到点)2,(),0,21(a B A 及到直线21-=x 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是A ．21-或21 B ．21或23 C ．23 D ．21（10）已知函数)lg()(x x b a x f -=中，常数b a ,满足01>>>b a ，且2a =12+b ，那么函数0)(>x f 的解集为 A ．()+∞,0 B ．()+∞,1 C ．()+∞,2 D ．()+∞,10第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置. （11）如图是某市局部路段的交通示意图，图中标识的数字是机动车通过该路段时发生堵车的概率，某人驾驶机动车从A 地到B 地可以选择不同的路线行驶，则他发生堵车的概率最小值是 .（12）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并且两种坐标系的长度单位相同．已知直线的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ-+=，则它与曲线sin cos 1sin 2x y ααα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）的交点的直角坐标是 ．（13）设曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线2()()f x g x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为 .（14）若443322104)21(x a x a x a x a a x ++++=-，则4321432a a a a -+-= ．（15）下面命题中正确的是 （写出所有正确命题的编号）．①∀ex e R x x ≥∈,；②若12)(345++++=x x x x x f ，则)2(f 的值用二进制表示为111101； ③若0,0,0>>>m b a ，则ma mb a b ++≤； ④函数x x y ln =与xxy ln =在点（1，0）处的切线相同.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分12分）如图，A 、B 是单位圆上的动点，C 是单位圆与x 轴的正半轴的交点，且6π=∠AOB ，记θ=∠COA ，),0(πθ∈，AOC ∆的面积为S.(Ⅰ)设S OC OB f 2)(+⋅=→--→--θ，求)(θf 的最大 值以及此时θ的值.（Ⅱ）当A 点坐标为)54,53(-时，求2→-BC 的值.（17）（本小题满分12分）一个盒子装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R 的函数：1()f x x =，22()f x x =，33()f x x =，4()sin f x x =，5()cos f x x =，6()2f x =．（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（Ⅱ）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．（18）（本小题满分12分） 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，在四边形ABFE 中，AB ∥EF ，∠EAB=90°，AB=4，AD=AE=EF=2，平面ABFE ⊥平面ABCD. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面BCF ；（Ⅱ）求二面角B —FC —D 的大小.（19）（本小题满分12分）已知函数ax x x f ++=)1ln()(2.(Ⅰ)设)(x f 在0=x 处取得极值，求a 的值； (Ⅱ)当0≤a 时，讨论)(x f 的单调性； (Ⅲ)当1-=a 时，证明：*)()211()811)(411)(211(2222N n e n∈<++++.（20）（本小题满分13分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为,22其左、右焦点分别为21F F 、，点P 是坐标平面内一点，且43,27||21=⋅=→--→--PF PF OP （O 为坐标原点）. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点)31,0(-S 且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标和MAB ∆面积的最大值；若不存在，说明理由.（21）（本小题满分14）设数列{}n a 的前n 项和为133n n n S a +=-.（Ⅰ）证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-23nn a 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）比较n n S 3与126+n n的大小，并加以证明.2010年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测数学（理科）参考解答第Ⅰ卷（选择题，共50分）（1）选B.考查复数概念、运算，简单题，（2）选D.考查三角、指数函数，集合运算.简单题. （3）选B.考查等差数列概念，三角函数求值.简单题. （4）选D.考查线面关系、命题知识.简单题. （5）选A.考查程序框图，简单题.（6）选B.考查统计知识，正态分布密度函数，简单题.（7）选 C.考查线性规划知识，不等式组中前三个不等式所表示的平面区域是顶点分别为)32,32(),0,1(),0,0(B A O 的三角形，第四个不等式a y x ≤+，表示的是斜率为－1的直线的下方，只有当直线a y x =+和直线22=+y x 的交点在线段AB 上时，不等式组所表示的区域才是四边形，此时)34,1(∈a .（8）选D.考查函数与导函数之间的关系，由导函数与函数单调性关系可得结论，中等题. （9）选A.分析：由题意知，P 在抛物线x y 22=上，也在线段AB 的中垂线上，结合图示，显然21-=a 时抛物线与直线2=y 的交点符合要求，中等题.（10）选C.考查指、对数函数性质、函数的单调性应用，中等题.由条件知x x b a y -=在R 上增，从而)(x f 在（0，＋∞）上增，又01lg )lg()2(22==-=b a f ，由0)(>x f 知2>x .第Ⅱ卷（非选择题，共100分）（11）【答案】0.424 .从A 到B 共有三条线路可走，不堵车的概率分别为0.9×0.8×0.8、0.9×0.7×0.8、0.9×0.8×0.7.堵车为它们的对立. （12）【答案】（－1,1）.考查极坐标与参数方程知识，注意参数方程化为普通方程时参数对yx ,范围的限制.中等题. （13）【答案】x y 4=.由题可得4)1(,4)1(,3)1(,2)1(=='=='f f g g . （14）【答案】－216. []34232134432)21(8)21(x a x a x a a x x +++=--='-，令1-=x 即得.（15）【答案】①②④（16）【解】（Ⅰ）θsin 21=S ……………………………………………………………2分)0,1(,)6sin(),6cos(=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→--→--OC OB πθπθ则θπθθsin )6cos(2)(++=+⋅=→--→--S OC OB f )3sin(πθ+=，…………………………………4分),0(πθ∈ ，故6πθ=时，1)(max =θf …………………………………………………6分（Ⅱ）依题6,54sin ,53cos πθθθ+=∠=-=BOC BOC 中在Δ由余弦定理得：2||→--BC 53314sin cos 326cos 11211+=+-=+⨯⨯⨯-+=θθπθ）（……12分（17）【解】（1）记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知.51)(623==C C A P ………4分（2）ξ可取1，2，3，4. 103)2(,21)1(151316131613=⋅=====C C C C P C C P ξξ，201)4(,203)3(1313141115121613141315121613=⋅⋅⋅===⋅⋅==C C C C C C C C P C C C C C C P ξξ；……………………6分故ξ的分布列为：………9分.47201420331032211=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE答：ξ的数学期望为.47………………………………………………………………12分（18）【解】（Ⅰ）∵平面ABFE ⊥平面ABCD ，CB ⊥AB ，∴CB ⊥平面ABFE ，CB ⊥AF, ∵ABFE 为直角梯形，AB ∥EF ，∠EAB=90°，AB=4，AE=EF=2从而AF ＝BF ＝22，∴AF ⊥FB.∵CB FB=B ，∴AF ⊥平面BCF.…………………6分 （Ⅱ）∵平面ABFE ⊥平面ABCD ，EA ⊥AB ，∴EA ⊥平面ABCD. 分别以AD 、AB 、AE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.则有D （2，0，0），C （2，4，0） E （0，0，2），B （0，4，0）. ∴DC =（0，4，0），DE =（-2，0，2）.设),,(1z y x n =为平面CDEF 的法向量，则⎩⎨⎧=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00011z x y DE n DC n令1=x ，则1=z ，则=1n （1，0，1）由（1）知AF n =2=（0，2，2）=2（0，1，1）为平面BCF 的法向量.…………10分 ∵21||||,cos 212121=⋅⋅>=<n n n n n n ，且B —FC —D 为钝角，∴二面角B —FC —D 的大小为120° …………………………………………12分（19）【解】（Ⅰ）a x xx f ++='212)(，因为0=x 是)(x f 的一个极值点，0,0)0(=⇒='a f 验证知0=a 符合条件……………………………………………4分（Ⅱ）因为2221212)(x ax ax a x x x f +++=++=' （1）当0=a 时，212)(x xx f +=')(x f ∴在),0(+∞单调递增，在)0,(-∞单调递减；…………………………………5分（2）当⎩⎨⎧≤∆<00a 即当1-≤a 时，0)(≤'x f 对R x ∈恒成立. )(x f ∴在),(+∞-∞上单调递减；……………………………………………7分（3）当01<<-a 时，由0)(>'x f 得022>++a x axaa x a a 221111---<<-+-，)(x f ∴在⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+-a a a a 2211,11上单调递增， 同理得，)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞-a a 211,和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞---,112a a 上单调递减；…………9分 (Ⅲ)由（Ⅱ）知，当1-=a 时，)(x f 在),(+∞-∞上单调递减；当),0(+∞∈x 时，由x x f x x x f <+⇒=<-+=)1ln(0)0()1ln()(22…………………10分从而有：)211ln()411ln()211ln()]211()811)(411)(211ln[(2222222n n ++++++=++++121121)211(2121814121<-=--=++++<nn n ∴e n <++++)211()811)(411)(211(2222 …………………………………………………12分（20）【解】（Ⅰ）设),0,(),0,(),,(2100c F c F y x P -则由;4727||2020=+=y x OP 得由4321=⋅PF 得,43),(),(0000=--⋅---y x c y x c 即.4322020=-+c y x 所以c=1…………2分 又因为.1,2,2222===b a a c 所以…………3分 因此所求椭圆的方程为.1222=+y x…………4分 （Ⅱ）动直线l 的方程为,31-=kx y 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=,12,3122y x kx y 得.091634)12(22=--+kx x k设).,(),,(2211y x B y x A 则.)12(916,)12(34221221+-=+=+k x x k k x x …………6分 假设在y 上存在定点M （0，m ），满足题设，则).,(),,(2211m y x MB m y x MA -=-= 22121212121)())((m y y m y y x x m y m y x x MB MA ++-+=--+=⋅2212121)3131()31)(31(m kx kx m kx kx x x +-+----+=9132))(31()1(221212+++++-+=m m x x m k x x k9132)12(34)31()12(9)1(162222+++++-++-=m m k k m k k k )12(9)1569()1(182222+-++-=k m m k m 由假设得对于任意的0,=⋅∈MB MA R k 恒成立， 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-,01569,0122m m m 解得m=1. 故在y 轴上存在定点M （0，1），使得以AB 为直径的圆恒过这个点………………10分 这时，点M 到AB 的距离1342+=k d ，.))(1(||2212x x k AB -+=.)12(4998)12(964)1(216324)(32)(32||21222222221221221++=+++=-+=-==∆k k k k k x x x x x x d AB S MAB设,122t k =+则,212-=t k 得[)(].1,01,,1∈+∞∈tt 所以.916])291(481[2198)1(21)1(299822≤--=-=∆t t t S MAB当且仅当11=t 时，上式等号成立.因此，MAB ∆面积的最大值是.916…………13分（21）【解】（Ⅰ）由133+-=n n n a S 得21133+++-=n n n a S ，相减得12113333+++++--=-n n n n n n a a S S ，…………………………………2分即11323+++=n n n a a ，故⇒+⨯=++132311n n n n a a )23(212311-⋅=-++nnn n a a即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-23nn a ，是以⎪⎭⎫⎝⎛-231a 为首项，以21为公比的等比数列……………4分 由已知得：⇒=291a 21231-=-a ，故nn n n a ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=--212121231， 所以nnnn n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23323212………………………………………8分（Ⅱ）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+++n n nn n n n n S 21132333323323111∵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n S 21133，∴只要比较⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 2113与126+n n的大小，∵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 2113－126+n n＝nn n n 2)12()12(23⋅++-⋅ ∴只要比较n 2与12+n 的大小.………………………………………………………10分 当2,1=n 时，n 2＜12+n ，当3≥n 时，n 2＞12+n .方法1．数学归纳法：（1）当3=n 时，7132823=+⨯>=，结论成立； （2）设)3(≥=k k n 时结论成立，即k 2＞12+k ，则当1+=k n 时， 1)1(22)1(2)12(22221++>++=+>⋅=+k k k k k k ，即1+=k n 时结论也成立.根据数学归纳法，对3≥n ，不等式n 2＞12+n 成立.………………………………13分方法2．当3≥n 时，122110110+=++>++++=--n C C C C C C C n n n n n n n n n n n .故当2,1=n 时，<n n S 3126+n n ，当3≥n 时，>n n S 3126+n n .……………………………14分。