高中数学苏教版选修1-2课件：第二章 推理与证明 2.1.2

a+b ab 引例2：回顾基本不等式： 2
(a>0,b>0)的证明.
证明: 因为:( a b ) 0
2
a+b ab 证明:要证 2 只需证:a + b 2 ab
所以 a + b 2 ab 0 所以 a + b 2 ab
a+b ab 成立 所以 2
只需证:a + b 2 ab 0
A
B
C…
本题结论
利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
P Q1
Q1 Q 2
Q2 Q3
…
Qn Q
综合法推证过程: 由因导果 已知条件 … … 结论
直接证明
引例1: 已知:四边形是ABCD平行四边形.
求证:AB=CD,BC=DA
证明:连结AC, ∵四边形 ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD,BC∥CD 故∠1=∠2, ∠3=∠4 又∵AC=CA B
A 1 3
4
D 2 C
∴⊿ABC≌⊿CDA ∴AB=CD,BC=DA
直接从原命题的条件逐步推得命题成 立,这种证法通常称为直接证明. 直接证明的一般形式: 本题条件 已知定义 已知定理 已知公理
所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
例2.已知a, b, c为不全相等的正数， bc a c a b a b c 求证： 3 a b c

【解析】 由反证法证明数学命题的步骤可知， 上述步骤的顺序应为③①②. 【答案】 ③①②
5.若 a，b，c 互不相等，证明：三个方程 ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0， cx2＋2ax＋b＝0 至少有一个方程有两个相异实根.
【证明】 假设三个方程中都没有两个相异实根， 则 Δ1＝4b2-4ac≤0，Δ2＝4c2-4ab≤0，Δ3＝4a2-4bc≤0. 相加得 a2-2ab＋b2＋b2-2bc＋c2＋c2-2ac＋a2≤0，(a-b)2＋(b-c)2＋(c-a)2≤0， ∴a＝b＝c.这与 a，b，c 互不相等矛盾. ∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.
3.设 a，b 是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2； ④a2＋b2>2.其中能推出“a， b 中至少有一个大于 1”的条件是________(填序号).
【解析】 假设 a，b 均不大于 1，即 a≤1，b≤1. 则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a，b 中至少有一个大于 1”， 故选③.
立面为“全部大于”.
【自主解答】
1 假设(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a 都大于4.
∵a，b，c∈(0,1)， ∴1-a>0,1-b>0,1-c>0. 1-a＋b ∴ ≥ 1-ab> 2 1 1 4＝2.
1-b＋c 1 1-c＋a 1 同理 2 >2， 2 >2.
三式相加得 1-a＋b 1-b＋c 1-c＋a 3 ＋ 2 ＋ 2 >2， 2 3 3 即2>2，矛盾. 1 所以(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a 不能都大于4.
2.反证法 (1)基本过程： 反证法证明时，要从否定结论 开始，经过 正确的推理 ，导致 逻辑矛盾 ，从 而达到新的否定 (即肯定原命题).

a＋b
b＋c
a＋c
求证：logx 2 ＋logx 2 ＋logx 2 <logxa＋logxb＋logxc.
证明
达标检测
1.设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex (x<0)，那么a与b的大小关系为_a_>_b_____.
解析 ∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1， b＝ex<e0＝1，∴a>b.
直接证明
定义
从
条件出发，以已知的 定义 、
公理 、 定理 为依据，逐步下推，直 综合法
到推出要证明的结论为止.这种证明
方法称为综合法
从问题的 结论 出发，追溯导致_结__论_
推证过程 条件 ⇒…⇒…⇒ 结论
成立的条件，逐步上溯，直到使结论 分析法
结论 ⇐…⇐…⇐ 条件
成立的条件和 条件或事实 吻
合为止.这种证明方法称为分析法
第2章 2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 直接证明
学习目标 1.了解直接证明的特点. 2.掌握综合法、分析法的思维特点. 3.会用综合法、分析法解决问题.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 直接证明
思考 阅读以下证明过程，总结此证明方法有何特点？ a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc. 证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc. 又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc. 因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc. 答案 利用条件a>0，b>0和根本不等式，最后推导出所要证明的结论.
解析 根据不等式性质，当a>b>0时，才有a2>b2， ∴只需证 2＋ 7< 6＋ 3，即证( 2＋ 7)2<( 3＋ 6)2.

是等差数列．类比上述性质，若数列{cn}是各项都为正数的等比数列，对于
dn＞0，则dn＝
时，数列{dn}也是等比数列．
二、数学运用
例2 若△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，分别用综合法
和分析法证明：
c a＋b
＋
a b＋c
＝1
．
分析法和综合法是两种常用的直接证明方法． 分析法的特点是执果索因，综合法的特点是由因导果. 分析法常用来探寻解题思路，综合法常用来书写解题过程．
二、数学运用
例4 已知数列{an}，an ≥0， a1 ＝0，an＋12＋an＋1 －1＝ an 2(n∈N*)
记Sn ＝ a1 ＋a2＋…＋an
Tn＝1＋1a1
＋
(1＋a1
1 )(1＋a2
)
＋


＋
(1＋a1
1 )(1＋a2
)



(1＋an
)
求证：当n∈N*时，（1） an＜an＋1
（2） Sn＞n－2
（3） Tn＜3
三、课堂总结
从知识、方法、收获三个方面进行小 结，明确推理、归纳推理的概念及彼此间关 系．认识数学本质，把握数学本质，增强创 新意识，提高创新能力．
四、课后作业 教材第102-103页复习题 第3题，第4题，第5题，
第9题，第12题，第13题.
二、数学运用
例3 已知A，B，C∈(0，1)， 求证：(1－a)b， (1－b)c， (1－c)a不能同时大于
1
．
4
用反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现以下三种情况： （1）导出非p为真，即与原命题的条件矛盾； （2）导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾； （3）导出一个恒假命题．

章末复习提升
4
2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是 数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推 理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的， 前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.
章末复习提升
5
3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接 证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条 件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证 明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接 证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发， 推出矛盾的证明方法.
第2章——
章末复习提升
1 知识网络 2 要点归纳 3 题型研修
系统盘点，提炼主干 整合要点，诠释疑点 突破重点，提升能力
知识网络
章末复习提升
系统盘点，提炼主干
3
要点归纳
整合要点，诠释疑点
1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分 到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能 由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真， 有待进一步证明.
章末复习提升
30
2.使用反证法证明问题时，常见的“结论词”与“反设词” 列表如下：
原结论词 反设词
原结论词
反设词
至少有一个 一个也没有 对所有x成立 存在某个x不成立
至多有一个 至少有两个 对任意x不成立 存在某个x成立
章末复习提升
31
至少有n个 至多有n－1个
p或q
至多有n个
n＋1个
p且q
¬p且¬ q ¬p或 ¬q
章末复习提升
21
反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立
体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所 反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.反

【解析】 “边的中点”类比为“各面的中心”.
【答案】 中心
教材整理 2 合情推理 阅读教材 P35“练习”以上部分，完成下列问题. 1.合情推理的含义 根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直 觉等推测某些结果的推理过程称为合情推理.归纳推理和 类比推理都是数学活动 中常用的合情推理.
2.合情推理的特点 (1)合情推理的结论超越了前提所包容的范围，带有猜想的成分，因此推理 所得的结论未必正确； (2)合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供证明的思路和方向的作用.
如图 2-1-9 所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端 点)有 n(n>1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为 an，则 a6＝________，an＝ ________(n>1，n∈N*).
类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体 ABCD 中，设 ha，hb， hc，hd 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为 pa，pb，pc，pd，可以得到结论phaa＋phbb＋hpcc＋phdd＝1.
【答案】 n c1·c2·c3·…·cn
类比推理在几何中的应用 如图 2-1-10 所示，在平面上，设 ha，hb，hc 分别是△ABC 三条边
上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为 pa，pb，pc，可以 得到结论phaa＋phbb＋phcc＝1.
图 2-1-10 证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.
图 2-1-9
【解析】 依据图形特点，可知第 5 个图形中三角形各边上各有 6 个点， 因此 a6＝3×6-3＝15.由 n＝2,3,4,5,6 的图形特点归纳得 an＝3n-3(n>1，n∈N*).

与圆心距离相等的两弦相等;与圆 与球心距离相等的两截面圆面
心距离不等的两弦不等,距圆心较 积相等;与球心距离不等的两
近的弦较长.
截面圆面积不等,距球心较近
的截面圆面积较大.
以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的圆 的方程为(x-x0)2＋(y-y0)2=r2.
以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径 的球的方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.
试根据等式的性质猜想不等式的性质. 等式的性质：
(1) a b a c b c ; (2) a b ac bc ; (3) a b a2 b2;等等.
类比推理的结论不一定成立.
类比推理 类比推理 注意
一般步骤
由特殊到特殊的推理
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
小结 ☞
归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发
观察、分析、 比较、联想
归纳推理
合情推理 类比推理
归纳、 类比
提出 猜想
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
例题４：请同学们看课本P26 （３分钟）
B
P
S1
S2 D
S3
F
C
AE
传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一 根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则, 把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡” 的作用.
类比推理的结论不一定成立
1）找出两事物的相似性和一致性。2）用一 类事物的性质去推测另一类事物的性质得出 明确的命题
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.

分析法
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立的条件，逐步上溯，直到使结论成 立的条件和 已知条件或已知事实吻合 为止.这种证明方法称为分析法
结论
⇐…⇐…⇐
已知 条件
第九页，共三十七页。
[思考辨析 判断(pànduàn)正误]
1.综合法是执果索因的逆推证法.( ×) 2.综合法证明的依据是三段论.( √) 3.综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件.( ) √ 4.分析法与综合法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆.
证明
反思与感悟 分析法格式(gé shi)与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着 分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、
公理、公式、法则等).这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是 可以逆推的.它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”.
3.已知a，b，c分别(fēnbié)是△ABC的内角A，B，C的对边，且a2＋b2－c2＝ab，则角
π C的值为____. 3
解析 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝2aabb＝12， ∵0<C<π，∴C＝π3.
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第三十页，共三十七页。
解析(jiě 答案(dá
4.欲证 2－ 3< 6－ 7成立，只需证下列各式中的___③___.(填序号) ①( 2－ 3)2<( 6－ 7)2； ②( 2－ 6)2<( 3－ 7)2； ③( 2＋ 7)2<( 3＋ 6)2； ④( 2－ 3－ 6)2<(－ 7)2.
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第2章 2.2 直接证明与间接(jiàn jiē)证明
2.2.1 直接证明(zhíjiē zhènɡ mínɡ)

1- 22 2 (n N *) 的值. 2. 猜想 11
2n个 n个
解 : 当 n= 1 时 , 当 n= 2 时 , 当 n= 3 时 , 猜想89 =33, 111111 - 222 = 110889 =333.
4. 演绎推理
从一般性原理出发, 推出某个特殊情况下 的结论, 这样的推理叫演绎推理. 三段论是演绎推理的一般模式, 包括: (1) 大前提 — 已知的一般原理; (2) 小前提 — 所研究的特殊情况;
(3) 结论 — 根据一般原理, 对特殊情况做出 判断.
5. 三段论 大前提：某类事物都有某特征, M 是 P.
2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法 第二章 小结
本章小结
知识要点 例题选讲
复习参考题 自我检测题
1. 归纳推理
由某事物的部分对象具有某些特征, 推出该 类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者 由个别事实概括出一般结论的推理, 即由部分到 整体, 由个别到一般.
例2. 观察下列各式: 55=3125, 56=15625, 57=78125, … 则 52013的末四位数字为 ( A ) (A) 3125 (B) 5625 (C) 0625 (D) 8125 分析: 56 与 55 的末四位之差为 5625-3125=2500, 57 与 56 的末四位之差为 8125-5625=2500. 猜测: 5n+1 比 5n 末四位多 2500. 而 4 个2500 等于 10000,
例6. 在数列 {an}, {bn} 中, a1=2, b1=4, 且 an, bn, an+1 成等差数列, bn, an+1, bn+1 成等比数列 (nN*). 求 a2, a3, a4 及 b2, b3, b4. 由此猜测 {an}, {bn} 的通项 公式, 并证明你的结论. 求证: an=n2+n, bn=(n+1)2. 证明: 数学归纳法, 2+1=2, 2=4, 2+ 2+(k ① 当a n = 1 时 , a = 1 b = (1 + 1) 解得 = k 3 k + 2 = ( k + 1) + 1). 1 1 k+1 2 =[ 结果与已知相符 , 2) 即 n( = 时+猜测成立 . bk+1=(k+ k1 +1) 1]2. 2+k, b =(k+1)2 成立, ② 假设当 n = k 时 , a = k k k 即 n=k+1 时猜测也成立 . 由已知得 根据①②两步可知 nN*时, an=n2+n, bn=(n+1)2 2=k2+k+a 2( k + 1) , 2 b = a + a , 都成立. k + 1 k k k+1 ( 推证 a , b 时 , 思路源于 k + 1 k + 1 ak+12=(k+1)2bk+1. ak+12=bkbk+1.. ∴猜测是正确的 求 a2, b2 时解方程组的思想)