指数与指数函数知识点与例题讲解

指数与指数函数知识点与例题讲解

【基础知识回顾】

一、指数

1、根式：当n 为奇数，a a n n =；当n 为偶数，⎩

⎨⎧<-≥==00

a a a a a a n n ，，.

2、指数运算 (1)分数指数幂

()10>∈>=*

n N n m a a

a n m

n

m ，且，，； ()101

1>∈>=

=

*

-

n N n m a a a

a

n

m

n

m n

m

，且，，.

(2)指数幂的运算性质 ①()Q s r a a a a s

r s

r

∈>=•+，，0； ②()Q s r a a a

a s r s r

∈>=-，，0；

③()

()Q s r a a a rs s

r

∈>=，，0； ④()()Q r b a b a ab r r r

∈>>=，，00.

二、指数函数

1、定义：一般地，函数()10≠>=a a a y x

，且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 2、图像和性质

1>a 10<

图像

性质

定义域： 值域：

过定点 ，即当0=x 时，1=y

在R 上是

在R 上是

非奇非偶函数

3、同底的指数函数a y =与对数函数x y a log =互为反函数，它们的图像关于直线x y =对称.

三、立方和差公式

()()2233y xy x y x y x +-+=+，()()

2233y xy x y x y x ++-=-.

【课前小测】

1、2

33等于（ ） A 、2 B 、33 C 、327 D 、27 2、52-a 等于（ ） A 、5

2-a

B 、25a

C 、52a

D 、2

5a -

3、下列函数是指数函数的是（ ） A 、2x y = B 、x

y 2= C 、1

2

+=x y D 、x

y 23⨯=

4、函数3

2

-=x y 的定义域为（ ） A 、[)+∞,3 B 、R C 、()+∞,3 D 、()+∞,0

5、使代数式04

1)73()

2(-+--x x 有意义，则x 取值范围是 .

考点一 ：比较大小

例1、比较下列各题中两个数的大小：

⑴8.03 7.03 ⑵1.075.0- 1.075.0 ⑶6.08.1 6

.18.0 ⑷3

231-

⎪⎭⎫ ⎝⎛ 53

2-

【解析】⑴因为x

y 3=在R 上是增函数，且7.08.0>，所以>8.037

.03。

⑵因为x y 75.0=在R 上是减函数，且1.01.0<-，所以1.01

.075.075.0>-。 ⑶因为x y 8.1=在R 上是增函数，所以18.18.10

6.0=>，

因为x y 8.0=在R 上是减函数，所以18.08.006.1=<，所以6

.16.08.08.1>

⑷因为x y )31(=在R 上是减函数，所以131310

3

2

=⎪⎭

⎫

⎝⎛>⎪

⎭

⎫

⎝⎛-

， 因为x

y 2=在R 上是增函数，所以122

05

3=<-

，所以5

33

2231-

->⎪

⎭

⎫

⎝⎛

变式1、下图是指数函数①x

a y =，②x

b y =，③x

c y =，④x

d y =的图象，

则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是…( )

A 、d c b a <<<<1

B 、c d a b <<<<1

C 、d c b a <<<<1

D 、c d b a <<<<1

【注】在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小；

即无论在y 的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

考点二：解与指数相关的不等式

例2、解下列不等式： ⑴)1(33

2)

2

1(2

2---

0.20.04x x -->； ⑶)10(,422≠>>+-a a a a x x x 且. 【解析】⑴解：原不等式可化为：)1(33

222

2----1，∴)1(3322--<--x x x ，

整理得：062

<-+x x ，解得不等式的解集为}23|{<<-x x . ⑵解：原不等式可化为：21

22.0)2.0(2

>--x x

∵底数0<0.2<1，∴2122<--x x (指数函数的单调性)

整理得：0)3)(1(0322

<-+⇔<--x x x x ，解得不等式的解集为}31|{<<-x x . 【注】解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解.

⑶解：当a >1时，422

+>-x x x ，整理得：0)4)(1(0432

>-+⇔>--x x x x ，解得不等式的解

集为),4()1,(+∞⋃--∞∈x ；当0

<--x x ，

0)4)(1(<-+x x ，解得不等式的解集为)4,1(-∈x .

考点三：定点问题

例3、函数)1,0(12

≠>+=-a a a

y x 的图象必经过点（ ）

A 、(0，1)

B 、(1，1)

C 、(2，0)

D 、(2，2)