第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛：八年级地方晋级赛复赛A 卷 --------------------------------------------------------------------------------- 考生须知：1. 每位考生将获得考卷一份。
考试期间,不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分,选择题每小题4分,填空题每小题5分,解答题共5小题,共 50分。
3. 请将答案写在本卷上。
考试完毕时,考卷及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数,请化至最简。
八年级地方晋级赛复赛A 卷（本试卷满分120分 ,考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分,共40分） 1．函数0)2(1--=x x y 的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≠1且x ≠2 C ．x ≥0且x ≠2 D ．x ≥0且x ≠2且x ≠12．某车由甲地等速前往丁地,如图,过程是：自甲向东直行8分钟至乙后, 朝东偏南直行8分钟至丙,左转90°直行15分钟至丁．若此车由甲地 按原来的速度匀速向东直行可到达丁地,则此车程需要（ ） A ．19.5分钟B ．24分钟C ．25分钟D ．28分钟3．如果等式（2x －3）x +3=1,则等式成立的x 的值的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．如右图,在一条笔直的小路上有一盏路灯,晚上小雷从点B 处径直走到点A 处再远离A 处时,小雷在灯光照射下的影长y 与行走的路程x 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图,△ABC 内有一点P ,点D 、E 、F 分别是点P 关于AB 、BC 、AC 对称的点．若△ABC的内角∠BAC =70°,∠ABC =60°,∠ACB =50°,则∠ADB +∠BEC +∠CF A 等于（ ） A ．180° B ．270° C ．360° D ．480°6．若实数x ,y 满足x －y +1=0且1＜y ＜2,化简1026234422+--+-+y x y y x 得（ ） A ．7B ．2x +2y －7C ．11D ．9－4y7．如图,正三角形ABC 的三边表示三面镜子,BP =31AB =1,一束光线从点P 发射至BC 上R点,且∠BPR =60°．光线依次经BC 反射,AC 反射,AB 反射…一直继续下去．当光线第 一次回到点P 时,这束光线所经过的路线的总长为（ ） A ．6B ．9C ．39D ．278．如图,在平行四边形ABCD 中,BC =2AB ,CE ⊥AB 于E ,F 为AD 的中点,若∠AEF =54°, 则∠B 的度数为（ ）A ．54°B ．60°C ．66°D ．72°第5题图 第7题图 第8题图 9．如图,在△ABC 中,AD 是∠A 的外角平分线,P 是AD 上异于A 的任意一点,设PB =m , PC =n ,AB =c ,AC =b ,则（m +n ）与（b +c ）的大小关系是（ ）A ．m +n ＞b +cB ．m +n ＜b +cC ．m +n =b +cD ．无法确定第9题图 第10题图10．如图,在平面直角坐标系中,已知直线y =x 上一点P （1,1）,C 为y 轴上一点,连接PC ,线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ,过点D 作直线AB ⊥x 轴,垂足为B ,直线AB 与直线y =x 交于点A ,且BD =2AD ,连接CD ,直线CD 与直线y =x 交于点Q ,则点Q 的 坐标为（ ） A ．（25,25） B ．（3,3） C ．（47,47） D ．（49,49）二、填空题（每小题5分,共30分） 11．已知a =6013,b =1315,则代数式(a +b )2－(a －b )2的值为____________． 12．如图,在△ABC 中,AB =4,AC =3,AD 、AE 分别是其角平分线和中线,过点C 作CG ⊥AD 于点F ,交AB 于点G ,连接EF ,则线段EF 的长等于 ． 13．若关于x 的方程0111=--+x ax 的解为正数,则a 的取值范围是_____________． 14．如图,点A （1,1）,B （2,－3）,点P 为x 轴上一点,当|P A －PB |最大时,点P 的坐 标为_____________．第12题图 第14题图 第16题图 15． 若a ＞0,b ＞0,且a ≠b ,a 、b 满足)2(2)3(b a b b a a -=-,则abb aba +-=_______．16．如图,△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC ,D 为BC 上一点,BE ∥AC ,且DE ⊥AD ,若 BD =2,CD =4,则BE 的长为_______________．三、解答题（共5小题,共50分） 17．先化简,再求值：y x y xy x y x yx ++++--239,其中x =3,y =4．（8分）18．定义：如果一个数的平方等于－1,记为i 2=－1,这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数,表示为a +bi （a ,b 为实数）,a 叫这个复数的实部,b 叫 做这个复数的虚部,它的加,减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似． 例如计算：（5+i ）×（3－4i ）=19－17i ． 试一试：请利用学过的有关知识将ii-+22化简成a +bi 的形式．（9分）19．如图,在平行四边形ABCD 中,CE 平分∠BCD ,交AB 边于点E ,EF ∥BC ,交CD 于点F ,点G 是BC 边的中点,连接GF ,且∠1=∠2,CE 与GF 交于点M ,过点M 作MH ⊥CD 于点H ．求证：EM =FG +MH ．（10分）20．某超市在端午节前两天每天都花4000元购进咸肉馅和板栗馅粽子若干,已知这两种粽子每个的进价相同,第一天超市将咸肉馅粽子按进价的2倍销售,板栗馅粽子在进价的基础上提价50%销售,当天全部售完,发现咸肉馅粽子销售了1200个,共获利3200元． （1）设这两种粽子的进价为每个a 元,求a 的值；（5分）（2）如果要求咸肉馅粽子的数量不能超过板栗馅粽子数量的60%,且按第一天的销售价格销售,那么销售利润最多是多少元？（5分）21．在平面直角坐标系xOy中,边长为6的正方形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴的正半轴上,直线y=mx+2与OC,BC两边分别相交于点D,G,以DG为边作菱形DEFG, 顶点E在OA边上．（1）如图①,当CG=OD时,求直线DG的函数表达式；（3分）（2）如图②,连接BF,设CG=a,△FBG的面积为S．①求S与a的函数关系式；（4分）②判断S的值能否等于等于1？若能,求此时m的值,若不能,请说明理由．（6分）图①图②八年级A卷答案一、选择题（每小题4分,共40分）1.D2.C3.C4.A5.C6.A7.B8.D9.A 10.D3.当x+3=0时,x=－3；当2x－3=1时,x=2；当x=1时,（2x－3）x+3=1．6.∵x－y+1=0,∴y=x+1,∵1＜y＜2,∴1＜x+1＜2,∴0＜x＜1,∴1026234422+--+-+yxyyx=10)1(26)1(23)1(4422++--++-++xxxxx=96214422+-+++xxxx=22)3(2)12(-++xx=|2x+1|+2|x－3|=2x+1+2（3－x）=7．7.∵BP=31AB=1,∠BPR=60°,∴PR=1,根据等边三角形的性质可知当光线第一次回到点P时,光线经过的大致路线如图所示,∴当第一次回到点P时,这束光线所经过的路线的总长为1+2+1+2+1+2=9．8.过F作FG∥AB∥CD,交BC于G．则四边形ABGF是平行四边形,所以AF=BG,即G是BC的中点；连接EG,在Rt△BEC中,EG是斜边上的中线,则BG=GE=FG=21BC；∵AE∥FG,∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°,∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°,∴∠B=∠BEG=180°－108°=72°．9.在BA的延长线上取点E,使AE=AC,连接EP,∵AD是∠A的外角平分线,∴∠CAD=∠EAD,在△ACP和△AEP中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，APAPEADCADACAE,,∴△ACP≌△AEP（SAS）,∴PE=PC,在△PBE中,PB+PE＞AB+AE,∵PB=m,PC=n,AB=c,AC=b,∴m+n＞b+c．10.过P作MN⊥y轴,交y轴于M,交AB于N,过D作DH⊥y轴,交y轴于H,∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°,∴∠MCP+∠CPM=90°,∠MPC+∠DPN=90°,∴∠MCP=∠DPN,∵P（1,1）,∴OM=BN=1,PM=1,在△MCP和△NPD中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠PD,PCDPNMCPDNPCMP，，∴△MCP≌△NPD（AAS）,∴DN=PM,PN=CM,∵BD=2AD,∴设AD=a,BD=2a,∵P（1,1）,∴BN=2a－1,则2a－1=1,a=1,即BD=2．∵直线y=x,∴AB=OB=3,在Rt△DNP中,由勾股定理得：PC=PD=5,在Rt△MCP中,由勾股定理得：CM=2,则C的坐标是（0,3）,设直线CD的解析式是y=kx+3,把D （3,2）代入得：k =－31,即直线CD 的解析式是y =－31x +3, 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,,331x y x y 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.49,49y x ,即Q 的坐标是（49,49）．二、填空题（每小题5分,共30分）11.1 12.21 13.a ＜1且a ≠－1 14.(21,0) 15.512 16.213.解方程得x =a -12,∵原方程的解为正数,∴x ＞0,即a-12＞0,当x －1=0时,x =1,代入得a =－1．此为增根,∴a ≠－1,解得a ＜1且a ≠－1．14.作A 点关于x 轴的对称点A',连BA',交x 轴于点P ,此时|P A -PB |最大． 由A'（1,－1）、B （2,－3）可得直线BA'的解析式为y =－2x +1,令y =0,则x =21,即点P 的坐标为(21,0) ． 15.∵)2(2)3(b a b b a a -=-,∴a －3ab =2ab －4b ,∴a －5ab +4b =0,∴（b a 4-）（b a -）=0,而a ≠b ,故b a 4-=0,a =16b ,原式=5124416=+-b b b b ． 16.连AE ,过A 点作AF ⊥BC 于点F ,过点E 作EG ⊥CB 的延长线于点G ,∵BD =2,CD =4, ∴BC =6,由题意得BF =CF =AF =3,DF =1,AB =23,∴在Rt △ADF 中AD =10．设 GE =GB =x ,则BE =x 2,GD =x +2,ED 2=x 2+（x +2）2,AE 2=ED 2+AD 2= x 2+（x +2）2+10,又在Rt △ABE 中,AE 2=BE 2+AB 2=2x 2+（23）2= 2x 2+18,∴x 2+（x +2）2+10=2x 2+18,解得x =1,∴BE =2．三、解答题（共5小题,共50分）17.解：原式=yx y x y x 3)3)(3(-+-+yx y x ++2)(=x +3y +x +y=2x +4y ,当x =3,y =4时,原式=23+44=23+8．18.解：i i i i i i i i i i 5453543444)2)(2()2(22222+=+=-++=+-+=-+． 19.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD ,∴∠1=∠ECF ,∵EF ∥BC ,∴四边形BCFE 是平行四边形,∵CE 平分∠BCD ,∴∠BCE =∠ECF , ∴∠BCE =∠1,∴BC =BE ,∴四边形BCFE 是菱形．∵∠1=∠ECF ,∠1=∠2,∴∠ECF =∠2,∴CM =FM ,又∵MH ⊥CD ,连接BF 交CE 于点O ,∵G 是BC 中点,∴CG =21CB ,∵CH =21CF ,∴CG =CH ,在△CGM 和△CHM 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，CH CG HCM GCM CM CM , ∴△CGM ≌△CHM （SAS ）,∴∠CGM =∠CHM =90°,即FG ⊥BC ,∴CF =BF ,∵BC =CF ,∴BC =CF =BF ,∴△BCF 是等边三角形, ∴∠BFC =60°,∴∠2=∠BFG =30°,∵BF ⊥CE , ∴OM =MH ,∵OE =OC =FG ,∴EM =FG +MH ． 20.解：（1）设这两种粽子的进价为每个a 元,则1.5a ×aa12004000-+1200×2a －4000=3200,解得：a =2．（2）由（1）知粽子的进价为每个2元,则前两天购进咸肉馅和板栗馅粽子4000÷2=2000 个,设利润为W 元,销售板栗粽子x 个,咸肉馅棕售价4元/个,板栗粽售价3元/个,根 据题意得：W =4（2000－x ）+3x －400=－x +4000,∵2000－x ≤60%x ,∴x ≥1250,∵－1＜ 0,∴W 随x 的增大而减小,∴当x =1250时,W 最大,最大值为W =－1250+4000=2750． 21.解：（1）∵将x =0代入y =mx +2得；y =2,∴点D 的坐标为（0,2）．∵CG =OD =2,∴点G 的坐标为（2,6）,将点G （2,6）代入y =mx +2得：2m +2=6． 解得：m =2．∴直线DG 的函数表达式为y =2x +2．（2）①如图所示：过点F 作FH ⊥BC ,垂足为H ,延长FG 交y 轴于点N ． ∵四边形DEFG 为菱形,∴GF =DE ,GF ∥DE ．∴∠GNC =∠EDO ． ∴∠NGC =∠DEO ．∴∠HGF =∠DEO ．∴Rt △GHF ≌Rt △EOD ． ∴FH =DO =2．∴S △GBF =21GB ·HF ==21×2×（6－a ）=6－a ,∴S 与a 之 间的函数关系式为：S =6－a ．②当s =1时,则6－a =1,解得：a =5．∴点G 的坐标为（5,6）． 在△DCG 中,由勾股定理可知DG =41542222=+=+CG CD ． ∵四边形GDEF 是菱形,∴DE =DG =41．在Rt △DOE 中,由勾股定理可知 OE =44122-=-OD DE =37＞6．∴OE ＞OA ,∴点E 不在OA 上,∴S ≠1．。
