2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第十一章 计数原理、随机变量及分布列第1课时分类加法分步乘法
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《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第十一章 计数原理、随机变量及分布列第1课时 分
类加法计数原理与分步乘法
1. (选修23P 8练习3改编)某班级有男生5人,女生4人,从中任选一人去领奖,有________种不同的选法.
答案:9
解析:不同选法种数共有N =5+4=9种. 2. (选修23P 8例4改编)书架上层放有6本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书,从中任取数学书与语文书各一本,有________种不同的取法.
答案:30
解析:共有5×6=30种不同取法.
3. (选修23P 8练习5改编)5
位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有________种.
答案:32
解析:每位同学有2种不同的报名方法,故5位同学有25
=32种不同的报名方法. 4. (选修23P 9习题3改编)从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通.则从甲地到丙地共有________种不同的走法.
答案:14
解析:共有2×3+4×2=14种不同的走法.
5. 如图,一环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为________.
答案:84
解析:分两类:A、C种同种花有4×3×3=36种不同的种法; A、C种不同种花有4×3×2×2=48种不同的种法.故共有36+48=84种不同的种法.
1. 分类加法计数原理:完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法,…,在第n类办法中有m n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种不同的方法.
2. 分步乘法计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,…,做第n步有m n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法.
3. 分类和分步区别,关键是看事件能否完成,事件完成了就是分类;必须要连续若干步才能完成的则是分步.分类要用分类计数原理将种数相加;分步要用分步计数原理,分步后要将种数相乘.
[备课札记]
题型1 分类计数原理
例1满足A∪B={1,2}的集合A、B共有多少组?
解:集合A、B均是{1,2}的子集:Æ,{1},{2},{1,2},但不是随便两个子集搭配都行,本题尤如含A、B两元素的不定方程,其全部解分为四类:
①当A=Æ时,只有B={1,2},得1组解;
②当A={1}时,B={2}或B={1,2},得2组解;
③当A={2}时,B={1}或B={1,2},得2组解;
④当A={1,2}时,B=Æ或{1}或{2}或{1,2},得4组解.
根据分类计数原理,共有1+2+2+4=9组解.
变式训练
如下图,共有多少个不同的三角形?
解:所有不同的三角形可分为三类:
第一类:其中有两条边是原五边形的边,这样的三角形共有5个;
第二类:其中有且只有一条边是原五边形的边,这样的三角形共有5×4=20个;
第三类:没有一条边是原五边形的边,即由五条对角线围成的三角形,共有5+5=10个.
由分类计数原理得,不同的三角形共有5+20+10=35个.
题型2 分步计数原理
例2用五种不同颜色给图中四个区域涂色,每个区域涂一种颜色.
(1) 共有多少种不同的涂色方法?
(2) 若要求相邻(有公共边)的区域不同色,那么有多少种不同的涂色方法?
解:(1) 每一个区域都有5种不同的涂色的方法,所以涂完四个区域共有5×5×5×5=625种不同的涂色方法.
(2) 若2号,4号区域同色,有5×4×3=60种涂法;若2号,4号区域异色,有5×4×3×2=120种涂法.所以共有60+120=180种涂法.
备选变式(教师专享)
用三种不同的颜色填涂下图3×3方格中的9个区域,要求每行、每列的三个区域都不同色,则不同的填涂方法共有________种.
分析:将9
答案:12
解析:可将9个区域标号如图:
用三种不同颜色为9个区域涂色,可分步解决:第一步,为第一行涂色,有3×2×1=6种方法;第二步,用与1号区域不同色的两种颜色为4、7两个区域涂色,有2×1=2种方法;剩余区域只有一种涂法.综上由分步计数原理可知共有6×2=12种涂法.题型3 两个基本原理的联系
例3某同学有12本课外参考书,其中有5本不同的外语书,4本不同的数学书,3本不同的物理书,他欲带参考书到图书馆去阅读.
(1) 若从这些参考书中带一本去图书馆,有多少种不同的带法?
(2) 若带外语、数学、物理参考书各一本,有多少种不同的带法?
(3) 若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆,有多少种不同的带法?
解:(1) 完成的事情是带一本书,无论是带外语书,还是带数学书、物理书,事情都已经完成,从而应用加法原理,结果为5+4+3=12种.
(2) 完成的事情是带三本不同学科的参考书,只有从外语、数学、物理中各选一本后,
才能完成这件事,因此应用乘法原理,结果为5×4×3=60种.
(3) 要完成的这件事是带2本不同的书,先乘法原理,再用加法原理,结果为5×4+5×3+3×4=47种选法.
备选变式(教师专享)
三边长均为整数,且最大边长为7的三角形的个数为_______. 答案:16
解析:另两边长用x 、y 表示,且不妨设1≤x≤y≤7,要构成三角形,必须有x +y≥8. 当y 取值7时,x =1,2,3,…,7,可有7个三角形;当y 取值6时,x =2,3,4,5,6,可有5个三角形;当y 取值5时,x =3,4,5,可有3个三角形;当y 取值4时,x =4,可有1个三角形,所求三角形的个数合计为16个.
1. (2013·山东理)用0,1,…,9这十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为________.
答案:252
解析:组成三位数的个数为9×10×10=900.没有重复数字的三位数有C 19A 2
9=648,所以有重复数字的三位数的个数为900-648=252.
2. (2013·福建理)满足a 、b∈{-1,0,1,2},且关于x 的方程ax 2
+2x +b =0有实数解的有序数对(a ,b)的个数为________.
答案:13
解析:方程ax 2
+2x +b =0有实数解,分析讨论.① 当a =0时,很显然为垂直于x 轴的直线方程,有解.此时b 可以取4个值.故有4种有序数对;② 当a≠0时,需要Δ=4-4ab≥0,即ab≤1.显然有3个实数对不满足题意,分别为(1,2),(2,1),(2,2).∵ (a,b)共有16种实数对,故答案应为16-3=13.
3. 将字母a 、a 、b 、b 、c 、c ,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有________种.
答案:12
解析:第一步先排第一列有A 3
3=6,再排第二列,当第一列确定时,第二列有2种方法,如图
,所以共有6×2=12种. 4. (2013·四川理)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为a ,b ,共可得到lga -lgb 的不同值的个数是________.
答案:18
解析:首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列,共有5×4=20种排法.因为31=93,13=3
9
,所以从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为