光的衍射习题答案

光的衍射习题答案 对角线上第二个次极大对应于 2.46，其相

对强度为：

2 2 I sin sin 4

sin 2.46

2.46 0.00029

6 — 2由氩离子激光器发出波长 488nm的蓝色

平面光，垂直照射在一不透明屏的水平矩形孔 上，此矩形孔尺寸为0.75mm X 0.25mm。在位于 矩形孔附近正透镜（f 2.5

m）焦平面处的屏上观 察衍射图样，试求中央亮斑的尺寸。

解：中央亮斑边缘的坐标为：

6

2500 488 10

0.75 1.63 mm

3.26mm 解：对角线上第一个次极大对应于 1.43，其

2 2 sin sin 0.0022 第六章光的衍射

6—1求矩形夫琅和费衍射图样中，沿图样对角 线方向第一个次极大和第二个次极大相对于图 样中心的强度。

相对强度为:

4

sin 1.43

1.43

2500 488 10

b 0.25 4.88 mm

当望远镜的角 辨率为：

1.22 — D 1.22 6

汀&1 10険

1.22

2y 9.76mm

・•・中央亮斑是尺寸为 3.26mm X 9.76mm的竖

直矩形

6-3 一天文望远镜的物镜直径 D = 100mm，人 眼瞳孔的直径d = 2mm ,求对于发射波长为 0.5

卩m光的物体的角分辨极限。为充分利用物镜的 分辨本领，该望远镜的放大率应选多大？

的最小分

6 0.5 10 4 “

厂 3.05 10 rad

2 10

・••望远镜的放大率应为：M 6-4 一个使用汞绿光（546 nm）的微缩制版照 相物镜的相对孔径（D/f ）为1:4，问用分辨率为 每毫米380条线的底片来记录物镜的像是否合 适?

解：照相物镜的最大分辨本领为: 1 D

1.22 f 6 1.22 546 10 4 375/mm

••• 380>375

•••可以选用每毫米380条线的底片。

6-5若要使照相机感光胶片能分辨 2 m的线 距，问

（1） 光胶片的分辨本领至少是每毫米多少

线？

（2） 照相机镜头的相对孔径D/f至少有多大？ 解：（1）由于相机感光胶片能分辨2 m的线距，

则分辨本领至少为：

N —-=500线/毫米

0.002

（2）可见光一般取中心波长 550nm计算,

则相机的相对孔径至少为：

f 1'22N 1.22 550 10 6 500 1:2'98

6-6借助于直径为2m的反射式望远镜，将地 球上的一束激光（600nm）聚焦在月球上某处。 如果月球距地球4X 105km。忽略地球大气层的 影响，试计算激光在月球上的光斑直径。

解：由于衍射效应，反射式望远镜对激光成像 的爱里斑角半径为： 1.22 D 1.22 600 10

2 3.66 io7rad

由于角度很小，因此 tan °

1.22 D 1.22 6

632.8 10 0.386 10 3rad ・•・激光在月球上的光斑直径为：

8 7

D l 0 4 10 3.66 10 146.4 m

6- 7直径为2mm的激光束（632.8nm）射向1km 远的接收器时，它的光斑直径有多大？如果离激 光器150km远有一长100m的火箭，激光束能 否把它全长照亮？

解：激光束的衍射角为： ・••离激光束1km远处的光斑直径为:

D1 2l1 2 1000 0.386 10 3 0.772 m

离激光束150km远处的光斑直径为:

3 3

D2 212 2 150 1030.386 10 3 115.8 m

D2大于火箭的长度，因此激光束能把它全长 照亮。

6-8 一透镜的直径 D = 2cm,焦距f = 50cm,受 波长500nm的平行光照射，试计算在该透镜焦 平面上衍射图象的爱里斑大小

解：爱里斑直径为: 2 1.22 f — 2 1.22 50 500 10

2 3

3.05 10 cm

6

550 10

0.025 0.022

5 arcs in — a arcsin 5 630 10 3

3.15 10 rad

6— 9波长为550nm的平行光垂直照射在宽度为 0.025mm的单缝上，以焦距为60cm的会聚透镜 将衍射光聚焦于焦平面上进行观察。求单缝衍射 中央亮纹的半宽度。

解：单缝衍射中心亮纹的角半宽度为:

「•条纹的半宽度为：e f 0.022 60 1.32 Cm

6— 10用波长 630nm的激光粗测一单缝缝宽 若观察屏上衍射条纹左右两个五级极小的距离 是6.3cm，屏和缝的距离是5m，求缝宽。

解：衍射条纹第五个极小对应于：

kasin 5

2

则左右两个五级极小的距离为:

・••缝宽为： 2 3.15 5

a 63i 2 d 3

2 a 5000 mm 63mm ・•・中央亮纹的 宽度为：

1.43，即:

0.0286 0.0286 rad

qi e 50 0.0286 1 0.43Cm 6- 11波长500 nm的平行光垂直照射在宽度为

0.025mm的单缝上，以焦距为50cm的会聚透镜 将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求：（1）衍射 图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮 纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹 相对于中央亮纹的强度。

解：（1）中央亮纹的半角宽度为：

0 — 0.02 rad

a 0.025

0 50 0.02 1 cm

(2)第一亮纹的位置对应于

ka sin 1 1.43

2

1.43 1.43 500 10 6

1arcs in arcs in arcs in

a 0.025

・•・第一亮纹到中央亮纹的距离为:

第二亮纹对应于 2.46

6

2.46 . 2.46 500 10 . c

2arcsin arcsin arcsin 0.0492 0.0492 rad

a 0.025

・•・第二亮纹到中央亮纹的距离为： ）20.0161。

1.5

观察到两

e 2.5 mm，并且第四级亮

解：双缝衍射两相邻亮条纹的距离为: e fd (3) 设中央亮纹的光强为i0，则第一亮纹 的强度为：

sin 、2 , ,sin1.43 、2

“ 3—）说-^）0-047'0

第二亮纹的强度为：

I2 10（竺）2I0 瞬

6— 12在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测 得暗条纹的间距为1.5mm ,所用透镜的焦距为 300mm,光波波长为632.8nm,问细丝直径为多 少？

解：设细丝的直径为D，贝I」由题意：

300 632.8 10 67

D D

300e：；8910 o'27mm

1.5

6 — 13在双缝的夫琅和费衍射实验中所用的光

波的波长 5oonm，透镜焦距f 100cm,

相邻亮条纹之间的距离

纹缺级，试求双缝的缝距和缝宽。 ・•・m的取值可为0， 1， 2 7，— 8 干涉极小满足：dsin (m 1) m 0, 1,

2

7.0 10 8.8 10 3 7.95 ・••缝距为： 6

500 10 6

d f 1000 0.2mm

•••第四级缺级

a7 T 0.05mm

6 — 14考察缝宽a 8.8 10 3cm ,双缝间隔 d 7.0 io 2cm，波长为0.6328卩m时的双缝衍射， 在中央极大值两侧的衍射极小值间， 将出现多少

个干涉极小值？若屏离开双缝 457.2cm，计算条 纹宽度。

解：中央极大值两侧的衍射极小值满足：

asi n

•••在中央极大值两侧的衍射极小值间的

衍射角将满足：sin -

a

2……

•在中央极大值两侧的衍射极小值间，干涉 极小满足：

(m d

a ・•・出现的干涉极小值个数为16个

条纹宽度为： e D 4572 0.6328 10 4.13mm

d 0.7

6-15计算缝距是缝宽3倍的双缝的夫琅和费 衍射第1, 2，3, 4级亮纹的相对强度。

解：由题意，9 3，因此第三级缺级

a

・•・第三级亮纹的相对强度为 0

第1 , 2, 4级亮纹分别对应于：dsin , 2 ,

4

既是: — dsin

・••第1,

2, 3 ?

4级亮纹的相对强度分别为:

I1

4Io sin 2

2

sin

cos2 3 68.4%

2 _

3

.2 sin 3 17%

2 .4 sin

I 4

41。 3 4.3%

4 I 2

4Io 2

3 干涉主极大满足: dsin 6- 16波长为500nm的平行光垂直入射到一块 衍射光栅上，有两个相邻的主极大分别出现在 sin 0.2和sin 0.3的方向上，且第四级缺级，试求 光栅的栅距和缝宽。

解：两个相邻的主极大分别出现在 sin 0.2和

sin 0.3的方向上，则：

0.2d m 0.3d （m 1）

两式相减得：d乔5卩m

•••第四级缺级

•••缝宽为:a d 1.25卩m

4 i

6-仃用波长为624nm的单色光照射一光栅， 已知该光栅的缝宽a 0.012mm，不透明部分宽度 b 0.029mm，缝数 N= 1000条，试求：（1）中央 极大值两侧的衍射极小值间，将出现多少个干涉 主极大；（2）谱线的半角宽度。

解：（1）中央峰两侧的衍射极小值满足：

asi n

・••中央峰内的衍射角满足sin

1， 2