线性代数辅导讲义

宋浩线代辅导讲义【最新版】目录1.宋浩线代辅导讲义概述2.线性代数概念的理解3.线性方程组的解法4.特征值与特征向量的求解5.矩阵的性质与应用6.空间解析几何与线性变换7.总结与建议正文一、宋浩线代辅导讲义概述《宋浩线代辅导讲义》是一本针对线性代数课程的辅导教材，旨在帮助学生更好地理解和掌握线性代数的基本概念、理论和方法。

全书共分为七个部分，内容包括线性代数概念的理解、线性方程组的解法、特征值与特征向量的求解、矩阵的性质与应用、空间解析几何与线性变换等。

二、线性代数概念的理解线性代数是数学的一个分支，主要研究线性方程组、向量空间、矩阵、线性变换等概念。

在《宋浩线代辅导讲义》中，作者首先对线性代数的基本概念进行了详细的讲解，包括向量、线性方程组、矩阵、行列式等，帮助学生建立起对线性代数的直观认识。

三、线性方程组的解法线性方程组是线性代数的基本研究对象，解决线性方程组是理解线性代数概念的关键。

本讲义对线性方程组的解法进行了详细介绍，包括高斯消元法、克莱姆法则等，并辅以丰富的例题，帮助学生熟练掌握解法。

四、特征值与特征向量的求解特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们在很多实际问题中都有广泛的应用。

本讲义对特征值与特征向量的求解方法进行了详细讲解，包括求解特征多项式、矩阵的对角化等，同时给出了大量的例题，以加深学生的理解。

五、矩阵的性质与应用矩阵是线性代数的核心概念之一，矩阵的性质与应用在很多领域都有重要的意义。

本讲义对矩阵的性质进行了详细介绍，包括行列式、秩、逆矩阵等，并讲解了矩阵在实际问题中的应用，如线性变换、空间解析几何等。

六、空间解析几何与线性变换空间解析几何与线性变换是线性代数的重要内容，它们在物理、工程等领域有广泛的应用。

本讲义对空间解析几何与线性变换的概念、性质和方法进行了详细讲解，帮助学生建立起对这两部分内容的系统认识。

七、总结与建议《宋浩线代辅导讲义》对线性代数的基本概念、理论和方法进行了全面、系统的讲解，旨在帮助学生更好地掌握线性代数的知识。

《线性代数》考研辅导讲义4 第四部分 线性方程组一.线性方程组的四种表示形式1.非齐次线性方程组(1)一般形式:11112211211222221122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(2)矩阵形式:令1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则11m n n m A x b ⨯⨯⨯=,而11121121222212(|)_n nm m mnm a a a b a a a b B A b a a a b ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭增广矩阵(3)向量形式:令12(,,,)n A ααα= ,得向量形式1122n n x x x bααα+++= .其中()12,,,,1,2,,Tj j j mj a a a j n α== 为A 的列向量组.(4)内积形式:令12T T T m A ααα⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ,则内积形式1122T T T mm x b x b x b ααα⎧=⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ .其中12(,,,),1,2,,T i i i in a a a i m α== 为A 的行向量组.2.齐次线性方程组(1)一般形式:111122121122221122000n n n nm m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(2)矩阵形式:110m n n m A x ⨯⨯⨯=(3)向量形式:11220n n x x x ααα+++=(4)内积形式:12000T TT mx x x ααα⎧=⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 二.线性方程组解的性质 1.110m n n m A x ⨯⨯⨯=解的性质(1)若12,ξξ为0Ax =的解,则12ξξ+也为0Ax =的解.(2)若ξ为0Ax =的解,则k ξ也为0Ax =的解.故{|0}S x Ax ==是n R 的一个子空间,其基础解系构成子空间的一个基.2.11m n n m A x b ⨯⨯⨯=解的性质(1)设12,ηη为Ax b =的解,则12ηη-为其导出组0Ax =的解.(2)设η为Ax b =的解,ξ为0Ax =的解,则ξη+为Ax b =的解.【注意】若12,ηη为Ax b =的解,则121,(1)k k ηηη+≠都不是Ax b =的解,故{|}S x Ax b ==不是nR 的一个子空间. 三.线性方程组解的理论及解的结构 1.110m n n m A x ⨯⨯⨯=解的理论及解的结构定理1110m n n m A x ⨯⨯⨯=至少有一个零解.(1)110m n n m A x ⨯⨯⨯=只有零解()R A n ⇔=(未知量的个数).不存在基础解系;(2)110m n n m A x ⨯⨯⨯=有非零解()R A r n ⇔=<.其基础解系含n r -个线性无关的解向量,设为12,,,n r ξξξ- ,则110m n n m A x ⨯⨯⨯=的通解为1122n r n r x k k k ξξξ--=+++其中12,,,n r k k k - 为任意常数; (3)(Crammer 定理)110n n n n A x ⨯⨯⨯= 只有零解0A ⇔≠.2.11m n n m A x b ⨯⨯⨯=解的理论及解的结构定理2 11m n n m A x b ⨯⨯⨯=可能有解.(1)11m n n m A x b ⨯⨯⨯=有解()()R A R B ⇔=;(2)有唯一解()()R A R B n ⇔==;(3)有无穷多解()()R A R B r n⇔==<.设其导出组的基础解系为12,,,n r ξξξ- ,η为11m n n m A x b ⨯⨯⨯=的一个特解,则11m n n m A x b ⨯⨯⨯=的通解为1122n r n r x k k k ξξξη--=++++其中12,,,n r k k k - 为任意常数; (4) (Crammer 定理)11n n n n A x b ⨯⨯⨯=有唯一解0A ⇔≠.四.两个线性方程组解之间的关系设方程组(1)的解集合为M ,方程组(2)的解集合为N ,则 1. M N =⇔方程组(1)与方程组(2)同解; 2. M N ⇔ 方程组(1)与方程组(2)的公共解; 3.M N ⊂⇔方程组(1)的解是方程组(2)的解.五.一个非常有用的结论 1. ()()m s s n m n A B O R A R B s ⨯⨯⨯=⇒+≤;2.m s s n m n A B O B ⨯⨯⨯=⇔的列向量是110m s s m A x ⨯⨯⨯=的解向量.典型例题一.解的概念、性质、理论、结构的基本题例1 设1231233,2,223A p b Ax b t ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭无解,则t 与p 满足 .解 由12311231(|)233201302230021B A b p p t t p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==+→--⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ,得202t p t p -=⇒=.例2 设三平面0(1,2,3)i i i i a x b y c z d i +++==重合,则齐次线性方程组0(1,2,3)i i i a x b y c z i ++==的解空间的维数等于 2 .解111222333a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩等于1. 例3 设A 为n 阶实矩阵,则以下命题成立的是( C ).(A)若0Ax =有解时0T A Ax =也有解,则A 必可逆;(B)若0T A Ax =有解时0Ax =也有解, 则A 必可逆;(C) 0T A Ax =的解必是0Ax =的解; (D)0T A Ax =的解与0Ax =的解无任何关系.解0Ax =与0T A Ax =同解.例4 设541234(,,,)A αααα⨯=,已知12(1,1,1,1),(0,1,0,1)T T ηη==是0Ax =的基础解系,则( D ). (A) 13,αα线性无关; (B) 24,αα线性无关; (C)1α不能被34,αα线性表示;(D)4α能被23,αα线性表示.解 由1η知: 12340αααα+++=;由2η知: 240αα+=,则4α能被2α线性表示,所以4α能被23,αα线性表示.例5 设12,ββ是0Ax b =≠的两个不同的解, 12,αα是0Ax =的基础解系, 12,k k R ∈,则Ax b =的通解必是( B )(A) 1211212()2k k ββααα-+++; (B) 1211212()2k k ββααα++-+; (C) 1211212()2k k ββαββ-+++;(D)1211212()2k k ββαββ++++.例6 设123,,ααα是四元非齐次线性方程组Ax b=的三个解向量,且()3R A =,123(1,2,3,4),(0,1,2,3)T T ααα=+=,则Ax b =的通解是( C ).(A)11213141c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (B) 10213243c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (C) 12233445c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (D) 13243546c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二.含参数的线性方程组解的讨论例7 当λ为何值时,方程组12312312321,2,4551x x x x x x x x x λλ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩无解,有唯一解,无穷多解?并在有无穷多解时求方程组的通解.解 方法一:一般情形.13211121(|)11211245515541c c B A b λλλλ↔--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭121012300549rλλλλ-⎛⎫ ⎪−−→-+ ⎪ ⎪+⎝⎭(1)方程组有唯一解104()()3,15405R A R B λλλλ-≠⎧⇔==⇔⇒≠-≠⎨+≠⎩;(2)当45λ=-时,()2()3R A R B =≠=,方程组无解;(3)当1λ=时,1121(|)00110000rB A b ---⎛⎫⎪=−−→ ⎪ ⎪⎝⎭,方程组的解13211x x x =⎧⎨=+⎩,令2x k =,则方程组的通解(0,1,1)(1,0,1),TT x k k =+为任意常数.方法二:特殊情形. (54)(1)A λλ=+-.(1)当4,15λλ≠-≠时,方程组有唯一解;(2)当45λ=-时,()2()3R A R B =≠=,方程组无解;(3)当1λ=时,1001(|)01110000rB A b ⎛⎫ ⎪=→-- ⎪ ⎪⎝⎭,()()23R A R B ==<,方程组有无穷多解,且通解为(0,1,1)(1,1,0),TT x k k =+-为任意常数.三.与解的结构相关问题 例8 若n 阶矩阵11(,,,)n n A ααα-= 的前1n -个列向量线性相关,后1n -个列向量线性无关,12n βααα=+++ .证明:(1)Ax β=必有无穷多解;(2)若12(,,,)Tn k k k 是Ax β=的任一解,则1nk =.证 (1)2,,n αα 线性无关,则21,,n αα- 线性无关,又121,,,n ααα- 线性相关,所以1α可由21,,n αα- 线性表示,则()1R A n =-.因为12n βααα=+++ ,则()()1R B R A n n ==-<,所以Ax β=必有无穷多解.(2)121,,,n ααα- 线性相关,存在一组不全为零的数121,,,n λλλ- ,使得1122110n n λαλαλα--+++= ,即11221100n n n λαλαλαα--++++⋅= ,又()1R A n =-,则121(,,,,0)Tn λλλ- 为0Ax =的基础解系.因为12n βααα=+++ ,则(1,1,,1)T 是Ax β=的一个特解,故Ax β=的通解为111,101n x c c R λλ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 若12(,,,)Tn k k k 是Ax β=的解,则1nk =.例9 设A 为(1)m m -⨯矩阵, j D 是去掉A 的第j 列所得1m -阶矩阵的行列式,证明:(1)向量112(,,,(1))m T m D D D +-- 是0Ax =的解向量;(2)当12,,,m D D D 不全为零时,112(,,,(1))m T m D D D +-- 是0Ax =的一个基础解系.证 令1211121(1)1(1)2(1)mT m m m m m m b b b a a a b B A a a a ---⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎝⎭,则(1,2,,)j D j m = 分别为B中第一行元素的余子式,而112,,,(1)m m D D D +-- 分别为B中第一行元素的代数余子式,由行列式按行(或列)展开定理,有11122()(1)0,1,2,,m i i im m a D a D a D i m ++-++-== ,则112(,,,(1))m T m D D D +-- 是0Ax =的解向量.(2) 当12,,,m D D D 不全为零时,则A 至少有一个1m -子式不为零,所以()1R A m =-,从而Ax =的基础解系含一个解向量,又112(,,,(1))0m T m D D D +--≠ ,故112(,,,(1))m T m D D D +-- 是0Ax =的一个基础解系.例10 设非齐次线性方程组Ax b =,其中A 为m n ⨯矩阵, ()(|)R A R A b r ==,求由Ax b=的所有解向量组成的向量组的一个极大无关组及该向量组的秩.解 要点:设0Ax=的一个基础解系为12,,,n r ξξξ- ,Ax b =的一个特解为η,则Ax b =的所有解向量组成的向量组的一个极大无关组为12,,,,,n r ηηξηξηξ-+++ 该向量组的秩为1n r -+. 例11 设A 为m n ⨯矩阵,证明:Ax B =有解的充分必要条件是对0T A y =的任一解0y 都有00T B y =.证 必要性:设0Ax B =,则000000()()00T T T T TB y Ax y x A y x ====;充分性: 对T A y =的任一解y 都有00T B y =,则0T A y =与0,0TT A y B y ⎧=⎪⎨=⎪⎩同解,所以()()(|)T TT A R A R R A R A B B ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭,即Ax B =有解.四.两个线性方程组的公共解的问题例11 (1.求公共解的方法之一:已知线性方程组,Ax Bx αβ==,则它们的全部公共解即为线性方程组,Ax Bx αβ=⎧⎨=⎩的解.)设两个四元齐次线性方程组:12240,()0x x x x +=⎧I ⎨-=⎩与1232340,()0x x x x x x -+=⎧II ⎨-+=⎩问方程组()I 与()II 是否有非零的公共解?若有,求出所有公共的非零解;若没有,说明理由.解 讨论方程组12241232340,0,0,0x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩是否有非零解.1100100101010101111000120111000r A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,因为()34R A =<,所以方程组有非零解,即方程组()I 与()II 有公共的非零解,且11,021x k k -⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭为所有公共的非零解.(2. 求公共解的方法之二:已知线性方程组Ax α=的通解1122x k k ξξη=++和线性方程组Bx β=,则它们的全部公共解即为线性方程组1122,x k k Bx ξξηβ=++⎧⎨=⎩的解.其求法是:解含12,k k 是未知变量的线性方程组1122()B k k ξξηβ++=,得12,k k ,则所求的全部公共解为1122x k k ξξη=++.3. 求公共解的方法之三: 已知线性方程组Ax α=的通解11221x k k ξξη=++和线性方程组Bx β=的通解11222x l l γγη=++,则它们的全部公共解即为线性方程组1122111222,x k k x l l ξξηγγη=++⎧⎨=++⎩的解. 其求法是:解含12,k k 及12,l l 是未知变量的线性方程组1122111222k k l l ξξηγγη++=++得12,k k (或12,l l ),则所求的全部公共解为11221x k k ξξη=++(或11222x l l γγη=++).)五.线性方程组解的应用 例12 已知三平面123:,:,:x y z y z x z x y πγβπαγπβα=+=+=+,证明:它们至少相交于一直线22221αβγαβγ⇔+++=.证 显然123,,πππ过坐标原点, 它们至少相交于一直线⇔齐次线性方程组0,0,0x y z x y z x y z γβγαβα-++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩有非零解,则1101γβγαβα--=-,即22221αβγαβγ+++=. 例13 证明:如果非齐次线性方程组11112211211222221122,,n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 有解,则向量12(,,,)T n b b b β= 与齐次线性方程组1112121121222211220,0,0m m m mn n nm m a y a y a y a y a y a y a y a y a y +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的解空间正交. 证 令12(,,,),(1,2,,)T j j j mj a a a j n α== ,非齐次线性方程组1122n n x x x αααβ+++=有解,则β可由12,,,n ααα 线性表示.令12(,,,)T m y y y y = ,则齐次线性方程组可表示为120,0,0,T TT ny y y ααα⎧=⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 即12,,,n ααα 与齐次线性方程组的解正交,从而11221[,]()()0nTT n n i i i y x x x y x y βαααα==+++==∑ ,即β与齐次线性方程组的任一解正交,则β与齐次线性方程组的解空间正交.。

178第二章 矩阵矩阵本质上就是一个数表，它是线性代数中一个非常重要而且应用十分广泛的概念，贯穿了线性代数的始终，复习时要高度重视，概念要清晰，符号要习惯，运算要准确、迅速、简捷。

1. 理解矩阵的概念，熟练几种特殊的矩阵；2. 了解单位矩阵, 对角矩阵, 三角矩阵, 对称矩阵以及它们的基本性质；3. 掌握矩阵的线性运算, 乘法, 转置及其运算规则；4. 理解逆矩阵的概念; 掌握可逆矩阵的性质; 会用伴随矩阵求矩阵的逆；5. 了解分块矩阵的概念, 了解分块矩阵的运算法则。

一、 考试内容 2.1 矩阵的定义由n m ⨯个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成如下m 行n 列的形式⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n mna a a a a a a a a A (2)12222111211称为一个n m ⨯矩阵，当n m =时，矩阵A 称为n 阶矩阵或者叫n 阶方阵。

只有一行的矩阵)(21n a a a A =称为行矩阵，又称为行向量；反之，只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。

两个矩阵的行数和列数都相等时，就称它们为同型矩阵。

如果是同型矩阵，而且对应元素都相等，则称两矩阵为相等矩阵。

元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O 。

注意不同型的零矩阵是不同的。

2.2 矩阵的加法设有两个n m ⨯阶矩阵)(ij a A =和)(ij b B =，那么矩阵A 与B 的和记作B A +，规定为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a ba b a b a b a B A (2)21122222221211112121111 运算法则：（1）A B B A +=+ （2）)()(C B A C B A ++=++ （3）A O A =+ （4）)(B A B A -+=- 注意：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算。

《线性代数》考研辅导讲义3五.向量的内积与线性无关向量组的正交化 1.内积设1212(,,,),(,,,)TT n n x x x x y y y y == ,则1122(,)T n n x y x y x y x y x y =+++=向量x的长度x ===若1x =,称x 为单位向量.向量的单位化:(0)xx x≠. 若(,)0x y =,称x 与y 正交.2.标准正交向量组、标准正交基若向量组两两正交且不含零向量,称为正交向量组.若向量组12,,,m ααα 满足0,(,)1,i j i ji jαα≠⎧=⎨=⎩,称12,,,m ααα 为规范(标准)正交向量组.若该向量组为向量空间的一组基,称其为规范(标准)正交基. 3.线性无关向量组的正交规范化—Schmiditt 正交化过程设向量组12,,,m ααα 线性无关.令111222111132333121122121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)m m m m m m m m m βαβαβαββββαβαβαβββββββαβαβαβαβββββββββ----==-=--=----则12,,,k ααα 与12,,,(1)k k m βββ≤≤ 等价,且12,,,m βββ 为正交向量组.4.正交矩阵及其性质 若T A A E =(1T A A -⇔=),称A 为正交矩阵.A 为正交矩阵A ⇔的行(或列)向量组为两两正交的单位向量,从而可作为n R 的一组基.若A 为正交矩阵,则1,T A A -也为正交矩阵,且1A =±若,A B 为同阶的正交矩阵,则AB 也是正交矩阵.典型例题一.向量组的线性相关性问题 例1n 维向量组12,,,(3)m m n ααα≤≤ 线性无关的充分必要条件是( D )(A)存在一组不全为零的数12,,,m k k k ,使得11220m m k k k ααα+++≠ .(B) 12,,,m ααα 中任意两个向量线性无关.(C) 12,,,m ααα 中存在某一向量不能由其余向量线性表示. (D)12,,,m ααα 中任一向量都不能由其余向量线性表示.例2 设1234,,,αααα线性无关,则( C ) (A) 12233441,,,αααααααα++++线性无关.(B) 12233441,,,αααααααα----线性无关.(C) 12233441,,,αααααααα+++-线性无关. (D)12233441,,,αααααααα++--线性无关.解 对(A):()12233441123410011100,,,(,,,)01100011αααααααααααα⎛⎫ ⎪⎪++++= ⎪ ⎪⎝⎭. 又12233441100111000(,,,)401100011R αααααααα=⇒++++<. 等等. 一般地:对n 维向量组12,,,m ααα ,令1122231,,,m m βααβααβαα=+=+=+ ,则(1)当m 为偶数时,12,,,m βββ 必线性相关;(2)当m 为奇数时,如果12,,,m ααα 线性无关,则12,,,m βββ 也线性无关;如果12,,,mααα 线性相关,则12,,,m βββ 也线性相关.例3 设三维向量组123,,ααα线性无关,则向量组122331,,k αααααα---也线性无关的充分必要条件是 .解 方法一:()()122331123101,,,,11001k k ααααααααα-⎛⎫ ⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭,122331123123101,,,,110(1),,001k k kαααααααααααα----=⋅-=-≠-, 则1k ≠.方法二:()()122331123101,,,,11001k k ααααααααα-⎛⎫ ⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭()123,,K ααα=.因为123,,ααα线性无关,所以()123,,3R ααα=,则122331,,k αααααα---也线性无关()122331,,3R k αααααα⇔---=()3 1.R K k ⇔=⇔≠例4 若向量组123,,ααα线性无关,向量组124,,ααα线性相关,则( C ). (A) 1α必可由234,,ααα线性表示. (B) 2α必不可由134,,ααα线性表示.(C) 4α必可由123,,ααα线性表示. (D)4α必不可由123,,ααα线性表示.解4α必可由12,αα线性表示,则4α必可由123,,ααα线性表示..例5 设n 维列向量组12,,,()m m n ααα< 线性无关,则n 维列向量组12,,,m βββ 线性无关的充分必要条件是( D ).(A) 向量组12,,,m ααα 可由向量组12,,,m βββ 线性表示.(B) 向量组12,,,m βββ 可由向量组12,,,m ααα 线性表示. (C) 向量组12,,,m ααα 与向量组12,,,m βββ 等价. (D)矩阵12(,,,)m A ααα= 与矩阵12(,,,)m B βββ= 等价.解 两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等. 例6 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,),T T T t ααα===(1) 当t 为何值时,向量组123,,ααα线性无关; (2) 当t 为何值时,向量组123,,ααα线性相关;(3) 当向量组123,,ααα线性相关时,将3α表示为12,αα的线性组合.解 方法一:设1122330x x x ααα++=,即()112323,,0x x x ααα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其系数行列式111123513D t t==-,(1)当0D ≠即5t ≠时,齐次线性方程组只有零解,此时向量组123,,ααα线性无关;(2)当5t=时,齐次线性方程组有非零解,此时向量组123,,ααα线性相关;(3) 当5t =时,系数矩阵1323111101,123012213000r x x A x x t -⎛⎫⎛⎫=-⎧ ⎪ ⎪=→⇒⎨⎪ ⎪=-⎩ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令31x =,则121,2x x ==-,所以123312202αααααα-+=⇒=-+.方法二:123111,,123513t tααα==-,所以(1)当5t≠时,向量组123,,ααα线性无关; (2) 当5t =时, 向量组123,,ααα线性相关; (3) 当5t =时,以下同方法一.方法三:123,,ααα线性相关123(,,)3R ααα⇔<.123111111(,,)12301213005rA t t ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,(1) 当5t ≠时, 123(,,)3R ααα=,向量组123,,ααα线性无关;(2) 当5t=时, 123(,,)23R ααα=<,向量组123,,ααα线性相关;(3) 当5t =时,123111101(,,)012012000000rr A ααα-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则121,2,x x =⎧⎨=-⎩所以31122122x x ααααα=+=-.例7 已知三个向量组(Ⅰ)123,,ααα;(Ⅱ)1234,,,αααα;(Ⅲ)1235,,,αααα的秩分别为()()3,()4R R R I =II =III =,证明向量组12345,,,k ααααα-的秩为4.( 0k ≠)证 方法一:()()3,R R I =II =则123,,ααα线性无关,且1234,,,αααα线性相关,故存在123,,λλλ,使得4112233αλαλαλα=++.要证12345(,,,)4R k ααααα-=,只需证12345,,,k ααααα-线性无关.设有1234,,,x x x x ,使得112233445()0x x x x k ααααα+++-=,则11412242334345()()()0x x x x x x kx λαλαλαα+++++-=.因为()4R III =,所以1235,,,αααα线性无关,则11422433440,0,0,0.x x x x x x kx λλλ+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪-=⎩因为1231000100001000k kλλλ=-≠-,所以齐次线性方程组只有零解,即12345,,,k ααααα-线性无关,则12345(,,,)4R k ααααα-=.方法二:同一得: 4112233αλαλαλα=++,则451122335k k ααλαλαλαα-=++-,所以1212345123512353100010(,,,)(,,,)(,,,)00100k K k λλαααααααααααααλ⎛⎫⎪⎪-== ⎪ ⎪-⎝⎭. 因为1235(,,,)4,()4R R K αααα==,所以12345(,,,)4R k ααααα-=.方法三:同一得:4112233αλαλαλα=++,则4114422433123451*********()12351235(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)c c c k c c c c k k k λλλααααααααλαλαλαααααααααα-÷----=++-→-→所以123451235(,,,)(,,,)()4R k R R ααααααααα-==III =.例8 设()m n R A n ⨯=,n 维列向量组12,,,()s s n ααα≤ 线性无关,证明向量组12,,,s A A A ααα 线性无关.证 设11220s s x A x A x A ααα+++= ,即1212(,,,)0s s x xA x ααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.因为()m n R A n ⨯=,则1212(,,,)0s s x x x ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ;又12,,,s ααα 线性无关,则120s x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,所以12,,,s A A A ααα 线性无关.例9 设A为n 阶正定矩阵, 123,,ααα是非零的n 维列向量,且0()T i j A i j αα=≠,证明:123,,ααα线性无关.证 设1122330x x x ααα++=,则1122330x A x A x A ααα++=,从而111122133()()()0T T T x A x A x A αααααα++=,即111()0Tx A αα=.因为A 为正定矩阵,且10α≠,则110T A αα>,所以10x =.同理可证20x =,30x =.例10 设A 为三阶矩阵,三维列向量123,,ααα线性无关,且11232123232,,A A A αααααααααα=++=+=+,求A.解123123110(,,)(,,)211302A A A αααααα⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭,即123123110(,,)(,,)211302A αααααα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则123123123110,,,,211,,302A ααααααααα⋅=⋅=-.因为123,,ααα线性无关,则123,,0ααα≠,所以1A =-.【注意】如果已知123,,ααα,则可求出A :1123123110(,,)211(,,)302A αααααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.例11 设A 为三阶矩阵,有三个不同的特征值123,,λλλ,对应的特征向量依次为123,,ααα.令123βααα=++,证明: 2,,A A βββ线性无关.证12311223A A A A βαααλαλαλα=++=++, 2222112233()A A A ββλαλαλα==++21122123221232331(,,)(,,)1(,,)1A A K λλβββαααλλαααλλ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭因为123,,λλλ互不相同,所以123,,ααα线性无关.又21122221313223311()()()01λλλλλλλλλλλλ=---≠, 所以()3R K =,则2(,,)3R A A βββ=,即2,,A A βββ线性无关.二.线性表示问题例12 设三维列向量123211101,1,1,111λααλαβλλλ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,问λ取何值时: (1) β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一;(2) β可由123,,ααα线性表示,但表达式不唯一;(3)β不能由123,,ααα线性表示.解 方法一:2123111,,111(3)111λαααλλλλ+=+=++,(1)当0λ≠且3λ≠-时, β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一;(2)当0λ=时,12311101110(,,|)1110000011100000r αααβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为123123(,,)(,,|)13R R ααααααβ==<,所以β可由123,,ααα线性表示,但表达式不唯一;(3)当3λ=-时, 123123(,,)2(,,|)3R R ααααααβ=≠=,所以β不能由123,,ααα线性表示.方法二:12321110(,,|)111111λαααβλλλλ+⎛⎫⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭2223111000032rλλλλλλλλλλ+⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪----⎝⎭.(1) 当20,30λλλ≠⎧⎨--≠⎩即0λ≠且3λ≠-时, 123123(,,)(,,|)3R R ααααααβ==,所以β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一;(2) 当0λ=时,1231110(,,|)00000000rαααβ⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,因为123123(,,)(,,|)13R R ααααααβ==<,所以β可由123,,ααα线性表示,但表达式不唯一;(3) 当3λ=-时,1231129(,,|)033120006rαααβ-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭,因为123123(,,)2(,,|)3R R ααααααβ=≠=,所以β不能由123,,ααα线性表示.例13 证明:12,,,s ααα (其中10α≠)线性相关⇔存在i α(1)i s <≤使得iα可由121,,,i ααα- 线性表示,且表示式是唯一的.证 必要性:其思路是求向量组的一个极大无关组的排除法. 因为10α≠,所以1α线性无关.考虑12,αα:若12,αα线性相关,则2α可由1α线性表示,且表示式唯一; 若12,αα线性无关,考虑123,,ααα:若123,,ααα线性相关,则3α可由12,αα线性表示,且表示式唯一; 若123,,ααα线性无关,考虑1234,,,αααα: 依次类推,得因为12,,,s ααα 线性相关,类似可得存在i α,使得121,,,i ααα- 线性无关,而12,,,i ααα 线性相关,所以i α可由121,,,i ααα- 线性表示,且表示式是唯一. 充分性:设i α可由121,,,i ααα- 线性表示,则12,,,i ααα 线性相关,所以12,,,s ααα 线性相关.三.向量组的秩与向量组的极大无关组有关问题例14 求向量组123451124313612,,,,1510613110a c ααααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的秩和一个极大无关组.解1234511243112431361202431(,,,,)15106100011311000203r A a c a c ααααα----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,(1)当2,3a c ==时, 12345(,,,,)3R ααααα=,一个极大无关组为: 124,,ααα;(2)当2a ≠时, 12345(,,,,)4R ααααα=,一个极大无关组为: 1234,,,αααα; (3)当3c≠时, 12345(,,,,)4R ααααα=,一个极大无关组为: 1245,,,αααα.进一步, 当2,3a c ==时,把其余向量用该极大无关组线性表示:123451000201201(,,,,)0001100000r A ααααα-⎛⎫⎪-⎪=→← ⎪⎪⎝⎭行最简形则322αα=, 51242αααα=--+.例15 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,证明:(1)若()R A n =,则()()R AB R B =; (2)若()R B n =,则()()R AB R A =.(即左乘列满秩矩阵或右乘行满秩矩阵,则矩阵的秩不变)证 (1)方法一:()R A n =,则存在m 阶可逆矩阵P ,使得1A PA O ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中1A 为n 阶可逆矩阵,则11A A B PABB O O ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以1()()()()R AB R PAB R A B R B ===.方法二:因为()()()min{(),()}R A R B n R AB R A R B +-≤≤,所以()()()n R B n R AB R B +-≤≤, 即()()R AB R B =.方法三:因为()R A n =,所以线性方程组0ABx =与0Bx =同解,(事实上:(1) 0Bx =,则()00ABx A Bx A ===;(2)0ABx =,即()0A Bx =,因为()R A n =,则0Bx =.)所以()()m R AB m R B -=-, 得()()R AB R B =.同理可证(2).例16 设111212122212,0,0,1,2,,.n n i i n n n n a b a b a b a b a b a b A a b i n a b a b a b ⎛⎫⎪⎪=≠≠= ⎪⎪⎝⎭(1)求()R A ;(2)证明:存在数λ,使得A A k k 1-=λ.解 令()()1212,,,,,,,TTn n a a a b b b αβ== ,则T A αβ=.(1)A O ≠,则1()min{(),()}1()1R A R R R A αβ≤≤≤⇒=;(2)11()()()k T k T T k A A βααββα--==,令T λβα=即可.四.向量空间的有关问题(数学二、三、四不做要求)例17 设V 是向量组123(1,1,2,3),(1,1,4,1),(5,1,8,9)T T Tααα==--=--所生成的向量空间,求dim V 及V 的一个规范正交基.解123115115111013(,,)24800031900r A ααα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,则()2dim 2R A V =⇒=,且12,αα为V的一个基.将12,αα正交单位化得V 的一个规范正交基:12,2,1,5,3)T T εε==--.例18 向量空间V 的两个基分别为12341123223433444(),,,;(),,,ααααβαααβαααβααβαI II =++=++=+=.(1)由基()II 到基()I 的过渡矩阵B ;(2)在基()I 与基()II 下有相同坐标的全体向量.解 (1)12341234123410001100(,,,)(,,,)(,,,)11100111P ββββαααααααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,则112341234(,,,)(,,,)P ααααββββ-=, 所以11000110001101011B P -⎛⎫⎪-⎪== ⎪-⎪-⎝⎭.(2)设向量1211223344123434(,,,)x x x x x x x x ξαααααααα⎛⎫ ⎪ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭,则ξ在基()I 下的坐标为1234x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,所以1234()00,x Px P E x x x x x k =⇒-=⇒====,则 12344000,k k k R ξααααα=⋅+⋅+⋅+=∈.例19 求向量(1,2,1,1)T ξ=在基底1234(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)T T T T ηηηη==--=--=--下的坐标.解 方法一:设ξ的坐标为1234x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则1234(,,,)x ξηηηη=,所以112345111(,,,)(,,,)4444T x ηηηηξ-==--. 方法二:注意到1234,,,ηηηη为正交基.设11223344x x x x ξηηηη=+++,则11111111(,)5(,)(,)(,)4x x ξηξηηηηη=⇒==,同理:324234223344(,)(,)(,)111,,(,)4(,)4(,)4x x x ξηξηξηηηηηηη====-==-.【注意】若1234,,,ηηηη为正交规范基,则ξ在1234,,,ηηηη的坐标为(,),1,2,3,4.j j x j ξη==例20 设12,αα线性无关, 12,ββ线性无关,且12,αα分别与12,ββ正交,证明: 12,αα,12,ββ线性无关.证 令112211220x x y y ααββ+++=,因为12,αα分别与12,ββ正交,则111212121222(,)(,)0,(,)(,)0.x x x x αααααααα+=⎧⎨+=⎩ 又12,αα线性无关,,所以11122122(,)(,)0(,)(,)αααααααα≠,则120x x ==.同理可证:120y y ==.所以12,αα,12,ββ线性无关.。

《线性代数》考研辅导讲义2第二部分 矩阵一.矩阵矩阵的概念,n 阶矩阵,行矩阵(行向量),列矩阵(列向量),零矩阵O ,负矩阵,同型矩阵,矩阵的相等,单位矩阵 二.矩阵的基本运算及其性质 1.矩阵的加法与数乘 设(),()ij m n ij m n A a B b ⨯⨯==,则()ij ij m n A B a b ⨯±=±,()ij m n kA ka ⨯=.性质: (1) A B B A +=+ (2) ()()A B C A B C ++=++(3) ()A A O +-= (4) A O A +=(5) 1A A ⋅= (6) ()()()A A A λμλμμλ==(7) ()A A A λμλμ=+ (8) ()A B A B λλλ+=+(9)0A O λλ=⇒=或A O = (10) (1)A A -⋅=-2.矩阵的乘法与矩阵的幂设(),()ij m s ij s n A a B b ⨯⨯==,则()ij m n C AB c ⨯==,其中1,1,2,,;1,2,,sij ik kj k c a b i m j n ====∑【注意】(1) A 与B 可乘的条件是:左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数;(2)积矩阵C AB =的行数等于左矩阵A 的行数,列数等于右矩阵B 的列数.性质: (1) ()()AB C A BC = (2) ()()()k AB kA B A kB == (3) (),()A B C AC BC C A B CA CB +=++=+(4)m m n m n n E A A E A ⨯⨯==【注意】 (1)AB BA ≠,从而22233223()2,()33A B A AB B A B A A B AB B ±≠±+±≠±+± 223322()(),()()A B A B A B A B A B A AB B -≠+-±≠±+若AB BA =,则称A 与B 可交换,此时,以上代数公式都成立.(2) AB O =推不出A O =或B O =;但若AB O =且A 可逆,则B O =.(3) AB AC =推不出B C =,当若AB AC =且A 可逆,则B C =.设A 为n 阶矩阵,则1,k k k A A A A A A k N -=⋅=⋅∈个.规定:0,0A E A =≠时. 性质: (1) k l k l A A A +⋅= (2) ()k l kl A A =设A 为n 阶矩阵,10()m m x a x a x a ϕ=+++ ,则10()m m A a A a A a E ϕ=+++1122211()k k k k k k k k k k A E A C A C A C A E λλλλλ----+=+++++3.矩阵的转置 设()ij m n A a ⨯=,则()T ji n m A a ⨯=.性质: (1) ()T T A A = (2) ()T T T A B A B ±=±(3)()T T kA kA = (4) ()T T T AB B A = (5) ()()T k k T A A =4.n 阶矩阵A 的行列式性质: (1)n n kA k A =;(2)设,A B 为n 阶矩阵,则AB A B BA =⋅=,虽然AB BA ≠;(3)T A A=.【注意】 (1) A B A B±≠± (2)kA k A ≠ (3) A A ≠当0A ≠时,称A 为非奇异矩阵;否则,称A 为奇异矩阵(即0A =).三.逆矩阵与伴随矩阵 设A 为n 阶矩阵,若AB BA E ==,则称A 可逆,B 是A 的逆矩阵,记为1B A -=.n 阶矩阵()ij n n A a ⨯=的伴随矩阵1121112222*12()()n n Tij ji nnnn A A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭其中(1)i j ij ij A M +=-是A中元素ij a 的代数余子式.性质: (1) 11()A A --= (2) 111()kA A k--=(3)111()AB B A ---= (4) 11()()T T A A --=(5)11A A -= (6) 1d b a b c a a b c d c d--⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎝⎭= ⎪⎝⎭(7)1A -是惟一的;(8)A 可逆0A ⇔≠,且1*1A A A-=; (9) A 可逆A ⇔为非奇异矩阵;(10)A 可逆⇔∃n 阶矩阵B ,使得AB E =(或BA E =),此时1A B -=.伴随矩阵的性质: (1) **AA A A A E ==;显然*A 可逆A ⇔可逆;(2)*1*()n n kA k A -=;(3)若0A ≠,则*1*11*1,()()A A A A A A A---===; (4) 1*n A A-=;(5) 若0A ≠,则2**()n A A A -=;(6) ***()AB B A =;(7)**()()T T A A =;(8)*,()()1,()10,()1n n n n R A n R A R A n R A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩当当当.四.特殊矩阵 1.对角矩阵: 12(,,,)n diag λλλΛ= .对角矩阵的和、差、积、逆仍是对角矩阵,即设1212(,,,),(,,,)n n A diag a a a B diag b b b == ,则 (1)1122(,,,)n n A B diag a b a b a b ±=±±± ;(2) 1122(,,,)n n AB diag a b a b a b = ;(3) 12(,,,),k k k kn A diag a a a k N =∈ ;(4)11111212(,,,),,,,n n A diag a a a a a a ----= 全不为零.2.数量矩阵(纯量矩阵):(,,,)kE diag k k k = .在矩阵的运算中与数的运算完全相同.3.三角矩阵:包括上、下三角矩阵.上(下)三角矩阵的和、差、积仍是上(下)三角矩阵.4.对称矩阵: T A A =.有,,1,2,,.T ij ji A A a a i j n =⇔==若,A B 为实对称矩阵,则1*,,,,T A B kA A A A -±都是对称矩阵.但AB 为对称矩阵AB BA ⇔=.5.反对称矩阵:T A A =-,有,,1,2,,.T ij ji A A a a i j n =-⇔=-= 从而若A 为反对称矩阵,则0,1,2,,.iia i n == 任何一个矩阵可以表示为对称矩阵与反对称矩阵之和,即22T T A A A A A +-=+.6.正交矩阵: 1T T T AA A A E A A -==⇔=.(1) 1A =±;(2)若AB 为n 阶正交矩阵,则1,,T A A AB -也是正交矩阵,但(1)kA k ≠±不是正交矩阵;(3)A 为正交矩阵A ⇔的行(或列)向量组为两两正交且单位化的向量组.五.矩阵的初等变换与初等矩阵 1.矩阵的初等行(列)变换 行阶梯形矩阵、行最简形矩阵.任一矩阵总可以经过有限次初等行变换变成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.典型例题一.行矩阵（向量）与列矩阵（向量）的乘积例1 设()()1212,Tn n A a a a B b b b == ,求AB 与BA .解1112121222112,n n n i i i n n n n b a b a b a b a b ab a AB a b BA b a b a b a =⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭∑ .二.求k A 的方法1.用k A 的归纳定义计算:1k k A A A -=⋅.例2 设101020101A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭,则12n n A A --= . 解 方法一:23222112,22,,22n n n n A A A A A A A A A A A O --==⋅===⇒-= .方法二:22A A =,则1222(2)n n n A A A A A O ---=-=.2.由0()kki i k i k i A B C A B -=+=∑计算要求:A 与B 可交换(即AB BA =),且i A 容易计算而()j B O j k = .例3 设101010001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求nA .解 方法一:2310210310010,010,,010*********n n A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.方法二:注意A 是初等矩阵,即将E 的第三行加到第一行,所以10010001n n n A A E AA AE ⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭.方法三:001000000A E E B ⎛⎫ ⎪=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭,则011222()n n n n n n n n A E B C E C E B C E B --=+=+++又2B O =,所以10010001n n A E nB ⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭.3.T A αβ=或A 能分解成此形状,其中,αβ为n 维列向量()()()()()k T k T T T T A αβαβαβαβαβ==11()()()()()()T T T T T k T T k A αβαβαβαββααββα--=== .例4 设111212122212n n n n n n b a b a b a b a b a b a A b a b a b a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,求kA .解()1212T n n b bA a a a b αβ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,则11()nkk i i i A a b A -==∑.4.设AP PB =或1P AP B -=或 A 能对角化,则11()k k A PBP PB P --==.例5 设AP PB =,其中100(1,0,1),210211B diag P ⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭,求A 及5A .解11100100200,(210)611411A PBP P --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭,5A 511PB P PBP A --===.例6 设100200,611A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭求kA .解 方法一:23100200,,211A A A ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭所以2122,k k A A A A +==.方法二: (1)(1)A E λλλλ-=-+,则A 的特征值1230,1,1λλλ===-,则A 能对角化,且1(0,1,1)P AP diag -=Λ=-,其中10120121P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.由1A P P -=Λ,则1101(1)k k k A P P P P--⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭,(其中1210100411P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭).5.若12s A O A A OA ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则12kkk k s A O A A O A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.例7 设100010000000010A λ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,求kA .解12A O A O A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中12100,0110A A λ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则12k kk A O A OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭.12100,,(2)0100k k k A A k λ⎛⎫⎛⎫==≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则10001000000000k k A λ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭. 三.求1A -及解矩阵方程1. 求1A -(1)*1A A A-=;(2)1(|)(|)rA E E A -→;(3)如果()0()()f A A kE g A E A kE =⇒+=⇒+可逆,且1()()A kE g A -+=;(4)分块求逆:若12s A O A A OA ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则111121s A O A A O A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;若12s OA A A A O ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,则111111s s OA A A A O -----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.例8 设300140003A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求1(2)A E --.解 方法一:1002120001A E ⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭,则10010011(2|)010*******01r A E E ⎛⎫⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪⎝⎭,所以 1(2)A E --10011022001⎛⎫ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪⎝⎭.方法二:122A O A E OA ⎛⎫-=⎪⎝⎭,其中()1210,112A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭.而111210,(1)1122A A --⎛⎫ ⎪== ⎪-⎝⎭,则1(2)A E --1112A O OA --⎛⎫=⎪⎝⎭10011022001⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭. 例9 设n 阶矩阵A 满足26323650AA E --=,求17()9A E -+.解 由条件得:7(97)(78)9()(78)9A E A E E A E A E E +-=⇒+-=,所以17()(78)9A E A E -+=-.例10 设1000120004500067A ⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭,且1()()B E A E A -=+-,求1()E B -+.解1()()()()2E B E E A E A E A E B E -+=++-⇒++=,则1()E B -+10001200022020034E A⎛⎫⎪-+⎪== ⎪-⎪-⎝⎭. 例11 设11,,,A B A B A B --++为n 阶可逆矩阵,则111()A B ---+等于( )(A)11A B --+ (B) A B + (C) 1()A A B B -+ (D) 1()A B -+解 方法一:1111111111()[()][()]()A B B BA E B B A A A A B B ----------+=+=+=+.方法二:11111()[()]()()A B A A B B E B A A B B -----++=++11()()B B A A B B E --=++=.例12 设,A B 为n 阶矩阵,且A B AB +=,证明: A E -与B E -均可逆,且AB BA =.证()()()A B A B A E E A B E A E B E E +=⇒-+-=-⇒--=,所以A E -与B E -均可逆.()()()()A E B E E B E A E E BA A B --=⇒--=⇒=+,则AB BA =.2.解矩阵方程将给定矩阵方程化成标准形式:(1)AXC =;(2)XB C =;(3)AXB C =,解得X.特别要注意的是:若已知A 且在给定方程中含有1A -及*A ,运用11AA A A E --==及**AA A A A E ==先化简,再解矩阵方程.例13 若X 满足1*1X A X A A --+=+,其中001020101A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,求X .解AX X A E E +=+,即()A E X E +=-,所以12011()003101X A E --⎛⎫ ⎪⎪=-+=-⎪ ⎪-⎝⎭. 四.与*A 有关的问题例14 设1212213133431121A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪-⎝⎭,求*A .解**()2()0R A R A A O =⇒=⇒=.例15 设010000200001000A n n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,求11n nij i j A ==∑∑. 解11100010001(1)!0000210001n n A n A n --⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=-≠⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭,由*1A A A -=,得1111111(1)(1)!2nnnn iji j i A A n n i -====+++=-∑∑∑.例16 设100220345A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则*1()A -= .解*1()10A A A A -==. 例17 设12A =,则**(2)A = . 解2**1**1(2)2()22n n n A A AA A ---===.例18 设,A B 为n 阶矩阵, 2,3A B ==-,则*12A B -= .解1*1*11222n n n A B A B AB---=⋅⋅=⋅⋅.例19 设A 为n 阶非零矩阵,且*T A A =,证明:A 为正交矩阵.证222*(1)0nn T AA A E AA A E A A A A-=⇒=⇒=⇒-=.又A O ≠,不妨设A的第一行的元素不全为零,由T AA A E=得222111210n A a a a =+++> ,所以1A =,则T AA A E E ==,即A 为正交矩阵.例20 设1111121113A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求*1()A -.解*1111521()()220101AA A A A------⎛⎫⎪===- ⎪ ⎪-⎝⎭.五.与()R A 有关的问题例21 求11110112343517b A a ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩. 解1111011001200042r b A a b b ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪-- ⎪-⎝⎭,则 当1,2a b ≠≠时, ()4R A =; 当1,2a b ≠=时, ()3R A =; 当1,2a b =≠时, ()3R A =;当1,2ab ==时, ()2R A =.例22 证明:2**()n A AA -=.证 (1)若A 可逆,则12*1****1()()n n A AA A A A A AA A A----=⇒==⋅=; (2) 若A 不可逆,则2*****()()1(())()n R A n R A R A O A O AA -<⇒≤⇒=⇒==.例23 设m s s n A B O ⨯⨯=,证明: ()()R A R B s +≤.证 ()()()1212,n n B b b b AB Ab AbAb O O O === ,则,1,2,,j Ab O j n ==即12n b b b 为1m s s A X O ⨯⨯=的解,可由1m s s A X O ⨯⨯=的基础解系线性表示,所以12()(,,,)()n R B R b b b s R A =≤-即()()R A R B s +≤.例24 设n 阶矩阵A 满足2A E =,证明: ()()R A E R A E n ++-=.分析()()R A R B n+=(1)()(),(2)()()()()(),0R A R B n AB O R A R B n R A R B R KE n k +≤⇐=⎧⇔⎨+≥⇐+≥=≠⎩ 证 (1) 2()()()()A E A E A E O R A E R A E n +-=-=⇒++-≤;(2)()()()()(2)R A E R A E R A E R E A R E n ++-=++-≥=.例25 秩为r 的矩阵可表示为r 个秩为1的矩阵之和.证 设()R A r =,则存在可逆矩阵P 和Q ,使得12rr E O PAQ A A A O O ⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭其中0,1,2,,10j A j j r ⎛⎫ ⎪⎪⎪=←= ⎪⎪⎪⎝⎭第行.则111111121()r rA P A A A Q P AQ P A Q ------=+++=++ 且11()()1j j R P A Q R A --==.例26 设A 为m n ⨯矩阵, B 是A 的前s 行构成的s n ⨯矩阵,若()R A r =,证明:()R B r s m ≥+-.证 方法一:B B O A C O C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则()()()()B O r R A R R R B R C R B m s O C ⎛⎫⎛⎫=≤+=+≤+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()R B r s m ≥+-.方法二:由(1)1()1()()m n m nn B A R A R B R A C -⨯⨯⨯⎛⎫=⇒-≤≤ ⎪⎝⎭,得()()()R B R A m s r s m ≥--=+-.六.与初等矩阵有关的问题 例27 设1413121124232221441343332314443424100010100(),,,00101000ij a a a a aa a a A a B P a a a a a a a a ⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭210000100100001P ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭, 其中A 可逆,则1B -=( )(A) 112A PP - (B) 112P A P - (C) 112PP A - (D) 121P A P - 解11111211212B A P P B P P A P P A-----=⇒==. 七.与分块矩阵有关的问题例28 设A 为n 阶矩阵,α为n 维列向量,b 为常数.令*,T T EO A P Q A A b ααα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(1)计算并化简PQ ; (2)证明:Q 可逆T A b αα⇔≠.解 (1)1()TT A PQ O A b A ααα-⎛⎫= ⎪-⎝⎭; (2)211(),()T T P Q PQ A b A P A Q A b A αααα--⋅==-=⇒=-,则Q 可逆1110()00T T T Q A b A b A A b αααααα---⇔≠⇔-≠⇔-≠⇔≠.例29 设,A B 为n 阶矩阵,证明:E BE AB E BA A E=-=-.证 (1)E O E B EB A E A E O E AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则E O E B E BE ABA E A E O E AB⋅==---.(2)E B E B E BA O E B E BA O E A E AE A E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.或2(1)(1)n n E B B E E AE AB E BA A E E A B E-==-=-=-.例30 设B 为r 阶可逆矩阵,C 为s 阶可逆矩阵,证明:B D A OC ⎛⎫= ⎪⎝⎭为r s +可逆矩阵,且11111B B DC A O C -----⎛⎫-= ⎪⎝⎭.证 方法一:1111B D E O B B DC E O C O E O C ----⎛⎫-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则结论成立.方法二:0B D A B C O C ==⋅≠,则A 可逆.设111212122XX A X X -⎛⎫= ⎪⎝⎭,由1AA E -=,得11122122rs E O X X B D O E X X O C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 即112112221111111221222122,,,,,,,BX DX E BX DX O X B X B DC X O X C CX O CX E ----+=⎧⎪+=⎪⇒==-==⎨=⎪⎪=⎩. 例31 设A 可逆,且A 的每行元素之和均为a ,证明:(1) 0a ≠; (2) 1A -的每行元素之和等于1a.证 (1) 00A a B a =≠⇒≠.(2)1121212(,,,),(,,,),(,,,)n n n A A E e e e αααβββ-=== ,由1A A E -=,得11,1,2,,j j A A E A e j n α--=⇒== .又12(,,,)T n a a a ααα+++= ,则11111212111n n a a A A A A e e e a ααα----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即() 121 11n a aaβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则1211()1naβββ⎛⎫⎪⎪+++=⎪⎪⎝⎭,所以12111(,,,)T n a a aβββ+++=.。