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求含共轭复根极点有理分式拉氏反变换另一方法

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拉氏变换详细解读

拉氏变换详细解读
2
s+a
（二）、拉氏变换的主要定理 ）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t ) + f2 (t )] = L[ f1(t )] + L[ f2 (t )] = F1(s) + F2 (s)
L[kf (t )] = kL[ f (t )] = kF(s)
2．微分定理
df (t ) L = sF(s) − f (0+ ) dt
n −at
s 2 2 s +ω n! sn+1 n!
( s + a)
1
n+1
( s + a) ( s + b)
1 s ( s + a) ( s + b)
( s + a) ( s + b)
s
序号
−at
f(t)
F(s)
13
e sinωt e cosωt
− at
( s + a ) + ω2
2
ω
14
s + a ) + ω2 (
） 式中 f (−1) (0+ ) 为 ∫ f (t dt 在t时间坐标轴的右端 趋于零时的f 的值，相当于初始条件。 趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
f (t )(dt )2 = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) + 1 f (−2) (0+ ) L ∫∫ s2 s2 s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0

拉普拉斯逆变换

拉普拉斯逆变换

§ 4.4 拉普拉斯逆变换主要内容由象函数求原函数的三种方法 部分分式法求拉氏逆变换 两种特殊情况一．由象函数求原函数的三种方法 (1)部分分式法(2)利用留数定理——围线积分法 (3)数值计算方法——利用计算机二．F (s )的一般形式ai ,bi 为实数，m ,n 为正整数。

分解零点极点三．拉氏逆变换的过程四．部分分式展开法(m <n ) 1.第一种情况：单阶实数极点():式具有如下的有理分式形通常s F 01110111)()()(b s b s b s b a s a s a s a s B s A s F n n n n m m m m ++++++++==---- () , 为有理真分式当s F n m <)())(()())(()()()(2121n n m m p s p s p s b z s z s z s a s B s A s F ------== ()()的零点称为的根是s F s A z z z z m ,0,,321= ()0)(0)(=⇒=s F s A ()()的极点称为的根是s F s B p p p p n ,0,,321= ()∞=⇒=)(0)(s F s B ()的极点找出s F ()展成部分分式将s F ()t f 查拉氏变换表求)())(()()(21n p s p s p s s As F ---= ,,321为不同的实数根n p p p p nn p s k p s k p s k s F -++-+-= 2211)(第一种情况：单阶实数极点(1)找极点(2)展成部分分式求系数(3)逆变换如何求系数k 1, k 2, k 3``````？第二种情况：极点为共轭复数()展开为部分分式即可将求出s F k k k k n,,,321 6116332)(232+++++=s s s s s s F ())3)(2)(1(3322+++++=s s s s s s F ()321321+++++=s k s k s k s F 362511)(+++-++=∴s s s s F ()[]1αα+=-s t u e L t 根据()065)(:32≥+-=---t e e e t f t t t 得1,1-=+s s 且令对等式两边同乘以11=∴k 11321321)1(k s k s k s ks s =⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=-=右边1)()1(-=+=s s F s 左边1)3)(2)(1(332)1(12=++++++=-=s s s s s s s ,5)()2(:22-=+=-=s s F s k 同理362511)(+++-++=∴s s s s F ()()()()[]22βα++=s s D s A s F ()()()βαβαj s j s s F ++-+=1共轭极点出现在求f(t)例题βαj ±-()......21++++-+=βαβαj s K j s K s F ()()βαβαj s s F j s K +-=-+=1()ββαj j F 21+-=()()βαβαj s s F j s K --=-+=2()ββαj j F 22---=成共轭关系：可见21,K K jB A K +=1*12K jB A K =-=jBA K +=1*12K jB A K =-=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+=-βαβαj s K j s K L t f C 211()tt t e K e K e ββα--+=*11()()[]t B t A e t ββαsin cos 2-=-。

11.3拉氏反变换

11.3拉氏反变换

5e e j 314t30 15t 5e j314t30 e15t
10e15t cos 314t 30 t
10 中北大学国家级电工电子实验教学示范中心
D(s)=0出现共轭复根时原函数的属性
F
s
N (s) D(s)
s
k1
p1
s
k2 p2
Ds s2 30s 98821 0
f t L1 F s k1e p1t k2e p2t kne pnt
现在可以讨论分项分式展开法的具体方法了。一
是求象函数分母D (s) = 0的根pn，二是求待定系数k， 进行如下的运算，则待定系数k1分离出来。
F s s
p1
k1
s
p1
s
k2 p2
s
kn pn
6 中北大学国家级电工电子实验教学示范中心
s 3 s2
s 2 s 3 s 22
s 1
s
1
22
s 1
1
13 中北大学国家级电工电子实验教学示范中心
拉氏反变换——D(s)=0时出现重根的情况
★③欲求k13，从式
d ds
s s
3 2
0
k12
2k13 s
1
d ds
k2
s 13 s 2
可见，再求一次导数则2 k13被分离出来。所以
k1 Ds 2s 30 215 j314 30
s p1
1570.1 j2719.24 j628
3139.9860 62890
5 30
k2 530
★原函数 f t L1 F s k1e p1t k2e p2t
5e e j30 15 j314t 5e j30 e15 j314t

拉氏变换详解

拉氏变换详解
st 0 0 0

t
t

t时，f1 (t ) 1(t ) 0 f1 (t ) f 2 ( )d f1 (t ) 1(t ) f 2 ( )d
0 0
10
t

L[ f 1 (t ) f 2 ( ) d ]
0 t
f 2 ( ) d f 1 ( )e
0 0


s ( )
d d F2 ( s ) F1 ( s )
11
f 2 ( )e
0

s
d f 1 ( )e
0变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算 1 L [ F ( s )] 。 称为拉氏反变换。记为 由F(s)可按下式求出 1 C j 1 st f (t ) L [ F ( s)] F ( s )e ds(t 0) 2 j C j 式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的 实部。 直接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必 12 须是一种能直接查到的原函数的形式。
0
0 st 0
等式两边对s趋向于0取极限
st 左边 lim f ( t ) e dt lim f ( t ) e dt s 0 s 0
f (t ) dt f (t ) 0 lim f (t ) f (0) t
0

右边 lim [ sF ( s ) f (0)] lim sF ( s ) f (0) s 0 s 0 lim f (t ) lim sF ( s ) t s 0
0
0

0

4-3单边拉普拉斯反变换

4-3单边拉普拉斯反变换

s +2 s +2 F(s) = = (s − s1)(s − s2 ) (s +1− j)(s +1+ j)
K1 K2 K1 K2 = + = + s − s1 s − s2 s +1− j s +1+ j
1 1 2 − j 45o K1 = ( s − s1 ) F ( s ) s = s = ( s − s1 ) F ( s ) s =−1+ j = − j = e 1 2 2 2 1 1 2 j 45o K 2 = ( s − s2 ) F ( s ) s = s = ( s − s2 ) F ( s ) s =−1− j = + j = e 2 2 2 2
= K1 eαt [e j (ωt +ϕ1 )t + e− j (ωt +ϕ1 )t ]ε (t)
= 2 K1 eαt cos(ωt +ϕ )ε (t) 1
s +2 例. 已知 F(s) = 2 ，求反变换 f (t )。 s + 2s + 2 2 解: 由 s + 2 s + 2 = 0 有共轭复根 s1,2 = −1 ± j 。
3.部分分式展开法（展开定理）： 3.部分分式展开法（展开定理）： 部分分式展开法
在线性系统中， 在线性系统中，激励或响应的拉氏变换通常为有 理分式， 理分式，即 m m−1 B(s) bms + bm−1s +... + bs + b0 1 F(s) = = A(s) ansn + an−1sn−1 +... + a1s + a0 均为实数。 其中 ai (i = 0,1,L n), b j ( j = 0,1,L m) 均为实数。 *若m<n，则 F ( s )为真分式，可以将其分解为简单 为真分式， 若 ， 部分分式展开） 分式之和的形式（称为部分分式展开 分式之和的形式（称为部分分式展开），再求逆 变换。 变换。 *若m>=n，则 F ( s ) 为假分式， 利用长除法（多 若 为假分式， 利用长除法 长除法（ ， 项式除法）可将其分解为多项式与真分式之和。 项式除法）可将其分解为多项式与真分式之和。

拉氏变换

拉氏变换

] = ∫ e − at ⋅ e − st dt = ∫ e −( s + a )t dt
∞ 0
∞ 0
0 指数函数
t
1 = , (Re( s + a ) > 0) s+a
正弦函数与余弦函数
L[sin ω t ] = ∫0 sin ω t ⋅ e − st dt
∞
f(t)
L[cos ω t ] = ∫0 cos ω t ⋅ e dt
( n −1)
(0 )
=0时刻的值均为零时 当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时 零初始条件）： （零初始条件）：
df (t ) L dt = sF ( s ) d 2 f (t ) 2 L dt 2 = s F ( s ) LL d n f (t ) n L dt n = s F ( s )
即：
f (0) 1 df ( t ) + L s s dt
df ( t ) L 所以： 所以： dt = sF ( s ) − f ( 0 )
同样有： 同样有：
d 2 f (t ) 2 L = s F ( s ) − sf ( 0 ) − f ′ ( 0 ) 2 dt L L d n f (t ) n n −1 L f ( 0 ) − s n − 2 f ′( 0 ) − L − f = s F (s) − s n dt
可以容易地求出， 可以容易地求出，则：
L-1[F(s)] = L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+ +L)]+…+ 1[F (s)] n = f1(t) + f2(t) + … + fn(t)

拉氏变换与反变换

2.5 拉氏变换与反变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。

按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。

2.5.1 拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间 为自变量的实变函数 ，它的定义域是 ，那么 的拉普拉斯变换定义为(2.10)式中， 是复变数， （σ、ω均为实数）， 称为拉普拉斯积分；是函数的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 为 的象函数，而称为 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。

式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域与之等价的复变函数。

2.5.2 几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。

单位阶跃函数的拉氏变换式为t ()t f 0≥t ()t f ()()()0e d stF s L f t f t t ∞-=∆⎡⎤⎣⎦⎰s ωσj +=s ⎰∞-0e st )(s F )(t f )(s F )(t f )(t f )(s F )(s F )(1t ⎩⎨⎧≥<∆)0(1)0(0)(1t t t 0=t当 ，则 。

所以（2.11）图2.7 单位阶跃函数2.指数函数的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中 是常数。

令则与求单位阶跃函数同理，就可求得（2.12）3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换设，，则0e 1d e )(1)](1[)(0∞-===-∞-⎰stst st t t L s F 0)Re(>s 0e lim →-∞→st t []s s s t L st 1)1(00e 1)(1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∞-=-由欧拉公式，有所以(2.13）同理(2.14）4.单位脉冲函数 δ(t ) 的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。

4拉氏反变换方法：


a + c + d = 0 a + c = −1 ⇒ (a + c + d ) s 2 + (a + b + c) s + b = 1 ⇒ a + b + c = 0 ⇒ b = 1 b = 1 d = 1 as + 1 c 1 (a + c) s + 1 1 ⇒ F (s) = + + ⇒ + 2 2 s s +1 s +1 s s ⇒ F (s) = − s +1 1 1 1 1 + =− + + 2 s +1 s s2 s + 1 s
其中 k i = F ( s ) ⋅ ( s − pi ) | s = p i ，则：f (t ) = k1 e p1t + k 2 e p 2t + .... + k n e p nt 2，当解出s等于一对共轭复根，即 s = p1,2 = σ ± jw ，则： 1 1 1 F (s) = = = ( s − p1)( s − p 2) s 2 − ( p1 + p 2) s + p1 p 2 s 2 − 2σs + (σ 2 + w2)
1
，求其反变换。
⇒ (as + b )(s + 2) + c(s 2 + 2 s + 3) = 1
1 1 ⇒ a = − , b = 0, c = 3 3 1 s 1 1 ⇒ F ( s) = − ⋅ 2 + ⋅ 3 s + 2s + 3 3 s + 2 1 (s + 1) − 1 1 1 =− ⋅ + ⋅ 2+2 3 s+2 3 (s +1) 1 s +1 1 1 1 1 =− ⋅ + ⋅ + ⋅ 3 (s +1)2 + 2 3 ( s +1)2 + 2 3 s + 2 1 −t 1 −t 1 − 2t f (t ) = − ⋅ e ⋅ cos 2t + e sin 2t + e 3 3 2 3

拉氏反变换

3
求 K12：上式两边对 s 求导一次，则K12被分离出来。
d K 12 ( s p1 )3 F ( s ) s p1 ds 1 d2 3 K 13 ( s p ) F ( s ) s p1 1 2 2! ds


同理


第9章 动态电路的复频域分析
s2 [例9-10] 求 F ( s ) 的原函数 f (t) 。 2 ( s 1) ( s 3)
解：
K 11 K 12 K2 F ( s) 2 ( s 1) s1 s 3 s2 1 2 K 11 ( s 1) F ( s ) s 1 s 1 s3 2 d ( s 3) ( s 2) 1 2 K 12 ( s 1) F ( s ) s 1 s 1 2 ds ( s 3) 4 s2 1 K 2 ( s 3)F ( s ) s 3 2 s 3 ( s 1) 4 1 1 1 1 t 1 t 1 3t 2 4 4 f ( t ) te e e F ( s) 2 2 4 4 ( s 1) s1 s 3
第9章 动态电路的复频域分析
拉氏反变换： F (s) → f (t) 求解方法：部分分式展开法。 1. 电路中的象函数通常是两个有理多项式之比。 N ( s ) a0 s m a1 s m 1 an F ( s) n m n n 1 D( s ) b0 s b1 s bn
s 1
1 4
s 2
第9章 动态电路的复频域分析
s2 s 2 [例9-7] 求 F ( s ) 3 的原函数 f (t) 。 2 s 6 s 11s 6
解： 已求得

拉氏变换详细解读


φ = arctan
1− 1 1−ζ
2
ζ
e−ζωnt sin ωn 1 − ζ 2 t + φ 1−ζ 2
(
18
φ = arctan
2 ωn 2 s ( s2 + 2ζωn s + ωn )
ζ
根据表格直接写出结果
L [δ (t )] = 1, L e
− at
1 L [1(t )] = , s
ω s L [sin ωt ] = 2 , L [ cos ωt ] = 2 2 2 s +ω s +ω
e sinωt →
−at
1 = s+a,
1 L [t ] = 2 s 1 at L e = s−a
s + a ) + ω2 (
2
ω
e cosωt →
−at
s + a ) + ω2 (
3
2
5s3Y (s) + 6s2Y (s) + sY (s) + 2Y (s) = 4sX(s) + X(s) (5s3 + 6s2 + s + 2)Y (s) = (4s + 1) X(s)
Y (s) 4s + 1 = 3 X (s) 5s + 6s2 + s + 2
3.积分定理 积分定理
f (t )dt = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) L ∫ s s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
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