新思路全等三角形的经典例题
判定方法 条件
注意 ⑴边边边公理（SSS ） 三边对应相等
三边对应相等
⑵边角边公理(SAS)
两边和它们的夹角对应相等 （“两边夹一角”）
必须是两边夹一角，不能是两边对一角
⑶角边角公理(ASA) 两角和它们的夹边对应相等 （“两角夹一边”）
不能理解为两角及任意一边
⑷角角边公理(AAS) 两角和其中一角的对边对应相等
例1：已知：如图，过?ABC 的顶点A ，作AF ⊥AB 且AF=AB ，作AH ⊥AC ，使AH=AC ，连结BH 、CF ，且BH 与
CF 交于D 点。求证：（1）BH=CF （2）BH ⊥CF
分析：从图中可观察分析，若证BH=CF ，显然，若能证出?ABH ≌?AFC ，问题就能解决。从已知看，已
经知道AF=AB ，AC=AH 。这两个三角形已经具备两条边对应相等了。还要证明第三条边相等，显然不可能用“边边边”公理了。只能寻求两对应边的夹角了。从已知看，∠BAF 和∠HAC 都是直角。而图中的∠BAC 显然是公共角，根据等式性质，问题可以顺利解决。 证明：（1）∵AF ⊥AB ，AH ⊥AC ∴∠BAF=∠HAC=90? ∴∠BAF +∠BAC=∠HAC +∠BAC
∴即∠FAC=∠BAH 在?ABH 和?AFC 中
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AB AF BAH FAC AH AC =∠=∠=⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪已知已证已知
∴?ABH ≌?AFC （边角边）
∴BH=FC （全等三角形对应边相等）
（2）设AC 与BH 交于点P
在?APH 中 ∵∠HAP=90?
∴∠2+∠3=90?（直角三角形中两个锐角互余） ∵∠1=∠2（全等三角形对应角相等） ∠3=∠4
∴∠1+∠4=∠2+∠3=90? 在?PDC 中 ∵∠1+∠4=90? ∴∠HDC=90?
∴BH ⊥CF
例2：已知，如上图：BD 、CE 是?ABC 的高，分别在高上取点P 与Q ，使BP=AC ，CQ=AB 。求证：AQ=AP
分析：从要证的结论AQ=AP ，只有在?ABP 和?QCA 中找对应原素，不难发现，已经有BP=AC 、CQ=AB ，
也就是这两个三角形中已经有两条对应边相等。也只有找到其中夹角相等，全等就可以了，问题的关键在于如何找出∠1=∠2再分析已知条件，不难看出，既然BD 、CE 都是高，就有∠BDA=∠CEA=90?，这样就可看出∠1和∠2都是∠BAC 的余角了。根据同角的余角相等这条性质得到∠1=∠2，这样问题就可以迎刃而解了。
证明：∵BD ⊥AC 于D CE ⊥AB 于E ∴∠BDA=∠CEA=90? ∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90? ∴∠1=∠2
在?ABP 和?PCA 中
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AB CQ BP AC =∠=∠=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪已知已证已知12 ∴?ABP ≌?QCA （边角边）
∴AQ=AP （全等三角形对应边相等）
例3：已知：如图，OA=OB 、OC=OD 求证：AE=BE
分析：从要证明的结论AE=EB 看，我们不难看出，应当在?ADE 和?BCE 中去寻找答案，而要证明?ADE
≌?BCE ，比较明显的有一组对顶角相等，即∠AED=∠BEC ，另外可以通过等式性质得到，OA －OD=OB －OC ，即AD=BC ，那么这两个三角的全等条件仍然差一个，从证明的结论AE=BE 上分析，不可能再寻找边的对应相等了，那么只有找一组对应角是否相等就可以了，如能否证出∠A=∠B （或∠ADE=∠BCE ），∠A=∠B 除了是?ADE 和?BCE 的对应角外，它们还是?AOC 和?BOD 的对应角，只要?AOC ≌?BOD ，那么就可以推出∠A=∠B ，这样问题便迎刃而解了，同学们自己分析一下?AOC 和?BOD 全等条件够吗 证明：在?AOC 和?BOD 中
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OA OB O O OC OD =∠=∠=⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪已知公共角已知 ∴?AOC ≌?BOD （边角边）
∴∠A=∠B （全等三角形的对应角相等） ∵OA=OB （已知） OC=OD （已知） ∴AD=BC （等式性质）
在?ADE 和?BCE 中
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∠=∠∠=∠=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪A B AED BEC AD BC 已证对顶角相等已证 ∴?ADE ≌?BCE （角角边）
∴AE=BE （全等三角形对应边相等）
同学们自己动手试一试，可不可通过证明∠ADE=∠BCE 来证明?ADE ≌?BCE 呢
例4：已知：如图，AD ∥BC ，AE 、BE 分别平分∠DAB 和∠CBA ，DC 过点E 。求证：AB=AD +BC
分析：从要证明的结论AB=AD+BC 上看，显然是两条线段的和与另外一条线段相等，可以考虑，能否
在长的AB 边上截一段等于AD （或BC ），利用角平分线的条件证全等。 证明（一）：在AB 上截AF=AD ，连结EF 在?A DE 和?AFE 中
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AD AF DAE FAE AE AE =∠=∠=⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪已作已知公共边
∴?ADE ≌?AFE
∴∠D=∠AFE （全等三角形对应角相等） ∵AD ∥BC （已知）
∴∠D+∠C=180?（两直线平行，同旁内角互补） 又∵∠D=∠AFE （已证） ∴∠BFE=∠C （等角的补角相等） 在?BFE 和?BCE 中
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∠=∠∠=∠=⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪BFE C FBE CBE BE BE 已证已知公共边 ∴?BFE ≌?BCE （角角边） ∴BF=BC
∴AB=AD+BC
证明（二）：延长AE 、BC 交于点F 。
∵AE 、BE 分别是∠DAB 和∠CBA 的平分线。
又∵AD ∥BC
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180?（两直线平等，同旁内角互补） ∴∠2+∠3=90? ∴∠AEB=90? ∴∠BEF=90? 在?ABE 和?FBE 中
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∠=∠=∠=∠=︒⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪3490已知公共边已证BE BE AEB BEF ∴?ABE ≌?FBE （角边角）
∴AB=BF
AE=EF
在?AED 和?FEC 中
