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备考2019年高考数学一轮专题：第15讲 定积分与微积分基本定理（理科）一、选择题1.定积分的值为( ) C 、 D 、A 、B 、 +2.设f （x ）=2|x|，则 f （x ）dx=（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 +3.已知（3x 2+k ）dx=16，则k=（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 + 4.A 、的值是（??） C 、 D 、B 、 + 5.下列值等于1的积 分是（）A 、B 、C 、D 、+6.设曲线y=x 3与直线y=x 所围成的封闭区域的面积为S ，则下列等式成立的是（ ）A 、S=（x 3﹣x ）dxB 、S=（x ﹣x 3）dxC 、S= |x 3﹣x|dxD 、S=2（x ﹣x 3）dx +7.A 、1B 、C 、D 、( ) + 8.计算定积分（1+）dx=（ ）A 、e ﹣1B 、eC 、e+1D 、1+ + 9.A 、B 、 等于（）C 、1D 、 +10. (sinx-cosx)dx=（ ）A 、2B 、4C 、πD 、2π +11. a= 3x 2dx ，函数f （x ）=2e x +3x ﹣a 的零点所在的区间是（ ）A 、（﹣2，﹣1）B 、（﹣1，0）C 、（0，1）D 、（1，2） +二、填空题12. a= xdx，分别以3a，2a，a，为长，宽，高的长方体表面积是．+13.已知函数f（x）为一次函数，其图象经过点（2，4），且．f（x）dx=3，则函数f（x）的解析式为+14.已知2 （k+1）dx≤4，则实数k的取值范围为．+15.若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则a的值是．+16.设，则= ．+17.（3x2+k）dx=10，则k= ．+18.在直线，，，围成的区域内撒一粒豆子，则落入，，围成的区域内的概率为．+三、解答题19.已知F（x）= (t2+2t-8)dt，（x＞0）．（1）求F（x）的单调区间；（2）求函数F（x）在[1，3]上的最值．+20.求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积．+。
第 15 讲 定积分与微积分基本定理考试说明 1 . 认识定积分的实质背景 , 认识定积分的基本思想 , 认识定积分的观点 .2. 认识微积分基本定理的含义 .考情剖析真题再现■ [2017 - 2013] 课标全国真题再现■ [2017 - 2016] 其余省份近似高考真题【课前双基稳固】知识聚焦1 常数 f ( ξ i ) 被积 下 上.2.a b 03.k f ( x )d x f ( x )d x ± g ( x )d xf ( x )d x+ f ( x )d x4.F ( b ) -F ( a )对点操练1. e 2- 2ln 2 - e [ 分析] d x=(e x - 2ln x ) =e 2- 2ln 2- e . 2. 2 [分析] sin x d x = - cos x = 2 .3. 8 [分析] f ( x )d x+ f ( x )d x= f ( x )d x=8.4.[ 分析 ]画出图形(图略)可知所求的面积S=d x+=+- ( x- 4)2=.5. 1+t[ 分析 ](2 x+t )d x=( x2+tx )=1+t.6. [ 分析] 所求面积 S=- ( -x 2)d x=2 x2d x= .7 π[ 分析] 依据几何意义可得..8.S=d x【讲堂考点研究】例 1 [ 思路点拨 ] (1)依据定积分的几何意义、微积分基本定理求解;(2)依据奇函数的性质和定积分的计算法例计算即可.(1)A(2)D [ 分析 ] (1)依据定积分性质可得 f ( x)d x=d x+( x2- 1)d x, 依据定积分的几何意义可知 ,d x是以原点为圆心, 以 1 为半径的圆面积的, ∴dx=,∴ f(x)d 3 ,应选 Ax= + x -x= + .(2) ∵y=x cos x为奇函数 , ∴x cos x d x=0,∵d x== ×(1 +1) = ,∴( x cos x+)d x= , 故选 D.变式题(1)2(2)ln 2+[ 分析 ] (1)a=2sin cos d x=sin x d x=- cos x =- (cosπ -cos 0)=2.(2)xx+ =ln 2 + - =ln 2 + . +2 d x= ln例 2 [ 思路点拨 ] (1) 先联立方程 , 构成方程组 , 求得交点坐标 , 可得被积区间 , 再用定积分表示出曲线围成的关闭图形的面积 , 即可求得结论 ;(2) 依据导数的几何意义确立切线方程 , 再由定积分的几何意义求解相应地区的面积 .(1)B(2)[ 分析 ] (1)解方程组得则曲线y=与直线y=x-1,x=1所围成的关闭图形如图所示 , 所求的面积S= -x+ 1 d2ln 2 (2ln 2 2 2) 0 1 2ln 2- .x= x- x +x = - + - - + =(2) 设曲线y= x2在点 (2,1) 处的切线为l ,∵y'= x,∴直线 l 的斜率 k=y'| x=2=1,∴直线 l 的方程为 y- 1=x- 2, 即 y=x- 1. 当 y=0时, x- 1=0,即 x=1,所围成的关闭图形如下图, ∴所求面积2 3S=x d x- ×1×1= x- = .变式题[ 分析 ]先依据题意画出图形, 获得积分上限为1, 积分下限为0, 直线y=x与曲线y=x2所围成的关闭图形的面积S=( x-x2)d x=x2- x3= - = .例 3 [ 思路点拨 ]第(1)(2)问只需依据定积分的物理意义求解即可, 第 (3) 问求在 [0, x] 上函数v=t+ 1 的定积分 , 再求使得这个定积分等于112 时的x值 , x的值即为质点的运动时间.解 :(1)质点前10 s所走的行程S=( t+ 1)d t= t2+t= 60(m) .(2) 质点在第 5 s 到第 10 s 所经过的行程S'=( t+ 1)d t= t 2+t=42. 5(m) .(3) 设质点抵达另一点所用的时间为x,则依据题意有( t+ 1)d t= 112, 即=112,即 x2+x=112,即x2 +2x=224,又 x>0,得 x=14,即该质点抵达另一点所需要的时间是14 s, 整个运动过程中的均匀速度是=8(m/s) .变式题解: 由题意得力( ) 在这一过程中所做的功为( ) 在 [8,18] 上的定积分 ,F x F x即F( x)d x=-36x- 1=( - 36×18- 1) - ( - 36×8-1) =( - 2) -= .进而可得力F( x)在这一过程中所做的功为J .【备选原因】定积分的难点是利用它求曲边图形的面积, 下边两例题可用于加强训练, 以提升学生解题的熟练程度 .1 [ 配合例2 使用 ]抛物线y2=4x与直线y=2x-4围成的关闭图形的面积是.[答案]9[ 分析 ]方法一:画出图形,如下图,直线和曲线的交点坐标为和, 则所求面积S=[2- ( - 2)]d x+d x = 4 ×+2×-x 2+ 4 x= +-+=9.方法二 : 采用y为积分变量.抛物线方程为x= y2,直线方程为x= y+2,它们的交点坐标为(1, - 2) 和 (4,4),画出图形如下图, 则所求面积S =y + 2 - y2d y ==9.2 [ 配合例 2 使用 ]计算由曲线y=x3和 y=所围成的关闭图形的面积.解 : 如下图 , 依据计算两曲线所围成的关闭图形面积的一般方法, 所求面积S=x3-d x, 因为函数f ( x) = x3-知足f(-x)=f(x),即函数f(x)=x3-是偶函数,故x3-d x=2x3-d x=2-x 3d x=2-=1.。
考点13 定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. （2）了解微积分基本定理的含义.一、定积分 1．曲边梯形的面积（1）曲边梯形：由直线=a 、=b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x 所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．（2）求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v =v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s . 3．定积分的定义和相关概念（1）如果函数f ()在区间[a ,b ]上连续，用分点a =0<1<…<i −1<i <…<n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[i−1,i]上任取一点ξi(i =1,2, …,n )，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑；当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f ()在区间[a ,b ]上的定积分，记作()d baf x x ⎰，即()d baf x x ⎰=1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑. （2）在()d baf x x ⎰中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，叫做积分变量，f ()d 叫做被积式．4．定积分的性质 （1）()()d d bba akf x x k f x x =⎰⎰(为常数)；（2）[()()]d ()d ()d bb ba aaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰；（3）()d =()d +()d bc baacf x x f x x f x x ⎰⎰⎰(其中a <c <b )．【注】定积分的性质（3）称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD 的面积等于曲边梯形AEFD 与曲边梯形EBCF 的面积的和．5．定积分的几何意义（1）当函数f ()在区间[a ,b ]上恒为正时，定积分ba ⎰ f ()d 的几何意义是由直线=a ，=b (a ≠b )，y =0和曲线y =f ()所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．（2）一般情况下，定积分ba ⎰ f ()d 的几何意义是介于轴、曲线f ()以及直线=a ，=b 之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．6．定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形确定：设阴影部分面积为S ,则 （1）()d baS f x x =⎰； （2）()d baS f x x =-⎰；（3）()()d d c bacS f x x f x x=-⎰⎰； （4）()()()()d d []d bbbaaaS f x x g x x f x g x x =-=-⎰⎰⎰.7．定积分的物理意义 （1）变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v =v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即()d bas v t t =⎰.（2）变力做功一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s m ，则力F 所做的功为W =Fs .如果物体在变力F ()的作用下沿着与F ()相同的方向从=a 移动到=b ，则变力F ()做的功()d baW F x x =⎰.二、微积分基本定理一般地，如果f ()是区间[a ,b ]上的连续函数，且F ′()=f ()，那么()d baf x x ⎰=F (b )−F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F ()叫做f ()的一个原函数．为了方便，我们常把F (b )−F (a )记作()|b aF x ，即()d baf x x ⎰=()|b a F x =F (b )−F (a )．【注】常见的原函数与被积函数的关系 （1）d |(bb a a C x Cx C =⎰为常数)； （2）11d |(1)1bn n ba ax x x n n +=≠-+⎰； （3）sin d cos |bb a a x x x =-⎰；（4）cos d sin |bb a a x x x =⎰； （5）1d ln |(0)bb a ax x b a x=>>⎰； （6）e d e |bx x b a a x =⎰；（7）d |(0,1)ln x bxba a a a x a a a=>≠⎰；（8）322|(0)3b a ax x b a =>≥⎰.考向一 定积分的计算1．求定积分的三种方法（1）利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强； （2）利用微积分基本定理求定积分；（3）利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，定积分x ⎰的几何意义是求单位圆面积的14，所以π=4x ⎰. 2．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； （2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； （3）分别用求导公式找到一个相应的原函数； （4）利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值； （5）计算原始定积分的值. 3．分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加． 4．奇偶函数的定积分（1）若奇函数y =f ()的图象在[−a ，a ]上连续，则()d 0aa f x x -=⎰； （2）若偶函数y =g ()的图象在[−a ，a ]上连续，则0()d 2()d aaag x x g x x -=⎰⎰.典例1 A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】A故选A ．【解题技巧】求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.1．若0cos 2cos d tt x x =-⎰，其中()0,πt ∈，则t =A ．π6 B ．π3 C ．π2D ．5π6考向二 利用定积分求平面图形的面积利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略 （1）利用定积分求平面图形面积的步骤 ①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案． （2）知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．（3）与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.典例2 设抛物线C ：y =2与直线l ：y =1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于 A ．1 B ．13 C ．23D ．43【答案】D【解析】由21y x y ⎧=⎨=⎩，得1x =±.如图，由对称性可知，12301142(11d )2(11)033S x x x =⨯-=⨯-=⎰.故选D.2．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是A ．()d ca f x x ⎰B ．()d ca f x x ⎰C ．()d ()d bcabf x x f x x +⎰⎰D ．()d ()d cbba f x x f x x -⎰⎰考向三 定积分的物理意义利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求.典例 3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t +t=-+(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2【答案】C【解析】令v (t )=0得，3t 2−4t −32=0，解得t =4(83t =-舍去). 汽车的刹车距离是42400253(73)d [725ln(1)]|425ln 5.12t +t t t t t -=-++=++⎰故选C.3．已知物体运动的速度与时间的关系式为49v t =-，则物体从0t =到5t =所走的路程为 A ．11 B ．5 C ．1014D ．201AB C ．πD ．2π2．求曲线2y x =与y x =所围成的图形的面积S ，正确的是 A ．()120d S x x x =-⎰B ．()120d S xx x =-⎰ C ．()12d S yy y =-⎰D 3．若()π4sin cos d ax x x +=⎰a 的值不可能为 A ．13π12 B ．7π4 C ．29π12D ．37π124．已知函数()f x 在R 上可导，且()()()34120f x x x f f '+'=-，则10()d f x x =⎰A ．1B ．1-C ．394D ．394-5．汽车以()32 m/s v t =+作变速运动时，在第1s 至2s 之间的1s 内经过的路程是 A ．5mBC ．6mD 6．若函数()()πsin 0,06f x A x A ωω⎛⎫=->> ⎪⎝⎭的图象如图所示，则图中阴影部分的面积为A ．12B ．14CD 7．已知二项式912x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为212-，则e 1d a x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为 A ．2e 12+B ．2e 32-C ．2e 32+D ．2e 52-8．曲线2y x x =--与x 轴所围成图形的面积被直线y kx =分成面积相等的两部分，则k 的值为A ．14-B ．2-C ．12--D ．12- 9．设()22f x x x =-,在区间[]01，上随机产生10000个随机数，构成5000个数对()(),1,2,,5000i i x y i =，记满足()()1,2,,5000i i f x y i ≥=的数对(),i i x y 的个数为X ,则X 的估计值约为A ．3333B ．3000C ．2000D ．166710．已知定义在R 上的函数()f x 与()g x ，若函数()f x 为偶函数，函数()g x 为奇函数，且()0d 6af x x =⎰，则()()2d aa f x g x x -⎡⎤+=⎣⎦⎰__________．1．（2015年高考湖南卷理科）2(1)d x x -=⎰．2．（2015年高考天津卷理科）曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ． 3．（2015年高考山东卷理科）执行如图所示的程序框图,输出的T 的值为 ．4．（2015年高考福建卷理科）如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f ()=2.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 ．5．（2015年高考陕西卷理科）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．【点睛】本题主要考查定积分的求法、二倍角的余弦公式，考查了已知三角函数值求角，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，是中档题.求解时，首先求出定积分cos d tx x ⎰，代入0cos 2cos d tt x x =-⎰，利用二倍角公式得到关于sin t 的方程，求出sin t ，结合t 的范围可得结果. 2．【答案】D【解析】由定积分的几何意义知，图中阴影部分的面积为()[]d ()d ()d ()d bc c babbaf x x f x x f x x f x x -+=-⎰⎰⎰⎰.故选D ． 3．【答案】B【解析】由积分的物理意义可知物体从t =0到t =5所走的路程为()()5250049d 29|50455t t tt -=-=-=⎰.故选B ．1．【答案】A【解析】(()22211y xx y =∴-+=表示以()1,0为圆心，1为半径的圆，∴定积分x ⎰等于该圆的面积的四分之一，∴A ． 2．【答案】A 【解析】如图所示，由定积分几何意义可得()12d S x x x =-⎰， 故选A ．3．【答案】B 【解析】由题得()()ππ44ππsin cos d sin cos |cos sin cos sin sin cos 44aax x xx x a a a a +=-=---=-⎰π42a ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以π1sin 42a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，把7π4a =代入，3π1sin 22≠,显然不成立，故选B ．5．【答案】D【解析】由题意可得在第1s至2s之间的1s内经过的路程132=,故选D ． 6．【答案】C【解析】由图可知，1A =，πππ2362T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，即πT =，∴2ω=，则()πs i n 26fx x ⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∴图中的部分的面积为ππ121200π1π1πππsin 2d cos(2)|cos cos 6262666S x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰.112⎛=⨯= ⎝⎭.故选C ． 【名师点睛】本题考查了导数在求解面积中的应用，关键是利用图形求解函数的解析式，再在运用积分求解．定积分的计算一般有三个方法： ①利用微积分基本定理求原函数；②利用定积分的几何意义，即利用面积求定积分；③利用奇偶性、对称性求定积分，如奇函数在对称区间的定积分值为0. 7．【答案】B【解析】二项式912x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为99219911C C 22r rr r r r r T x x ax a --+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令3r =可得3x 的系数为3393121C 22a a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭．由题意得3212122a =-，解得1a =-． 所以ee 1212e 11d 1e 3ln |2d 2x x a x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰．故选B ．【名师点睛】先由二项式定理求得展开式的通项，根据题意求得实数a 的值，再根据微积分基本定理求定积分． 8．【答案】D【解析】如图所示，曲线2y x x =--与x 轴的交点为()1,0-和0,0（），曲线2y x x =--与直线y kx =的交点为()21,k k k ----和0,0（）．由题意和定积分的几何意义得：()2211()d 2d kx x x xx kx x -----=---⎰⎰，化简得：()()33111=2632k k ⎛⎫++ ⎪-+ ⎪⎝⎭，即31=1+2k （），解得：112k ==-．故选D ．【点睛】1．由函数图象或曲线围成的曲边图形面积的计算及应用，一般转化为定积分的计算及应用， 但一定要找准积分上限、下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决．具体步骤如下：(1)画出图形，确定图形范围；(2)解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限； (3)确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置； (4)计算定积分，求出平面图形的面积．2．由函数求其定积分，能用公式的利用公式计算，有些特殊函数可根据其几何意义，求出其围成的几何图形的面积，即其定积分． 9．【答案】A【解析】满足()i i y f x ≤是在曲线()y f x =、0,1y x ==所围成的区域内（含边界），又该区域的面积为()122310122d |33x x x x x -=-=⎰，故X 的估计值为2500033333⨯≈. 故选A ．【名师点睛】对于曲边梯形的面积，我们可以用定积分计算.设事件A 为“[]0,1上随机产生数对(),x y ，满足()y f x ≤ ”，则总的基本事件为0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，对应的测度为正方形的面积1，而随机事件A 对应的测度为为曲边梯形()0101y f x x y ⎧≤⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩的面积，它可利用定积分计算.10．【答案】12【解析】∵函数()f x 为偶函数，函数()g x 为奇函数，∴函数()f x 的图象关于y 轴对称，函数()g x 的图象关于原点对称． ∴()()0d 2d 12aa a f x x f x x -==⎰⎰，()d 0aag x x -=⎰，∴()()()()2d d 2d 12aaaa a a f x g x x f x x g x x ---⎡⎤+=+=⎣⎦⎰⎰⎰．【点睛】根据定积分的几何意义和函数的奇偶性求解．定积分()()d (0)ba f x x f x >⎰的几何意义是表示曲线()y f x =以下、轴以上和直线,x a x b ==之间的曲边梯形的面积，解题时要注意面积非负，而定积分的结果可以为负．1．【答案】0 【解析】2220011(1)d ()|42022x x x x -=-=⨯-=⎰.2．【答案】16【解析】由题意可得封闭图形的面积为122310011111()d ()|23236x x x x x -=-=-=⎰.4．【答案】512【解析】依题意知点D 的坐标为(1,4),所以矩形ABCD 的面积S =1×4=4, 阴影部分的面积S 阴影=3222111754d 44333| x x x =-=--=⎰, 根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P =553412S S ==阴影.5．【答案】1.2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =(0p >)，因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()53235355222240(2)d (2)(255)[255]257575753x x x x ---=-=⨯-⨯-⨯--⨯-=⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403，所以答案为1.2．。
§3.4 定积分与微积分基本定理考纲展示► 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义．考点1 定积分的计算1.定积分的定义一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个________，这个________叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .答案：常数 常数 2．定积分的相关概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，________与________分别叫做积分下限与积分上限，区间________叫做积分区间，函数________叫做被积函数，________叫做积分变量，________叫做被积式．答案：ab [a ，b ] f (x ) xf (x )d x 3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝________(k 为常数)；(2)⎠⎛ab [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝____________；(3)________＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．答案：k ⎠⎛a b f (x )d x ⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x⎠⎛abf (x )d x 4．定积分的几何意义如图：设阴影部分面积为S . (1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；(2)S ＝________； (3)S ＝____________；(4)S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .答案：(2)－⎠⎛a b f (x )d x (3)⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x5．微积分基本定理如果F ′(x )＝f (x )，且f (x )在[a ，b ]上可积，则⎠⎛ab f (x )d x ＝________.其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．可以把F (b )－F (a )记为F (x )b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )ba ＝________.答案：F (b )－F (a ) F (b )－F (a )奇函数、偶函数的定积分．(1)如果f (x )是[－a ，a ]上的连续的偶函数，则⎠⎛-a a f (x )d x ＝________.(2)如果f (x )是[－a ，a ]上的连续的奇函数，则⎠⎛-aa f (x )d x ＝________. 答案：(1)2⎠⎛0a f (x )d x (2)0[典题1] 求下列定积分： (1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ；(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ；(3)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ；(4)⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x .[解](1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ＝⎠⎛01(－x 2)d x ＋⎠⎛012x d x ＝－13x 310＋x 210＝－13＋1＝23.(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝(－cos x )π0－sin x π0＝2. (3)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ＝⎠⎛12e 2xd x ＋⎠⎛121xd x ＝12e 2x 21＋ln x 21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (4) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x ＝⎠⎜⎛0π4|sin x －cos x |d x＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.[题点发散1] 若将本例(1)中的“－x 2＋2x ”换为“|2x －1|”，如何求解？解：⎠⎛01|2x －1|d x ＝⎠⎜⎛012 (1－2x )d x ＋⎠⎜⎛121(2x －1)d x ＝(x －x 2)⎪⎪⎪⎪12＋(x 2－x )⎪⎪⎪⎪112＝14＋14＝12. [题点发散2] 若将本例(1)中的“－x 2＋2x ”改为“－x 2＋2x ”，如何求解？解：⎠⎛01－x 2＋2x d x 表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y＝－x 2＋2x ，得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，故⎠⎛01－x 2＋2x d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14，即⎠⎛01－x 2＋2x d x ＝π4.[点石成金] 1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错． 2．根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．1.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈，2]，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.34 B ．45 C.56 D ．不存在答案：C 解析：如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.2．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为________．答案：9π4解析：由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y＝0围成的封闭图形的面积．故⎠⎛39－x 2d x ＝π·324＝9π4.3．[2017·湖北重点中学高三阶段性统一考试]若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛02f (x )d x ＝________.答案：－4解析：因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2.故⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛02(x 3－3x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x44－x 320＝－4.考点2 运用定积分求平面图形的面积[典题2] (1)已知曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为S ，则S ＝________.[答案]136[解析] 由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 32 ＋16x 210＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －13x 231＝23＋16＋43＝136. (2)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.[答案] 2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k ，y ＝k 2， 则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2. [点石成金] 1.利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤： (1)画出图形； (2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．2．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.1.由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形的面积是( )A ．1B ．π4C.223D ．22－2答案：D解析：由sin x ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，解得x ＝π4，故图中阴影部分的面积S ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2 (sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝sin π4＋cos π4－cos 0＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π2－sin π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π4－sin π4 ＝22－2.(本题也可利用图形的对称性求解)2．[2017·山东日照模拟]如图，由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的平面图形的面积为________．答案：43解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1， 得交点A (－1，－1)，B (1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x 2，y ＝－1得交点C (－2，－1)，D (2，－1)．∴面积S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋x 2d x ＋⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋1d x ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3410＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 31221＝43. 考点3 定积分在物理中的应用[典题3] [2017·湖北武汉调研]一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2[答案] C[解析] 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋＋t 4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m)． [点石成金] 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦．答案：36解析：由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝5×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x 42＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(焦)．[方法技巧] 1.求定积分的方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强．(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )；②计算F (b )－F (a )．(3)利用定积分的几何意义求定积分． 2．求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形． (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限． (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和．(4)计算定积分．[易错防范] 1.被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分． 2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． 3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．5．将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷．真题演练集训1．[2014·陕西卷]定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1答案：C解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )10＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，故选C.2．[2014·山东卷]直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4答案：D解析：由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 420＝4.3．[2015·天津卷]曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 答案：16解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x ，得A (1,1)．故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3|10＝16. 4．[2015·湖南卷]⎠⎛02(x －1)d x ＝________. 答案：0解析：⎠⎛02(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x 20＝(2－2)－0＝0. 5．[2015·陕西卷]如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．答案：1.2解析：建立如图所示的平面直角坐标系．由抛物线过点(0，－2)，(－5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为y ＝225x 2－2，抛物线与x 轴围成的面积S 1＝⎠⎛5－5⎝ ⎛⎭⎪⎫2－225x 2d x ＝403，梯形面积S 2＝＋2＝16.最大流量比为S 2∶S 1＝1.2.课外拓展阅读探究定积分与不等式交汇问题[典例][2016·湖南长沙模拟]如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线f (x )＝sin x ；x ∈(0，π)及直线x ＝a ，a ∈(0，π)与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( )A.7π12 B ．2π3 C.3π4 D ．5π6[审题视角] 先运用定积分求出阴影部分的面积，再利用几何概型概率计算公式求出概率．[解析] 由已知S 矩形OABC ＝a ×6a＝6， 而阴影部分的面积为S ＝⎠⎛0a sin x d x ＝(－cos x )a0＝1－cos a ， 依题意有SS 矩形OABC ＝14，即1－cos a 6＝14， 解得cos a ＝－12，又a ∈(0，π)， 所以a ＝2π3.故选B.[答案] B定积分还可与其他知识交汇，如与二项式定理、数列等知识交汇．方法点睛提醒完成课时跟踪检测(十六)。
考点13 定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. （2）了解微积分基本定理的含义.一、定积分 1．曲边梯形的面积（1）曲边梯形：由直线=a 、=b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x 所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．（2）求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v =v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s . 3．定积分的定义和相关概念（1）如果函数f ()在区间[a ,b ]上连续，用分点a =0<1<…<i −1<i <…<n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[i −1,i ]上任取一点ξi (i =1,2, …,n )，作和式11()()n nii i i b af x f nξξ==-∆=∑∑；当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f ()在区间[a ,b ]上的定积分，记作()d baf x x ⎰，即()d baf x x ⎰=1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑. （2）在()d baf x x ⎰中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，叫做积分变量，f ()d 叫做被积式．4．定积分的性质 （1）()()d d bba akf x x k f x x =⎰⎰(为常数)；（2）[()()]d ()d ()d bb ba aaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰；（3）()d =()d +()d bc baacf x x f x x f x x ⎰⎰⎰(其中a <c <b )．【注】定积分的性质（3）称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD 的面积等于曲边梯形AEFD 与曲边梯形EBCF 的面积的和．5．定积分的几何意义（1）当函数f ()在区间[a ,b ]上恒为正时，定积分ba ⎰ f ()d 的几何意义是由直线=a ，=b (a ≠b )，y =0和曲线y =f ()所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．（2）一般情况下，定积分ba ⎰ f ()d 的几何意义是介于轴、曲线f ()以及直线=a ，=b 之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．6．定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形确定：设阴影部分面积为S ,则 （1）()d baS f x x =⎰； （2）()d baS f x x =-⎰；（3）()()d d c bacS f x x f x x=-⎰⎰； （4）()()()()d d []d bbbaaaS f x x g x x f x g x x =-=-⎰⎰⎰.7．定积分的物理意义 （1）变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v =v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即()d bas v t t =⎰.（2）变力做功一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s m ，则力F 所做的功为W =Fs .如果物体在变力F ()的作用下沿着与F ()相同的方向从=a 移动到=b ，则变力F ()做的功()d baW F x x =⎰.二、微积分基本定理一般地，如果f ()是区间[a ,b ]上的连续函数，且F ′()=f ()，那么()d baf x x ⎰=F (b )−F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F ()叫做f ()的一个原函数．为了方便，我们常把F (b )−F (a )记作()|b aF x ，即()d baf x x ⎰=()|b a F x =F (b )−F (a )．【注】常见的原函数与被积函数的关系 （1）d |(bb a a C x Cx C =⎰为常数)； （2）11d |(1)1bn n ba ax x x n n +=≠-+⎰； （3）sin d cos |bb a a x x x =-⎰；（4）cos d sin |bb a a x x x =⎰； （5）1d ln |(0)bb a ax x b a x=>>⎰； （6）e d e |bx x b a a x =⎰；（7）d |(0,1)ln x bxba a a a x a a a=>≠⎰；（8）322|(0)3b a ax x b a =>≥⎰.考向一 定积分的计算1．求定积分的三种方法（1）利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强； （2）利用微积分基本定理求定积分；（3）利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，定积分x ⎰的几何意义是求单位圆面积的14，所以π=4x ⎰. 2．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； （2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； （3）分别用求导公式找到一个相应的原函数； （4）利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值； （5）计算原始定积分的值. 3．分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加． 4．奇偶函数的定积分（1）若奇函数y =f ()的图象在[−a ，a ]上连续，则()d 0aa f x x -=⎰； （2）若偶函数y =g ()的图象在[−a ，a ]上连续，则0()d 2()d aaag x x g x x -=⎰⎰.典例1 A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】A故选A ．【解题技巧】求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.1．若0cos 2cos d tt x x =-⎰，其中()0,πt ∈，则t =A ．π6 B ．π3 C ．π2D ．5π6考向二 利用定积分求平面图形的面积利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略 （1）利用定积分求平面图形面积的步骤 ①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案． （2）知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值． （3）与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.典例2 设抛物线C ：y =2与直线l ：y =1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于 A ．1 B ．13 C ．23D ．43【答案】D【解析】由21y x y ⎧=⎨=⎩，得1x =±.如图，由对称性可知，12301142(11d )2(11)033S x x x =⨯-=⨯-=⎰. 故选D.2．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是A ．()d ca f x x ⎰B ．()d ca f x x ⎰C ．()d ()d bcabf x x f x x +⎰⎰D ．()d ()d cbba f x x f x x -⎰⎰考向三 定积分的物理意义利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求.典例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t +t=-+(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2【答案】C【解析】令v (t )=0得，3t 2−4t −32=0，解得t =4(83t =-舍去). 汽车的刹车距离是42400253(73)d [725ln(1)]|425ln 5.12t +t t t t t -=-++=++⎰故选C.3．已知物体运动的速度与时间的关系式为49v t =-，则物体从0t =到5t =所走的路程为 A ．11 B ．5 C ．1014D ．201AB C ．πD ．2π2．求曲线2y x =与y x =所围成的图形的面积S ，正确的是 A ．()12d S x x x =-⎰B ．()120d S xx x =-⎰ C ．()120d S y y y =-⎰D 3．若()π4sin cos d 2ax x x +=⎰，则a 的值不可能为 A ．13π12 B ．7π4 C ．29π12D ．37π124．已知函数()f x 在R 上可导，且()()()34120f x x x f f '+'=-，则1()d f x x =⎰A ．1B ．1-C ．394D ．394-5．汽车以()32 m/s v t =+作变速运动时，在第1s 至2s 之间的1s 内经过的路程是 A ．5mB C ．6mD6．若函数()()πsin 0,06f x A x A ωω⎛⎫=->> ⎪⎝⎭的图象如图所示，则图中阴影部分的面积为A ．12B ．14C ．24-D ．227．已知二项式912x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为212-，则e 1d a x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为 A ．2e 12+B ．2e 32-C ．2e 32+D ．2e 52-8．曲线2y x x =--与x 轴所围成图形的面积被直线y kx =分成面积相等的两部分，则k 的值为A ．14-B ．C ．1-D 1- 9．设()22fx x x =-,在区间[]01，上随机产生10000个随机数，构成5000个数对()(),1,2,,5000i i x y i =，记满足()()1,2,,5000i i f x y i ≥=的数对(),i i x y 的个数为X ,则X 的估计值约为A ．3333B ．3000C ．2000D ．166710．已知定义在R 上的函数()f x 与()g x ，若函数()f x 为偶函数，函数()g x 为奇函数，且()0d 6a f x x =⎰，则()()2d aaf xg x x -⎡⎤+=⎣⎦⎰__________．1．（2015年高考湖南卷理科）2(1)d x x -=⎰．2．（2015年高考天津卷理科）曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ． 3．（2015年高考山东卷理科）执行如图所示的程序框图,输出的T 的值为 ．4．（2015年高考福建卷理科）如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f ()=2.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 ．5．（2015年高考陕西卷理科）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．【点睛】本题主要考查定积分的求法、二倍角的余弦公式，考查了已知三角函数值求角，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，是中档题.求解时，首先求出定积分cos dtx x⎰，代入cos2cos dtt x x=-⎰，利用二倍角公式得到关于sin t的方程，求出sin t，结合t的范围可得结果.2．【答案】D【解析】由定积分的几何意义知，图中阴影部分的面积为()[]d()d()d()db c c ba b b af x x f x x f x x f x x-+=-⎰⎰⎰⎰.故选D．3．【答案】B【解析】由积分的物理意义可知物体从t=0到t=5所走的路程为()()52549d29|50455t t t t-=-=-=⎰.故选B．1．【答案】A【解析】(()2211y x x y=∴-+=表示以()1,0为圆心，1为半径的圆，∴定积分x⎰等于该圆的面积的四分之一，∴A．2．【答案】A【解析】如图所示，由定积分几何意义可得()12d S x x x =-⎰，故选A ． 3．【答案】B 【解析】由题得()()ππ44ππsi n c os d s44aa x x x x x a a a a+=-=---=-⎰π42a ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以π1sin 42a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，把7π4a =代入，3π1sin 22≠,显然不成立，故选B ．5．【答案】D【解析】由题意可得在第1s至2s之间的1s内经过的路程132=,故选D ． 6．【答案】C【解析】由图可知，1A =，πππ2362T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，即πT =，∴2ω=，则()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.∴图中的部分的面积为ππ1212π1π1πππs i n 2d c o s (2626266S x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰.112⎛=⨯= ⎝⎭.故选C ． 【名师点睛】本题考查了导数在求解面积中的应用，关键是利用图形求解函数的解析式，再在运用积分求解．定积分的计算一般有三个方法： ①利用微积分基本定理求原函数；②利用定积分的几何意义，即利用面积求定积分；③利用奇偶性、对称性求定积分，如奇函数在对称区间的定积分值为0. 7．【答案】B【解析】二项式912x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为99219911C C 22r rr r r r r T x x ax a --+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令3r =可得3x 的系数为3393121C 22a a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭．由题意得3212122a =-，解得1a =-． 所以ee 1212e 11d 1e 3ln |2d 2x x a x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰．故选B ．【名师点睛】先由二项式定理求得展开式的通项，根据题意求得实数a 的值，再根据微积分基本定理求定积分． 8．【答案】D【解析】如图所示，曲线2y x x =--与x 轴的交点为()1,0-和0,0（），曲线2y x x =--与直线y kx =的交点为()21,k k k ----和0,0（）．由题意和定积分的几何意义得：()2211()d 2d kx x x xx kx x -----=---⎰⎰，化简得：()()33111=2632k k ⎛⎫++ ⎪-+ ⎪⎝⎭，即31=1+2k （），解得：112k ==-．故选D ．【点睛】1．由函数图象或曲线围成的曲边图形面积的计算及应用，一般转化为定积分的计算及应用， 但一定要找准积分上限、下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决．具体步骤如下：(1)画出图形，确定图形范围；(2)解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限； (3)确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置； (4)计算定积分，求出平面图形的面积．2．由函数求其定积分，能用公式的利用公式计算，有些特殊函数可根据其几何意义，求出其围成的几何图形的面积，即其定积分． 9．【答案】A【解析】满足()i i y f x ≤是在曲线()y f x =、0,1y x ==所围成的区域内（含边界），又该区域的面积为()122310122d |33x x x x x -=-=⎰，故X 的估计值为2500033333⨯≈. 故选A ．【名师点睛】对于曲边梯形的面积，我们可以用定积分计算.设事件A 为“[]0,1上随机产生数对(),x y ，满足()y f x ≤ ”，则总的基本事件为0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，对应的测度为正方形的面积1，而随机事件A 对应的测度为为曲边梯形()0101y f x x y ⎧≤⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩的面积，它可利用定积分计算.10．【答案】12【解析】∵函数()f x 为偶函数，函数()g x 为奇函数，∴函数()f x 的图象关于y 轴对称，函数()g x 的图象关于原点对称． ∴()()0d 2d 12aa a f x x f x x -==⎰⎰，()d 0aag x x -=⎰，∴()()()()2d d 2d 12aaaa a a f x g x x f x x g x x ---⎡⎤+=+=⎣⎦⎰⎰⎰．【点睛】根据定积分的几何意义和函数的奇偶性求解．定积分()()d (0)ba f x x f x >⎰的几何意义是表示曲线()y f x =以下、轴以上和直线,x a x b ==之间的曲边梯形的面积，解题时要注意面积非负，而定积分的结果可以为负．1．【答案】0 【解析】2220011(1)d ()|42022x x x x -=-=⨯-=⎰.2．【答案】16【解析】由题意可得封闭图形的面积为122310011111()d ()|23236x x x x x -=-=-=⎰.4．【答案】512【解析】依题意知点D 的坐标为(1,4),所以矩形ABCD 的面积S =1×4=4, 阴影部分的面积S 阴影=3222111754d 44333| x x x =-=--=⎰, 根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P =553412S S ==阴影.5．【答案】1.2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =(0p >)，因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()53235355222240(2)d (2)(255)[255]257575753x x x x ---=-=⨯-⨯-⨯--⨯-=⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403，所以答案为1.2．。
第十三节 定积分与微积分基本定理积分的运算及应用(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． (2)了解微积分基本定理的含义．知识点一 定积分 1．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )． 2．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图(2)中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．易误提醒 (1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．[自测练习]1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛102x d x D.⎠⎛0－12x d x ＋⎠⎛10x 2d x解析：由分段函数的定义及积分运算性质，∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x . 答案：D2．已知f (x )是偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．6D ．16解析：因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以⎠⎛6－6f (x )d x ＝⎠⎛0－6f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.答案：D知识点二 微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )| b a ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．必备方法 运用微积分基本定理求定积分的方法： (1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分． (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．[自测练习]3．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a解析：a ＝⎠⎛01x －13d x ＝32x 23| 10＝32， b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－23x 32| 10＝13， c ＝⎠⎛01x 3d x ＝14x 4| 10＝14，因此a >b >c ，故选A. 答案：A4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( ) A.112 B.14 C.13D.712解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.结合图形知(图略)所求封闭图形的面积为⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 4| 10＝112，故选A. 答案：A考点一 定积分的计算|1．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( ) A ．9π B ．3π C.94π D.92π 解析：由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝9π4，故选C.答案：C2．(2016·临沂模拟)若∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C. 3D ．－ 3解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x . ∴∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝(a sin x －cos x )⎪⎪π20 ＝⎝⎛⎭⎫a sin π2－cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2. ∴a ＝1. 答案：B3．(2015·西安模拟)已知A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ，则A ＝________.解析：A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛13(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 31＝223. 答案：223定积分计算的三种方法定义法、几何意义法和微积分基本定理法，其中利用微积分基本定理是最常用的方法，若被积函数有明显的几何意义，则考虑用几何意义法，定义法太麻烦，一般不用．考点二 利用定积分求平面图形的面积|设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( )A ．1 B.13 C.23D.43[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，得x ＝±1.如图，由对称性可知，S ＝2()1×1－⎠⎛01x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫1×1－13x 3| 10＝43，选D.[答案] D利用定积分求平面图形面积的三个步骤(1)画图象：在直角坐标系内画出大致图象．(2)确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定积分上限和下限． (3)用牛顿－莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分，写出结果．1．(2015·衡中三模)由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．解析：把阴影部分分成两部分求面积． S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0－2(2－x 2)d x ＋⎠⎛01(2－x 2－x )d x＝⎝⎛⎭⎫2x －x 33| 0－2＋⎝⎛⎭⎫2x －x 33－x 22| 10 ＝22－(2)33＋2－13－12＝423＋76. 答案：423＋76考点三 定积分物理意义的应用|一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为________．[解析] 由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s ＝⎠⎜⎛126 v (t )= ⎠⎜⎛1262t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t＝36111322149264t t t ⎛⎫+++=⎪⎝⎭. [答案]494利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，(0≤x ≤2)，3x ＋4，(x >2)，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：力F (x )做功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42 ＝20＋26＝46. 答案：B5.混淆图形面积与定积分关系致误【典例】 已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x 3112012231053x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝54. [答案] 54[易误点评] (1)本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．(2)本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．[防范措施] 解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形．(2)准确确定被积函数和积分变量．[跟踪练习] (2015·洛阳期末)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知，所求面积为⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x | 0－1＋e x | 10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12.答案：e －12A 组 考点能力演练1．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－2或4D ．4解析：由⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8得(x 2－2x )| t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，故选D.答案：D2．(2015·青岛模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0ef (x )d x的值为( )A.43 B.54 C.65D.76解析：⎠⎛0ef (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛1ef (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e1x d x ＝x 33| 10＋ln x | e1＝13＋ln e ＝43，故选A.答案：A3．(2016·武汉模拟)设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的第4项为( ) A ．－1 280x 3 B ．－1 280 C ．240D ．－240解析：本题考查定积分的计算与二项式定理．依题意得a ＝(x 3－x 2)| 21＝4，二项式⎝⎛⎭⎫4x 2－1x 6的展开式的第四项是T 4＝C 36·(4x 2)3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－1 280x 3，故选A. 答案：A4．如图所示，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x(x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln 22B.1－ln 22C.1＋ln 22D.2－ln 22解析：本题考查定积分的计算与几何概率的意义．依题意，题中的矩形区域的面积是1×2＝2，题中的阴影区域的面积等于2×12＋eq \a\vs4\al(\i\in(1xd x ＝1＋ln x eq \b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,＝1＋ln 2，因此所求的概率等于1＋ln 22，故选C. 答案：C5．已知数列{a n }是等差数列，且a 2 013＋a 2 015＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2016)的值为()A ．π2B ．2πC ．πD ．4π2解析：⎠⎛024－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝4在第一象限的面积，即⎠⎛024－x 2d x ＝π，又数列{a n }是等差数列，所以a 2 013＋a 2 015＝a 2 012＋a 2 016＝2a 2 014，所以得a 2 014·(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)＝π2×2π＝π2，故选A.答案：A6．(2015·南昌模拟)直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝x －x 2，解得x ＝0或23，所以所求面积为∫230⎝⎛⎭⎫x －x 2－13x d x ＝∫230⎝⎛⎭⎫23x －x 2d x＝⎝⎛⎭⎫13x 2－13x 3⎪⎪230＝13×⎝⎛⎭⎫232－13×⎝⎛⎭⎫233－0＝481. 答案：4817．(2015·长春二模)已知a >0且曲线y ＝x 、x ＝a 与y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意a 2＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32| a 0，所以a ＝49.答案：498．已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则⎠⎛0a (cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.解析：⎠⎛0a(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )| a 0＝sin a ＋cos a －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1.∵a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴当a ＝π4时，[]⎠⎛0a(cos x －sin x )d x max ＝2－1.答案：π49．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2| 31＝23＋16＋43＝136. 10．汽车以54 km /h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解：由题意，得v 0＝54 km /h ＝15 m/s. 所以v (t )＝v 0＋at ＝15－3t . 令v (t )＝0，得15－3t ＝0.解得t ＝5.所以开始刹车5 s 后，汽车停车． 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 s ＝⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(15－3t )d t ＝⎝⎛⎭⎫15t －32t 2| 50＝37.5(m)． 故汽车走了37.5 m.B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )| 10＝1＋e 1－1＝e.答案：C2．(2014·高考江西卷)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：令⎠⎛01f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2mx | 10＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13，故选B. 答案：B3．(2013·高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2解析：由v (t )＝0得t ＝4.故刹车距离为 s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤－32t 2＋7t ＋25ln (1＋t )| 40＝4＋25ln 5.答案：C4．(2014·高考山东卷)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)． ∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4| 20＝4. 答案：D5．(2015·高考天津卷)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 解析：由题意，可得封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3| 10＝12－13＝16. 答案：166．(2015·高考陕西卷)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解析：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p ＝254，抛物线方程为x 2＝252y ，所以当前最大流量对应的截面面积为2⎠⎛05⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝403，原始的最大流量对应的截面面积为2×(6＋10)2＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2. 答案：1.2。
第12讲定积分与微积分基本定理板块一知识梳理·自主学习［必备知识]考点1定积分的概念在错误!f(x）d x中，a,b分别叫做积分下限与积分上限，区间［a，b]叫做积分区间，f（x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f（x）d x叫做被积式．考点2定积分的性质（1）错误!kf（x)d x＝k错误!f(x)d x（k为常数)．(2)错误![f1（x）±f2(x)]d x＝错误!f1（x）d x±错误!。
（3）错误!f（x）d x＝错误!f(x)d x＋错误!f(x)d x(其中a＜c＜b）．考点3微积分基本定理如果f(x）是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x）＝f（x），那么错误!f(x）d x＝F（b）－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式．为了方便，常把F(b)－F（a)记成F(x)｜错误!，即错误!f(x）d x＝F(x)|错误!＝F（b)－F(a)．［必会结论］1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．函数f (x ）在闭区间[－a ,a ］上连续，则有(1）若f (x ）为偶函数，则错误!f （x )d x ＝2错误!f （x )d x .(2）若f (x ）为奇函数，则⎠⎜⎛—aa f （x ）d x ＝0。
［考点自测]1．判断下列结论的正误．（正确的打“√"，错误的打“×”)（1）设函数y ＝f （x )在区间[a ，b ］上连续,则错误!f （x )d x ＝错误!f (t ）d t .（ )（2)若函数y ＝f (x ）在区间[a ，b ］上连续且恒正,则错误!f (x ）d x >0。
( )(3）若错误!f (x ）d x <0，那么由y ＝f （x ），x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．（ )（4）微积分基本定理中的F （x ）是唯一的．( ）(5)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是错误!（x 2－x )d x .（ ）答案 （1）√ (2）√ （3）× (4)× (5）×2．[课本改编］ 错误!(x －1)d x ＝（ )A ．2B ．－2 C.错误! D.错误!答案 B解析 错误! (x －1）d x ＝错误!|错误!＝错误!－错误!＝－2。
