第一课时 数列
知识要点
数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 1．∑==
++++=n
i i
n n a
a a a a S 1
321Λ
2．⎩⎨
⎧≥-==-2
1
1
1n S S n S a n n n
热身
1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式为 ( ) 2．数列{}n a 的通项公式为 n n a n
2832-=,则数列各项中最小项是( )
3．数列{}n a 的前n 项和142
+-=n n S n ,，则=n a
典例精析
题型一 归纳、猜想法求数列通项
【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 ⑴7，77，777，7777，…
⑵Λ,63
8
,356,154,32--
点拨：联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法，观察归纳是由特殊到一般的有效手段，本例的求
解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。
题型二 应用⎩⎨
⎧≥-==-)
2()
1(1
1n S S n S a n n n
求数列通项
例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求其通项公式.
⑴23-=n
n S ⑵)0()2(8
1
2>+=n n n a a S
点拨：本例的关键是应用⎩⎨
⎧≥-==-)
2()
1(1
1n S S n S a n n n
求数列的通项，特别要注意验证1a 的值是否满足
"2"≥n 的一般性通项公式。
三、利用递推关系求数列的通项
【例3】根据下列各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式 ⑴1
41,2
1211
-+
==
+n a a a n n
(2),0,11>=n a a 0)1(12
2
1=⋅+-+++n n n n a a na a n ，
⑶12
1
,
111+=
=+n n a a a
点拨：在递推关系中若),(1n f a a n n +=+求n a 用累加法，若
),(1
n f a a n
n =+求n a 用累乘法，
若q pa a n n +=+1，求n a 用待定系数法或迭代法。
总结提高
1． 给出数列的前几项求通项时，常用特征分析法与化归法，所求通项不唯一
2． 由n S 求n a 时，要分n =1和2≥n 两种情况
3． 数列是一种特殊函数，因此通过研究数列的函数性质（单调性）来解决数列中的“最大项”与“和最
小”等问题十分有效。
4． 给出n S 与n a 的递推关系，要求n a ，常用思路是：一是利用n n n a S S =--1 （2≥n ）转化为n a 的
递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a 。
课堂演练
1． 若数列{}n a 的前n 项的32
3
-=
n n
a S ，那么这个数列的通项公式为（ ） 2．已知数列{}n a 满足01=a ，1
331+-=
+n n n a a a （*
∈N n ），则=20a （ ）
3.已知数列{}n a 满足,11=a
)2(,311≥+=--n a a n n n ，
⑴32a a 和求
⑵证明：2
1
3-=n n a
１.数列3，-5，7，-9，11，…的一个通项公式是（ ） ２.已知数列{}n a 中21=a ，
），（*∈+=+N n a a n n 131则4a 的值为（ ）
3设1
212111++++++=
n n n a n
Λ，(*
∈N n )，则n n a a 与1+的大小关系是( ) 1． 若数列{}n a 满足：⎪⎩
⎪⎨⎧
<≤-<≤=+)
121
(,12)210(,21n n n n n a a a a a ，
7
6
1=a ，则20a 的值为（ ）
二、填空题
1．已知数列{}n a 中，3221==a a ，，n n n a a a 2312-=++,=7a
2．已知{}n a 中，3
1
1
=
a ，前n 项和n S 与n a 的关系是n n a n n S )12(-=，求n a
6.2等差数列
知识要点
1． 等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差，用d 表示。 2．递推关系与通项公式
m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m
n
n n m n n n n --=--=
--=-+=-+==-+1;
)1()()1(1
111变式：推广：通项公式：递推关系：
由此联想到点),(n a n 所在直线的斜率。
为常数）
即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(),
(1+==-+=
),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成
等差数列的充要条件。 ３．等差中项：
若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2
c
a b
+=
；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。 ４．前n 项和公式
2)(1n a a S n n +=
； 2
)1(1d
n n na S n -+= 变式：
1
2);2
()1(2)1(21
21211-=-⋅-+=-+=+++==+-n S a d
n a d n a n
a a a n S a a n n n n
n n Λ
)
,()(,)2(22212为常数即特征：B A Bn
An S Bn An n f S n d a n d S n n n +=+==-+=
是数列{}n a 成等差数列的充要条件。
5．等差数列{}n a 的基本性质),,,(*
∈N q p n m 其中
⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。
⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2
⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。
