笔记(初中数学—勾股定理1)

初中数学知识归纳勾股定理与直角三角形初中数学知识归纳：勾股定理与直角三角形数学在我们的生活中无处不在，它是一门精确而重要的学科。

而在数学中，勾股定理与直角三角形是初中数学中一个重要的知识点。

本文将对这一知识进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握。

一、勾股定理的概念及应用勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯提出的一个几何定理。

其表述为：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。

即对于一个直角三角形，设直角边分别为a、b，斜边为c，则有a² + b² = c²。

在实际应用中，勾股定理有很大的作用。

首先，勾股定理可以用来判断一个三角形是否为直角三角形。

如果一个三角形的三边满足a² +b² = c²，那么这个三角形就是直角三角形。

其次，基于勾股定理，我们可以求解直角三角形的边长。

当我们已知两个边长时，可以通过勾股定理求解第三个边长。

此外，勾股定理还可以用来解决一些实际问题，比如测量等。

二、直角三角形的特点及性质直角三角形是一种特殊的三角形，其特点和性质值得我们深入了解。

1. 直角三角形的特点：直角三角形有一个内角为90度，即直角。

直角三角形的斜边是最长的边，对应角是90度。

直角三角形的两个直角边可以称为腿。

2. 直角三角形的性质：对于一个直角三角形，斜边长等于两直角边长度的最大值。

直角三角形的两条直角边之一变大，斜边会变大，而另一条直角边变大，斜边也会变大。

直角三角形中，两个锐角是互余角（互补对）。

三、勾股定理的证明及推导勾股定理虽然简单易懂，但我们还是可以通过几何分析来证明和推导它。

1. 证明勾股定理：假设直角三角形的两个直角边长分别为a、b，斜边为c。

我们可以通过构造两个相似三角形来证明勾股定理。

具体步骤是，我们通过将一个直角三角形绕斜边分成两个相似三角形，然后利用三角形的相似性质，得到一个等式a/c = c/b。

通过变形，我们可以推导出a² + b² = c²，从而证明了勾股定理。

②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
6.在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，设c为最长边．当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．
(1)当△ABC三边长分别为6,8,9时，△ABC为______c2；当△ABC三边长分别为6,8,11时，△ABC为___________三角形．(4分)
①如果 ，那么
②如果 ，那么
③如果 是直角三角形的三条直角边，那么以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形
④如果 是直角三角形的三条直角边，那么以 ， ， 的长为边的三条线段能组成直角三角形
（2）藤绕树问题的解法
我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是尺．
（3）伽菲尔德（ ，1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．
4.「问题情境」
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行了证明．著Байду номын сангаас数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
（2）代数式 的最小值为_____________．
勾股定理基础知识汇总

勾股定理一．知识归纳1.勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形的面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 a b ccb a E DCB A3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而运用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 做比较，若它们相等，则以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，则以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，则以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②在定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形放入三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，额以a ，b ，c 为三边长的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即在222a b c +=中，当a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．运用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提，了解在直角三角形中，斜边和直角边分别是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．8.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，运用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，两者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例1.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接运用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB⑵8BC ==题型二：运用勾股定理建立方程例2.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC ， 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边长分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例3.如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分的面积答案：6题型三：勾股定理的实际应用例5.如图，有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mAB CD E分析：根据题意建立数学模型，如图，8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m 在Rt ADE ∆中，由勾股定理，得10AD 答案：10m题型四：运用勾股定理的逆定理，判断一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，判断ABC ∆是否为直角三角形 ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=，22516a =，222b c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7. 三边长a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合运用例8. 在ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CB AAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=。

人教版八下数学 学霸笔记整理17.1 勾股定理1.如果直角三角形的两条直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么a 2+b 2=c2. 2.证明勾股定理几种常见的方法:(1)如图①,用四个相同的直角三角形(直角边为a ,b ,斜边为c )拼成如图所示的正方形.由“大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积”,得(a+b )2=c 2+4×12ab ,即a 2+b 2=c 2.(2)如图②,用四个相同的直角三角形(直角边为a ,b ,斜边为c )拼成如图所示的正方形. 由“大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积”,得c 2=(a-b )2+4×12ab ,即a 2+b 2=c 2.(3)如图③,用两个完全相同的直角三角形(直角边为a ,b ,斜边为c )拼成如图所示的梯形. 由“梯形面积等于3个直角三角形面积之和”,得12(a+b )(a+b )=2×12ab+12c 2,即a 2+b 2=c 2. 3.利用勾股定理可以解决实际生活中与直角三角形有关的许多问题.如长度、高度、距离、面积、体积等问题往往需要用勾股定理来解决.4.对于作长度为√2,√3,√5,√7,…的线段,一般可借助于数轴,通过构造直角三角形,利用勾股定理来解决.1.使用勾股定理的前提条件是直角三角形,对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系.2.利用勾股定理必须分清谁是直角边,谁是斜边.尤其是在记忆a 2+b 2=c 2时,此关系式只有当c 是斜边时才成立.若b 是斜边,则关系式是a 2+c 2=b 2;若a 是斜边,则关系式是b 2+c 2=a 2.3.利用勾股定理可以在数轴上画出长度为无理数的线段(表示无理数的点),但是并不是所有的无理数都能用尺规作图的方法在数轴上作出对应的点,如π,0.101 001 000 1…等.1.规律方法:(1)勾股定理有许多变形,如:若a2+b2=c2,则a2=c2-b2,b2=c2-a2 ,c=√a2+b2,b=√c2-a2,a=√c2-b2.(2)作一条长度等于已知无理数的线段的方法不一定唯一,如√8,可以利用直角边分别为2和2的直角三角形得到,也可以借助于已有的直角边为1和√7的直角三角形得到,但是尽量利用直角边长为整数的直角三角形解决.(3)在数轴上表示无理数的方法:①在数轴上,以原点为直角三角形一个锐角的顶点,利用勾股定理作出边长为无理数的线段;②以原点为圆心,以作出的对应线段的长为半径画弧,如果是正无理数,那么选择与数轴的正方向的交点;如果是负无理数,那么选择与数轴的负方向的交点.2.解题技巧:(1)利用拼图来验证勾股定理,就是根据同一种图形(或两个全等的图形)面积的不同表示方法列出等式,从而推导出勾股定理.(2)在应用勾股定理解决实际问题时,需要把实际问题抽象成数学问题,根据题意画出符合实际的直角三角形,在直角三角形中利用勾股定理这一数学模型,利用数形结合的思想方法解决.[典例精析]【例题】勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小明以灵感,他惊喜地发现,当四个全等的直角三角形如图摆放时,可以用“面积法”来证明a2+b2=c2,请你写出证明过程.分析:根据“S五边形面积=S梯形1+S梯形2=S正方形+2S直角三角形”即可求解.解:如图所示:∵S五边形ABCDE =S梯形AGDE+S梯形BCDG=S正方形CDEF+2S直角三角形AEF,∴12(b+a+b )·b+12(a+a+b )·a=c 2+2×12ab.∴12ab+b 2+a 2+12ab=c 2+ab. ∴a 2+b 2=c 2.解题总结:证明勾股定理时,用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形,然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理.。