2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第12章选4系列 12-1a含解析

12.2　参数方程[知识梳理]1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数Error!，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)Error!(t 为参数)圆x 2＋y 2＝r 2Error!(θ为参数)椭圆＋＝1(a >x 2a 2y 2b 2b >0)Error!(φ为参数)提醒：直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．[诊断自测]1．概念思辨(1)直线Error!(t 为参数)的倾斜角α为30°.( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段的数量．( )M 0M → (3)方程Error!表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程Error!(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝，点O 为原点，则直线OM 的斜率为.( )π33答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×2．教材衍化(1)(选修A4－4P 39T 1)直线Error!(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长等于( )A. B. C. D.12512559259105答案　B解析　直线的普通方程为x －2y ＋3＝0.圆的圆心为(0,0)，半径r ＝3.∴圆心到直线的距离d ＝＝.35355∴弦长为2＝.故选B.r 2－d 21255(2)(选修A4－4P 24例2)已知点(x ，y )满足曲线方程Error!(θ为参数)，则的最小值是( )y x A. B. C. D ．132323答案　D解析　曲线方程Error!(θ为参数)化为普通方程得(x －4)2＋(y －6)2＝2，∴曲线是以C (4,6)为圆心，以为半径的圆，2∴是原点和圆上的点的连线的斜率，yx 如图，当原点和圆上的点的连线是切线OA 时，取最小值，设yx 过原点的切线方程为y ＝kx ，则圆心C (4,6)到切线y ＝kx 的距离：d ＝＝，即7k 2－24k ＋17＝0，|4k －6|k 2＋12解得k ＝1或k ＝，177∴的最小值是1.故选D.yx3．小题热身(1)(2014·安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是Error!(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A. B ．2 C. D ．2141422答案　D解析　由Error!消去t ，得x －y －4＝0，由ρ＝4cos θ⇒ρ2＝4ρcos θ，∴C ：x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，∴C (2,0)，r ＝2.∴点C 到直线l 的距离d ＝＝，|2－0－4|22∴所求弦长＝2＝2.故选D.r 2－d 22(2)(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为Error!(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案　25解析　直线l 的直角坐标方程为y －3x ＝0，曲线C 的普通方程为y 2－x 2＝4.由Error!得x 2＝，即x ＝±，1222则|AB |＝|x A －x B |＝×＝2.1＋k 2AB1＋3225题型1　参数方程与普通方程的互化 (2014·全国卷Ⅰ)已知曲线C ：＋＝1，直线典例x 24y 29l ：Error!(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．(1)用公式法，代入消参法；(2)过P 作PH ⊥l ，垂足为H ，当|PH |最长时，|PA |取最大值．解　(1)曲线C 的参数方程为Error!(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝|4cos θ＋3sin θ－6|，55则|PA |＝d sin30°＝|5sin(θ＋α)－6|，255其中α为锐角，且tan α＝.43当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为.2255当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为.255方法技巧将参数方程化为普通方程的方法1．将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，一定要保持同解变形．冲关针对训练已知直线l 的方程为y ＝x ＋4，圆C 的参数方程为Error!(θ为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求直线l 与圆C 的交点的极坐标；(2)若P 为圆C 上的动点，求点P 到直线l 的距离d 的最大值．解　(1)由题知直线l ：y ＝x ＋4，圆C ：x 2＋(y －2)2＝4，联立Error!解得Error!或Error!其对应的极坐标分别为，.(22，3π4)(4，π2)(2)解法一：设P (2cos θ，2＋2sin θ)，则d ＝＝，|2cos θ－2sin θ＋2|2|2cos (θ＋π4)＋2|当cos ＝1时，d 取得最大值2＋.(θ＋π4)2解法二：圆心C (0,2)到直线l 的距离为＝，圆的半径为2，|2|22所以点P 到直线l 的距离d 的最大值为2＋.2题型2　参数方程的应用 (2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数典例方程为Error!(θ为参数)，直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为，求a .17(1)方程组法；(2)代入点到直线的距离公式，采用分类讨论思想求解．解　(1)曲线C 的普通方程为＋y 2＝1.x 29当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由Error!解得Error!或Error!从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，.(－2125，2425)(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝.|3cos θ＋4sin θ－a －4|17当a ≥－4时，d 的最大值为.a ＋917由题设得＝，所以a ＝8；a ＋91717当a ＜－4时，d 的最大值为.－a ＋117由题设得＝，－a ＋11717所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.方法技巧直线的参数方程在交点问题中的应用1．若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则||||＝|t 1t 2|，||＝|t 2－t 1|＝.M 0M 1→ M 0M 2→ M 1M 2→ (t 2＋t 1)2－4t 1t 22．若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝.t 1＋t 223．若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0.提醒：对于形如Error!(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．冲关针对训练(2017·湘西模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为Error!(t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程为ρ·sin 2θ＝2cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值．解　(1)由ρ·sin 2θ＝2cos θ，得(ρsin θ)2＝2ρcos θ，即y 2＝2x .∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－2t cos α－1＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝，t 1t 2＝－，2cos αsin2α1sin2α∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝，(2cos αsin2α)2＋4sin2α2sin2α当α＝时，|AB |的最小值为2.π21．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解　(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，故C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组Error!若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上，所以a ＝1.2．(2017·河南洛阳一模)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为Error!(φ为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的普通方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin＝5，射线OM ：θ＝与(θ＋π6)3π6圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解　(1)因为圆C 的参数方程为Error!(φ为参数)，所以圆心C 的坐标为(0,2)，半径为2，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4，得圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.设P (ρ1，θ1)，则由Error!解得ρ1＝2，θ1＝.π6设Q (ρ2，θ2)，则由Error!解得ρ2＝5，θ2＝.π6所以|PQ |＝3.[基础送分 提速狂刷练]1．(2017·山西太原一模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(其中φ为参数)，曲线C 2：x 2＋y 2－2y ＝0，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (均异于原点O )．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)当0<α<时，求|OA |2＋|OB |2的取值范围．π2解　(1)C 1的普通方程为＋y 2＝1，C 1的极坐标方程为x 22ρ2cos 2θ＋2ρ2sin 2θ－2＝0，C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C 1的极坐标方程得|OA |2＝，21＋sin2α联立θ＝α(ρ≥0)与C 2的极坐标方程得|OB |2＝4sin 2α，则|OA |2＋|OB |2＝＋4sin 2α＝＋4(1＋sin 2α)－4，21＋sin2α21＋sin2α令t ＝1＋sin 2α，则|OA |2＋|OB |2＝＋4t －4，当0<α<时，t ∈(1,2)．设f (t )2t π2＝＋4t －4，易得f (t )在(1,2)上单调递增，2t ∴|OA |2＋|OB |2∈(2,5)．2．(2017·辽宁模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为Error!(t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P 的直角坐标为P (2,1)，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，并且|PA |·|PB |＝，求tan α的值．283解　(1)将方程ρsin 2θ＝4cos θ两边同乘以ρ，得ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得y 2＝4x .经检验，极点的直角坐标(0,0)也满足此式．所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)将Error!代入y 2＝4x ，得sin 2α·t 2＋(2sin α－4cos α)t －7＝0，因为P (2,1)在直线l 上，所以|t 1t 2|＝＝，所以sin 2α＝，α＝或α＝，即|－7sin2α|28334π32π3tan α＝或tan α＝－.333．(2017·湖南长郡中学六模)已知曲线C 1：Error!(t 为参数)，C 2：Error!(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝，Q 为C 2上的动点，求PQ π2的中点M 到直线C 3：Error!(t 为参数)距离的最小值．解　(1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：＋＝1，x 264y 29C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C 2表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝时，P (－4,4)，又Q (8cos θ，3sin θ)，π2故M ，(－2＋4cos θ，2＋32sin θ)又C 3的普通方程为x －2y －7＝0，则M 到C 3的距离d ＝|4cos θ－3sin θ－13|＝|3sin θ－4cos θ＋13|5555＝|5sin(θ－φ)＋13|，55(其中φ满足tan φ＝43)所以d 的最小值为.8554．(2017·宣城二模)已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程是ρ＝a sin θ，直线l 的参数方程是Error!(t 为参数)．(1)若a ＝2，直线l 与x 轴的交点是M ，N 是圆C 上一动点，求|MN |的最大值；(2)直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的倍，求a 的3值．解　(1)当a ＝2时，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.∴圆C 的圆心坐标为C (0,1)，半径r ＝1.令y ＝t ＝0得t ＝0，把t ＝0代入x ＝－t ＋2得4535x ＝2.∴M (2,0)．∴|MC |＝＝.22＋125∴|MN |的最大值为|MC |＋r ＝＋1.5(2)由ρ＝a sin θ得ρ2＝aρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程是x 2＋y 2＝ay ，即x 2＋2＝.(y －a 2)a 24∴圆C 的圆心为C ，半径为，(0，a 2)|a 2|直线l 的普通方程为4x ＋3y －8＝0.∵直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的倍，3∴圆心C 到直线l 的距离为圆C 半径的一半．＝，解得a ＝32或a ＝.|3a2－8|42＋32|a 4|32115．(2017·锦州二模)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是Error!(t 是参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝，求直线14的倾斜角α的值．解　(1)∵ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，∴曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ可化为：ρ2＝4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝4x ，∴(x －2)2＋y 2＝4.(2)将Error!代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4得：(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则Error!∴|AB |＝|t 1－t 2|＝＝，(t 1＋t 2)2－4t 1t 24cos2α＋12∵|AB |＝，14∴ ＝.4cos2α＋1214∴cos α＝±.22∵α∈[0，π)，∴α＝或α＝.π43π4∴直线的倾斜角α＝或α＝.π43π46．(2017·湖北模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为Error!(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ＝.(θ－π4)2(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |.解　(1)由Error!消去参数α得＋y 2＝1，x 29即C 的普通方程为＋y 2＝1.x 29由ρsin ＝，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)(θ－π4)2将Error!代入(*)，化简得y ＝x ＋2，所以直线l 的倾斜角为.π4(2)由(1)，知点P (0,2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为Error!(t 为参数)，即Error!(t 为参数)，代入＋y 2＝1并化简，得5t 2＋18t ＋27＝0，x 292Δ＝(18)2－4×5×27＝108>0，2设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－<0，t 1t 2＝>0，1825275所以t 1<0，t 2<0，所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝.1825。

[基础送分 提速狂刷练]1．(2017·山西太原一模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(其中φ为参数)，曲线C 2：x 2＋y 2－2y ＝0，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (均异于原点O )．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)当0<α<π2时，求|OA |2＋|OB |2的取值范围．解 (1)C 1的普通方程为x 22＋y 2＝1，C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋2ρ2sin 2θ－2＝0，C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C 1的极坐标方程得|OA |2＝21＋sin 2α，联立θ＝α(ρ≥0)与C 2的极坐标方程得|OB |2＝4sin 2α， 则|OA |2＋|OB |2＝21＋sin 2α＋4sin 2α＝21＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)－4， 令t ＝1＋sin 2α，则|OA |2＋|OB |2＝2t ＋4t －4，当0<α<π2时，t ∈(1,2)．设f (t )＝2t ＋4t－4，易得f (t )在(1,2)上单调递增，∴|OA |2＋|OB |2∈(2,5)．2．(2017·辽宁模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P 的直角坐标为P (2,1)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，并且|P A |·|PB |＝283，求tan α的值．解 (1)将方程ρsin 2θ＝4cos θ两边同乘以ρ，得 ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得y 2＝4x .经检验，极点的直角坐标(0,0)也满足此式． 所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α代入y 2＝4x ，得sin 2α·t 2＋(2sin α－4cos α)t －7＝0， 因为P (2,1)在直线l 上，所以|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－7sin 2α＝283，所以sin 2α＝34，α＝π3或α＝2π3，即tan α＝3或tan α＝－ 3.3．(2017·湖南长郡中学六模)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)． (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ的中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值．解 (1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1，C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C 2表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，又Q (8cos θ，3sin θ)， 故M ⎝⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ，又C 3的普通方程为x －2y －7＝0，则M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|3sin θ－4cos θ＋13| ＝55|5sin(θ－φ)＋13|⎝ ⎛⎭⎪⎫其中φ满足tan φ＝43， 所以d 的最小值为855.4．(2017·宣城二模)已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程是ρ＝a sin θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t (t 为参数)．(1)若a ＝2，直线l 与x 轴的交点是M ，N 是圆C 上一动点，求|MN |的最大值；(2)直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的3倍，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.∴圆C 的圆心坐标为C (0,1)，半径r ＝1.令y ＝45t ＝0得t ＝0，把t ＝0代入x ＝－35t ＋2得x ＝2.∴M (2,0)． ∴|MC |＝22＋12＝ 5.∴|MN |的最大值为|MC |＋r ＝5＋1.(2)由ρ＝a sin θ得ρ2＝aρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程是x 2＋y 2＝ay ，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －a 22＝a 24.∴圆C 的圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，半径为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2， 直线l 的普通方程为4x ＋3y －8＝0.∵直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的3倍， ∴圆心C 到直线l 的距离为圆C 半径的一半．∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪3a 2－842＋32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4，解得a ＝32或a ＝3211.5．(2017·锦州二模)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 是参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝14，求直线的倾斜角α的值．解 (1)∵ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ可化为： ρ2＝4ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝4x ， ∴(x －2)2＋y 2＝4.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4得：(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4， 化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4cos 2α＋12， ∵|AB |＝14， ∴4cos 2α＋12＝14.∴cos α＝±22. ∵α∈[0，π)， ∴α＝π4或α＝3π4.∴直线的倾斜角α＝π4或α＝3π4.6．(2017·湖北模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α，消去参数α得x 29＋y 2＝1，即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*) 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2， 所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)，知点P (0,2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos π4，y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0， Δ＝(182)2－4×5×27＝108>0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－1825<0，t 1t 2＝275>0，所以t1<0，t2<0，所以|P A|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝182 5.。

2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．(2008重庆理)已知随机变量ζ服从正态分布N (3,a 2),则P (3)ζ<＝(A)15(B)14(C)13(D)122．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题．．．是（ B ） Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上(2006江西文)3．(2005全国3理)计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F 共16个计数符号这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如用十六进制表示：E+D=1B ，则A ×B=（ ） A.6E B.72 C.5F D.B04．函数()y f x =的图像与函数2()log (0)g x x x =>的图像关于原点对称，则()f x 的表达式为( ) A ．21()(0)log f x x x=> B ．21()(0)log ()f x x x =<-C ．2()log (0)f x x x =->D ．2()log ()(0)f x x x =--<(2006)5．设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m+n 的取值范围是（A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞ （C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞6．函数y=x+sin|x|，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ）（2002上海15）7．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为 ( ) A.89 3 B ．4 3 C.29 3 D ．43或83 3 解析：分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况8．若点（2，k ）到直线06125=+-y x 的距离是4，则k 的值是（ ）A 、-3或317 B 、-3 C 、1或35D 、1 二、填空题9．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n ＝a 1＋a 2＋……＋a 19－n (n ＜19，n ∈N)成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式___________________________________成立.10．已知点P 在曲线y=41x e +上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是( ) (A)[0,4π) (B)[,)42ππ 3(,]24ππ (D) 3[,)4ππ（2010辽宁理10)11．如果执行下面的程序框图，那么输出的S =255012．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的2位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还少 人〖解〗313．已知平面向量a 与b 的夹角为120°，5=a ,8=b ，则+a b = .14．已知()f x 是以2为周期的偶函数，当[]0,1x ∈时，()f x x =，且在[]1,3-内，关于x 的方程()()1,1f x kx k k R k =++∈≠-有四个根，则k 得取值范围是15．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校200名教师中抽取20名教师,调查他们上学期使用多媒体进行教学的次数.结果用茎叶图表示如右图,据此估计该校上学期200名教师中,使用多媒体进行教学次数在[15,30]内的人数为________.16．对函数()sin f x x x =，现有下列命题： ①函数()f x 是偶函数②函数()f x 的最小正周期是2π③点(,0)π是函数()f x 的图象的一个对称中学；④函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·湖北华师一附中等八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁答案 D解析 若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故丙猜测错误，即1,2,6号均不是第1名，故3号是第1名，则乙猜测错误，丁猜测正确．故选D.2．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2016＝( )A ．3B ．－3C ．6D ．－6答案 B解析 ∵a 1＝3，a 2＝6，∴a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，…，∴{a n }是以6为周期的周期数列．又2016＝6×335＋6，∴a 2016＝a 6＝－3.故选B.3．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比有x ＋a x n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝( )A ．nB ．2nC ．n 2D ．n n答案 D解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝1，第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝4，第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33，归纳可以知道a ＝n n .故选D.4．已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形： a 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1367B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1368 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13111 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 答案 D解析 该三角形所对应元素的个数为1,3,5，…，那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112.故选D. 5．(2017·阳山县校级一模)下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”答案 C解析 对于A “若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”是错误的，因为0乘任何数都等于0；对于B “若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误；对于C 将乘法类推除法，即由“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c ”是正确的；对于D “(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”是错误的；如(1＋1)2＝12＋12.故选C.6．(2017·河北冀州中学期末)如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则a 2017＝( )A ．502B ．503C ．504D ．505答案 D解析 由a 1，a 3，a 5，a 7，…组成的数列恰好对应数列{x n }，即x n ＝a 2n －1，当n 为奇数时，x n ＝n ＋12.所以a 2017＝x 1009＝505.故选D.7．(2018·安徽江淮十校三联)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝( ) A.－5－12B.5－12C.1＋52D.1－52 答案 C解析 1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1－52舍，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C.8．(2017·陕西一模)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c，类比这个结论可知，四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，则R 等于( )A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2V S 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4V S 1＋S 2＋S 3＋S4答案 C解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，由平面图形中r 的求解过程类比空间图形中R 的求解过程可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，则四面体的体积为V ＝V 四面体S －ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，所以R＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.故选C. 9．(2018·鹰潭模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[π]＝3. S 1＝[1]＋[2]＋[3]＝3S 2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10S 3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21， …依此规律，那么S 10等于( )A ．210B ．230C ．220D ．240答案 A解析 ∵[x ]表示不超过x 的最大整数，∴S 1＝[1]＋[2]＋[3]＝1×3＝3，S 2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝2×5＝10，S 3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝3×7＝21，…S n ＝[n 2]＋[n 2＋1]＋[n 2＋2]＋…＋[n 2＋2n －1]＋[n 2＋2n ]＝n ×(2n ＋1)，∴S 10＝10×21＝210.故选A.10．(2017·龙泉驿区模拟)对于问题：“已知两个正数x ，y 满足x＋y ＝2，求1x ＋4y 的最小值”，给出如下一种解法：∵x ＋y ＝2，∴1x ＋4y ＝12(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ， ∵x >0，y >0，∴y x ＋4x y ≥2y x ·4xy ＝4，∴1x ＋4y ≥12(5＋4)＝92，当且仅当⎩⎨⎧ y x ＝4x y，x ＋y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝23，y ＝43时，1x ＋4y 取最小值92.参考上述解法，已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则1A ＋9B ＋C的最小值为( )A.16πB.8πC.4πD.2π答案 A解析 A ＋B ＋C ＝π，设A ＝α，B ＋C ＝β，则α＋β＝π，α＋βπ＝1，参考题干中解法，则1A ＋9B ＋C＝1α＋9β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＋9β·(α＋β)1π＝1π⎝⎛⎭⎪⎫10＋βα＋9αβ≥1π(10＋6)＝16π，当且仅当βα＝9αβ，即3α＝β时等号成立．故选A.二、填空题11．(2017·北京高考)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i ＝1,2,3.(1)记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是________．(2)记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是________．答案 (1)Q 1 (2)p 2解析 设A 1(xA 1，yA 1)，B 1(xB 1，yB 1)，线段A 1B 1的中点为E 1(x 1，y 1)，则Q 1＝yA 1＋yB 1＝2y 1.因此，要比较Q 1，Q 2，Q 3的大小，只需比较线段A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3中点纵坐标的大小，作图比较知Q 1最大．又p 1＝yA 1＋yB 1xA 1＋xB 1＝2y 12x 1＝y 1x 1＝y 1－0x 1－0，其几何意义为线段A 1B 1的中点E 1与坐标原点连线的斜率，因此，要比较p 1，p 2，p 3的大小，只需比较线段A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3中点与坐标原点连线的斜率，作图比较知p 2最大．12．(2018·湖北八校联考)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝________.答案 2πr 4解析 在二维空间中，圆的二维测度(面积)S ＝πr 2，则其导数S ′＝2πr, 即为圆的一维测度(周长)l ＝2πr ；在三维空间中，球的三维测度(体积)V ＝43πr 3，则其导数V ′＝4πr 2，即为球的二维测度(表面积)S＝4πr 2；应用合情推理，在四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝2πr 4.13．(2017·江西赣州十四县联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余的13，第3关收税金为剩余的14，第4关收税金为剩余的15，第5关收税金为剩余的16，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为________x .答案 172解析 第1关收税金：12x ；第2关收税金：13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝x 6＝x 2×3； 第3关收税金：14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16x ＝x 12＝x 3×4； ……第8关收税金：x 8×9＝x 72. 14．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：(1)b 2016是数列{a n }中的第________项；(2)b 2k －1＝________(用k 表示)．答案 (1)5040 (2)5k (5k －1)2解析 观察知这些三角形数满足a n ＝n (n ＋1)2，n ∈N *，当n ＝5k－1或n ＝5k ，k ∈N *时，对应的三角形数是5的倍数，为数列{b n }中的项，将5k －1和5k 列为一组，所以b 2016是第1008组的后面一项，即b 2016是数列{a n }中的第5×1008＝5040项；b 2k －1是第k 组的前面一项，是数列{a n }中的第5k －1项，即b 2k －1＝a 5k －1＝5k (5k －1)2. 三、解答题15．(2017·未央区校级期中)阅读以下求1＋2＋3＋…＋n 的值的过程：因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1…22－12＝2×1＋1以上各式相加得(n ＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n )＋n所以1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n 2＝n (n ＋1)2. 类比上述过程，求12＋22＋32＋…＋n 2的值．解 ∵23－13＝3·22－3·2＋1，33－23＝3·32－3·3＋1，…，n 3－(n －1)3＝3n 2－3n ＋1，把这n －1个等式相加得n 3－1＝3·(22＋32＋…＋n 2)－3·(2＋3＋…＋n )＋(n －1)，由此得n 3－1＝3·(12＋22＋32＋…＋n 2)－3·(1＋2＋3＋…＋n )＋(n －1)，即12＋22＋…＋n 2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 3－1＋32n (n ＋1)－(n －1). 16．(2018·南阳模拟)我们知道，等差数列和等比数列有许多性质可以类比，现在给出一个命题：若数列{a n }、{b n }是两个等差数列，它们的前n 项的和分别是S n ，T n ，则a n b n＝S 2n －1T 2n －1. (1)请你证明上述命题；(2)请你就数列{a n }、{b n }是两个各项均为正的等比数列，类比上述结论，提出正确的猜想，并加以证明．解 (1)证明：在等差数列{a n }中，a n ＝a 1＋a 2n －12(n ∈N *)，那么对于等差数列{a n }、{b n }有：a nb n ＝12(a 1＋a 2n －1)12(b 1＋b 2n －1)＝12(a 1＋a 2n －1)(2n －1)12(b 1＋b 2n －1)(2n －1)＝S 2n －1T 2n －1. (2)猜想：数列{a n }、{b n }是两个各项均为正的等比数列，它们的前n 项的积分别是X n ，Y n ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a n b n 2n －1＝X 2n －1Y 2n －1. 证明：在等比数列{a n }中，a 2n ＝a 1a 2n －1＝a 2a 2n －2＝…(n ∈N *)，(a n )2n －1＝a 1a 2a 3…a 2n －1(n ∈N *)，那么对于等比数列{a n }、{b n }有⎝ ⎛⎭⎪⎫a n b n 2n －1＝a 1a 2a 3…a 2n －1b 1b 2b 3…b 2n －1＝X 2n －1Y 2n －1.。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知A ＝{x |x ＝n 2，n ∈N }，给出下列关系式：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 4；⑤f (x )＝x 2＋1，其中能够表示函数f ：A →A 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 对⑤，当x ＝1时，x 2＋1∉A ，故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确．故选C.2．(2018·吉安四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2(x ≤1)，x 2＋x －2(x >1)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (2)的值为( )A.1516 B ．89 C ．－2716 D ．18答案 A解析 f (2)＝4，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.故选A.3．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于( ) A ．lg 2 B ．lg 32 C ．lg 132 D.15lg 2答案 D解析 令x 5＝t ，则x ＝t15(t >0)，∴f (t )＝lg t15 ＝15lg t ．∴f (2)＝15lg 2.故选D.4．(2017·山西名校联考)设函数f (x )＝lg (1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( )A ．(－9，＋∞)B ．(－9,1)C ．[－9，＋∞)D ．[－9,1)答案 B解析 f [f (x )]＝f [lg (1－x )]＝lg [1－lg (1－x )]，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg (1－x )>0⇒－9<x <1.故选B.5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,1]，则函数F (x )＝f (x ＋a )＋f (2x ＋a )(0<a <1)的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1－a 2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1－aC ．[－a,1－a ] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ，1－a 2 答案 A解析 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋a ≤1，0≤2x ＋a ≤1⇒－a2≤x ≤1－a 2.故选A. 6．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1的值域为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 C解析 由于x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1，结合函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0,1]上的图象可知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.故选C.7．(2018·黄冈联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f [f (－3)]＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3答案 B解析 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1； f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3， 解得a ＝12.故f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，从而f [f (－3)]＝f (9)＝log 39＝2.故选B.8．(2018·银川模拟)已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①答案 B解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎨⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选B.9．(2018·铜陵一模)若函数f (x )图象上任意一点P (x ，y )皆满足y 2≥x 2，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝x ＋4x D ．f (x )＝tan x答案 C解析 A 项，当x ＝1时，f (x )＝1－1＝0,02≥12不成立；B 项，当x ＝－1时，f (x )＝1e －1∈(－1,0)，⎝⎛⎭⎪⎫1e －12≥(－1)2不成立；D 项，当x ＝5π4时，f (x )＝1，12≥⎝ ⎛⎭⎪⎫5π42不成立；对于C ，f 2(x )＝x 2＋16x 2＋8>x 2，符合题意．故选C.10．(2017·山东模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)答案 C解析 ①当a <23时，f (a )＝3a －1<1，f [f (a )]＝3(3a －1)－1＝9a －4,2f (a )＝23a －1，显然f [f (a )]≠2f (a )．②当23≤a <1时，f (a )＝3a －1≥1，f [f (a )]＝23a －1,2f (a )＝23a －1， 故f [f (a )]＝2f (a )．③当a ≥1时，f (a )＝2a >1，f [f (a )]＝22a， 2f (a )＝22a，故f [f (a )]＝2f (a )． 综合①②③知a ≥23.故选C. 二、填空题11．已知x ∈N *，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－35，x ≥3，f (x ＋2)，x <3，其值域设为D .给出下列数值：－26，－1,9,14,27,65，则其中属于集合D 的元素是________．(写出所有可能的数值)答案 －26,14,65解析 注意函数的定义域是N *，由分段函数解析式可知，所有自变量的函数值最终都是转化为大于等于3的对应自变量函数值计算的f (3)＝9－35＝－26，f (4)＝16－35＝－19，f (5)＝25－35＝－10，f (6)＝36－35＝1，f (7)＝49－35＝14，f (8)＝64－35＝29，f (9)＝81－35＝46，f (10)＝100－35＝65.故正确答案应填－26,14,65.12．(2018·厦门一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 解析 当x ≥1时，f (x )＝2x－1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ， ∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12.13．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．答案 1解析 [a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a ，b ]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1.14．(2018·绵阳二诊)现定义一种运算“⊕”：对任意实数a ，b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－2x )⊕(x ＋3)，若函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数k 的取值范围是________．答案 (－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}解析 因为(x 2－2x )－(x ＋3)－1＝(x －4)(x ＋1)，所以f (x )＝(x 2－2x )⊕(x ＋3)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)，x 2－2x ，x ∈(－1，4).作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有两个公共点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－k 有两个公共点，结合图象可得－k ＝－1 或2<－k <3或7≤－k <8，所以实数k 的取值范围是k ∈(－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}．三、解答题15．(2018·福建六校联考)已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x )(a >0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在区间[0,3]上的最小值为－2，求实数a 的值．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，4－x >0，解得－2<x <4，∴f (x )的定义域为(－2,4)． (2)f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x ) ＝log a [(x ＋2)(4－x )]，令t ＝(x ＋2)(4－x )，则可变形得t ＝－(x －1)2＋9， ∵0≤x ≤3，∴5≤t ≤9， 若a >1，则log a 5≤log a t ≤log a 9，∴f (x )min ＝log a 5＝－2，则a 2＝15<1(舍去)， 若0<a <1，则log a 9≤log a t ≤log a 5， ∴f (x )min ＝log a 9＝－2， 则a 2＝19，又0<a <1，∴a ＝13. 综上，得a ＝13.16．如果对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2. (1)求f (2)，f (3)，f (4)的值；(2)求f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2014)f (2013)＋f (2016)f (2015)＋f (2018)f (2017)的值．解 (1)∵∀x ，y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且 f (1)＝2，∴f (2)＝f (1＋1)＝f (1)·f (1)＝22＝4， f (3)＝f (1＋2)＝f (1)·f (2)＝23＝8， f (4)＝f (1＋3)＝f (1)·f (3)＝24＝16.(2)解法一：由(1)知f(2)f(1)＝2，f(4)f(3)＝2，f(6)f(5)＝2，…，f(2018)f(2017)＝2，故原式＝2×1009＝2018.解法二：对∀x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝2，令x＝n，y＝1，则f(n＋1)＝f(n)·f(1)，即f(n＋1)f(n)＝f(1)＝2，故f(2)f(1)＝f(4)f(3)＝…＝f(2018)f(2017)＝2，故原式＝2×1009＝2018.。

2019年高考数学第一轮复习模拟测试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．1 ．（2013年高考四川卷（文））抛物线28y x =的焦点到直线0x -=的距离是（ ）A ．B ．2CD ．12．(2005浙江文)从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是（ ） A ．0.53 B ．0.5 C ．0.47 D ．0.373．以点（2，－1）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为( ) A ．22(2)(1)3x y -++= B ．22(2)(1)3x y ++-=C ．22(2)(1)9x y -++= D ．22(2)(1)3x y ++-=(2006重庆文)4．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率为（ ） A ．－31 B ．－3 C ．31 D ．3（1997全国5）5．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是-（ ）(A)至少有1个黑球，都是黑球 (B)至少有1个黑球，至少有1个红球 (C)恰有1个黑球，恰有2个红球 (D)至少有1个黑球，都是红球 二、填空题6．已知复数z =32i i-(i 是虚数单位)，则复数z 所对应的点位于复平面的第 ▲ 象限．7．已知关于x 的方程1+=ax x 有一个负根，但没有正根，则实数a 的取值范围是8．在△ABC 中，已知a=5，b=4，cos(A －B)=3231，则cosC=__________9．已知复数Z 满足i Z i 3)33(=+，则复数Z =10．若函数2()1f x x mx =++在区间[1,2]上单调,则实数m 的取值范围是 . 11．求函数的定义域 （1）xx x y -+=||)(01； （2）6542-+--=x x x y ；（3）xy 111+=； （4）12||y x =+-（5）20(54)lg(43)x y x x =+-+； （6）lg(cos )y x =12．若{}3A x R x =∈<，{}21x B x R =∈>，则A B = ．13．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P 为该椭圆上的动点，C 、D的坐标分别是())0,0，则⋅的最大值为 ．14．已知两条直线()12:60;:2320l x my l m x y m ++=-++=,当直线12l l 与平行时，m=▲ ．15．连续两次掷一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），记出现向上的点数分别为,m n ，设向量(),m n =a ，()3,3=-b ，则a 与b 的夹角为锐角的概率是 ▲ 。

[基础送分 提速狂刷练]1．(2018·延庆县期末)在极坐标方程中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程是( )A ．ρsin θ＝2B ．ρcos θ＝2C ．ρcos θ＝4D ．ρcos θ＝－4答案 B解析 ρ＝4sin θ的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，选项B ：ρcos θ＝2的普通方程为x ＝2.圆x 2＋(y －2)2＝4与直线x ＝2显然相切．故选B.2．(2017·渭滨区月考)在极坐标系中，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8，11π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形答案 C解析 B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，5π6， ∴OA ＝5，OB ＝8，OC ＝3，∴∠AOB ＝5π6－π2＝π3，∠BOC ＝7π6－5π6＝π3，∠AOC ＝7π6－π2＝2π3，在△AOB 中，由余弦定理可得AB ＝25＋64－2×5×8×12＝7，同理可得，BC ＝64＋9－2×8×3×12＝7， AC ＝25＋9－2×5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7， ∴AB ＝BC ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形．故选C.3．牛顿在1736年出版的《流数术和无穷级数》中，第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点，牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22. (1)求O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1， 即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2. 4．(2018·郑州模拟)在极坐标系中，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1. (1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP |·|OQ |＝2，求点P 的轨迹，并指出轨迹是什么图形．解 (1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，所以曲线C 2为直线，由于圆心到直线的距离为d ＝32>1，所以直线与圆相离，即曲线C 1和C 2没有公共点．(2)设Q (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎨⎧ ρ0＝2ρ，θ0＝θ.①因为点Q (ρ0，θ0)在曲线C 2上，所以ρ0cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π3＝1，② 将①代入②，得2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1， 即ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1，因此点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32为圆心，1为半径的圆．5．(2017·湖北模拟)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝32，C 与l 有且仅有一个公共点． (1)求a ；(2)O 为极点，A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求|OA |＋|OB |的最大值．解 (1)曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，变形ρ2＝2aρcos θ，化为x 2＋y 2＝2ax ，即(x －a )2＋y 2＝a 2.∴曲线C 是以(a,0)为圆心，a 为半径的圆．由l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝32，展开为12ρcos θ＋32ρsin θ＝32，∴l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.由题可知直线l 与圆C 相切，即|a －3|2＝a ，解得a ＝1.(2)不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则|OA |＋|OB |＝2cos θ＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝3cos θ－3sin θ ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6， 当θ＝－π6时，|OA |＋|OB |取得最大值2 3.6．(2018·沈阳模拟)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0. (1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P (x ，y )在圆C 上，求x ＋y 的最大值和最小值．解 (1)由ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，得 ρ2－42ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＋6＝0， 即ρ2－42ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＋6＝0， ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0为所求圆的普通方程，整理为圆的标准方程(x －2)2＋(y －2)2＝2，令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α.得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)． (2)由(1)得，x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α)＝4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4， ∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1时，x ＋y 的最大值为6， 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1时，x ＋y 的最小值为2. 故x ＋y 的最大值和最小值分别是6和2.。

[基础送分 提速狂刷练]1．(2018·沈阳质检)已知函数f (x )＝|x －a |－12x (a >0)．(1)若a ＝3，解关于x 的不等式f (x )<0；(2)若对于任意的实数x ，不等式f (x )－f (x ＋a )<a 2＋a 2恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝3时，f (x )＝|x －3|－12x ，即|x －3|－12x <0，原不等式等价于－x 2<x －3<12x ，解得2<x <6，故不等式的解集为{x |2<x <6}．(2)f (x )－f (x ＋a )＝|x －a |－|x |＋a 2，原不等式等价于|x －a |－|x |<a 2，由三角绝对值不等式的性质，得|x －a |－|x |≤|(x －a )－x |＝|a |，原不等式等价于|a |<a 2，又a >0，∴a <a 2，解得a >1.故实数a 的取值范围为(1，＋∞)．2．(2017·河北石家庄二模)设函数f (x )＝|x －1|－|2x ＋1|的最大值为m .(1)作出函数f (x )的图象；(2)若a 2＋2c 2＋3b 2＝m ，求ab ＋2bc 的最大值．解 (1)因为f (x )＝|x －1|－|2x ＋1|，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≤－12，－3x ，－12<x <1，－x －2，x ≥1，画出图象如图．(2)由(1)可知m ＝32. 因为32＝m ＝a 2＋2c 2＋3b 2＝(a 2＋b 2)＋2(c 2＋b 2)≥2ab ＋4bc ，所以ab ＋2bc ≤34，当且仅当a ＝b ＝c ＝12时，等号成立．所以ab ＋2bc 的最大值为34.3．(2017·广东肇庆统测)已知函数f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝2|x |＋a .(1)若a ＝0，解不等式f (x )≥g (x )；(2)若存在x ∈R ，使得f (x )≥g (x )成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝0时，由f (x )≥g (x )，得|x ＋1|≥2|x |，两边平方，并整理得(3x ＋1)(1－x )≥0，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤1.(2)解法一：由f (x )≥g (x )，得|x ＋1|≥2|x |＋a ，即|x ＋1|－2|x |≥a .令F (x )＝|x ＋1|－2|x |，依题意可得F (x )max ≥a .F (x )＝|x ＋1|－|x |－|x |≤|x ＋1－x |－|x |＝1－|x |≤1，当且仅当x ＝0时，上述不等式的等号同时成立，所以F (x )max ＝1.所以a 的取值范围是(－∞，1]．解法二：由f (x )≥g (x )，得|x ＋1|≥2|x |＋a ，即|x ＋1|－2|x |≥a .令F (x )＝|x ＋1|－2|x |，依题意可得F (x )max ≥a .F (x )＝|x ＋1|－2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ，x ≥0，3x ＋1，－1<x <0，x －1，x ≤－1，易得F (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以当x ＝0时，F (x )取得最大值，最大值为1.故a 的取值范围是(－∞，1]．4．(2017·衡阳联考)已知函数f (x )＝|x －3|.(1)若不等式f (x －1)＋f (x )<a 的解集为空集，求实数a 的取值范围；(2)若|a |<1，|b |<3，且a ≠0，判断f (ab )|a |与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 的大小，并说明理由． 解 (1)因为f (x －1)＋f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|x －4＋3－x |＝1， 不等式f (x －1)＋f (x )<a 的解集为空集，则1≥a 即可，所以实数a 的取值范围是(－∞，1]．(2)f (ab )|a |>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a . 证明：要证f (ab )|a |>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，只需证|ab －3|>|b －3a |， 即证(ab －3)2>(b －3a )2，又(ab －3)2－(b －3a )2＝a 2b 2－9a 2－b 2＋9＝(a 2－1)(b 2－9)．因为|a |<1，|b |<3，所以(ab －3)2>(b －3a )2成立，所以原不等式成立．5．(2017·泉州一模)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x －4|.(1)解关于x 的不等式f (x )<9；(2)若直线y ＝m 与曲线y ＝f (x )围成一个三角形，求实数m 的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．解 (1)x ≤－1，不等式可化为－x －1－2x ＋4<9，∴x >－2，∴－2<x ≤－1；－1<x <2，不等式可化为x ＋1－2x ＋4<9，∴x >－4，∴－1<x <2；x ≥2，不等式可化为x ＋1＋2x －4<9，∴x <4，∴2≤x <4；综上所述，不等式的解集为{x |－2<x <4}．(2)f (x )＝|x ＋1|＋2|x －2|，由题意作图如右，结合图象可知，A (3,6)，B (－1，6)，C (2,3)；故3<m ≤6，且m ＝6时面积最大为12×(3＋1)×3＝6.6．(2018·东北三校模拟)已知a ，b ，c >0，a ＋b ＋c ＝1.求证：(1)a＋b＋c≤3；(2)13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥32.证明(1)由柯西不等式得(a＋b＋c)2＝(1·a＋1·b＋1·c)2≤(12＋12＋12)[(a)2＋(b)2＋(c)2]＝3，当且仅当1a＝1b＝1 c ，即a＝b＝c＝13时等号成立，∴a＋b＋c≤ 3.(2)由柯西不等式得[(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]⎝⎛⎭⎪⎫13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥⎝⎛3a＋1·13a＋1＋3b＋1·13b＋1＋3c＋1·⎭⎪⎫13c＋12＝9⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当a＝b＝c＝13时取等号，又a＋b＋c＝1，∴6⎝⎛⎭⎪⎫13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥9，∴13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥32.。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是( )A ．总体B ．个体C ．样本的容量D ．从总体中抽取的一个样本答案 A解析 5000名居民的阅读时间的全体是总体，每名居民的阅读时间是个体，200是样本容量，故选A.2．将参加英语口语测试的1000名学生编号为000,001,002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，若第一组编号为000,001,002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个编号为( )A ．700B ．669C ．695D ．676答案 C解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号l ＝15，分段间隔k ＝N n ＝100050＝20，故抽取的第35个编号为15＋(35－1)×20＝695.故选C.3．某月月底，某商场想通过抽取发票存根的方法估计该月的销售总额．先将该月的全部销售发票的存根进行了编号，1,2,3，…，然后拟采用系统抽样的方法获取一个样本．若从编号为1,2,3，…，10的前10张发票的存根中随机抽取1张，然后再按系统抽样的方法依编号顺序逐次产生第2张、第3张、第4张、……，则抽样中产生的第2张已编号的发票存根，其编号不可能是()A．13 B．17C．19 D．23答案 D解析因为第一组的编号为1,2,3，…，10，所以根据系统抽样的定义可知第二组的编号为11,12,13，…，20，故第2张已编号的发票存根的编号不可能为23.故选D.4．从某500件产品中随机抽取50件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将这500件产品按001,002,003，…，500进行编号．如果从随机数表的第7行第4列的数2开始，从左往右读数，则依次抽取的第4个个体的编号是()附：随机数表第6行至第8行各数如下：A．217 B．245C．421 D．206答案 D解析产品的编号为3位号码，故每次读数取3位，第一个三位数为217，依次取出符合条件的号码为157,245,206，故第4个个体编号为206.故选D.5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为()A．7 B．9C．10 D．15答案 C解析 由系统抽样的特点，知抽取号码的间隔为96032＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人．故选C.6．(2018·朝阳质检)某工厂有甲、乙、丙、丁四类产品共3000件，且它们的数量成等比数列，现用分层抽样的方法从中抽取150件进行质量检测，其中从乙、丁两类产品中抽取的总数为100件，则甲类产品有( )A ．100件B ．200件C ．300件D ．400件 答案 B解析 设从甲、乙、丙、丁四类产品中分别抽取a 1，a 2，a 3，a 4件进行检测，由于四类产品的数量成等比数列且是分层抽样，所以a 1，a 2，a 3，a 4也成等比数列，设此等比数列的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 3＝50，a 2＋a 4＝100，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q 2)＝50，a 1q (1＋q 2)＝100， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝10，q ＝2.即从甲类产品中抽取10件，则甲类产品的数量为101503000＝200(件)，故选B.7．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01,02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第10列和第11列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为( )A ．23B ．09C ．02D ．17答案 C 解析 从随机数表第1行的第10列和第11列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02，故选出的第6个红色球的编号为02.故选C.8．(2018·包头检测)将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为 ( )A ．26,16,8B ．25,17,8C ．25,16,9D ．24,17,9答案 B解析 由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300，得k ≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495，得1034<k ≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17；第Ⅲ营区被抽中的人数为50－25－17＝8.故选B.9．某单位有老年人28人、中年人54人、青年人81人，为了调查他们的身体状况，从中抽取一个容量为36的样本，则最适合抽取样本的方法是( )A ．简单随机抽样B ．系统抽样C ．分层抽样D ．先从老年人中剔除1人，再用分层抽样答案 D解析 因为总体由差异明显的三部分组成，所以考虑用分层抽样．因为总人数为28＋54＋81＝163，样本容量为36，由于按36163抽样，无法得到整数解，因此考虑先剔除1人，将抽样比变为36162＝29.若从老年人中随机地剔除1人，则老年人应抽取27×29＝6(人)，中年人应抽取54×29＝12(人)，青年人应抽取81×29＝18(人)，从而组成容量为36的样本．故选D.10．(2017·山西阳泉调研)学校高中部共有学生2000名，高中部各年级男、女生人数如表，已知在高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.18，现用分层抽样的方法在高中部抽取50名学生，则应在高二年级抽取的学生人数为( )A ．14C ．16D ．17 答案 B解析 由已知高三女生数x ＝2000×0.18＝360.故高三年级总共有360＋340＝700(人)．而高一年级共有373＋327＝700(人)．所以高二年级共有2000－700－700＝600(人)．设高二年级应抽取的学生数为n ，则由分层抽样的特点知，n 50＝6002000，解得n ＝15.故选B.二、填空题11．(2017·郑州期末)已知某商场新进3000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________．答案 1211解析 由系统抽样，抽样间隔k ＝3000150＝20，由题意知这些号码是以11为首项，20为公差的等差数列，则a 61＝11＋60×20＝1211，故第61组抽取号码为1211.12．(2018·浙江五校模拟)某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的调查，在A ，B ，C ，D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列，且共回收1000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B 单位抽30份，则在D 单位抽取的问卷是________份．答案 60解析 由题意依次设在A ，B ，C ，D 四个单位回收的问卷数分别为a 1，a 2，a 3，a 4，则30a 2＝1501000，∴a 2＝200.又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1000，即3a 2＋a 4＝1000，∴a 4＝400.设在D 单位抽取的问卷数为n ，∴n 400＝1501000，解得n ＝60.13．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．答案 50 1015解析 第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5＋980×0.2＋1030×0.3＝1015.14．(2017·临沂期末)某地区有居民100000户，其中普通家庭99000户，高收入家庭1000户．在普通家庭中以简单随机抽样的方式抽取990户，在高收入家庭中以简单随机抽样的方式抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地区拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是________．答案 5.7%解析 99000户普通家庭中拥有3套或3套以上住房的约有99000×50990＝5000(户)，1000户高收入家庭中拥有3套或3套以上住房的约有70100×1000＝700(户)，故该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例约为5000＋700100000×100%＝5.7%.三、解答题15．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n 的样本．如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n .解 总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n 36，抽取工程师人数为n 36×6＝n 6(人)，技术员人数为n 36×12＝n 3(人)，技工人数为n 36×18＝n 2(人)，所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35，系统抽样的间隔35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量n ＝6.16．某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：(1)(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？(3)若要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解，则应怎样抽样？解 (1)按老年、中年、青年分层，用分层抽样法抽取，抽取比例为402000＝150.故老年人、中年人、青年人各抽取4人、12人、24人．(2)按管理、技术开发、营销、生产分层，用分层抽样法抽取，抽取比例为252000＝180，故管理、技术开发、营销、生产各部门抽取2人、4人、6人、13人．(3)用系统抽样，对全部2000人随机编号，号码从0001～2000，每100号分为一组，从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，…，1900，共20人组成一个样本．。