数列求和专题(裂项相消)
数列求和专题复习
一、公式法
1.等差数列求和公式：d n n na a a n S n n
2
)
1(2)(11-+=+=
2.等比数列求和公式：
⎪⎩
⎪
⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111q q q
a a q q a q na S n n n
3.常见数列求和公式：
)
1(21
1
+==∑=n n k S n
k n ；
)
12)(1(61
1
2
++==∑=n n n k S n
k n ；2
1
3
)]1(2
1
[+==∑=n n k
S n
k n
例1：已知3
log 1log 23-=
x ，求⋅
⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x
x 32
的前n 项和.
例2：设n
S n
+⋅⋅⋅+++=321，
+
∈N n ,求1
)32()(++=n n
S
n S
n f 的最大值.
二、倒序相加法
似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。如果一个数列{}n
a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之
和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.
例3：求
89sin 88sin 3sin 2sin
1sin 2222
2++⋅⋅⋅+++的值
例4：求
222
2222222
22123101102938101
+++
+++++的和．
变式1：已知函数
()
x
f x =
（1）证明：()()11f x f x +-=；（2）求12891010
1010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
⎝⎭
⎝⎭
的
值.
三、裂项相消法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）)
()1(n f n f a n
-+= （2）
n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+ （3）
11
1)1(1+-
=+=n n n n a n （4）
)
1
21
121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n
（5）]
)
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=++=
n n n n n n n a n
(6) n
n
n n n n n
n S n n n n n n n n n a
2)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=
-则
例5：求数列
⋅
⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n 项和.
例6：在数列{}n
a 中，1
1211++⋅⋅⋅++++=
n n n n a
n
，又1
2
+⋅=
n n n
a a b
，求数
列{}n
b 的前n 项的和.
变式1：求证：
1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++
四、q 倍错位相减法
类似于等比数列的前n 项和的公式的推导方法.若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.
若n
n n
c b a
⋅=，其中{}n
b 是等差数列，{}n
c 是公比为q 等比数
列，令 112211n
n n n n S
b c b c b c b c --=++
++
则n
qS = 12
2311
n n n n b c
b c b c b c -+++
++
两式相减并整理即得
例7：求和：1
32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n
x n x x x S
例8：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,223
2
n
n
前n 项的和.
五、分组求和法
有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例9：求和：()()()()
1
2
3
235435635235n n
S n ----=-⨯+-⨯+-⨯+
+-⨯
