备战2023年高考数学考试易错题-易错点 一元二次不等式及一元二次方程

(名师选题)2023年人教版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式必考知识点归纳单选题1、设a<b<0，则下列不等式中不一定正确的是（ ） A ．2a >2b B ．ac <bc C ．|a|>－b D ．√−a >√−b 答案：B分析：利用不等式的性质对四个选项一一验证： 对于A ，利用不等式的可乘性进行证明； 对于B ，利用不等式的可乘性进行判断； 对于C ，直接证明；对于D ，由开方性质进行证明.对于A ，因为a<b<0，所以2ab >0，对a<b 同乘以2ab ，则有2a >2b ，故A 成立； 对于B ，当c>0时选项B 成立，其余情况不成立，则选项B 不成立； 对于C ，|a|＝－a>－b ，则选项C 成立；对于D ，由－a>－b>0，可得√−a >√−b ，则选项D 成立. 故选：B2、不等式1+5x −6x 2>0的解集为（ ）A ．{x|x >1或x <−16}B ．{x |−16<x <1 }C ．{x|x >1或x <−3}D ．{x |−3<x <2 } 答案：B分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘−1，再利用十字相乘法，可得答案， 法一：原不等式即为6x 2−5x −1<0，即(6x +1)(x −1)<0，解得−16<x <1，故原不等式的解集为{x |−16<x <1 }．法二：当x =2时，不等式不成立，排除A ，C ；当x =1时，不等式不成立，排除D ． 故选：B ．3、已知实数a,b 满足a +b =ab (a >1,b >1)，则(a −1)2+(b −1)2的最小值为( ) A ．2B ．1C ．4D ．5 答案：A分析：将a -1和b -1看作整体，由a +b =ab (a >1,b >1)构造出(a −1)(b −1)=1，根据(a −1)2+(b −1)2≥2(a −1)(b −1)即可求解．由a +b =ab (a >1,b >1)得a +b −ab −1=−1，因式分解得(a −1)(b −1)=1， 则(a −1)2+(b −1)2≥2(a −1)(b −1)=2，当且仅当a =b =2时取得最小值． 故选：A ．4、已知x >2，则x +4x−2的最小值为（ ） A ．6B ．4C ．3D ．2 答案：A分析：利用基本不等式可得答案. ∵x >2，∴x −2>0， ∴x +4x−2= x −2+4x−2+2≥2√(x −2)⋅4x−2+2＝6，当且仅当x −2=4x−2即x =4时， x +4x−2取最小值6， 故选：A ．5、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=2，那么xy 的最大值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2答案：C分析：根据重要不等式x 2+y 2≥2xy 即可求最值，注意等号成立条件.由x 2+y 2=2≥2xy ，可得xy ≤1，当且仅当x =y =1或x =y =−1时等号成立. 故选：C.6、已知0<x <2，则y =x√4−x 2的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．5D ．6 答案：A分析：由基本不等式求解即可 因为0<x <2， 所以可得4−x 2>0， 则y =x√4−x 2=√x 2⋅(4−x 2)≤x 2+(4−x 2)2=2，当且仅当x 2=4−x 2，即x =√2时，上式取得等号， y =x√4−x 2的最大值为2． 故选：A ．7、已知a,b 为正实数，且a +b =6+1a+9b ，则a +b 的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．12 答案：B分析：根据题意，化简得到(a +b )2=(6+1a +9b )(a +b )=6(a +b )+10+ba +9a b，结合基本不等式，即可求解.由题意，可得(a +b )2=(6+1a +9b )(a +b )=6(a +b )+10+ba +9a b≥6(a +b )+16，则有(a +b )2−6(a +b )−16≥0，解得a +b ≥8，当且仅当a =2，b =6取到最小值8. 故选：B.8、关于x 的不等式ax 2−|x|+2a ≥0的解集是(−∞,+∞)，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[√24,+∞)B ．(−∞,√24]C ．[−√24,√24]D ．(−∞,−√24]∪[√24,+∞) 答案：A分析：不等式ax 2−|x|+2a ≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x ∈R ，ax 2−|x|+2a ≥0恒成立，即a ≥|x |x 2+2，分x =0和a ≠0两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案. 解：不等式ax 2−|x|+2a ≥0的解集是(−∞,+∞)， 即对于∀x ∈R ，ax 2−|x|+2a ≥0恒成立， 即a ≥|x |x 2+2，当x =0时，a ≥0， 当a ≠0时，a ≥|x |x 2+2=1|x |+2|x |，因为1|x |+2|x |≤2√x ⋅2|x|=√24， 所以a ≥√24， 综上所述a ∈[√24,+∞). 故选：A.9、若对任意实数x >0,y >0，不等式x +√xy ≤a(x +y)恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．√2−12B ．√2−1C ．√2+1D ．√2+12答案：D分析：分离变量将问题转化为a ≥x+√xy x+y对于任意实数x >0,y >0恒成立，进而求出x+√xy x+y的最大值，设√yx =t(t >0)及1+t =m(m >1)，然后通过基本不等式求得答案.由题意可得，a ≥x+√xy x+y对于任意实数x >0,y >0恒成立，则只需求x+√xy x+y的最大值即可，x+√xy x+y=1+√y x 1+y x，设√yx =t(t >0)，则1+√y x 1+y x=1+t1+t 2，再设1+t =m(m >1)，则1+√y x 1+y x=1+t 1+t 2=m 1+(m−1)2= m m 2−2m+2=1m+2m−2≤2√m⋅2m−2=2√2−2=√2+12，当且仅当m =2m ⇒√yx =√2−1时取得“=”.所以a ≥√2+12，即实数a 的最小值为√2+12. 故选：D.10、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（ ）A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞)答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可. 不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−ba(−12)⋅13=2a ， 解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16)故选：A11、若关于x 的不等式|x −1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(－∞，1]B ．(－∞，1) C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞) 答案：D分析：根据充分条件列不等式，由此求得a 的取值范围. |x −1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则a >0，|x −1|<a ⇒1−a <x <1+a ，所以{1−a ≤01+a ≥4⇒a ≥3.故选：D12、若x >1，则x +1x−1的最小值等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D分析：将x +1x−1变形为x −1+1x−1+1，即可利用均值不等式求最小值.因为x >1，所以x −1>0，因此x +1x−1=x −1+1x−1+1≥2√(x −1)⋅1x−1+1=3,当且仅当x −1=1x−1，即x =2时，等号成立，所以x +1x−1的最小值等于3. 故选：D. 双空题13、用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为________m ；高为________m . 答案： 32 3分析：先表示出框架的面积函数关系式，再利用基本不等式求最值可得设窗户的宽为x ，则其高为6−2x ，要使阳光充足，只要面积最大，S =x(6−2x)=2x(3−x)≤2×[x+(3−x)2]2=92，当且仅当x =32时等号成立，这时高为3m .所以答案是：(1). 32 (2). 3小提示：本题考查利用基本不等式求最值成立条件. 用基本不等式求最值问题:已知x >0,y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x =y 时，x +y 有最小值是2√p .(简记：积定和最小) (2)如果和x +y 是定值p ，那么当且仅当x =y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)14、若实数x ，y 满足x >y >0，且log 2x +log 2y =2，则2x +1y 的最小值为______；x−y(x+y )2的最大值为______.答案： √2 18分析：根据题意，x >y >0，且log 2x +log 2y =2，由对数的运算得出xy =4，利用基本不等式的性质直接求解可得2x +1y 的最小值，通过转化x−y(x+y)2=x−y(x−y)2+4xy =1(x−y)+16x−y，再运用基本不等式即可求得答案．解：∵log 2x +log 2y =2，∴xy =4， 实数x 、y 满足x >y >0，∴ 2x +1y ⩾2√2x ·1y =√2（当且仅当x =2√2，y =√2时等式成立），x−y (x+y)2=x−y (x−y)2+4xy =1(x−y)+16x−y⩽18，当且仅当x =2√2+2，y =2√2−2时等式成立． 所以答案是：√2，18．小提示：本题考查利用基本不等式求最值，涉及对数函数的运算，考查学生的转化思想．15、已知关于x 的不等式ax 2+4ax −3<0，若不等式的解集为{x |x <−3 或x >−1}，则a 的值为_________；若此不等式在R 上恒成立，则a 的取值范围为_________. 答案： −1 (−34,0]分析：由题意可得−3和−1是方程ax 2+4ax −3=0的两个根，然后利用根与系数的关系列方程组可求得a 的值；由于不等式在R 上恒成立，所以分a =0和a ≠0两种情况求解即可. 因为不等式ax 2+4ax −3<0的解集为{x |x <−3 或x >−1}， 所以−3和−1是方程ax 2+4ax −3=0的两个根，且a <0， 所以{−3+(−1)=−4aa −3×(−1)=−3a ，解得a =−1；因为不等式ax 2+4ax −3<0在R 上恒成立， 所以当a =0时，−3<0符合题意，当a ≠0时，则{a <0Δ=16a 2+12a <0，解得−34<a <0，综上，a 的取值范围为(−34,0]. 所以答案是：−1，(−34,0].16、若x ∈R 且x >0，则xx 2+1有最______值，且此最值是______． 答案： 大 12##0.5分析：由于x >0，故x +1x ≥2，进而x x 2+1=1x+1x≤12，进而得答案.解：因为x ∈R 且x >0，所以x +1x≥2√x ⋅1x=2，当且仅当x =1x=1等号成立，所以xx 2+1=1x+1x≤12故xx 2+1有最大值，最大值为12.所以答案是：大；1217、若x >0，则x +1x 的最小值为______，此时x =______． 答案： 2 1分析：由基本不等式可得．因为x >0，所以x +1x ≥2√x ⋅1x =2，当且仅当x =1x ，即x =1时等号成立． 所以答案是：2；1． 解答题18、已知x,y 都是正数，且x +y =1， （1）求1x +4y 的最小值； （2）求1x +x y 的最小值． 答案：(1)9 ；(2)3 .分析：(1) 利用1的代换将式子变形，再用基本不等式求最小值；(2) 先将式子中的1用x+y代换，展开整理，再用基本不等式求最小值.(1) 1x +4y=(x+y)(1x+4y)=5+4xy+yx.因为x,y都是正数，所以由基本不等式得，4x y +yx≥2√4xy⋅yx=4，所以1x +4y≥9，当且仅当x=13，y=23时等号成立.所以1x +4y的最小值为9 .(2) 1x +xy=x+yx+xy=1+yx+xy.因为x,y都是正数，所以由基本不等式得，y x +xy+≥2√yx⋅xy=2，所以1x +xy≥3，当且仅当x=12，y=12时等号成立.所以1x +xy的最小值为3.19、设f(x)=ax2+(1-a)x+a-2.(1)若命题“对任意实数x，f(x)≥-2”为真命题，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式f(x)<a-1(a∈R).答案：(1)a≥13(2)答案见解析分析：（1）根据“对任意实数x，f(x)≥-2”为真命题，知ax2+(1-a)x+a-2≥-2，即ax2+(1-a)x+a≥0，此时对a进行分类讨论，再结合判别式Δ即可求出a的范围.（2）由f(x)<a-1得ax2+(1-a)x+a-2<a-1，即ax2+(1-a)x-1<0，对a进行分类讨论，即可求出不等式f(x)<a-1的解集.（1）∵命题“对任意实数x，f(x)≥-2”为真命题，∴ax2+(1-a)x+a-2≥-2恒成立，即ax2+(1-a)x+a≥0恒成立. 当a=0时，x≥0，不满足题意；当a≠0时，知{a>0，Δ≤0，即{a>0，(1-a)2-4a2≤0，解得a≥13.故实数a的取值范围为a≥13.（2）∵f(x)<a-1(a∈R)，∴ax2+(1-a)x+a-2<a-1，即ax2+(1-a)x-1<0.当a=0时，x<1，∴不等式的解集为{x|x<1}；当a>0时，ax2+(1-a)x-1<0⇒(ax+1)(x-1)<0，此时方程(ax+1)(x-1)=0的解分别为-1a，1，∵-1a <1，∴不等式的解集为{x|-1a<x<1}，当a<0时，不等式可化为(ax+1)(x-1)<0，①当a=-1时，-1a=1，∴不等式的解集为{x|x≠1}；②当-1<a<0时，-1a >1，此时不等式的解集为{x|x>−1a或x<1}；③当a<-1时，-1a <1，此时不等式的解集为{x|x>1或x<−1a}20、已知二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c∈R)只能同时满足下列三个条件中的两个：①y<0的解集为{x|−1<x<3}；②a=−1；③y的最小值为−4．(1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求a，b，c的值；(2)求关于x的不等式y≥(m−2)x+2m2−3(m∈R)的解集．答案：(1)满足题意的条件为①③，a=1，b=−2，c=−3；(2)答案见解析﹒分析：(1)分别假设条件①②和条件②③符合题意，根据二次函数性质和题意即可判断满足题意的条件，根据二次函数的图象性质即可求出a、b、c的值；(2)化简不等式，根据m的范围讨论不等式解集即可．（1）假设条件①②符合题意．∵a=−1，二次函数图象开口向下，∴y<0的解集不可能为{x|−1<x<3}，不满足题意．假设条件②③符合题意．由a=−1，知二次函数图象开口向下，y无最小值，不满足题意．∴满足题意的条件为①③．∵不等式y<0的解集为{x|−1<x<3}，∴−1，3是方程ax2+bx+c=0的两根，∴−1+3=2=−ba ，−1×3=ca，即b=−2a，c=−3a．∴函数y=ax2+bx+c在x=−b2a=1处取得最小值，∴a+b+c=−4a=−4，即a=1，∴b=−2，c=−3．（2）由(1)知y=x2−2x−3，则y≥(m−2)x+2m2−3，即x2−mx−2m2≥0，即(x+m)(x−2m)≥0．∴当m<0时，不等式的解集为{x|x≤2m或x≥−m}；当m=0时，不等式的解集为R；当m>0时，不等式的解集为{x|x≥2m或x≤−m}．。

一元二次方程知识点总结与易错题及答案一元二次方程知识点总结考点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

考点二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；III当△考点四、一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

考点五、一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。

那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。

也就是该方程的解了一元二次方程易错题一、选择题1、若关于x 的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0有一个根为0，则m的值等于（）A．1B.2C.1或2D.02、巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为，则可列方程为（）A．B．C．D．3、已知是关于的一元二次方程的两实数根，则的值是（）A．B．C．D．4、已知a、b、c分别是三角形的三边，则(a+b)x2+2cx+(a+b)＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根5、已知是方程的两根，且，则的值等于（）A．－5B.5C.-9D.96、已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（）A．B．C．D．7、的估计正确的是（）A．B．C．D．8、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（）A．1B．12C．13D．259、(中江县初中毕业生诊断考试)某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为()A.B.C.D.10、设是方程的两个实数根，则的值为（）A．2006B．2007C．2008D．200911、对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：①若a+c=0，方程ax2+bx+c=0必有实数根；②若b+4ac<0，则方程ax2+bx+c=0一定有实数根；③若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=0一定有两个不等实数根；④若方程ax+bx+c=0有两个实数根，则方程cx+bx+a=0一定有两个实数根．其中正确的是()A．①②B．①③C．②③D．①③④二、填空题1、若一元二次方程x－(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b=．3、方程（x ﹣1）（x+2）=2（x+2）的根是．4、关于x的一元二次方程ax+bx+1=0(a0)有两个相等实根，求的值为______．5、在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，则△ABC的周长为_________．6、已知关于的一元二次方程x-6x-k=0（k为常数）．设x，x为方程的两个实数根，且x+2x=14，则k的值为________．7、已知m、n是方程x-2003x+2004=0的两根，则(n-2004n+2005)与(m-2004m+2005)的积是.。

考点05一元二次方程、不等式（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．【知识点】1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)，不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解的对应关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数的图象方程的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根不等式的解集{x |x ≠－b2a}R 2．分式不等式与整式不等式(1)f (x )g (x )>0(<0)⇔ ；(2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔ .3．简单的绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为，|x |<a (a >0)的解集为．【核心题型】题型一　一元二次不等式的解法对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．命题点1　不含参数的不等式【例题1】（2024·青海·一模）已知集合(){}2lg 23A x y x x ==-++，{}240B x x =-<，则A B È=（ ）A ．()1,3-B ．()1,2-C ．()2,3-D ．()2,2-【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知集合{}2|680,{|13}M x x x N x x =-+<=<£，则M N Ç=（ ）A ．{|23}x x ££B ．{|23}x x <£C ．{|24}x x <£D ．{|13}x x <£【变式2】（2024·山东济宁·一模）设集合{}2|60A x x x =--<，{|}B x a x a =-££，若A B Í，则实数a 的取值范围是 ．【变式3】（2024·安徽合肥·一模）已知集合{}{}24,11A xx B x a x a =£=-££+∣∣，若A B Ç=Æ，则a 的取值范围是.命题点2　含参数的一元二次不等式【例题2】（2024·云南红河·二模）已知,a b 均为正实数，则“11a b>”是“2223a b ab +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式1】（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间[]05，内随机取一个实数a ，则关于x 的不等式()2220x a x a +--<仅有2个整数解的概率为（ ）A ．25B ．310C ．15D ．110【变式2】（2023·江西南昌·三模）函数22e ,0()(2)2,0x ax x f x x a x a x ì->=í-+-+£î，若关于x 的不等式()0f x ³的解集为[2,)-+¥，则实数a 的取值范围是（ ）A ．e 2,2æù-çúèûB ．e 0,2éùêúëûC ．20,4éùêúëûe D ．2e {0},4¥éö+÷êëøU 【变式3】．（2023·湖南·模拟预测）若关于x 的不等式()277x a a x +<+的解集恰有50个整数元素，则a 的取值范围是 ，这50个整数元素之和为 ．题型二　一元二次不等式恒成立问题恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R 上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．命题点1　在R 上恒成立问题【例题3】（2024·浙江·模拟预测）若不等式()2620kx k x +-+>的解为全体实数，则实数k的取值范围是（ ）A ．218k ££B ．182k -<<-C ．218k <<D ．02k <<【变式1】（23-24高三上·河南·期中）“关于x 的不等式()()2232340a x a x ---+³的解集为R ”是“392a <<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式2】（2023·福建厦门·二模）“()0,4b Δ是“R x "Î，210bx bx -+>成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式3】（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式2210ax ax +-<恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）A ．10a -£<B ．0a £C ．10a -<£D ．10a -<<命题点2　在给定区间上恒成立问题【例题4】（2023·浙江宁波·一模）已知函数()2f x x ax b =++，若不等式()2f x £在[]1,5x Î上恒成立，则满足要求的有序数对(,)a b 有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【变式1】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知命题p ：任意1,22x éùÎêúëû，使222log log 30x m x -×-£为真命题，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(],2-¥B ．(],2-¥-C ．[]22-,D ．[)2,-+¥【变式2】（2023·辽宁鞍山·二模）已知当0x >时，不等式：2160x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()8,8-B ．(],8¥-C ．(),8¥-D ．()8,+¥【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数2()f x x ax b =++，若对任意[1,5],()2x f x Σ，则所有满足条件的有序数对(,)a b 是 ．命题点3　在给定参数范围内的恒成立问题【例题5】（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）若210mx -<对于[]0,2m Î恒成立，则实数x 的取值范围为 ．【变式1】（2024高三·全国·专题练习）设函数()f x 是定义在(,)-¥+¥上的增函数．若不等式()21(2)--<-f ax x f a 对于任意[0,1]a Î恒成立，求实数x 的取值范围.【变式2】（22-23高三上·山东潍坊·阶段练习）若对于任意[]1,1m Î-，任意R y Î，使得不等式()23613x m x y y +--<-+-成立，则实数x 的取值范围是．【变式3】（2023高三·全国·专题练习）若不等式()2211x m x ->-对任意[]1,1m Î-恒成立，实数x 的取值范围是 .【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合{}{}2450,34A x x x B x a x a =--³=-<<+，若A B =U R ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．{}1a a >B ．{}12a a <<C ．{}2a a <D ．{}12a a ££2．（2024·浙江·模拟预测）若不等式()2620kx k x +-+>的解为全体实数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．218k ££B ．182k -<<-C ．218k <<D ．02k <<3．（2024·云南红河·二模）已知,a b 均为正实数，则“11a b>”是“2223a b ab +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2024高三·全国·专题练习）若不等式()()222240a x a x -+--<对一切x ÎR 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],2-¥B ．[]22-,C ．(]2,2-D ．(),2-¥-5．（23-24高三下·湖南衡阳·阶段练习）条件p 是q 的充分不必要条件是（ ）A ．函数()y f x =定义域为A ，p ：()0f x ¢³在A 上成立.q ：()y f x =为增函数；B ．p ：2R,30x x x a "Î-+>成立，q ：12a a +-最小值为4；C ．p :函数2()2441f x ax x =+-在区间(1,1)-恰有一个零点，q : 1184a -<<；D ．p :函数()cos 2cos sin 2sin f x x x j j =+为偶函数（x ÎR ），q :π(Z)k k j =Î6．（2024高三·全国·专题练习）已知,a b ÎR 且0ab ¹，若()()()20x a x b x a b ----³在0x ³上恒成立，则（ ）A ．0a <B ．0a >C ．0b <D ．0b >二、多选题1．（23-24高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知0a >，0b >，且27a b +=，若223a b t +£恒成立，则实数t 的值可能为（ ）A ．20B ．21C ．49D ．502．（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列命题正确的是（ ）A ．若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0B ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为RC ．不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0D ．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集三、填空题1．（23-24高三下·上海·阶段练习）设0a >，若关于x 的不等式20x ax -<的解集是区间()0,1的真子集，则a 的取值范围是 ．2．（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知集合(){}(){}2log 32,540A x x B x x x =-<=--³，则A B =I .四、解答题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2f x x a =-，且()f x b £的解集为[]1,3-．(1)求a 和b 的值；(2)若()f x x t £-在[]1,0-上恒成立，求实数t 的取值范围．2．（2024高三·全国·专题练习）（1）解关于实数x 的不等式：2(1)0x a x a -++<．（2）解关于实数x 的不等式：210x ax -+<．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数()21f x x =+．(1)求不等式()()11f x f x -->的解集；(2)若()()()1h x f x f x =+-，且存在x ÎR 使不等式()221a a h x +-³成立，求实数a 的取值范围．综合提升练一、单选题1．（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的2(0,),10x x mx Î+¥-+>恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．(2,2)-B ．(2,)+¥C ．(,2)-¥D ．(,2]-¥2．（2023高三·全国·专题练习）已知命题p ：“∀x ∈R ，(a ＋1)x 2－2(a ＋1)x ＋3>0”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．－1<a <2B ．a ≥1C ．a <－1D ．－1≤a <23．（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合{{}2N 40A x y B y y =Î==-£∣，∣，则集合A B Ç中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．（23-24高三上·重庆长寿·期末）已知函数2()2f x ax x a =-+，对1,22x éùÎêúëû都有()0f x ³成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,¥+B ．4,5¥éö+÷êëøC ．4,15éùêúëûD ．4,5¥æù-çúèû5．（23-24高三上·内蒙古通辽·阶段练习）已知命题0:p x $ÎR ，()200110x a x +-+<，若命题p 是假命题，则a 的取值范围为（ ）A ．13a ££B ．13a -<<C ．13a -££D ．02a ££6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件q ：“不等式()()224210a x a x -++-³的解集是空集”，则条件p ： “21a -£<”是条件q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2024·天津河西·一模）“2x x £”是“11x³”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2023·广东广州·三模）定义{},max ,,p p q p q q p q³ì=í<î，设函数(){}2max 22,2x f x x ax a =--+，若R x $Î使得()0f x £成立，则实数a 的取值范围为（ ）．A ．(][),01,-¥+¥U B ．[][)1,01,-È+¥C ．()(),11,-¥-È+¥D ．[]1,1-二、多选题1．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知R a Î，关于x 的一元二次不等式()()220ax x -+>的解集可能是（ ）A ．2x x a ì>íî或}2x <-B ．{}2x x >-C ．22x x a ìü-<<íýîþD ．22x x a ìü<<-íýîþ2．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）A ．不等式24510x x -+>的解集是114x x x ìü><íýîþ或B ．不等式2260x x --£的解集是322x x x ìü£-³íýîþ或C ．若不等式28210ax ax ++<恒成立，则a 的取值范围是ÆD ．若关于x 的不等式2230x px +-<的解集是(),1q ，则p q +的值为12-3．（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）若()()240ax x b -+³对任意(],0x Î-¥恒成立，其中a ，b 是整数，则+a b 的可能取值为（ ）A ．7-B ．5-C ．6-D ．17-三、填空题1．（2024高三·全国·专题练习）已知R a Î，函数()2222,022,0x x a x f x x x a x ì++-£=í-+->î若对任意[)–3,x Î+¥，()f x x £恒成立，则a 的取值范围是．2．（23-24高三上·河南·阶段练习）若命题“x $ÎR ，()()221110a x a x -+--³”为假命题，则a 的取值范围为 .3．（23-24高三下·上海闵行·阶段练习）设集合2{|41}A x x =£，{|ln 0}B x x =<，则A B =I .四、解答题1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |2x －6≥0}，M ＝A ∩B .(1)求集合M ；(2)已知集合C ＝{x |a －1≤x ≤7－a ，a ∈R }，若M ∩C ＝M ，求实数a 的取值范围．2．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =(1)求()f x 的解析式；(2)在区间[1,1]-上，函数()y f x =的图象恒在直线y m =的上方，试确定实数m 的取值范围．3．（2024高三·全国·专题练习）设函数()f x ax =，其中0a >．解不等式()1f x £；4．（2024高三·全国·专题练习）已知f (x )＝2,02,0xx x x ìïíï<î…求f (f (x ))≥1的解集．5．（2023·河南开封·模拟预测）已知函数()f x 满足()()()()2213221R f x f x x a x a x +-=+--+Î．(1)讨论()f x 的奇偶性；(2)设函数()()()ln 1h x x f x x éù=+³ëû，求证：[)(){}1,yy h x ¥+Í=∣．拓展冲刺练一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合{}2120A x x x =--<，(){}2R log 51B x x =Î-<，则()A B =R I ð（ ）A ．{}34x x -<£B ．{}34x x -£<C ．{}4x x ³D ．{}45x x £<2．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间[]05，内随机取一个实数a ，则关于x 的不等式()2220x a x a +--<仅有2个整数解的概率为（ ）A ．25B ．310C ．15D ．1103．（2023·福建厦门·二模）不等式2210ax x -+>（R a Î）恒成立的一个充分不必要条件是（）A ．2a >B ．1a ³C ．1a >D ．102a <<4．（2023·全国·模拟预测）已知函数()3sin f x x x =+，若不等式()220f x ax -+³恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A B ．2C ．D ．4二、多选题5．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量,a b r r 满足||2a =r ，||4b =r ，且对任意的实数t ，都有b ta b a +³-r r r恒成立，则下列结论正确的是（ ）A ．4a b -r r 与b r垂直B ．(3)27a b b +×=r rrC ．14a b a b l l -+-rr r r 的最小值为D ．12a b a b l l ---r rr r 的最大值为6．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）若关于x 的不等式()277x a a x +<+的解集恰有50个整数元素，则下列各选项正确的是（ ）A ．a 的值可能为-43B ．这50个整数元素之和可能为-925C ．a 的值可能为57.5D ．这50个整数元素之和可能为1625三、填空题7．（2022高三上·河南·专题练习）已知:11p x -<，()2:10q x a x a -++£，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ．8．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知二次函数()()1y ax x a =--．甲同学：0y >的解集为()1,,a a æö-¥+¥ç÷èøU ；乙同学：0y <的解集为()1,,a a æö-¥+¥ç÷èøU ；丙同学：y 的对称轴大于零．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则a 的范围为 ．9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数2()f x x ax b =++，若对任意[]()1,5,2x f x Σ，则所有满足条件的有序数对(),a b 是 ．10．（23-24高三上·全国·阶段练习）对任意的x ÎR ，不等式()()()2222714613817x x m x x x x -+³-+-+恒成立，则实数m 的取值范围为 ．四、解答题11．（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）解关于x 的不等式：()()2220R ax a x a -++<Î.12．（2024高三·全国·专题练习）设函数()21f x mx mx =--．(1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若对于[]1,3x Î，()5f x m <-+恒成立，求实数m 的取值范围．13．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知函数21()32ln 2f x x x x =-+.(1)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;(2)（ⅰ）若对于任意12,[1,3]x x Î，都有12()()22f x f x m -£-，求实数m 的取值范围;（ⅱ）设21()()2g x f x x =+，且12()()0g x g x +=，求证:1272x x +>.14．（23-24高三上·天津南开·期中）设函数2()(0,1)x xa b f x a a a -=>¹且是定义域为R 的奇函数，且()y f x =的图象过点31,2æöç÷èø.(1)求a ，b 的值；(2)设2()()(),g x x p x q p q =--<，若(),(())()0x f g x f mxg x ¢"Î-+£R （()g x ¢为函数()g x 的导数），试写出符合上述条件的函数()g x 的一个解析式，并说明你的理由．。

专题03不等式易错点一：忽略不等式变号的前提条件（等式与不等式性质的应用）1．比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较b a >0>-b a )0(1>>b a b a ，或)0(1<<b a b a ，b a =0=-b a )0(1≠=b baba <0=-b a )0(1><b a b a ，或)0(1<>b a ba ，2．．等式的性质（1）基本性质性质性质内容对称性ab b a a b b a >⇔<<⇔>；传递性c a c b b a c a c b b a <⇒<<>⇒>>，；，可加性cb c a b a >>+⇔>可乘性b ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>00，；，同向可加性db c a d c c a +>+⇒>>，同向同正可乘性bdac d c b a >⇒>>>>00，可乘方性nn b a N n b a >⇒∈>>*0，类型1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．类型2．比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．易错提醒：(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．，b，，若a b>，则下列不等式成立的是（）易错点二：遗漏一元二次方法求解的约束条件（有关一元二次不等式求解集问题）解一元二次不等式的步骤：第一步：将二次项系数化为正数；第二步：解相应的一元二次方程；第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步：写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．对含参的不等式，应对参数进行分类讨论具体模型解题方案：1、已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>mn ），解关于x 的不等式02>++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>++c x b x a 的解集为)11(m n ，，即关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集为11(mn ，．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:011(2≤++c x b x a 的解集为)1[]1(∞+-∞，，m n 即关于x 的不等式02≤++a bx cx 的解集为)1[]1(∞+-∞，，mn ．2、已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>>m n ），解关于x 的不等式02>+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>+-c x b x a 的解集为11(n m --，即关于x 的不等式02>+-a bx cx 的解集为)11(nm --，．3．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤+-c x b x a 的解集为)1[1(∞+---∞，，nm 即关于x 的不等式02≤+-a bx cx 的解集为)1[]1(∞+---∞，，nm ，以此类推．4、已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆>00a ；5、已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆<00a ；6、已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆<00a ；7、已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆>00a ．易错提醒：一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其中24b ac ∆=-，12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x <（1）当0a >时，二次函数图象开口向上．（2）①若0∆>，解集为{}21|x x x x x ><或．(2)当0a <时，二次函数图象开口向下．①若0∆>，解集为{}12|x x x x <<②若0∆≤，解集为∅。

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第二章一元二次函数方程和不等式易错题集锦单选题1、若x >53，则3x +43x−5的最小值为（ ）A ．7B ．4√3C ．9D ．2√3答案：C分析：利用基本不等式即可求解.解：∵ x >53， ∴ 3x −5>0，则3x +43x−5=(3x −5)+43x−5+5≥2√(3x −5)⋅43x−5+5=9，当且仅当3x −5=2时，等号成立，故3x +43x−5的最小值为9，故选：C ．2、已知a >0，b >0，若a +4b =4ab ，则a +b 的最小值是（ ）A ．2B ．√2+1C ．94D ．52 答案：C分析：将a +4b =4ab ，转化为1b +4a =4，由a +b =14(a +b )(1b +4a )=14(5+a b +4b a )，利用基本不等式求解.因为a +4b =4ab ，所以1b +4a =4，所以a +b =14(a +b )(1b +4a )=14(5+a b +4b a )， ≥14(5+2√a b ⋅4b a )=94， 当且仅当{1b +4a =4a b =4b a ，即{a =32b =34 时，等号成立， 故选：C3、已知a =√2，b =√7−√3，c =√6−√2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a答案：B分析：通过作差法，a −b =√2+√3−√7，确定符号，排除D 选项；通过作差法，a −c =2√2−√6，确定符号，排除C 选项；通过作差法，b −c =(√7+√2)−(√6+√3)，确定符号，排除A 选项；由a −b =√2+√3−√7，且(√2+√3)2=5+2√6>7，故a >b ；由a −c =2√2−√6且(2√2)2=8>6，故a >c ；b −c =(√7+√2)−(√6+√3)且(√6+√3)2=9+2√18>9+2√14=(√7+√2)2，故c >b .所以a >c >b ，故选：B .4、若正数x ，y 满足3x +1y=5，则3x +4y 的最小值是（ ） A ．245B ．285C ．5D ．25答案：C分析：由3x +4y =15(3x +4y )(3x +1y )配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.∵3x +4y =15(3x +4y )(3x +1y )=15(13+3x y +12y x )≥15(13+2√3x y ⋅12y x )=5（当且仅当3x y =12y x ，即x =2y =1时取等号），∴3x +4y 的最小值为5.故选：C.5、若不等式2x 2+2mx+m4x 2+6x+3<1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,3)B ．(−∞,1)C ．(−∞,1)∪(3,+∞)D ．(3,+∞)答案：A分析：因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立，则2x 2+2mx+m4x 2+6x+3<1恒成立可转化为2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立，则Δ<0，即可解得m 的取值范围因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立 所以2x 2+2mx+m4x 2+6x+3<1恒成立⇔2x 2+2mx +m <4x 2+6x +3恒成立⇔2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立故Δ=(6−2m )2−4×2×(3−m )<0解之得：1<m <3故选：A6、已知正实数a,b 满足4a+b +1b+1=1，则a +2b 的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．12答案：B分析：令a +2b =a +b +b +1−1，用a +b +b +1分别乘4a+b +1b+1=1两边再用均值不等式求解即可. 因为4a+b +1b+1=1，且a,b 为正实数所以a +b +b +1=(a +b +b +1)(4a+b +1b+1)=4+a+b b+1+4(b+1)a+b +1 ≥5+2√a+b b+1×4(b+1)a+b =9，当且仅当a+b b+1=4(b+1)a+b 即a =b +2时等号成立.所以a+2b+1≥9,a+2b≥8. 故选：B.7、若不等式组{x−1>a2x−4<2a的解集非空，则实数a的取值范围是（）A．(−1,3)B．(−∞,−1)∪(3,+∞)C．(−3,1)D．(−∞,−3)∪(1,+∞)答案：A分析：分别解出两个不等式的解，再根据集合交集的概念求解．由题意{x>a2+1x<2a+4，∴a2+1<2a+4，即a2−2a−3<0，解得−1<a<3．故选：A．小提示：本题考查不等式组的解，考查集合的交集运算，属于基础题．8、已知0<x<2，则y=x√4−x2的最大值为（）A．2B．4C．5D．6答案：A分析：由基本不等式求解即可因为0<x<2，所以可得4−x2>0，则y=x√4−x2=√x2⋅(4−x2)≤x2+(4−x2)2=2，当且仅当x2=4−x2，即x=√2时，上式取得等号，y=x√4−x2的最大值为2．故选：A．9、不等式x(2x+7)≥−3的解集为（）A．(−∞,−3]∪[−12,+∞)B．[−3,−12]C ．(−∞,−2]∪[−13,+∞)D ．[−2,−13]答案：A分析：解一元二次不等式即可.x (2x +7)≥−3可变形为2x 2+7x +3≥0，令2x 2+7x +3=0，得x 1=−3，x 2=−12，所以x ≤−3或x ≥−12，即不等式的解集为(−∞,−3]∪[−12,+∞).故选：A.10、已知x >2，则x +4x−2的最小值为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．2答案：A分析：利用基本不等式可得答案.∵x >2，∴x −2>0，∴x +4x−2= x −2+4x−2+2≥2√(x −2)⋅4x−2+2＝6，当且仅当x −2=4x−2即x =4时， x +4x−2取最小值6，故选：A ．填空题11、已知a,b,a +m 均为大于0的实数,给出下列五个论断:①a >b ,②a <b ,③m >0,④m <0,⑤b+m a+m >b a .以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________.答案：①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)解析：选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一.已知a,b,a +m 均为大于0的实数,选择①③推出⑤.①a >b ，③m >0，则b+ma+m −ba=ab+am−ab−bma(a+m)=am−bma(a+m)=(a−b)ma(a+m)>0，所以b+ma+m >ba.所以答案是：①③推出⑤小提示：此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.12、已知a,b,c∈R,a+b+c=0,a+bc−1=0，则a的取值范围是________答案：a≥−2+2√2或a≤−2−2√2分析：先由已知条件，得到−a=b+c,bc=1−a，对bc的正负进行分类讨论，利用基本不等式得到关于a的不等式，解出a的范围.①当b>0,c>0时,∵a+b+c=0,a+bc−1=0，∴−a=b+c,bc=1−a,可得：−a>0,1−a>0，可得：a<0，∴−a=b+c≥2√bc=2√1−a,化为a2+4a−4≥0,解得：a≤−2−2√2；②当b<0,c<0时,∵a+b+c=0,a+bc−1=0,∴a=(−b)+(−c),bc=1−a，可得：a>0,1−a>0，可得0<a<1.∴a=−b−c≥2√bc=2√1−a,化为a2+4a−4≥0,解得：−2+2√2≤a<1；③当bc=0时，不妨取c=0,由已知可得：a=1,b=−1，此时a=1；④当bc<0时，∵a+b+c=0,a+bc−1=0，∴a=−(b+c),a=1−bc>1.综上可得：a的取值范围是a≥−2+2√2或a≤−2−2√2.所以答案是：a≥−2+2√2或a≤−2−2√213、已知x>0，则7−x−9x的最大值为________．答案：1分析：直接利用基本不等式求最大值.∵x>0，则7−x−9x =7−(x+9x)≤7−2√x⋅9x=1，当且仅当x=9x即x=3时取等号．所以答案是：114、若关于x的二次方程x2+mx+4m2−3=0的两个根分别为x1，x2，且满足x1+x2=x1x2，则m的值为______答案：34分析：先求出方程有两根时m的范围，再由根与系数关系将x1,x2用m表示，建立关于m的方程，求解即可. 关于x的二次方程x2+mx+4m2−3=0有两个根，则Δ=m2−4(4m2−3)=−3(5m2−4)≥0，∴−2√55≤m≤2√55,x1+x2=−m,x1⋅x2=4m2−3，又∵x1+x2=x1x2,∴−m=4m2−3，即4m2+m−3=0，解得m=34或m=−1（舍去），∴m的值为34.小提示：本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，要注意两根存在的条件，属于基础题.15、函数y=2√x2+1的最小值是___________.答案：4分析：根据基本不等式可求出结果.令t=√x2+1≥1，则y=2√x2+1=t+4t≥4，当且仅当t=2，即x=±√3时，y min=4.所以函数y=2√x2+1的最小值是4.所以答案是：4小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.解答题16、冬奥会期间，冰墩墩成热销商品，一家冰墩墩生产公司为加大生产，计划租地建造临时仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为x（单位：km），经过市场调查了解到：每月土地占地费y1（单位：万元）与(x+1)成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与(4x+1)成正比；若在距离车站5km处建仓库，则y1与y2分别为12.5万元和7万元.记两项费用之和为ω.(1)求ω关于x的解析式；(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．答案：(1)ω=75x+1+13(4x+1)(2)这家公司应该把仓库建在距离车站6.5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为19万元分析：（1）依题意设出y1=k1x+1，y2=k2(4x+1)，然后根据已知求出k1,k2，然后可得；（2）通过配凑使得积为定值，然后由基本不等式可得.（1）∵每月土地占地费y1（单位：万元）与(x+1)成反比，∴可设y1=k1x+1，∵每月库存货物费y2（单位：万元）与（4x+1）成正比，∴可设y2=k2(4x+1)，又∵在距离车站5km处建仓库时，y1与y2分别为12.5万元和7万元，∴k1=6×12.5=75，k2=74×5+1=13.∴y 1=75x+1,y 2=13(4x +1) ∴ω=y 1+y 2=75x+1+13(4x +1). （2） ω=y 1+y 2=75x +1+13(4x +1)=75x +1+43(x +1)−1≥2√75x +1×43(x +1)−1=19 当且仅当75x+1=43(x +1)，即x ＝6.5时等号成立， ∴这家公司应该把仓库建在距离车站6.5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为19万元．17、设函数f(x)=ax 2+(b −2)x +3.（1）若不等式f (x )>0的解集为(−1,1)，求实数a,b 的值；（2）若f (1)=0，且存在x ∈R ，使f (x )>4成立，求实数a 的取值范围.答案：（1）{a =−3b =2；（2）(−∞,−9)∪(−1,+∞). 解析：（1）由不等式的解集得相应二次方程的两根，由韦达定理可求得a,b ；（2）由f (1)=0得b =−a −1，问题可转化为存在x ∈R ，使得ax 2−(a +3)x −1>0成立.，a ≥0不等式可以成立，a <0时由二次不等式有解可得a 的范围．解：（1）由题意可知：方程ax 2+(b −2)x +3=0的两根是−1，1所以{−b−2a =−1+1=03a =(−1)×1=−1解得{a =−3b =2（2）由f (1)=0得b =−a −1存在x ∈R ，f (x )>4成立，即使ax 2+(b −2)x −1>0成立，又因为b =−a −1，代入上式可得ax 2−(a +3)x −1>0成立.当a ≥0时，显然存在x ∈R 使得上式成立；当a <0时，需使方程ax 2−(a +3)x −1=0有两个不相等的实根所以Δ=(a+3)2+4a>0即a2+10a+9>0解得a<−9或−1<a<0综上可知a的取值范围是(−∞,−9)∪(−1,+∞)．小提示：关键点点睛：本题考查一元二次不等式的解集，解题关键是掌握“三个二次”的关系．对一元二次不等式的解集，一元二次方程的根，二次函数的图象与性质的问题能灵活转化，熟练应用．解题中注意不等式的解区间的端点处的值是相应二次方程的根，是二次函数图象与x轴交点横坐标．18、（1）已知a>b,c<d，求证：a−c>b−d；（2）已知a>b,ab>0，求证：1a <1b；（3）已知a>b>0,0<c<d，求证：ac >bd.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.分析：（1）根据c<d不等号左右两边同时乘以一个负数,不等号方向改变得到−c>−d, 再用同向可加性法则即可得出结果.（2）根据正数的倒数大于0可得1ab>0,再用同向同正可乘性得出结果.（3）因为0<c<d，根据（2）的结论，得1c >1d>0,再用同向同正可乘性得出结果.证明：（1）因为a>b,c<d，所以a>b,−c>−d. 则a−c>b−d.（2）因为ab>0，所以1ab>0.又因为a>b，所以a⋅1ab >b⋅1ab，即1b >1a，因此1a<1b.（3）因为0<c<d，根据（2）的结论，得1 c >1d>0.又因为a>b>0，则a⋅1c >b⋅1d，即ac >bd.小提示：本题考查不等式的基本性质与不等关系,是基础题.19、已知关于x一元二次不等式x2+2mx+m+2≥0的解集为R.(1)求函数f(m)=m+3m+2的最小值；(2)求关于x的一元二次不等式x2+(m−3)x−3m>0的解集.答案：(1)2√3−2(2)(−∞,−m)∪(3,+∞)分析：（1）由题意可得Δ≤0，解不等式求出m的取值范围，再利用基本不等式求f(m)的最小值；（2）不等式化为(x+m)(x−3)>0，比较−m和3的大小，即可得出不等式的解集.(1)因为关于x一元二次不等式x2+2mx+m+2≥0的解集为R，所以Δ=4m2−4(m+2)≤0，化简可得：m2−m−2≤0，解得：−1≤m≤2，所以1≤m+2≤4，所以f(m)=m+3m+2=m+2+3m+2−2≥2√(m+2)⋅3m+2−2=2√3−2，当且仅当m+2=3m+2即m=√3−2，f(m)的最小值为2√3−2.(2)不等式x2+(m−3)x−3m>0，可化为(x+m)(x−3)>0，因为−1≤m≤2，所以−2≤−m≤1<3，所以该不等式的解集为(−∞,−m)∪(3,+∞).。

一元二次不等式、一元二次方程（组）与二次函数（易错必刷36题7种题型专项训练）➢不等式比较大小➢解一元二次不等式➢由一元二次不等式的解求参数➢一元二次不等式恒成立问题➢一元二次方程的根的分布与系数的关系➢二元一次不等式组➢线性方程组解的存在性，唯一性一．不等式比较大小（共4小题）1．（2023秋•楚雄市校级月考）已知x ＝a 2﹣2a +3，y ＝2a ﹣2，则（ ）A ．x ＜y B ．x ＝yC ．x ＞yD ．x 与y 的大小无法判断【分析】根据作差法比较大小即可．【解答】解：因为x ＝a2﹣2a+3，y ＝2a ﹣2，所以x ﹣y ＝a2﹣4a+5＝（a ﹣2）2+1≥1，故x ＞y ．故选：C ．2．（2023秋•渭滨区校级月考）已知241M a a =++，122N a =-，则M 与N 的大小关系是( )A ．M N…B ．M N<C ．M N…D ．M N>【分析】利用作差法判断即可．【解答】解：因为241M a a =++，122N a =-，所以2221314122(1)0222M N a a a a a a -=++-+=++=++>，所以M N >．故选：D ．3．（2023秋•苍梧县校级月考）已知x ，y 满足2219m x y =++，4(2)1n y x =--，则m ，n 满足的大小关系是( )A ．m n>B ．m n<C ．m n…D ．m n…【分析】利用作差法计算即可．【解答】解：2222194(2)1(2)(4)0m n x y y x x y -=++--+=++-…，当且仅当2x =-，4y =时取得等号，所以m n …．故选：D ．4．（2023秋•安顺期末）若实数a ，b ，c 满足2346b c a a +=-+，244b c a a -=-+，试确定a ，b ，c 的大小关系是 b c a >…　．【分析】通过配方得(2)20b c a -=-…，所以b c …．将条件中的两个式子相减，整理得22c a =+，由0c a ->得c a >．所以b c a >…．【解答】解：因为244(2)20b c a a a -=-+=-…，所以b c …．由条件有222(346)(44)222c a a a a a =-+--+=+，即22c a =+，所以1722()2024c a a a a -=-+=-+>，所以c a >．故答案为：b c a >…．二．解一元二次不等式（共6小题）5．（2023秋•东城区校级期中）集合{|}A x x a =…，2{|50}B x x x =-<，若B A Í，则a 的取值范围是( )A ．0a >B ．0a …C ．5a >D ．5a …【分析】解出集合B ，利用集合的包含关系可得出实数a 的取值范围．【解答】解：因为2{|50}{|05}B x x x x x =-<=<<，{|}A x x a =…，B A Í，则5a …．故选：D ．6．（2023秋•朝阳区校级期中）已知a R Î，则“2340a a -->”是“|2|1a ->”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据一元二次不等式和绝对值不等式的解法，求出对应不等式的解集，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由2340a a -->，得4a >或1a <-，由|2|1a ->得3a >或1a <，则由4a >或1a <-，能推出3a >或1a <，故充分性成立；由3a >或1a <，不能推出4a >或1a <-，故必要性不成立．所以“2340a a -->”是“|2|1a ->”的充分不必要条件．故选：A ．7．（2023秋•五通桥区校级期中）已知集合{|(3)(4)0}M x x x =+-…，{|||2}N x x a =-<．若0x N "Î，0x M Î，则a 的取值范围是( )A ．(-¥，1][2U ，)+¥B ．(-¥，1)(2È，)+¥C ．[1-，2]D ．(1,2)-【分析】根据0x N "Î，0x M Î知N M Í，再计算集合{|34}M x x =-……，{|22}N x a x a =-<<+即可．【解答】解：由0x N "Î，0x M Î知N M Í，由{|34}M x x =-……，{|22}N x a x a =-<<+，则有24a +…且23a --…，所以12a -……，即a 的取值范围是[1-，2]．故选：C ．8．（2023秋•闵行区校级期中）已知集合{|2135}A x a x a =+-……为非空集合，{|(3)(22)0}B x x x =--…．（1）当8a =时，求A B I ，A B U ；（2）求能使()A A B ÍI 成立的实数a 的取值范围．【分析】（1）当8a =时，求得{|1719}A x x =……，{|(3)(22)0}{|322}B x x x x x =--=………，结合集合交集、并集的运算，即可求解；（2）由()A A B ÍI 得到A B Í，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解．【解答】解：（1）当8a =时，集合{|2135}{|1719}A x a x a x x =+-=…………，{|(3)(22)0}{|322}B x x x x x =--=………，由集合交集和并集的定义与运算，可得{|1719}A B x x =I ……，{|322}A B x x =U ……．（2）由非空集合{|2135}A x a x a =+-……，{|322}B x x =……，因为()A A B ÍI ，可得A B Í，因为A ¹Æ，所以35212133522a a a a -³+ìï+³íï-£î，解得69a ……，所以实数a 的取值范围是[6，9]．9．（2023秋•昭阳区校级期中）已知关于x 的不等式2250ax bx a +-+<的解集是1{|1}3x x -<<．（1）求实数a ，b 的值；（2）若0m >，0n >，且2am bn +=，求2n m n+的最小值．【分析】（1）利用不等式的解集和对应方程的根的关系求出实数a ，b 的值；（2）结合（1）中结论，可得322m n +=，那么2n m n +可化为32n m m n ++，利用基本不等式，即可求出2n m n+的最小值．【解答】解：（1）因为关于x 的不等式2250ax bx a +-+<的解集是1{|1}3x x -<<，所以1x =-和13x =是方程2250ax bx a +-+=的两个根，所以2501125093a b a a b a --+=ìïí+-+=ïî，解得：32a b =ìí=î，当3a =，2b =时，原不等式为：23210x x +-<，此时的解集为1{|1}3x x -<<，符合题意，故3a =，2b =．（2）由（1）知3a =，2b =，所以322am bn m n +=+=，又0m >，0n >，所以2323222n n m n n m m n m n m n ++=+=++³+=+，当且仅当3n m m n =，即m =，4n =-时取等号，所以2n m n+的最小值为2+．10．（2023秋•石家庄期中）已知二次函数22y ax bx a =+-+．（1）若关于x 的不等式220ax bx a +-+>的解集是{|12}x x -<<，求实数a ，b 的值．（2）若0a …，2b =，解关于x 的不等式220ax bx a +-+>．【分析】（1）由题意可知1-和2是方程220ax bx a +-+=的两个根，再利用韦达定理求解即可；（2）不等式可化为2(1)()0a x x a-+->，再对a 分情况讨论，结合二次函数的性质求解．【解答】解：（1）若关于x 的不等式220ax bx a +-+>的解集是{|12}x x -<<，则1-和2是方程220ax bx a +-+=的两个根，所以12212b aa a ì-+=-ïïí-+ï-´=ïî，解得22a b =-ìí=î；（2）若0a …，2b =，不等式220ax bx a +-+>可化为，2220ax x a +-+>，即(1)(2)0x ax a +-+>，即2(1)()0a x x a-+->，①当01a <<，即21a a-->时，解不等式得2a x a-<或1x >-，②当1a =，即21a a--=时，解不等式得1x ¹-，③当1a >，即21a a--<时，解不等式得1x <-或2a x a->，综上所述所，当01a <<时，不等式的解集为2{|a x x a -<或1}x >-；当1a =时，不等式的解集为{|1}x x ¹-；当1a >时，不等式的解集为{|1x x <-或2}a x a->．三．由一元二次不等式的解求参数（共6小题）11．（2023秋•龙岗区校级期中）若不等式250ax x c -+<的解集是(2,3)，则不等式250cx x a ++…的解集是( )A ．11[,23--B ．[3-，2]-C ．(-¥，3][2--U ，)+¥D ．11(,[,)23-¥--+¥U 【分析】由题意确定2，3是250ax x c -+=的两根，且0a >，即可求得a ，c 的值，继而解不等式250cx x a ++…，即可得答案．【解答】解：由不等式250ax x c -+<的解集是(2,3)，可知2，3是250ax x c -+=的两根，且0a >，故52323a c a ì+=ïïíï´=ïî，解得16a c =ìí=î，故250cx x a ++…即26510x x ++…，解得12x -…或13x -…，即不等式250cx x a ++…的解集是11(,][,)23-¥--+¥U ．故选：D ．12．（2023秋•邗江区校级期中）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(2,3)-，则( )A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{|6}x x >-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11{|}32x x -<<【分析】结合一元二次不等式解集的形式，可判断A ；用一元二次方程根与系数的关系，用a 表示b ，c ，代入不等式，从而判断BCD ．【解答】解：对于A ，因为关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(2,3)-，所以0a <且16bac aì-=ïïíï=-ïî，得6b a c a =-ìí=-î，故A 错误；对于B ，原不等式可化为60ax a -->，因为0a <，所以60x +>，解得6x >-，故B 正确；对于C ，660a b c a a a a ++=--=->，故C 正确．对于D ，原不等式可化为260ax ax a -++<，因为0a <，所以2610x x --<，解得1132x -<<，故D 正确．故选：BCD ．13．（2023秋•饶平县校级期中）若关于x 的不等式22(21)0x m x m m +-+->的解集为{|3x x <或4}x >，则m 的值为 3-　．【分析】由题意可得，3x =，4x =是方程22(21)0x m x m m +-+-=的根，结合方程的根与系数关系即可求解．【解答】解：因为关于x 的不等式22(21)0x m x m m +-+->的解集为{|3x x <或4}x >，所以3x =，4x =是方程22(21)0x m x m m +-+-=的根，则34(21)m +=--，故3m =-．故答案为：3-．14．（2023秋•普陀区校级期中）已知b ，c R Î，关于x 的不等式20x bx c -+<的解集为(3,2)-，则b c +=　7-　．【分析】由一元二次方程的根与一元二次不等式解集的关系即可求解．【解答】解：由题意知，3x =-与2x =是方程20x bx c -+=的两根，由根与系数的关系知3232b c -+=ìí-´=î，解得16b c =-ìí=-î，所以7b c +=-．故答案为：7-．15．（2023秋•富阳区校级期中）已知不等式250ax x c ++>的解集为{|23}x x <<．（1）求a 、c 的值；（2）求不等式210cx ax ++<的解集．【分析】（1）根据不等式的解集，得出对应一元二次方程的实数解，利用根与系数的关系求出a 、c ；（2）把a ，c 的值代入即可求解．【解答】解：（1）因为不等式250ax x c ++>的解集为{|23}x x <<，所以方程250ax x c ++=的根为2和3，所以52323a c a ì+=-ïïíï´=ïî，解得16a c =-ìí=-î，（2）不等式210cx ax ++<为2610x x --+<，即2610x x +->，解得1123x x -或，所以不等式的解集为11{|}23x x x -或．16．（2023秋•谯城区校级期中）已知关于x 的不等式2520ax x +->．（1）不等式2520ax x +->的解集为1{|}2x x b <<，求实数a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式2524ax x ax x +->-+．【分析】（1）把一元二次不等式的解集转化为一元二次方程的根，利根与系数的关系的关系求出实数a ，b 的值；（2）解含有参数的一元二次不等式，对a 进行分类讨论．【解答】解：（1）因为不等式2520ax x +->的解集为1{|}2x x b <<，所以112x =，2x b =为2520ax x +-=的两个根，所以152122b ab a ì+=-ïïíï´=-ïî，解得220a b a =-ìï=íï<î，所以2a =-，2b =．（2）不等式2524ax x ax x +->-+等价于2(6)60ax a x +-->，整理得到：(6)(1)0ax x +->．当0a >时，不等式的解集为6(,(1,)a-¥-+¥U ．当0a =时，不等式的解集为(1,)+¥．当60a -<<时，61a ->，不等式的解集为6(1,)a-．当6a =-时，61a-=，不等式的解集为Æ．当6a <-时，61a -<，不等式的解集为6(,1)a-．综上，0a >时，不等式的解集为6(,)(1,)a-¥-+¥U ；0a =时，不等式的解集为(1,)+¥；60a -<<时，不等式的解集为6(1,)a-；6a =-时，不等式的解集为Æ；6a <-时，不等式的解集为6(,1)a-．四．一元二次不等式恒成立问题（共6小题）17．（2023秋•东城区校级期中）已知不等式2304kx kx -+>对任意的实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为( )A ．{|03}k k <<B ．{|03}k k <…C ．{|03}k k <…D ．{|03}k k ……【分析】先对k 的取值进行分类讨论，在0k ¹时，需结合二次函数的图象分析，得到与之等价的不等式组，求解即得．【解答】解：因不等式2304kx kx -+>对任意的实数x 恒成立，①当0k =时，不等式为304>，恒成立，符合题意；②当0k ¹时，不等式在R 上恒成立等价于2030k k k >ìí=-<îV ，解得：03k <<．综上可得：实数k 的取值范围为{|3}k k <…．故选：C ．18．（2023秋•朝阳区校级期中）已知不等式2620ax x a -++<的解集为{|12}x x <<，且不等式22(56)(1)0m m x m x a --+++>对于任意的x R Î恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．m 1-…或m 7>B ．m 1<-或m 7…C ．m 1<-或m 7>D ．m 1-…或m 7…【分析】由题意可知1和2是方程2620ax x a -++=的两个根，进而求出a 的值，再结合二次函数的性质求解．【解答】解：Q 不等式2620ax x a -++<的解集为{|12}x x <<，1\和2是方程2620ax x a -++=的两个根，612a\+=，2a \=，即不等式22(56)(1)20m m x m x --+++>对于任意的x R Î恒成立，当2560m m --=，即1m =-或6时，若1m =-，则不等式化为20>，对于任意的x R Î恒成立，符合题意，若6m =，则不等式化为720x +>，解得27x >-，不符合题意，舍去，当1m ¹-且6m ¹时，则222560(1)8(56)0m m m m m ì-->í=+---<îV ，解得1m <-或7m >，综上所述，实数m 的取值范围为(-¥，1](7,)-+¥U ．故选：A ．19．（2023秋•城中区校级期中）（1）已知不等式2()10ax a b x a +-+-<的解集为1{|1}2x x -<<，求实数a ，b 的值（2）当k 取什么值时，不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立？【分析】（1）由不等式的解集得相应一元二次方程的根，结合根与系数的关系；（2）先验证0k =时满足题意，然后根据二次函数的性质得出结论（利用判别式求解）．【解答】解：（1）由不等式2()10ax a b x a +-+-<的解集为1{|1}2x x -<<可得121,12x x =-=．所以12121a b x x a a x x a -ì+=-ïïí-ï×=ïî，代入得23a b =ìí=î，当2a =，3b =时，2()10ax a b x a +-+-<为2210x x -+<，它的解集为1{|1}2x x -<<，符合题意．所以2a =，3b =．（2）当0k =时，308-<，符合题意；当0k >时，二次函数2328y kx kx =+-开口朝上，23208kx kx +-<不可能对一切实数x 都成立．当0k <时，若23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则△0<，即2342(08k k -´-<，解得30k -<<．综上，k 的取值范围是{|30}k k -<…．20．（2023秋•宿州期中）已知命题“x R "Î，都有2(2)04ax a x +-+>成立”为真命题．（1）求实数a 的取值集合A ；（2）设不等式2(21)(1)0x m x m m -+++>的解集为B ，若“x A Δ是“x B Δ的充分条件，求实数m 的取值范围．【分析】（1）由△0<计算可得；（2）首先求出集合B ，依题意可得A B Í，从而得到11m +…或4m …，解得即可．【解答】解：（1）x R "ÎQ ，2(2)04ax a x +-+>成立，\△2(2)0a a =--<，即2540a a -+<，解得14a <<，(1,4)A \=．（2）由2(21)(1)0x m x m m -+++>，即()[(1)]0x m x m --+>，1m m +>Q ，解得1x m >+或x m <，{|B x x m \=<或1}x m >+，Q “x A Δ是“x B Δ的充分条件，A B \Í，11m \+…或4m …，即0m …或4m …．\实数m 的取值范围是(-¥，0][4U ，)+¥．21．（2023秋•鼓楼区校级期中）设2()23f x mx mx =--，m R Î．（1）若“x R "Î，()0f x <”是真命题，求实数m 的取值范围；（2）解关于x 的一元二次不等式2(1)10mx m x +--<．【分析】（1）根据一元二次不等式的恒成立的求解方法求解；（2）利用含参一元二次不等式的解法，分类讨论求解．【解答】解：（1）由题得，“x R "Î，2230mx mx --<”是真命题，若0m =，则30-<恒成立，满足题意；若0m ¹，要使“x R "Î，2230mx mx --<”是真命题，则必有204120m m m <ìí=+<îV ，解得30m -<<，综上实数m 的取值范围是(3-，0]．（2）因为2(1)10mx m x +--<是一元二次不等式，所以0m ¹，又由2(1)10mx m x +--<可得，(1)(1)0mx x +-<，方程(1)(1)0mx x +-<的两个根为121,1x x m=-=，()i 若11m-=，即1m =-时，原不等式的解为(-¥，1)(1È，)+¥；()ii 若11m ->，即10m -<<时，原不等式的解集为1(,1)(,)m-¥-+¥U ；()iii 若101m <-<，即1m <-时，原不等式的解集为1(,)(1,)m-¥-+¥U ；()iiii 若10m -<，即0m >时，原不等式的解集为1(,1)m-；综上，1m <-时，解集为1(,(1,)m-¥-+¥U ；1m =-时，解集为(-¥，1)(1È，)+¥；10m -<<时，解集为1(,1)(,)m -¥-+¥U ；0m >时，解集为1(,1)m-．22．（2023秋•西安期中）已知不等式2220mx x m +-+<．（1）当3m =时，求不等式解集；（2）是否存在实数m 对所有的实数x 使不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）当3m =时，不等式为23210x x +-<，即(31)(1)0x x -+<，从而即可求出该不等式的解集；（2）不等式2220mx x m +-+<恒成立，等价于函数222y mx x m =+-+的图象恒在x 轴下方，从而分类讨论0m =和0m ¹两种情况即可判断是否存在满足题意的实数m ．【解答】（1）当3m =时，不等式为23210x x +-<，即(31)(1)0x x -+<，则解集为1(1,)3-，（2）不等式2220mx x m +-+<恒成立，即函数222y mx x m =+-+的图象在x 轴下方．当0m =时，220x +<，则1x <-，不满足题意；当0m ¹时，函数222y mx x m =+-+为二次函数，其图象需满足开口向下且与x 轴没有公共点，则044(2)0m m m <ìí=--<îV ，不等式组的解集为空集，即m 不存在．综上，不存在这样的实数m 使不等式恒成立．五．一元二次方程的根的分布与系数的关系（共5小题）23．（2023秋•七里河区校级期中）若关于x 的一元二次方程(2)(3)x x m --=有实数根1x ，2x ，且12x x <，则下列结论正确的是( )A ．当0m =时，12x =，23x =B ．14m >-C ．当0m >时，1223x x <<<D ．二次函数12()()y x x x x m =--+的零点为2和3【分析】当0m =时，(2)(3)0x x --=，解方程即可判断选项A ，2560x x m -+-=有实数根1x ，2x ，且12x x <，根据△0>即可判断选项B ，数形结合由(2)(3)y x x =--图像与y m =图像交点横坐标可判断选项C ，由(2)(3)x x m --=展开得：2560x x m -+-=，先利用韦达定理求出125x x +=，126x x m =-代入12()()y x x x x m =--+可判断选项D ，进而可得正确选项．【解答】解：对于A ，易知当0m =时，(2)(3)0x x -×-=的根为2，3，故A 正确；对于B ，设22511(2)(3)56()244y x x x x x =--=-+=---…，因为(2)(3)y x x =--的图像与直线y m =有两个交点，所以14m >-，故B 正确；对于C ，当0m >时，(2)(3)y x x m =---的图像由(2)(3)y x x =--的图像向下平移m 个单位长度得到，1223x x <<<，故C 错误；对于D ，由(2)(3)x x m --=展开得：2560x x m -+-=，利用韦达定理求出125x x +=，126x x m =-代入12()()y x x x x m =--+，可得12()()(2)(3)(2)(3)y x x x x m x x m m x x =--+=---+=--，所以二次函数12()()y x x x x m =--+的零点为2和3，故D 正确．故选：ABD ．24．（2022秋•秀峰区校级期中）下列命题中是假命题的有( )A ．2||||20x x +-=有四个实数解B ．设a 、b 、c 是实数，若二次方程20ax bx c ++=无实根，则0ac …C ．若2320x x -+¹，则2x ¹D ．若x R Î，则函数y =2【分析】2:||||20A x x +-=先求出||x 的取值，从而判定根的个数，即可得到命题的真假；B 先根据二次方程20ax bx c ++=无实根，求出a 、b 、c 的关系，可得到命题的真假；C 若2320x x -+¹，求出x 的范围，可得到命题的真假；D 求函数y =+的范围，求出最小值，进行判定真假．【解答】解：2||||20x x +-=则||1x =或||2x =-，故方程只有两个实数解，故A 是假命题；设a 、b 、c 是实数，若二次方程20ax bx c ++=无实根，则240b ac -<，则204bac >…，则0ac >，可以推出0ac …，故B 是真命题；若2320x x -+¹，则2x ¹且1x ¹，可推出2x ¹，故C 是真命题；若x R Î，则函数y =52，此时0x =，故D 是假命题．故选：AD ．25．（2023秋•黄浦区校级期中）已知关于x 的方程222(2)40x m x m +-++=有两个实数根1x 、2x ，则221212x x x x +-的取值范围是 [4，)+¥　．【分析】先由△0…求出m 的取值范围，再利用韦达定理求解即可；【解答】解：（1）Q 关于x 的方程222(2)40x m x m +-++=有两个实数根1x ，2x ，\△224(2)4(4)0m m =--+…，解得0m …，又122(2)x x m +=-Q ，2124x x m =+，\222222212121212()34(2)3(4)164(8)60x x x x x x x x m m m m m +-=+-=--+=-+=--，0m Q …，\函数2()(8)60h m m =--在(-¥，0]上单调递减，()(0)4h m h \=…，\221212x x x x +-的取值范围是[4，)+¥．故答案为：[4，)+¥．26．（2023秋•马龙区校级期中）若方程20(,)x mx n m n R ++=Î有两个不相等的实数根1x ，2x ，且21212()44x x x x +-=．（1）求证：244m n =+；（2）若4m -…，求221221214x x x x x x -++的最小值．【分析】（1）根据韦达定理，即可证明结论；（2）首先，将原式通分，变形，再将韦达定理代入；然后，利用（1）的结论消去n ，得到关于一个m 的式子；再对式子变形，利用基本不等式求出最小值．【解答】（1）证明：根据韦达定理得，12x x m +=-，12x x n =，所以221212()4()44x x x x m n +-=--=，所以244m n =+．（2）解：223312122121121244x x x x x x x x x x x x +-+=-++221211221212()()4x x x x x x x x x x +-+=-+21212121212()[()3]4x x x x x x x x x x ++-=-+2()[()3]4m m n n m---=--332444334m m m m n m m m =-++=-++-3241616434m m m m m m -+=-++-21644434m m m m m m m =--++=-+-，因为4m -…，所以40m m-+>，所以41684m m m m-++³=-+，当且仅当4164m m m m-+=-+即2m =--时，等号成立，所以221221214x x x x x x -++的最小值为8．27．（2021秋•虹口区校级期中）已知关于x 的方程：20x mx m ++=的两个实数根1x 、2x ．（1）若14x <-且22x >-，求实数m 的取值范围；（2）若12||||2x x +=，求实数m 的值；（3）当8m …且12x x <时，求12x x 的取值范围．【分析】（1）令2()f x x mx m =++，由二次函数图象可知(4)0(2)0f f -<ìí-<î，求解即可得出答案；（2）由韦达定理得12x x m +=-，12x x m ×=，且△240m m =->，又12||||2x x +=，联立即可得出答案；（3）由（2）知12x x m +=-，12x x m ×=，又8m …且12x x <，则120x x <<，利用求根公式得出12x x =，构造函数()2f m m =-，利用单调性即可得出答案．【解答】解：（1）2()f x x mx m =++，关于x 的方程：20x mx m ++=的两个实数根1x 、2x ，要使14x <-且22x >-，作出函数图象如图所示：由图象可知(4)0(2)0f f -<ìí-<î，即1640420m m m m -+<ìí-+<î，解得163m >，故实数m 的取值范围为16(3，)+¥；（2）由韦达定理得12x x m +=-，12x x m ×=，12||||2x x +=Q ，2222121122121212(||||)2||()2||24x x x x x x x x x x x x \+=+×+=++×-×=，又△240m m =->，解得0m <或4m >，\当0m <时，244m m -=，解得2m =-，2m =+（不合题意，舍去）；当4m >时，24m =，解得2m =±（不合题意，舍去），\实数2m =-；（3）由（2）知12x x m +=-，12x x m ×=，又8m …且12x x <，则120x x <<，20x mx m ++=Q，1x \=2x =\12x x =，令()22f m m m =-+=-+，8m …，2y m =-Q 在[8，)+¥上单调递增，y =在[8，)+¥上单调递增，()f m \在[8，)+¥上单调递增，()f m f \…（8）6=+，\12[3x x Î+，)+¥，故12x x的取值范围为[3+，)+¥．六．二元一次不等式组（共3小题）28．（2020春•贵阳期末）已知关于x 的不等式22320x ax a -+<的解集为{|12}x x <<，则实数a 的值为　1　．【分析】由关于x 的不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a 的值．【解答】解：关于x 的不等式22320x ax a -+<的解集为{|12}x x <<，所以关于x 的方程22320x ax a -+=的根是1和2，由根与系数的关系知，123a +=且222a =，解得1a =．故答案为：1．29．（2023秋•杨浦区校级月考）（1）设集合{A a =，3}，2{2B a a =-，3}a +，若{3}A B =I ，求实数a 的值；（2）设k R Î，求关于x 与y 的二元一次方程组123y kx y kx =+ìí=+î的解集．【分析】（1）确定3B Î，考虑223a a -=和33a +=两种情况，解方程并验证得到答案．（2）整理得到2kx =-，考虑0k =和0k ¹两种情况，解得答案．【解答】解：（1）{3}A B =I ，所以3B Î，当223a a -=时，3a =或1a =-，若3a =，{3A =，3}，不满足互异性，排除；若1a =-，{1A =-，3}，{3B =，2}，满足条件；当33a +=时，0a =，此时{0A =，3}，{0B =，3}，{0A B =I ，3}，不成立；综上所述：1a =-．（2）由123y kx y kx =+ìí=+î，则123kx kx +=+，得2kx =-，当0k =时，等式不成立，无解；当0k ¹时，2x k=-，1y =-；综上所述：当0k =时，解集为Æ；当0k ¹时，解集为2{(,1)}k--．30．（2014春•屯溪区校级期中）关于x 的不等式组22202(25)50x x x k x k ì-->í+++<î的整数解的集合为{2}-，求实数k 的取值范围．【分析】由已知不等式组22202(25)50x x x k x k ì-->í+++<î我们易给出220x x -->的解集为{|1x x <-或2}x >，而方程22(25)50x k x k +++=的两根为k -和52-．我们分类讨论k -和52-的关系，又由不等式组22202(25)50x x x k x k ì-->í+++<î的整数解的集合为{2}-，我们不难求出实数k 的取值范围．【解答】解：由220x x -->可得1x <-或2x >．Q 22202(25)50x x x k x k ì-->í+++<î的整数解为2x =-，又Q 方程22(25)50x k x k +++=的两根为k -和52-．①若52k -<-，则不等式组的整数解集合就不可能为{2}-；②若52k -<-，则应有23k -<-…．32k \-<…．综上，所求k 的取值范围为32k -<…．七．线性方程组解的存在性，唯一性（共6小题）31．（2023秋•海淀区校级期中）已知关于x 、y 的方程组：11ax y x by +=ìí+=î（其中a 、0)b >无解，则必有( )A ．2a b +<B ．2a b +>C ．2a b -<D ．2a b ->【分析】由方程组得(1)1x b ax +-=，所以(1)1ab x b -=-无解．所以当1ab =，且a ，b 不同时为1，其中a 、0b >，再利用基本不等式分析得解．【解答】解：由方程组得(1)1x b ax +-=，所以方程(1)1ab x b -=-无解．所以当1ab =，且a ，b 不同时为1，其中a 、0b >，a b \+>2a b +>．故选：B ．32．（2023秋•海淀区校级月考）若关于x ，y 的方程组523ax by x y -=ìí-=-î与243x y ax by +=ìí+=î的解集相等，则a =　4　；b = ．【分析】由题意可得，该解集与方程组2423x y x y +=ìí-=-î解集相同，对方程组求解，代入方程组53ax by ax by -=ìí+=î，可得a ，b ．【解答】解：关于x ，y 的方程组523ax by x y -=ìí-=-î与243x y ax by +=ìí+=î的解集相等，则该解集与方程组2423x y x y +=ìí-=-î解集相同．由2423x y x y +=ìí-=-î可得12x y =ìí=î，则关于x ，y 的方程组53ax by ax by -=ìí+=î的解集也是{(1,2)}，\2523a b a b -=ìí+=î，解得412a b =ìïí=-ïî．故答案为：4，12-．33．（2022秋•和平区校级月考）已知320230x y z x y z +-=ìí-+=î，则::x y z =　1:13:5-　．【分析】先由两式相加得到50x z +=，引入常数0k ¹，从而用k 表示x ，y ，z ，据此得解．【解答】解：根据题意，注意到y ，z 作为比例分母，故0y ¹，0z ¹，因为320230x y z x y z +-=ìí-+=î，所以两式相加得50x z +=，令5(0)z k k =¹，则x k =-，将其代入320x y z +-=，得3100k y k -+-=，故13y k =，所以:::13:51:13:5x y z k k k =-=-．故答案为：1:13:5-．34．（2022秋•辽中区校级月考）已知3020x y z x y z --=ìí+-=î，则22(2)x y x y z ++的值为 14　．【分析】将x ，y ，z 统一用y 【解答】解：由3020x y z x y z --=ìí+-=î得32x y x y -=+，即2x y =代入30x y z --=，解得5z y =，所以222222(2)51(2)(22)5204x y y y y x y z y y y y ++===++，故答案为：14．35．（2022秋•城关区校级期中）解下列方程（组)（1）5230235x y x y --=ìí+=î；（2）23324355x y z x y z x y z +-=ìï-+=-íï+-=î；（3）222102x y x y --=ìí+=î；（4）216139x x -=--．【分析】（1）直接利用加减消元法求出方程组的解；（2）直接利用加减消元法求出方程组的解；（3）直接利用代入法求出方程组的解．（4）直接利用去分母转换为解一元二次方程的解，并对方程的根进行验证．【解答】解：（1）5230235x y x y --=ìí+=î，整理得1569046100x y x y --=ìí+-=î，解得11x y =ìí=î．（2）23324355x y z x y z x y z +-=ìï-+=-íï+-=î，整理得51107x z x z +=-ìí+=-î，解得655x z ì=-ïíï=î，代入23x y z +-=中，解得525y =．故655255x y z ì=-ïïï=íï=ïïî．（3）222102x y x y --=ìí+=î，整理得25410x x -=，解得115x =-或，当1x =时，1y =，当15x =-时，75y =-，故方程组的解为11x y =ìí=î或1575x y ì=-ïïíï=-ïî．（4）216139x x -=--，去分母得：2(3)69x x +-=-，解得3x =或2-，当3x =时，分母为0，故舍去，当2x =-时，满足方程两边相等．故方程的根为2-．36．（2022秋•辽宁月考）甲、乙两位同学在求关于x ，y 的方程组253x my nx y ì+=í+=î的解时，甲因看错了m ，解得52x y =ìí=-î乙因看错了n ，解得12x y =-ìí=î．（1）求m，n的值；（2）求方程组253x mynx yì+=í+=î的解集．【分析】（1）将52xy=ìí=-î代入3nx y+=可求得n，将12xy=-ìí=î代入25x my+=可求得m．（2）利用消元法可求解集．【解答】解：（1）依题意可得52xy=ìí=-î满足3nx y+=，12xy=-ìí=î满足25x my+=，则523125nm-=ìí+=î，解得2m=，1n=．（2）由（1）可得2253x yx yì+=í+=î，消元后可得2210x x-+=，故1x=，所以2y=，故方程组的解集为{(1,2)}．。

一元二次不等式的解法易错点主标题：一元二次不等式的解法副标题：从考点分析一元二次不等式的解法在高考中的易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。

关键词：不等式，一元二次不等式的解法，易错点难度：3重要程度：5内容：一、忽视二次项的符号导致错误【例1】解不等式.0322<++-x x 错解：令，解得或，则的解集为.0322=++-x x 1-=x 3=x 0322<++-x x ()3,1-剖析：当二次不等式的二次项系数为负值时，应先同乘，将二次项系数化为正值进行求1-解.正解：将化为令，解得或，0322<++-x x 0322>--x x 0322=--x x 1-=x 3=x 则的解集，即的解集为.0322<++-x x 0322>--x x ()()+∞-∞-,31, 二、忽视分母的符号导致错误【例2】不等式≤x －2的解集是( )4x －2A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(][)+∞∞-,40, 错解：选D 由，得，即或，解得224-≤-x x 4)2(2≥-x 22≥-x 22-≤-x 4≥x 或.0≤x 剖析：不等式两边同乘，忘记讨论的符号导致错误。

2-x 2-x 正解一：选B ①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，所以x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，所以0≤x <2.，即或.20<≤x 4≥x 正解二：选B 由，得，即，即224-≤-x x 024)2(2≥---x x 02)4(≥--x x x，解得或.⎩⎨⎧≠-≥--020)4)(2(x x x x 20<≤x 4≥x 三、忽视原式隐含的取值范围导致错误【例3】解不等式7122->+x x 错解：两边平方，得，即，解得或，即7122->+x x 0822<--x x 2-<x 4>x 的解集为.7122->+x x ()()+∞-∞-,42, 剖析：本题忽视中，导致错误.7122->+x x 07,0122≥-≥+x x 正解：等价于，即，解得，7122->+x x ⎪⎩⎪⎨⎧->+≥-≥+7120701222x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<-≤≥-≥427721x x x x x 或或4>x 即的解集为.7122->+x x ()+∞,4。

专题03不等式易错点一：忽略不等式变号的前提条件（等式与不等式性质的应用）1．比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较b a >0>-b a )0(1>>b a b a ，或)0(1<<b a b a ，b a =0=-b a )0(1≠=b baba <0=-b a )0(1><b a b a ，或)0(1<>b a ba ，2．．等式的性质（1）基本性质性质性质内容对称性ab b a a b b a >⇔<<⇔>；传递性c a c b b a c a c b b a <⇒<<>⇒>>，；，可加性cb c a b a >>+⇔>可乘性b ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>00，；，同向可加性db c a d c c a +>+⇒>>，同向同正可乘性bdac d c b a >⇒>>>>00，可乘方性n n b a N n b a >⇒∈>>*0，类型1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．类型2．比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．易错提醒：(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．B ．若a b <，则20242024a b<C ．若20242024ax bx <，则a b <D ．若a b <，则20242024ax bx <1．已知实数，b ，，若a b >，则下列不等式成立的是（）A ．11a b<B ．3311a b -<-C ．2222a bc c >++D ．22ac bc >2．若0b a <<，则下列结论不正确的是（）A ．11a b<B ．2ab a >C ．33a b>D ．a b a b+>+3．已知a b >，c d >，则下列不等式一定成立的是（）A ．ac bd >B ．e e c da b >C ．e e e e a c b d ⋅>⋅D ．()()ln ln a c d b c d ->-4．若110a b<<，则下列不等式中正确的是（）A ．a b <B ．a b >C ．a b ab +>D ．2b a a b+>5．若a 、b 、c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．a c b c+≥+B ．()2a b c -≥C ．ac bc>D ．2c a b>-6．下列命题中正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，c d <，则a b c d>C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-D ．若0ab >，a b >，则11a b<7．设x ∈R ，则“1x <”是“x x >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知a ，R b ∈，p ：a b <，q ：()22a b a b >-，则p 是q 的（）易错点二：遗漏一元二次方法求解的约束条件（有关一元二次不等式求解集问题）解一元二次不等式的步骤：第一步：将二次项系数化为正数；第二步：解相应的一元二次方程；第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步：写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．对含参的不等式，应对参数进行分类讨论具体模型解题方案：1、已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>mn ），解关于x 的不等式02>++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>++c x b x a 的解集为)11(m n ，，即关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集为11(mn ，．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:011(2≤++c x b x a 的解集为)1[]1(∞+-∞，，m n 即关于x 的不等式02≤++a bx cx 的解集为)1[]1(∞+-∞，，mn ．2、已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>>m n ），解关于x 的不等式02>+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>+-c x b x a 的解集为11(n m --，即关于x 的不等式02>+-a bx cx 的解集为)11(nm --，．3．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤+-c x b x a 的解集为)1[1(∞+---∞，，nm 即关于x 的不等式02≤+-a bx cx 的解集为)1[]1(∞+---∞，，nm ，以此类推．4、已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆>00a ；5、已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆<00a ；6、已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆<00a ；7、已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆>0a ．易错提醒：一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其中24b ac ∆=-，12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x <（1）当0a >时，二次函数图象开口向上．（2）①若0∆>，解集为{}21|x x x x x ><或．②若0∆=，解集为|2b x x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭且．③若0∆<，解集为R ．(2)当0a <时，二次函数图象开口向下．①若0∆>，解集为{}12|x x x x <<②若0∆≤，解集为∅。