构造模型,巧妙解题

1 / 4 初中数学解题模型专题讲解

专题4 角平分线模型

模型模型 3 3 角平分线角平分线角平分线++垂线构造等腰三角形垂线构造等腰三角形

如图，P 是∠MON 的平分线上一点，AP⊥OP 于 P 点，延长 AP交ON于点 B。

结论：△AOB 是等腰三角形。

模型证明模型证明：：

由已知可得AP⊥OP,BP⊥OP,OP=OP,∠POA=∠POB

∴△POA≌△POB

∴OA=OB

∴△AOB 是等腰三角形

模型分析

构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等

的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线

和三线合一联系了起来。

模型实例

如图，已知等腰直角三角形 ABC 中，∠A=90°，AB=AC，BD 平分∠ABC，

CE⊥BD，垂足为 E。求证：BD=2CE。

证明：如图延长BA、CE交于

∠ABE=∠CBE，BE=B

∴RT△BEF≌RT△BEC

∴CE=EF

∴CF=2CE

又∵∠ADB=∠CDE

∠DCE+∠CDE=∠

∴∠ADB=∠F

又AB=AC ∴RT△BAD≌RT△CAF

∴BD=CF

∴BD=2CE.

模型练习

1．如图，在△ABC 中，BE

求证：∠2=∠1+∠C。

证明：如图延长AD交BC

2 / 4 交于点F则有：

BE=BE

BEC

DCE+∠F=90°

CAF

BE 是角平分线，AD⊥BE，垂足为 D。

于点F则有

BD=BD，∠ABD=∠

∴RT△ADB≌RT△FDB

∴∠2=∠BFD=∠1+∠

∴∠2=∠1+∠C

2．如图，在△ABC 中，∠

求证：BE= ½（AC-AB）。

3 / 4 ∠FBD

FDB ∠C

∠ABC=3∠C，AD 是∠BAC 的角平分线，BE⊥AD

AD 于点 E。

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构造解析几何模型解题几例

数学组高二备课组 张彦军

摘要：解析几何以其生动、直观、形象被广大学生所津津乐道，对很多数学问题，深入挖掘隐含条件，构造解析几何模型，数形结合，会使问题得以很大程度的简化，本文将从证不等式求最值等几个方面展开探讨。

关键词：构造 数形结合

构造是一种重要的数学思想，深入挖掘条件，类比有关知识可以，通过数学模型使问题得以解决，而解析几何以其直观形象又成为构造法解题的广泛素材，如下例：

一、求解函数值域

例1.求函数2()14fxxx的值域。

解：设24yx，构造圆的方程224xy（y≥0）

这样，求函数()fx的值域问题即转化为直线

1xym与圆224xy（y≥0）有公共

点时m的范围问题，易得

212≤m≤3.

∴所求函数的值域为［212，3］

变式1.求函数2()12fxxx的值域。

分析：令212yx构造椭圆2221xy（y≥0）

令所求值域即m的范围。

解略.

变式2.求函数232()xfxxx的值域.

变式3.求函数()21fxxx的值域.

评析：形如2()dxefxaxbcx（a≠0、c、d不全为0）的函数即可构造。圆锥曲线方程22ycxdxe（y≥0），从而所求函数的值域即转化直线axbym与曲线22ycxdxe（y≥0）有公共点时m的取值范围，利用数形结合可解。

例2.若x、y满足221xy，求22xyxy的最大值与最小值。 22xy020xy6212解：令22xytxy，整理得(1)(1)220txtyt

又由已知直线(1)(1)220txtyt与

圆221xy公共点，即

22|22|(1)(1)tdtt≤1

解得2323t

两地的距离是１０千米，顾客购买这种商　品时选择从　地买或从　地买的标准是：　使包括运费在内的总费用比较便宜，求从　Ａ，Ｂ两地购买此种商品运费相等的点轨　迹图形，并指出在轨迹图形上，图形内，　图形外的居民如何选择从Ａ地或曰地购　买最合算．　分析：这道应用题，可以通过建立直　角坐标系，从而建立”解几模型”，使问　题得以解决．　解：如图１，取ＡＢ的中点为原点０，　直线ＡＢ为　轴，建立直角坐标系，则有　Ａ（一５，０），Ｂ（５，０），设Ｐ（　，’，）是区域分　界线上任一点，从曰地往Ｐ处运货的单　位距离的运费为／＇ｎ，则依题意有方程，　３ｍ　Ｉ　Ｉ＝ｍ　ｌ船Ｉ，即３　Ｉ　ｌ＝ｌ船Ｉ．　所以９［（　＋５）　＋　］＝（　一５）　＋　，于是　孕）　＋　＝（孚）　．　ｙ　厂　＼　，　Ｄ　互　图１　故从Ａ，Ｂ两地购买此货运费相等的　孕，０）为圆心，以孚　点的轨迹是以（一竿，　ｌ为圆心，以　为半径的圆，圆上的居民从　，Ｂ两地　购买此货的总费用相同，圆内的居民从　地购买合算；圆外的居民从　地购买　合算．　五、构造立体几何模型　例６若锐角　，　，　满足ＣＯＳ　＋　ＣＯＳ　卢＋ＣＯＳ　＝１，求ｔａｎ　ｃａａｎｔｉｔａｎ　ｙ的最　小值．　分析：锐角　，卢，　满足ＣＯＳ　＋　ＣＯＳ　卢＋ＣＯＳ　＝１，形式满足长方体的三　边平方和等于对角线的平方，故可构造　长方体，使三棱长分别为ａ，ｂ，Ｃ，对　角线为１，对角线与三条棱所成的角分　别为　，卢，　，则ｔａｎ　：盟，　ｔ　卢：颦，ｔ　：皿，　０　Ｃ　故ｔａｎ　ｃａａｎｆ￣ｔａｎ　的最小值是２Ｖ　．　【说明】由于长方体一条对角线和它过　同一顶点的三条棱所成角的余弦值的平方　和等于１，为此可构造一个长方体ＡＢＣＤ—　１　Ｃ１Ｄｌ，如图２所示，使／ＣＯＤ＝Ｏｔ，　ＣＶＩＢ：卢，　Ｃｖ４Ａ１＝　．　Ｄ　Ｄ　Ａ　图２　六、构造对称对偶模型　例７求ＣＯＳ２１０。＋ＣＯＳ　５０。一ｓｉｎ４０。・　ｓｉｎ　８０。的值．（１９９１年全国高中联赛题）　分析：初看到此题，我们自然会往往　通过降次、和差化积来解决，但我们注意　到ｓｉｎ　４０。＝ＣＯＳ　５０。，ｓｉｎ　８０。＝ＣＯＳ　１０。，且　问题关于ＣＯＳ　１０。，ＣＯＳ　５０。是对称的，所　以可通过构造二元对称代换来解决．若　注意至０　ＣＯＳ　１０。＋ｓｉｎ　１０。＝１．ＣＯＳ　５０。＋　ｓｉｎ２５０。＝Ｉ．也可以利用对偶模型来处理．　解法１：令ＣＯＳ　１０。＝ａ＋ｂ，ＣＯＳ　５０。＝　ｎ—ｂ，贝４　ｎ＝　一（ｃｏｓ１０￣＋ＣＯＳ５０￣）＝ｃｏｓ３０￣・　ＣＯＳ　２０。＝孚ｃ。ｓ　２ｏ。，６＝　１（ｃ。ｓ　１０。一　ｃ０ｓ　５Ｏ。）＝ｓｉｎ　３０。ｓｉｎ　２０。＝　１　ｓｉｎ　２０。，所　以原式＝ＣＯＳ　１０Ｏ＋ｃｏｓ２５０￣一ｅｏｓ５０ｏｃｏｓ１０Ｏ＝　（ａ＋ｂ）　＋（ａ＋ｂ）　一（ａ—ｂ）（ａ—ｂ）＝ａａ＋　３ｂ　：（孚ｃｏｓ　ｏ。卜３　ｎ　２０。）　＝　４’　解法２：令Ａ＝Ｃ０￥　１０。＋ＣＯＳ　５０。一　ｓｉｎ　４０。ｓｉｎ　８０。．Ｂ＝ｓｉｎ　１０。＋ｓｉｎ　５０。一　ＣＯＳ　４０。ＣＯＳ　８０。、　则Ａ＋Ｂ＝２一ＣＯＳ４０。，（１）　Ａ～Ｂ＝ＣＯＳ　２０。＋ＣＯＳ　１００。＋ＣＯ８　１２０。　＝２ｃｏｓ　６０。ＣＯＳ　４０。＋ＣＯＳ　１２０。　＝ｃｏｓ４０。一．　１，（２）　由（１），（２），消去Ｂ，得Ａ＝｝．　七、构造平面几何模型　例８求ｔａｎ　１０。一４ｃｏｓ　１０。的值．　（１９９３年俄罗斯竞赛题）　分析：我们拿到这题会感觉此题虽形　式简单，但一时也无法下手．这时，如能　注意到三角形中的边角关系，可构造如　图３所示的三角形，使　Ｃ＝９０。，　Ａ＝　１０ｏ，ＢＣ：１，Ｄ为ＡＣ上一点，且使　ＢＤＣ＝３０。．则ＢＤ：２且ＬＡＢＤ＝２０。．　在ＡＡＢＤ中，由正弦定理，得　ＡＤ　—ＢＤ　ｓｉｎ　２—０￣ｓｉｎ　１０ｏ’　Ｉ；ｆＤ，Ｘ　ＡＤ＝　ＢＤ　ｓｉｎ　２广０￣＝４ｃ。ｓ　１０。，　Ｓｌｎ　ｌＵ。　又ＡＣ：ｔａｎ　１０。．　所以ｔａｎ　１０。一４ｃｏｓ　１０。＝ＡＣ—ＡＤ＝　ＣＤ＝、／丁．　说明：通过构造几何模型，把三角函　数的值转化为线段的长度，通过解三角形　巧妙地求得三角函数的值．　八、构造三角模型　例９　已知函数Ｙ＝ｓｉｎ　＋　ｖＴ＋ｃ～ｏｓ￣，求函数的最值．　解析：我们拿到此题最大的困惑是去　根号，这看起来很难．这时我们注意观察　ｓｉｎ　和、／ｒ　ｊ　的关系，可发现ｓｉｎ２ｘ＋　（、／ｌ＋ＣＯＳ　）　＝２，　则可令　｛　ｉ　０　≤　厂『　＝、／　ｓ　ｎ　这样Ｙ＝、／　ｃｏｓ　０＋、／　ｓｉｎ　０＝　２ｓｉｎ　０＋孚），而手≤０＋｝≤竹，０≤　ｓｉｎ　０＋｝）≤１．　函数的最大值为２，最小值为０．　【说明】上面是通过构造三角模型，　利用三角函数的性质，巧妙地摆脱了根号　的困惑，使问题得到了解决．　参考文献：　［１］徐利治．数学方法论选讲［Ｍ］．　武汉：华中工学院出版社，　１９８３：１５—１６　［２］刘兆明．中学数学方法论［Ｍ］．　湖北：湖北教育出版社，１９８７：　２９４，２９８，　［３］孙罗超．建立数学模型解应用题［Ｊ］．　数学通报，１９９６（１２）：１２—１３　［４］冯永明．中学数学建摸的教学构思实　践［Ｊｌ数学通讯，２０００（１３）：１６　［５］应向明．构造数学模型解题［Ｊ］．　数学通讯，２００２（５）：２１—２２　［６］孙串绒．用构造模型法解三角题［Ｊ］．　中学数学教学参考，２０００（４）：　基础教育论坛【２０１１年第８期Ｉ　■＿、，

中学教学参考　教学经纬　

多点联想　巧妙构造　合理转化　

有人用如图１所示的几　

何模型来描述物理问题及对　其的求解．事实上这个模型也　

同样适用于几何问题及对其　的求解，而且对几何问题的求　

解有极大的指导意义．图中，　谈怎样指导学生解题　

甘肃民勤ａ－．ｇ六中学（７３３３００）王桂英　

图ｌ　

“条件”和“目标”是几何问题的“初态”和“终态”，它反映　

出所给的几何问题已知的是什么，欲知的是什么．条件　和目标是两个信息源，它们是求解几何问题的出发点．　

以条件为圆心可以作出一组同心圆，它表示由条件的已　

知信息依次可推知哪些信息；同理以目标为圆心也可以　作出一组同心圆，它表示欲获得目标的未知信息依次需　提供哪些信息．两组同心圆的交点表示条件态到目标态　

需经历的中间态，这些从条件态经过若干个中间态的连　线即几何解题的途径．由图中可见，从条件态到目标态　

所经历的中间态并不是唯一的，这表明求鳃一个几何问　题通常存在多条可行的途径．解题途径的探索有不同的　

方向，即可以由条件态出发向目标态方向行进去探索，　也可以由目标态出发向条件态方向行进去探索，前者叫　

综合法，后者叫分析法．成功的解题者总是充分获取题　

目的条件和目标所能提供的信息，并以这两个状态为起　

点，由近及远，由此及彼，充分联想，向对方接近，并创造　

条件，最终使问题得到圆满解决．在这里笔者仅以八年　级几何同步单元练习册中的一道习题的求解为例加以　

说明．　

【题目】如图２，已知梯形ＡＢ—　ＣＤ中，ＡＢ／／ＣＤ，Ｅ是ＢＣ的中　

点，且ＥＦｊ＿ＡＤ，垂足为Ｆ．求证：　

Ｓ梯形ＡＢ（Ｄ—ＡＤ×ＥＦ．　

思路１：由结论Ｓ梯形　＝ＡＤ　Ｄ　×ＥＦ中的ＡＤ×ＥＦ联想到平行　

四边形的面积一底×高，所以考　

虑以ＡＤ为底，ＥＦ为高构造平行　

四边形．又因为ＡＢ／／ＣＤ，所以过　

Ｅ点作ＡＤ的平行线，而且使ＡＤ　

和它距离为ＥＦ，如图２—１，由Ｄ　△ＢＥＧ　Ｃ一＿／３△ＣＥＨ得Ｓ△删一　图２　Ｃ　

图２　１　Ｓ＾删，所以　Ｓ梯形脚Ｄ＝　Ｓ平行口Ｎ￣ＡＤＨ（；一ＡＤ×ＥＦ．（或如