中考数学冲刺复习专题训练1一元二次方程及解法(一)直接开平方法

解：x2＋2 5x－1＝0，
∵a＝1，b＝2 5，c＝－1，
∴Δ＝(2 5)2－4×1×(－1)＝24＞0.
∴x＝－2
5±2 2
6＝－
5±
6，
即 x1＝－ 5＋ 6，x2＝－ 5－ 6.
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一元二次方程根的判别式
3．(2020 攀枝花)若关于 x 的方程 x2－x－m＝0 没有实数根，则 m 的值
共握了 45 次手，求参加这次会议的有多少人？
解：设参加这次会议的有 x 人，则每人将与(x－1)人握手．
依题意可列方程：
12x(x－1)＝45
.
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命题精讲 解一元二次方程
1．(2020 泰安)将一元二次方程 x2－8x－5＝0 化成(x＋a)2＝b(a，b 为常
数)的形式，则 a，b 的值分别是( A )
∵Δ＝9＋4＝13，
∴x＝－3±2
13 .
∴x1＝－3＋2
13，x2＝－3－2
13 .
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三、一元二次方程根的判别式
Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； Δ＜0⇔方程无实数根； Δ≥0⇔方程有实数根.
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3．一元二次方程 x2＋2x－4＝0 的根的情况为( C ) A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
方程的解
x＝－b±
b2－4ac 2a
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2.解一元二次方程： (1)解方程：(x－1)2＝4(直接开平方法)；
解：两边直接开平方，得 x－1＝±2. ∴x－1＝2 或 x－1＝－2. 解得 x1＝3，x2＝－1.

3(3x－2)(x－1)=0， x1
2 3
,
x2
1.
8.一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式△＝________．
(1)当△>0 时， 方程有两个_______的实数根．
(2)当△＝0 时，方程有两个_______的实数根．
(3)当△<0 时， 方程没有实数根．
9.若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 x1 、 x2，则 x1＋x2＝________，x1·x2＝ ________．
D. 2 6 或－ 2 6
8.(x－1)2=x－1 的根是( )．A.x=2
B.x=0 或 x=1 C.x=1
D．x=1 或 x=2
9.若（x+y）（1-x-y）+6=0，则 x+y 的值是（ ） A．2 B．3 C．-2 或 3 D．2 或-3
二．填空题
10.方程（x+1）2－2（x－1）2=6x－5 的一般形式是
2)2 3
0
6.解方程： 2x2 4 3x 2 2 ．有一位同学解答如下：
这里， a 2 ， b 4 3 ， c 2 2 ,∴ b2 4ac (4 3)2 4 2 2 2 32 ,
∴ x b
b2 4ac 2a
4
3 22
32
6 2 ,∴ x1
6 2 ， x2
62．
4.因式分解法：如果一元二次方程可化为 a(x－x1)(x－x2)＝0 的形式，那么方程的解为________． 知识点 3 一元二 次方程的根的判别式
针对练习 1.把 2x2－1=6x 化成一般形式为__________，二次项系数为_____，一次项系数为_____，常数项为______．

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17.用直接开平方法解下列方程．
(1)3(2x－5)2－36＝0；
解：移项，得 3(2x－5)2＝36，
两边同时除以 3，得(2x－5)2＝12.
开方，得 2x－5＝±2 3，
∴2x－5＝2 3或 2x－5＝－2 3.
∴x1＝5＋22
3，x2＝5－22
3 .
(2)4(2y－5)2＝9(3y－1)2.
(2)若max{(x－1)2，x2}＝9，求x的值． 解：∵max{(x－1)2，x2}＝9， ∴当max{(x－1)2，x2}＝x2时，(x－1)2＜x2，x2＝9， 解得x1＝－3(不合题意，舍去)，x2＝3， 当max{(x－1)2，x2}＝(x－1)2时，(x－1)2＞x2，(x－1)2＝9， ∴x－1＝±3，∴x－1＝－3或x－1＝3， 解得x1＝－2，x2＝4(不合题意，舍去)， 综上所述，x的值为3或－2.
16．将 4 个数 a，b，c，d 排成两行两列，两边各加一条竖直线 记成ac db，定义ac db＝ad－bc，上述记号叫作二阶行列 式，若x2－1 x－－31＝7，则 x＝__0_或__2___．
【点拨】根据题意得(x－1)2－2×(－3)＝7，∴(x－1)2＝1， 开方得，x－1＝±1，∴x1＝2，x2＝0.
A．x1＝x2＝3 C．x1＝x2＝－ 3
B．x1＝x2＝ 3 D．x1＝ 3，x2＝－ 3
4．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数解
的方程为( C )
A．x2－5＝0
B．3x2＝0
C．3x2＋10＝0
D．－x2＋8＝0
5．【2020·扬州】方程(x＋1)2＝9的根是_x_1＝__2_，__x_2_＝__－__4_．

专题05直接开平方法、因式分解法和配方法解一元二次方程压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一解一元二次方程——直接开平方法】 (1)【考点二一元二次方程的解法——因式分解法】 (3)【考点三配方法解二次项系数为1的一元二次方程】 (5)【考点四配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】 (6)【考点五用配方法解一元二次方程错解复原】 (8)【考点六利用配方法求多项式的最值问题】 (10)【过关检测】 (13)【典型例题】【考点一解一元二次方程——直接开平方法】【变式训练】开方得，235x +=±，解得11x =，24x =-．（2）方程两边直接开方得：311x x -=+，或()311x x -=-+，∴22x =，或40x =，解得：11x =，20x =．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用直接开平方法解一元二次方程”是解本题的关键．【考点二一元二次方程的解法——因式分解法】【变式训练】【考点三配方法解二次项系数为1的一元二次方程】【变式训练】【考点四配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】【变式训练】【考点五用配方法解一元二次方程错解复原】【变式训练】1.（2023秋·河北沧州·九年级统考期末）阅读材料，并回答问题：佳佳解一元二次方程2640x x +-=的过程如下：解：2640x x +-=【考点六利用配方法求多项式的最值问题】【变式训练】1.（2023春·浙江·七年级专题练习）代数式243x x -+的最小值为（）．A ．1-B ．0C ．3D ．5【答案】A【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．【详解】代数式()2224344121x x x x x -+=-+-=--∵()220x -≥，∴()2211x --≥-即代数式2|431x x -+≥-，【过关检测】一、选择题1．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）用配方法解一元二次方程2410x x -=+时，原方程可变形为（）A ．2(2)1x +=B ．2(2)5x +=C ．2(2)1x -=D ．2(4)17x +=【答案】B【分析】根据2410x x -=+，配方得()225x +=，然后作答即可．【详解】解：2410x x -=+，配方得()225x +=，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握配方法解一元二次方程．2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）一元二次方程22023x x =的根为（）A ．2023x =-B ．2023x =C ．10x =，22023x =-D ．10x =，22023x =【答案】D故选：B．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确将原式配方是解题的关键．二、填空题(1)当边长为1的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为1,1,3，+<，不满足三角形的三边关系定理，舍去；此时113(2)当边长为3的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为1,3,3，+>，满足三角形的三边关系定理，此时133++=；则这个等腰三角形的周长为1337综上，这个等腰三角形的周长为7，故答案为：7．【点睛】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．三、解答题212320m m -+=，212364m m +-=，∴()264m -=，62m -=±，18m =，24m =，经检验18m =，24m =是原方程的解，∴m 的值为8或4．【点睛】本题主要考查了完全平方式的定义，熟记完全平方公式是解答本题的关键．20．（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）【材料阅读】先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：我们知道20a ≥，所以代数式2a 的最小值为0，可以用公式()2222a ab b a b ±+=±来求一些多项式的最小值．例题：求代数式248y y ++的最小值．解：()2224844424y y y y y ++=+++=++．()220y +≥ ()2244y ∴++≥∴代数式248y y ++的最小值为4．请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)【类比探究】()222x -+的最小值为______；(2)【举一反三】代数式28x x -+有最______（填“大”或“小”）值为______；(3)【灵活运用】某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为15m ），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形．已知栅栏的总长度为24m ，则可设较小矩形的宽为m x ，较大矩形的宽为2m x （如图）．当x 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】(1)2(2)大，16(3)当4x=时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为【分析】(1)根据材料内容即可解答；(2)根据材料内容即可解答；(3)根据矩形的面积公式及配方法，即可列出代数式，再根据完全平方式的非负性，即可解答．。