高考数学高频易错题举例解析

高考数学易错题分析与总结高考数学作为众多考生心中的“拦路虎”，其难度和重要性不言而喻。

在备考过程中，对易错题的分析与总结是提高成绩的关键。

以下将为大家详细剖析一些常见的高考数学易错题类型及应对策略。

一、函数部分1、定义域问题函数的定义域是函数存在的基础，很多同学在求解函数问题时容易忽略定义域的限制。

例如，函数\（f(x) ＝＼frac{1}｛＼sqrt{x 1}｝＼），这里的根号下不能为负数，且分母不能为零，所以\（x 1 ＞0\），即\（x ＞ 1\）。

若在后续的计算中忽略了这一限制，就容易出错。

2、单调性与奇偶性判断函数的单调性和奇偶性是函数部分的重点和难点。

在判断单调性时，需要正确使用导数或者定义法。

对于奇偶性，要牢记奇函数满足\（f(x) ＝ f(x)＼），偶函数满足\（f(x) ＝ f(x)＼）。

有些同学在运用这些性质解题时，会因为对概念理解不清晰而出错。

例如，函数\（f(x) ＝ x^3 ＋ sin x\），判断其奇偶性。

首先，＼（f(x) ＝（x)＾3 ＋ sin(x) ＝ x^3 sin x ＝（x^3 ＋ sin x) ＝ f(x)＼），所以\（f(x)＼）为奇函数。

二、三角函数部分1、诱导公式三角函数的诱导公式众多，容易记混。

例如，＼（＼sin(＼pi ＼alpha) ＝＼sin ＼alpha\），＼（＼cos(＼pi ＋＼alpha) ＝＼cos ＼alpha\）等。

在解题时，如果不能准确运用诱导公式进行化简，就会导致错误。

2、图像变换三角函数图像的平移、伸缩等变换也是易错题点。

比如，将函数\（y ＝＼sin 2x\）的图像向左平移\（＼frac{＼pi}｛6}＼）个单位，得到的函数应为\（y ＝＼sin 2(x ＋＼frac{＼pi}｛6}）＝＼sin(2x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼），而不是\（y ＝＼sin(2x ＼frac{＼pi}｛6}）＼）。

三、数列部分1、通项公式与求和公式求数列的通项公式和前\（n\）项和公式是数列部分的核心内容。

高考数学高频易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。

也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。

本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。

加强思维的严密性训练。

● 忽视等价性变形，导致错误。

⎩⎨⎧ x >0 y >0 ⇔ ⎩⎨⎧ x + y >0 xy >0 ，但 ⎩⎨⎧ x >1 y >2 与 ⎩⎨⎧ x + y >3 xy >2不等价。

【例1】已知f(x) = a x + xb，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。

错误解法 由条件得⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤+≤-622303ba b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32338-≤≤-b ④ ③+④得 .343)3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数bxax x f +=)(，其值是同时受b a 和制约的。

当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。

正确解法 由题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22)2()1(b a f ba f , 解得：).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .337)3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。

只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。

●忽视隐含条件，导致结果错误。

【例2】(1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。

利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα有的学生一看到449-，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和。

高三数学常见易错题解析在高三数学学习中，有些题目看似简单，却是学生们常犯错误的地方。

本文将对一些高三数学中常见的易错题进行解析，帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点。

一、函数与方程1. 高次多项式的根求解错误常见错误：对于高次多项式，同学们解方程时容易漏掉一些根，或者将非实数根误认为实数根。

解析：对于高次多项式的解题，应采取以下步骤：a. 利用因式定理进行因式分解，将多项式表示为一些一次因式的乘积；b. 将每个一次因式等于零，求解出每个一次因式的根；c. 判断每个根的重复次数，以确定多项式的所有根。

2. 对数函数的定义域错误常见错误：对于对数函数，同学们容易忘记对定义域的限制条件，将定义域限制错误，导致计算结果错误。

解析：对于对数函数，应注意以下几点：a. 底数必须大于0且不等于1；b. 对数函数中的真数必须大于0。

二、几何与三角学1. 三角函数值的计算错误常见错误：在计算三角函数值时，同学们容易忘记将角度转换为弧度制，或者将角度输入错误，导致计算结果错误。

解析：在计算三角函数值时，应注意以下几点：a. 角度制和弧度制之间的转换关系：1弧度= 180°/π；b. 确保输入的角度是正确的，特别是在使用计算器时，应仔细检查输入的角度是否与题目要求一致。

2. 直角三角形的边长比例错误常见错误：在直角三角形中，同学们容易将边长比例记错，或者将长边与短边混淆，导致计算结果错误。

解析：在解决直角三角形问题时，应注意以下几点：a. 确定直角三角形中的直角边、斜边和对边的位置关系；b. 判断使用何种三角函数计算边长比例，常用的有正弦、余弦和正切。

三、概率与统计1. 事件概率计算错误常见错误：在计算事件概率时，同学们容易将事件的排列组合数计算错误，或者将事件的可能性估计错误，导致计算结果错误。

解析：在计算事件概率时，应注意以下几点：a. 根据实际情况判断事件的可能性，合理估计事件发生的次数；b. 根据排列组合原理计算事件的总数和有利结果的总数；c. 根据概率公式计算事件的概率。

专题14二项式定理、复数易错点一：忽略了二项式中的负号而致错（（a-b ）n 化解问题）Ⅰ：二项式定理一般地，对于任意正整数n ，都有：011()()n n n r n r r n nnn n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈ ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式．式中的r n r r nC a b -做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr n T C a b -+=，其中的系数rn C （r =0，1，2，…，n ）叫做二项式系数，Ⅱ：二项式()n a b +的展开式的特点：①项数：共有1n +项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第1r +项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；④项的系数：二项式系数依次是012r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，，，项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）．Ⅲ：两个常用的二项展开式：①011()(1)(1)n n n r r n r r n n nn n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅ （*N n ∈）②122(1)1n r r nn n n x C x C x C x x+=++++++Ⅳ：二项展开式的通项公式二项展开式的通项：1r n r rr nT C a b -+=()0,1,2,3,,r n =⋯公式特点：①它表示二项展开式的第1r +项，该项的二项式系数是rn C ；②字母b 的次数和组合数的上标相同；③a 与b 的次数之和为n ．注意：①二项式()n a b +的二项展开式的第r +1项rn rr n C ab -和()n b a +的二项展开式的第r +1项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．②通项是针对在()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项是1(1)r r n r rr n T C a b -+=-（只需把b -看成b 代入二项式定理）．易错提醒：在二项式定理()n a b -的问题要注意b 的系数为1-，在展开求解时不要忽略.例、已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则=a （）AB ．C ．6D ．6-变式1：在5223x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是．变式2：621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为.变式3：612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为.1．712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中x 的系数为（）易错点二：三项式转化不合理导致计算麻烦失误（三项展开式的问题）求三项展开式式中某些特定项的系数的方法第一步：通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解第二步：两次利用二项式定理的通项公式求解第三步：由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量易错提醒：对于三项式的展开问题，一般采取转化为二项式再展开的办法进行求解，但在转化为二项式的时候，又有不同的处理策略：一是如果三项式能够化为完全平方的形式，或者能够进行因式分解，则可通过对分解出来的两个二项展开式分别进行分析，进而解决问题（如本例中的解法二）；二是不能化为完全平方的形式，也不能进行因式分解时，可直接将三项式加括号变为二项式，套用通项公式展开后对其中的二项式再利用通项展开并进行分析求解，但要结合要求解的问题进行合理的变形，以利于求解.例、()5232x x ++的展开式中，x 的一次项的系数为（）A ．120B ．240C ．320D ．480变式1：在()523a b c ++的展开式中，含22a b c 的系数为.变式2：()521x y --展开式中24x y 的系数为（用数字作答）．变式3：在5(2)x y z ++的展开式中，形如3(,)m n x y z m n ∈N 的所有项系数之和是．1．811x ⎫+⎪⎭的展开式中的常数项为（）易错点三：混淆项的系数与二项式系数致误（系数与二项式系数问题）Ⅰ：二项式展开式中的最值问题1.二项式系数的性质①每一行两端都是1，即0n n n C C =；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即11m m m n n n C C C -+=+．②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即m n mn n C C -=．③二项式系数和令1a b ==，则二项式系数的和为0122r nn n n n n n C C C C C ++++++= ，变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=- ．④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令11a b ==-，，则0123(1)(11)0n nn nn n n n C C C C C -+-++-=-= ，从而得到：0242132111222r r nn n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⋅= ．⑤最大值：如果二项式的幂指数n 是偶数，则中间一项12nT 的二项式系数2nnC 最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，则中间两项12n T +，112n T+的二项式系数12n nC-，12n nC+相等且最大．2.系数的最大项求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为121n A A A +⋅⋅⋅，，，，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来．Ⅱ：二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：（1）设()011222nn n n r n r r n n n nn n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++ ，二项式定理是一个恒等式，即对a ，b 的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取a ，b 的值．①令1a b ==，可得：012n nn n nC C C =+++ ②令11a b ==，，可得：()012301nn n n n n n C C C C C =-+-+- ，即：02131n n n n n n n n C C C C C C -+++=+++ （假设n 为偶数），再结合①可得：0213112n n n n n n n n n C C C C C C --+++=+++= ．（2）若121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++++ ，则①常数项：令0x =，得0(0)a f =．②各项系数和：令1x =，得0121(1)n n f a a a a a -=+++++ ．注意：常见的赋值为令0x =，1x =或1x =-，然后通过加减运算即可得到相应的结果．易错提醒：二项式定理()n a b +的问题要注意：项的系数与二项式系数的区别与联系（求所有项的系数只要令字母值为1）.例、设(n x 的展开式中，第三项的系数为36，试求含2x 的项．变式1：求5的展开式中第3项的系数和二项式系数．变式2：计算()92x y +的展开式中第5项的系数和二项式系数．变式3：求6⎛⎝的展开式中常数项的值和对应的二项式系数．1．在二项式612x ⎫⎪⎭的展开式中，二项式系数最大的是（）Ⅰ：复数的概念①复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，a ，b 分别是它的实部和虚部，i 叫虚数单位，满足21i =-（1）当且仅当b ＝0时，a ＋b i为实数；（2）当b ≠0时，a ＋b i 为虚数；（3）当a ＝0且b ≠0时，a ＋b i 为纯虚数．其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．②两个复数,(,,,)a bi c di a b c d R ++∈相等a c b d=⎧⇔⎨=⎩（两复数对应同一点）③复数的模：复数(,)a bi a b R +∈的模，其计算公式||||z a bi =+=Ⅱ：复数的加、减、乘、除的运算法则1、复数运算（1）()()()()i a bi c di a c b d +±+=±+±（2）()()()()a bi c di ac bd ad bc i +⋅+=-++22222()()z z ||||)2a bi a bi a b z z z z z a⎧+⋅-=⋅=+=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩(注意其中||z =z 的模；z a bi =-是z a bi =+的共轭复数(,)a b R ∈．（3）2222()()()()(0)()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c d c di c di c di c d++⋅-++-==+≠++⋅-+．实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．2、复数的几何意义（1）复数(,)z a bi a b R =+∈对应平面内的点(,)z a b ；（2）复数(,)z a bi a b R =+∈对应平面向量OZ；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．（4）复数(,)z a bi a b R =+∈的模||z 表示复平面内的点(,)z a b 到原点的距离．易错提醒：1、求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则该复数的实部为a ，虚部为b .2、复数是实数的条件：①z ＝a ＋b i ∈R ⇔b ＝0(a ，b ∈R )；②z例、复数113i-的虚部是（）A.110i -B.110-C.310D.310i 变式1：已知复数1i2i z -=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A ．35-B ．3i5-C ．35D ．35i变式2：已知i 是虚数单位，则复数12i1i--的虚部是（）A ．12-B ．12C ．32-D ．32变式3：已知复数()()2i 1i z =-+，则复数z 的虚部为，z =．1．5(2i)(12i)i-++的虚部为（）易错点五：复数的几何意义应用错误（复数有关模长的求算）复数的模：复数(,)a bi a b R +∈的模，其计算公式||||z a bi =+=易错提醒：复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离.例、若z C ∈，且22i 1z +-=，则22i z --的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5变式1：已知复数z 满足1i z -+=，z 为z 的共轭复数，则z z ⋅的最大值为.变式2：已知i 为虚数单位，且2i 1z -=，则z 的最大值是.变式3：已知复数z 满足|2|2|2i |z z -=-，则||z 的最大值为．1．设复数z 满足|2i |z -=z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（）。

高考易错题解析：数学高考数学考试是一项棘手的考试，但也有一些是常见的易错题，掌握这些常见的易错题能够有助于提高考试成绩。

本文就来为大家解析一些常见的高考数学易错题，帮助大家在备考中更好地把握考试的节奏，提高考试成绩。

一、常见易错题之一：百分数问题百分数问题包括计算百分比增幅、计算同率增减、计算原价与折后价等。

考生在临场更容易犯的错误是将增减的金额理解成百分比，而将百分比理解成增减的金额。

其实，增减的金额是以原价百分比为基础，乘以增减的金额就是新价格；而百分比是以100为基础，将其减去折后百分比，再除以100，就是增减的金额。

二、常见易错题之二：三角形的面积计算三角形的面积计算是高考中的一个重要考点，考生容易犯的错误是误将其他形状的面积公式使用到三角形的面积计算中。

其实，三角形面积的计算是利用求解三角形三边长度、角度等参数，先求出三角形的半周长，再用半周长求平方根计算三角形面积，即可计算出三角形的面积。

三、常见易错题之三：函数变换函数变换是高考中的考查内容，考生容易犯的错误是将变量x与变量y的变换关系弄反，即将x作为自变量，y作为因变量，而把因变量y当做自变量，x当做因变量。

其实，函数变换是把形式上的变量x和y交换到另一种形式的函数，而根据定义，自变量x在前，因变量y在后，一定不可以弄反，否则变换函数的关系就会出错。

四、常见易错题之四：空间几何题空间几何题既有平面几何又有立体几何，考生容易犯的错误是把平面几何算式用在立体几何上，而把立体几何算式用在平面几何上。

其实，空间几何题中，平面几何要求应用平面几何的算式，立体几何要求应用立体几何的算式来解答，一定要正确把握几何性质，才能正确求解出几何问题的结果。

总之，常见的高考数学易错题并不多，考生只要能够正确地理解题目，熟悉相关算式，掌握基本知识点，就能够避免犯错，提高考试成绩。

高考数学易错题分析与总结高考数学对于许多同学来说是一场充满挑战的考试。

在备考过程中，了解并掌握常见的易错题类型，对于提高成绩至关重要。

下面我们就来对高考数学中的易错题进行详细的分析与总结。

一、函数部分1、函数定义域和值域问题在求函数定义域时，容易忽略一些限制条件。

例如，对于分式函数，分母不能为零；对于偶次根式函数，被开方数必须大于等于零；对于对数函数，真数必须大于零。

在求函数值域时，没有考虑到函数的单调性、奇偶性等性质，导致取值范围错误。

2、函数单调性和奇偶性问题判断函数单调性时，不能正确运用定义或者导数进行判断。

对于奇偶性，忽略了定义域关于原点对称这个前提条件，或者在利用奇偶性求参数值时出现错误。

【例题】已知函数$f(x)＝＼frac{1}｛x^2 ＋ 1}＄，判断其单调性。

【易错点】直接对函数求导，得到$f'（x)＝＼frac{2x}｛（x^2 ＋ 1)＾2}＄，然后根据导数的正负来判断单调性。

但容易忽略分母恒大于零，只考虑分子的正负，从而得出错误的结论。

【正确解法】设$x_1 ＜ x_2$，计算$f(x_2) f(x_1)＝＼frac{（x_1x_2)（x_1 ＋ x_2)｝｛（x_1^2 ＋ 1)（x_2^2 ＋ 1)｝＄，因为分母恒大于零，而分子的正负取决于$x_1 ＋x_2$的正负，所以需要分区间讨论。

二、三角函数部分1、三角函数的图像和性质对于三角函数的周期性、对称轴、对称中心等概念理解不清，导致在解题时出现错误。

在进行三角函数的变换时，如平移、伸缩等，没有掌握好规律。

2、解三角形问题在利用正弦定理、余弦定理求解三角形时，容易忽略三角形内角和为 180 度这个条件，或者在判断解的个数时出现错误。

【例题】在$＼triangle ABC$中，已知$a=2$，＄b=＼sqrt{3}＄，＄A=60^＼circ$，求角$B$。

【易错点】直接使用正弦定理$＼frac{a}｛＼sin A}＝＼frac{b}｛＼sin B}＄，得到$＼sin B=＼frac{＼sqrt{3}｝｛2}＄，然后得出$B=60^＼circ$或$120^＼circ$。

专题13统计易错点一：统计用表中概念不清、识图不准致误（频率分布直方图、总体取值规律）频率分布直方图作频率分布直方图的步骤①求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差.②决定组距与组数将数据分组时，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来.③将数据分组④列频率分布表各小组的频率＝小组频数样本容量.⑤画频率分布直方图纵轴表示频率组距，频率组距实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率.频率分布直方图的性质①因为小矩形的面积＝组距×频率组距＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.③频数相应的频率＝样本容量.④频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性.易错提醒：频率分布条形图和频率分布直方图是两个完全不同的概念，考生应注意两者之间的区别.虽然它们的横轴表示的内容是相同的，但是频率分布条形图的纵轴表示频率；频率分布直方图的纵轴表示频率与组距的比值，其各小组的频率等于该小组上的矩形的面积.例：如图所示是某公司（共有员工300人）2021年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有______人.易错分析：解本题容易出现的错误是审题不细，对所给图形观察不细心，认为员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的频率为()10.020.080.1020.60-++⨯=，从而得到员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有3000.60180⨯=（人）的错误结论.正解：由所给图形，可知员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的频率为()10.020.080.080.100.1020.24-++++⨯=，所以员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有3000.2472⨯=（人）.故72.易错警示：考生误认为频率分布直方图中纵轴表示的是频率，这是错误的，而是“频率/组距”，所以频率对应的是各矩形的面积.变式1：某大学有男生2000名．为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校100名男生的体重，并将这100名男生的体重（单位：kg ）分成以下六组：[)54,58、[)58,62、[)62,66、[)66,70、[)70,74、[]74,78，绘制成如下的频率分布直方图：70,78上的男生大约有人．该校体重（单位：kg）在区间[]变式2：现对某类文物进行某种物性指标检测，从1000件中随机抽取了200件，测量物性指标值，得到如下频率分布直方图，据此估计这1000件文物中物性指标值不小于95的件数为.变式3：如图是根据我国部分城市某年6月份的平均气温数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20，26]，样本数据的分组为[20，21)，[21，22)，[22，23)，[23，24)，[24，25)，[25，26].已知样本中平均气温低于22°C的城市个数为11，样本中平均气温不低于25°C的城市个数是.1．已知某班全体学生在某次数学考试中的成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则图中a所代表的数值是.2．某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛（满分：这400名学生的竞赛成绩分组如下：分布直方图如图所示，则这400名学生中竞赛成绩不低于3．从某小学所有学生中随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：图），其中样本数据分组[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150)4．某工厂抽取100件产品测其重量（单位：[[[[,42]，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在40,40.5),40.5,41),41,41.5),41.5件数为．5．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．设函数()()()f c p c q c =+，则函数()f c 在区间[95,105]取得最小值时c =．6．某大学有男生10000名．为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校100100名男生的体重（单位：kg ）分成以下六组：[)54,58、[)58,62、[)62,66、[66,70kg []7．某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了秒），将数据按照[)11.5,12，[)12,12.5，…8．某工厂对一批产品的长度（单位：mm）进行检验，将抽查的产品所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，若长度在20mm以下的产品有30个，9．某中学为了解学生的数学学习情况，在全体学生中随机抽取30,40成绩，将所得的数据分为7组：[)图，则在被抽取的学生中，该次数学考试成绩不低于10．某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况，测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这平均成绩的估计值为．11．将一个容量为100的样本数据，按照从小到大的顺序分为组号123456频数10161815若第6组的频率是第3组频率的12．节约用水是中华民族的传统美德，某市政府希望在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理易错点二：统计中的数字特征的实际意义理解不清楚致误（频率分布直方图特征数考查）众数、中位数、平均数①众数：一组数据中出现次数最多的数.②中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.③平均数：如果n个数x1，x2，…，x n，那么()∑==+++=niinxnxxxnx12111叫做这n个数的平均数.总体集中趋势的估计①平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.②一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数.频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法①样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替.②在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等.③将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值.易错提醒：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.例．某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，估计该班本次测试众数为．变式1：为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择自行车，他记录了100次骑车所用时间（单位：分钟），得到频率分布直方图，则骑车时间的众数的估计值是分钟变式2：数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学的部分统计结果如下：甲同学：中位数为3，方差为2.8；乙同学：平均数为3.4，方差为1.04；丙同学：中位数为3，众数为3；丁同学：平均数为3，中位数为2.根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是同学.变式3：以下5个命题中真命题的序号有.①样本数据的数字特征中，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息；②若数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的标准差为S ，则数据1ax b +，2ax b +，3ax b +，…，n ax b +的标准差为aS ；③将二进制数(2)11001000转化成十进制数是200；④x 是区间[0,5]内任意一个整数，则满足“3x <”的概率是35.1．2022年11月卡塔尔世界杯如期举行，这是世界足球的一场盛宴．为了了解全民对足球的热爱程度，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了1000名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：[)70,75，[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100，得到如图所示的频率分布直方图．图中部分数据丢失，若已知这1000名观众评分的中位数估计值为87.5，则m=.2．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为o m ，平均数为x ，则,,e o m m x 的大小关系是．3．《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取数据，按[)40,45，[)45,50，[50,55所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的中位数是4．为了解某校高三学生的数学成绩，随机地抽查了该校布直方图如图所示.请根据以上信息，估计该校高三学生数学成绩的中位数为两位）5．2021年某省高考体育百米测试中，成绩全部介于按如下方式分成六组：第一组[12,13该100名考生的成绩的中位数（保留一位小数）是6．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为.7．某快递驿站统计了近期每天代收快件的数量，并制成如下图所示的频率分布直方图．则该快递驿站每天代收包裹数量的中位数为8．某质检部门对某新产品的质量指标随机抽取10．某大学天文台随机调查了该校100位天文爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图，则估计该校100名天文爱好者的平均岁数为.11．众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，､､分别表示众数､平均数､形态中，m n p12．如图为某工厂工人生产能力频率分布直方图，则估计此工厂工人生产能力的平均值为易错点三：运用数字特征作评价时考虑不周（方差、标准差的求算）方差、标准差①假设一组数据为n x x x x ,,,321，则这组数据的平均数()∑==+++=ni i n x n x x x n x 12111 ，方差为()()()[]()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-+-+-=∑∑=2221222212111n ii n i i n x n x n x x n x x x x x x ns ，标准差()211∑=-=ni i x x n s ②若假设一组数据为n x x x x ,,,321，它的平均数为x ，方差为2s ，则一组数据为b ax b ax b ax b ax n ++++ ,,,321，的平均数为b x a +，方差为22s a 。

高三数学错题整理与解析在高三数学学习过程中，学生经常会遇到各种错题。

对于这些错题，我们需要进行仔细的整理与解析，以提高学生的数学水平。

本文将对高三数学错题进行整理分类，并给出详细的解答和解析。

一、代数与函数1. 题目：已知函数$f(x) = \frac{1}{x}$，求函数$f(f(x))$的表达式。

解析：将$f(x) = \frac{1}{x}$代入$f(f(x))$中，得到$f(f(x)) =\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$。

2. 题目：已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图像关于$x$轴对称，且顶点在直线$y = 2x + 1$上。

求$a$、$b$、$c$的值。

解析：由于图像关于$x$轴对称，所以顶点的纵坐标为0。

将顶点的横坐标代入直线方程$y = 2x + 1$中，得到$0 = 2x_0 + 1$，解得$x_0 = -\frac{1}{2}$。

将$x_0 = -\frac{1}{2}$代入二次函数$f(x)$中的横坐标，得到$a\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + b\left(-\frac{1}{2}\right) + c = 0$。

根据顶点坐标的性质，我们知道顶点的横坐标为$-\frac{b}{2a}$，因此$-\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2}$，解得$b = a$。

将$b = a$代入上述方程，得到$a\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + a\left(-\frac{1}{2}\right) + c = 0$，整理得$c = \frac{1}{4}$。

综上所述，$a = b$，$c = \frac{1}{4}$。

二、几何与三角学1. 题目：已知$\triangle ABC$中，$AB = 7$，$AC = 9$，$BC = 5$，$D$为边$BC$上一点，且$\angle BAD = \angle CAD$。