算两次思想的研究与拓展-高中数学微课题研究性教程

专题2.17：二次函数图象相关问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：已知函数f (x )=x 2+ax +b 的值域为[4,+∞), 若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ,m +6),则实数c 的值为 .变式1：函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈的值域为[)2+∞，，若关于x 的方程()f x c =的解集为{}1,3m m -+,求实数c 的值. 6变式2：已知函数b ax x x f ++=2)(的图象与x 轴相切，若直线c y =与5+=c y 分别交)(x f 的图象于D C B A ,,,四点，且四边形ABCD 的面积为25，则正实数c 的值为_______.变式3：已知函数1)3()(2+-+=x m mx x f 的值域为[)+∞,0，则实数m 的取值范围是____________.探究2：已知2(),(,,R)f x ax bx c a b c =++∈满足(0)2,(1)2,f f ≥≥方程()0f x =在(0,1)上有两实根, 则a 的取值范围是 ．8a ≥探究3：函数x x x f 102)(2-=,若对任意R x ∈,不等式)cos 1()cos 22(m x f x f --<-恒成立，求实数m 的取值范围.解：由于两自变量关系不定，故可利用二次函数中一个重要性质优化：离对称轴越远，函数值越大。

在计算过程中，可利用换元法优化计算，设[]2,0,cos 1∈-=t x t ，则原不等式可化为)()2(m t f t f -<，则25225->--t m t 在[]2,0∈t 上恒成立，解得：5-<m 或1>m .一般的，若二次函数解析式为)0(2>++=a c bx ax y ，若R x x ∈21，,则)()(21x f x f <的充要条件为ab x x -=+21无解 变式1：已知函数4)(2++=bx ax x f 在区间[)∞+-，1上是单调递增函数，在(]1-∞-，上是单调递减函数，且当a x x x x -=+<1,1221时，有)()(21x f x f <，则实数a 的取值范围是__________ ()30，也可利用代数方法验证变式2：二次函数()f x 的二次项系数为负，且对任意实数x ，恒有()(4)f x f x =-，若22(13)(1)f x f x x -<+-，则x 的取值范围是 ),0()21,(+∞--∞ 变式3：函数c bx x x f ++=2)(的对称轴为直线1-=x ，且3)0(=f ，比较()()x x f b f c 与的大小．变式4：加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）BA.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟 O 5430.80.70.5tp变式5：设定义在R 上的连续函数)(x f ，对任意R x ∈都有)()4(x f x f =-，0)()2(<'-x f x ，给出下列结论：① 函数)2(+=x f y 为偶函数；② )2()2(2x x f f +->；③ 若2)2015(,2014)2(-==f f ，则函数)(x f 有两个零点；④ 若4,2121>+<x x x x ，则)()(21x f x f <. 其中正确命题的序号为_______.（请填写所有正确命题的序号）1,2,3探究4：已知二次函数的图像顶点为(1,-4)A ，且图像在x 轴上截得的线段长度为4，求二次函数的解析式. 拓展：若将图像的顶点坐标改为(,-4)()A m m R ∈，其他条件不变，二次函数的开口方向和大小是否会发生变化？并说明理由.变式1：已知2()22,f x x ax =+-若(1)(3),f f =则实数a 的值为____________ -8变式2：已知2()22013,f x x ax =-+且12()(),f x f x =)(21x x ≠则12()______f x x += 由对称轴可得12()(0)2013f x x f +==变式3：已知函数2()21,f x x ax =-+若存在[]0,3,t ∈使得2(1)(2)f t f t --=，则实数a 的取值范围是__________ 由对称性可转化为2122a t t --+=在[]0,3t ∈上有解. 探究5：已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，则实数m 的取值范围是 . 2,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】画出二次函数的分析简图：由图象分析可得结论：开口向上的二次函数()f x 在[],m n 上恒小于0的充要条件为()0,()0.f m f n <⎧⎨<⎩ 开口向下的二次函数()f x 在[],m n 上恒大于0的充要条件为()0,()0.f m f n >⎧⎨>⎩ 22,()0,222,0(1)0.230.2m f m m f m m ⎧-<<⎪⎛⎫<⎧⎪⇒⇒∈- ⎪⎨⎨ ⎪+<⎩⎝⎭⎪-<<⎪⎩. （江苏苏州 何睦） 变式1：已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意()1,+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，则实数m 的取值范围是__________ . 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,22 变式2：已知函数2()1,f x x mx =+-若对于任意[),1x m m ∈+，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是__________ . 【答案】2,02⎛⎤- ⎥ ⎝⎦变式3：已知函数2()1,f x x mx =+-若存在[,1]x m m ∈+，使得()0f x <成立，则实数m 的取值范围是__________ . 【答案】32,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭变式4：若不等式2051x px ≤++≤恰好有一个实数解，则p 的值为 . 4±探究6：已知定义在R 上的函数)3()(2-=ax x x f ，函数)()()(x f x f x g '+=[])2,0(∈x 在0=x 处取得最大值，则正数a 的取值范围是 .变式：如果题目条件改为：在2=x 处取得最大值，则正数a 的取值范围是 .说明：)0(6)33(633)(23223>--+=-+-=a x x a ax x ax x ax x g N 型曲线，过原点；6)66(3)(2--+='x a ax x g , 6)0(-='g ,所以原点一定在落在单调减区间上。

高中数学解题中“算两次”思想的应用探析作者：赵慧来源：《理科爱好者(教育教学版)》2020年第02期【摘要】为提升高中生数学解题效率，教师要渗透“算两次”解题思想，为学生提供更多解题思路，提高学生数学学习质量。

本文就高中数学解题中“算两次”思想方法的应用进行探析。

【关键词】高中数学;解题教学：解题思想;算两次“算两次”数学解题思想应用非常普遍，但教师尚未对其进行一定的归纳研究，没有引导学生掌握该思想的解题精髓。

笔者结合教学经验对该解题思想进行一定剖析。

1 算两次1.1 数学定义该数学解题思想基于富比尼原理开展教学应用，目前在数学教育工作中应用较多。

其解题本质主要是，通过“两个领域”对某一量进行“连续计算两次”，以推导出等量关系式。

基于“两个领域”与“连续计算两次”的过程，则将该解题思想定义为“算两次”解题思想。

1.2 逻辑思路部分数学学者在研究该解题思想时，提出了解题的基本逻辑思路。

基于两个领域对问题进行分析思考，假定两个领域都可以得出相应结果，则可以得出一个关于问题的等式[1]。

该数学解题思想，不仅体现了对问题进行多领域计算思考，还体现了引导学生转化视角对问题进行主动研究，提高学生数学学习效果。

学生基于该数学思想开展学习思考，可以拓展自身的发散思维，细化数学内容之间的逻辑关联，构建数学知识框架。

学生通过掌握该数学思想，可以灵活高效地解决很多数学问题。

同时灵活运用该思想可以很好提升学生解决问题的综合能力，增强学生综合学习实力。

2 教学应用2.1 公式推导渗透在高中数学学习中，学生需掌握很多基础定理与公式，因为很多公式定理都是基于基础公式推导而来。

在讲授具体数学定理与公式推导时，教师需对教学方式进行一定创新，合理渗透“算两次”教学思想，引导学生对数学定理与公式进行推导。

通过多视域思考分析，构建等量公式与不等量公式，以证明数学推导公式的科学性与正确性。

通过掌握“算两次”思想理论，学生可以不断拓展自身学习思考视域，提高自身解决数学问题的综合能力。

高中学生研究性课题报告三篇所谓课题研究，是指要对正在学习或研究的问题进行讨论或急待解决的问题进行研究。

以下是为大家收集的高中学生研究性课题报告三篇，仅供参考，欢迎大家阅读。

【篇一】高中学生研究性课题报告课题研究的背景及意义俗话说得好："人靠衣装，佛靠金装'，而一句"衣食住行'更是将"衣'摆在首位。

可见，"衣着'在人们的日常生活、社会交际中扮演着何等重要的角色。

绚丽多彩的服饰不仅体现了人类对美的追求，更作为社会文化的一种载体，不同的服饰打扮还可以从侧面反映出不同的社会背景和文化。

从远古时代的人类用树叶兽皮遮羞保暖，到当今社会讲究时尚、潮流、个性的流行服饰，人类的服饰演变历程怎样?它又是怎样影响、改变人们生活与观念的?当代的中学生对穿着打扮的追求和看法又是什么?我们将带着这一系列的问题，追寻我国服饰文化史，领略中华服饰文化的精髓与博大。

希望通过我们的研究，制订出一个可行方案，宣传服饰文化，让服饰文化引起更多当代中学生的关注，使他们对穿着打扮的追求有更高更新的认识与品味，让他们的穿着打扮展现出当代中学生动人的风采。

预期成果体验、调查分析报告、论文研究方法通过查阅书籍、报刊杂志、互联网、问卷调查、实地考察等形式，在老师的指导下，结合自己的基础知识、能力，收集有关资料，撰写相关论文。

活动计划任务分工：由于人数有限，所以全组全过程参与。

活动计划：第一阶段(第3周)：参加课题研究培训，开好开题会，制订课题研究方案。

第二阶段(第410周)：通过各种有效途径搜集中国古今服饰文化的有关资料，并整理分析资料。

第三阶段(第11周)：对我校高一年级的学生对穿着打扮追求与认识的问卷调查，整理分析调查数据高中历史研究课题开题报告模板高中历史研究课题开题报告模板。

第四阶段(第1213周)：总结课题研究工作，撰写和修改课题研究报告。

准备相关验收材料，完成有关结题验收的准备工作，申请课题鉴定、验收。

“算两次”在高中数学中的应用探究波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须将同一个量以两种不同的方法表示出来”，即将一个量“算两次”，由此建立相等关系列出方程，它是从不同的角度考察问题，体现了转化及方程的思想。

“算两次”是一种重要的数学方法，她贯穿了我们对数学的学习过程，从小学的减法运算完后用加法运算检验其结果，除法运算完后用乘法运算检验其结果；为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，等等都属于“算两次”。

不仅计算题、求解题需要这样做，在证明中，用两种方法计算同一个量，更是一种行之有效的基本方法。

可见“算两次”在数学解题中有广泛的应用，本文专门探讨利用“算两次”解决高中阶段出现的一些问题问题。

一、“算两次”在与导数相关切线方程中的应用“算两次”在导数中的应用主要体现在切线方程，它的应用基础是一个量的两种表示。

在切线方程方面，能够通过两种表示的有两个量：切线斜率和切点（x0，f（x0））。

通过学习我们都知道，导数的几何意义即函数y=f（x）在x0处的导数f/（x0）为相应切线方程的斜率k。

如果我们知道函数在在x0处的切线或者与切线平行或垂直的直线我们就可以知道，通过这两方面都能求出。

当然在这中间还有一个共同的量――切点，它是切线与曲线的交点，能够起到沟通的作用。

我们不妨通过下面一道题来说明这个问题：例1：设直线y=x+b是曲线y=lnx的一条切线，则实数b 的值为？分析：我们不妨设切点为（x0，f（x0））（1）通过题意我们由切线y=x+b可知切线的斜率为k=1（2）再由函数y=lnx 可得k=1/x0通过上面的形式我们对k “算两次”可得x0= 1（1）由于切点为曲线上的点，可知切点为（1，0）（2）切点也在切线上，通过上述形式我们对于切点“算两次”，可得1+b=0则b=-1。

结合上述问题我们不难发现，我们对切线的斜率和切点进行了算两次，基于这类题目我们不妨看下列这些相似的问题：变式1：设曲线y=eax在x=0处的切线于x+2y+1=0垂直，求a变式2：曲线y=x3+x-2在P点的切线平行于y=4x-1，求P点坐标。

“算两次”的思想方法及其在高中数学解题中的应用“算两次”是一种重要的数学方法，又称为富比尼（G。

Fubini）原理。

它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，从而建立等量关系。

如立体几何中求距离常用的等体积法，就是利用三棱锥可换底的特点，两次计算体积建立等式求高（即距离）。

又如在解析几何中求某些动点轨迹，常根据动点满足的两个条件列出等式。

“算两次”常用于解各类数学竞赛题。

而在高中数学解题教学中“算两次”的方法虽有应用但不受重视，没有从思想的高度予以认识。

甚至解题教学中很少提到“算两次”的概念。

“算两次”的解题形式，单?教授将其比喻成“三步舞曲”，即从两个方面考虑一个适当量，“一方面……，另一方面……，综合起来可得……”。

如果两个方面都是精确的结果，综合起来得到一个等式；如果至少有一个方面采用了估计，那么综合起来得到一个不等式。

“算两次”不仅体现了从两个方面去计算的解题方法，还蕴涵着换一个角度看问题的转换思想。

向学生介绍“算两次”的解题应用，能有效地培养学生思维的发散性，使学生体会到数学知识的内在联系及统一性。

它应当成为学生进行再发现、再创造活动的探索方式。

本文介绍算两次原理在高中数学解题中的应用情况，以期引起大家的重视。

一、算两次与解析几何例1椭圆以正方形ABCD的对角顶点A、C为焦点，且经过各边的中点，求椭圆的离心率。

评注如何建立关于a、c的关系式从而求出e呢？在这里线段AM具有双重身份，可有两种表达形式，正是表达的多样性使得“算两次”有了用武之地。

在很多与图形有关的题目中只要细心寻找诸如AM这样的量，“算两次”就有了一展身手的机会。

二、算两次与向量评注本题解决的关键是从两个角度来考虑向量AP。

一个角度顺其自然（题目已知），一个角度曲径通幽（隐藏的结论）。

教学过程中教师有必要总结提炼出这里的数学方法――算两次，使学生对问题的解决能力得到进一步提升。

三、算两次与导数评注题中分别利用导数的几何意义和斜率的坐标公式得到切线的斜率k的两种算法，建立方程使问题得以解决。

一种转化思想 ----算两次湖北省武汉市蔡甸区第二中学 朱本韬算两次是一种常用的数学方法，也称作富比尼原理。

它体现了数学的转化思想，方程思想。

波利亚在《数学的发现》一文中就曾经说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来。

新编人教版高中教材例题习题中多次使用“算两次”的方法解决问题，同时，在每年全国各省市的高考压轴题或摸拟题中也是常见的方法。

一 “算两次”在教材中例１ 《必修４》（人教版）第二章“两角和与差的余弦公式”的证明证明：如图1，在直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边分别作角α、β ，其终边分别与单位圆交于P 1（cos α，sin α），P 2（cos β，sin β），则∠P 1OP 2＝α－β，由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以只需证明0≤α－β＜π的情况，设向量α＝−→−1OP ＝（cos α，sin α），b =−−→−OP2＝（cos β，sin β），则一方面有a ·b ＝|α|·|β| cos （α－β）＝cos （α－β），另一方面，用向量数量积的坐标表示，又有a ·b ＝cos α cos β＋sin α sin β。

综上可得cos （α－β）＝cos α cos β＋sin α sin β，证毕在该公式的证明过程中，用平面向量数量积的两种运算方法，把α·β分别表示为α·β＝|α|·|β| cos θ与α·β＝x 1x 2＋y 1y 2，建立方程关系，从而证明了该公式，这里用到的数学方法就是算两次原理。

例２ 《必修５》（人教版）第二章“等差数列前n 项和的公式”的推导。

解：一方面,Ｓn ＝α1+α2+α3+…＋αn ＝α１＋（α１＋d ）＋（α２＋２d ）＋…＋[α１＋（n －１）d] ① 另一方面,Ｓn ＝αn ＋αn-1＋αn-2＋…＋α１＝αn ＋(αn －d)＋( αn －2d)＋…＋[αn －(n －1)d ] ② ①＋②得：２Ｓn ＝（α１＋αn ）＋（α１＋αn ）＋…＋（α１＋αn ）＝n （α１＋αn ）由此得到等差数列{αn }的前n 项和公式：Ｓn ＝2)a n(a n 1+ 在该公式推导中，结合等差数列的通项公式及其推论性质，将Sn 进行两种不同的表示，然后倒序相加。