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![【配套K12]七年级数学下册 11.2 积的乘方与幂的乘方典型例题2 (新版)青岛版](https://img.taocdn.com/s1/m/8f9af47d69eae009581becd4.png)
《幂的乘方与积的乘方》典型例题例1 计算：（1）199********.08⨯； （2）3014225.01⨯-例2 计算题：（1）43)(b -； （2）n m 24)(； （3）5])[(m y x -；（4）3542)()(x x ⋅； （5）32)4(n m ⋅； （6）43)32(ab -．例3 计算题（1）33326)3()5(a a a ⋅-+-；（2）5335654)()2(a a a a a -+--⋅⋅；（3）1232332312)()(3)()(4--⋅+⋅-n n n n a b b a ；（4）))(2()3(24232xy y x xy --+-。
例4 计算题。
（1）20012001125.08⨯； （2）199910003)91(⨯-； （3）2010225.0⨯。
例5 比较5553，4444，3335的大小。
参考答案例1 解：（1）原式199********.088⨯⨯=8181997=⨯=； （2）原式15214)2(25.01⨯-= 1514425.01⨯-= 4425.011414⨯⨯-=4)425.0(114⨯⨯-=41114⨯-=41-= 说明：（1）逆用了积的乘方性质；n n n ab b a )(=；（2）先后逆用幂的乘方n m mn a a)(=和同底数幂的乘法n m n m a a a ⋅=+的运算性质。
例 2 分析：运算中同底数幂相乘和幂的乘方要注意加以区分，同底数幂相乘指数相加 ，而幂的乘方是指数相乘。
在积的乘方运算中要注意以下的错误，如333)2()2(y a y a -=-。
解：（1）43)(b -;)()1(12434b b =⋅-=（2）n n n m m m 84242)(=⨯=；（3）m m y x y x 55)(])[(-=-； （4）231583542)()(x xx x x =⋅=⋅； （5）363264)4(n m n m =⋅；（6）1244344438116)()32()32(b a b a ab =⋅⋅-=-。
初中数学青岛版七年级下册第11章11.2积的乘方与幂的乘方练习题一、选择题1.已知2m+3n=3，则9m·27n的值是A. 9B. 18C. 27D. 812.下列各式中，计算正确的是()A. a3+a2=a5B. a3−a2=aC. (a2)3=a5D. a2⋅a3=a53.计算(a2b)3的结果是()A. a2b3B. a5b3C. a6bD. a6b34.计算(a2b)3的结果是()A. a2b3B. a5b3C. a6bD. a6b35.计算(ab2)3的结果是()A. 3ab2B. ab6C. a3b5D. a3b66.若a m=3，a n=2，则a m+3n=()A. 6B. 54C. 24D. 127.下列运算不正确的是()A. a⋅a3=a4B. (a2)3=a6C. a3+a3=2a6D. (−2a)3=−8a38.下列计算错误的是()A. a2⋅a=a3B. (ab)2=a2b2C. (a2)3=a6D. −a+2a=−2a29.下列式子中，正确的有()①m3⋅m5=m15；②(a3)4=a7；③(−a2)3=−(a3)2；④(3x2)2=6x6．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10.如果3m=a，27n=b，那么32m+6n的值为()A. abB. a2b3C. a3b2D. a2b2二、填空题11.已知12.5x=10000，8y=10000，则1x +1y=____．12.计算：(−13)2020×(−3)2021=______ ．13.计算：a⋅a2=______ ；(a3)2=______ ；(ab)2=______ ．14.若x n=2，则x3n=______．三、解答题x)3 15.计算：(1)(12(2)(−xy)4；(3)(−2m2n)3；(4)(−3ab2c3)4．16.①若a m=2，a n=3，求a2m+n的值．②已知x2n=2，求(3x3n)2−4(x2)2n的值．17.(1)已知m+4n−3=0，求2m⋅16n的值；(2)已知n为正整数，且x2n=4，求(x3n)2−2(x2)2n的值．18.已知3m=2，3n=5(1)求3m+n的值；(2)求3×9m×27n的值。
《幂的乘方与积的乘方》典型例题例1计算：（1）34)(x ； （2）3223)()(x x -⋅-； （3）31212)()(+-⋅n n a a；（4）2332])[(])[(y x y x +⋅+； （5）32)21(ab -； （6）344321044)(52)2(2)2(x x x x x ⋅+-⋅+-。
例2 计算m n m n m n m x x x x )()()(3232-⋅+-⋅--+例3 计算：（1）5232)()(a a ⋅ (用两种方法计算) ；（2）5352)()(x x ⋅ (用两种方法计算) 。
例4 用简便方法计算：（1）88165513⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛；（2）2416)5.2(⋅；（3）19991998)21(2⋅。
例5已知3,2==n n y x ，求n y x 22)(的值。
参考答案例1 分析：看清题意，分清步骤，注意运用幂的运算性质。
解：（1）123434)(x xx ==⨯； （2）3232323223)()1()()1()()(x x x x -⋅⋅-=-⋅- 1266xx x -=⋅-= （3）3)1(2)12(31212)()(⋅+⋅-+-⋅=⋅n n n n a a a a3324+-⋅=n n a a17+=n a（4）23322332)()(])[(])[(⨯⨯+⋅+=+⋅+y x y x y x y x66)()(y x y x +⋅+=12)(y x +=（5）323332)(2121b a ab ⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 6381b a -= （6）344321044)(52)2(2)2(x x x x x ⋅+-+- 1616161612461016344323104441010161652)(216)(52)()2(2)()2(x xx x x x x x x x x x x x x =+-=⋅+⋅-⋅+=⋅+⋅-⋅+⋅-= 说明：要注意区分幂的乘方和同底数幂的乘法这两种不同的运算，要注意负数的奇次幂为负、偶次幂为正。
巧用幂的乘方分解因式幂的乘方公式：m n n m a a )()(==nm a ，它的逆向公式是：nm a =m n n m a a )()(=。
应用这两个公式，能帮助你解指数较大的因式分解问题。
现举例加以说明。
例1、利用分解因式说明：257—512能被120整除。
分析：多项式中有两项,并且是两项的差，非常符合平方差公式的条件,唯一不同的是指数不是2.但是，我们可以利用上面的公式变形。
因为,25=52，所以，257=（52）7=（57）2，因为，12=2×6，所以，512=（52)6=（56）2，这样，就满足了平方差公式的要求了。
解:因为，25=52，所以，257=(52）7=（57）2,因为,12=2×6，所以,512=（52）6=（56）2，所以，257-512=（57）2—（56)2=（57+56)（57—56)=56×56（5+1）（5—1)=56×56×24=56×55×24×5=120×56×55。
所以，257-512能被120整除。
例2、248-1能被60和70之间的两个数整除。
这两个数各是多少?分析因为,48=2×24，所以，248=（22）24=(224)2，这样，就满足了平方差公式的要求了。
解：因为，48=2×24,所以,248=（22）24=(224）2，所以，248-1=（224）2—（1)2=（224+1）（224—1）=（224+1）（224-1）=（224+1)【（212）2—（1）2】=（224+1）【(212+1）(212—1）】=（224+1）（212+1)【（26）2-（1)2】=(224+1）（212+1）【（26+1)(26-1）】=（224+1）（212+1）(26+1）【（23）2-（1）2】=（224+1)（212+1）（26+1）【(23+1）（23—1）】=（224+1）（212+1）（26+1）×9×7=（224+1）(212+1）（26+1）×65×63因为,整除的两个数在60和70之间，且60＜63＜70，60＜65＜70，所以，这两个数分别是63、65。
《幂的乘方与积的乘方》典型例题
例1 计算：
（1）34)(x ； （2）3223)()(x x -⋅-；
（3）31212)()(+-⋅n n a a ；（4）2332])[(])[(y x y x +⋅+；
（5）32)2
1(ab -
； （6）344321044)(52)2(2)2(x x x x x ⋅+-⋅+-。
例2 计算m n m n m n m x x x x )()()(3232-⋅+-⋅--+
例3 计算：
（1）5232)()(a a ⋅ (用两种方法计算) ；
（2）5352)()(x x ⋅ (用两种方法计算) 。
例4 用简便方法计算： （1）88165513⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛；（2）2416)5.2(⋅；（3）19991998)21(2⋅。
例5 已知3,2==n n y x ，求n y x 22)(的值。
2
参考答案
例1 分析：看清题意，分清步骤，注意运用幂的运算性质。
解：（1）123434)(x x x ==⨯；
（2）3232323223)()1()()1()()(x x x x -⋅⋅-=-⋅-
126
6x x x -=⋅-=
（3）3)1(2)12(31212)()(⋅+⋅-+-⋅=⋅n n n n a a a a
3324+-⋅=n n a a
17+=n a
（4）23322332)()(])[(])[(⨯⨯+⋅+=+⋅+y x y x y x y x
66)()(y x y x +⋅+=
12)(y x +=
（5）323332)(2121b a ab ⋅⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 638
1
b a -= （6）3
44321044)(52)2(2)2(x x x x x ⋅+-+- 1616161612
4610163
44323104441010161652)(216)(52)()2(2)()2(x x
x x x x x x x x x x x x x =+-=⋅+⋅-⋅+=⋅+⋅-⋅+⋅-=
说明：要注意区分幂的乘方和同底数幂的乘法这两种不同的运算，要注意负数的奇次幂为负、偶次幂为正。
如（2）、（5）、（6）题，注意运算顺序，整式混合运算顺序和有理数运算顺序是一致的。
例2 解： m n m n m n m x x x x
)()()(3232-⋅+-⋅--+ n
m m n m m
m n m n m n m x x x x x x ----+-+-=⋅-⋅+⋅-⋅=553233322)1()1()1(
当m 是奇数时，1)1(-=-m ，原式n m x --=52；
当m 是偶数时，1)1(=-m ，原式0=。
说明：式子的运算结果能进一步化简的，应尽量化简。
例3 解法一：利用同底数幂的乘法，再用幂的乘方。
（1）5232)()(a a ⋅
532)(+=a
82)(a =
16
a =
解法二：利用幂的乘方，再用同底数幂的乘法。
（1）5232)()(a a ⋅
106a a ⋅=
106+=a 16a =
解法一：利用幂的乘方，再用同底数幂的乘法。
（2）5352)()(x x ⋅
1510x x +=
1510+=x
25x =
解法二：反用积的乘方，再用同底数幂的乘法和幂的乘方。
（2）5
352)()(x x ⋅ 532)(x x ⋅=
532)(+=x
55)(x =
4
25x =
说明：本例题的计算既要用到幂的乘方法则，又要用到同底数幂的乘法法则，这里要求用两种不同的顺序依次运用两个法则，要注意因指数的概念不清可能发生的错误。
此题，就是为纠正可能把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆而设置的。
纠正错误的方法是注意每一项得来的根据，在理解的基础上进行练习，做到计算正确、熟练。
例4 分析：这些题如果直接运用幂的运算性质是不可能的，直接进行计算又十分繁琐，（1）题中513、165的指数都是8，（2）、（3）题中2、5与16、2与2
1的指数虽然不同，但适当变形后，均可化为相同。
根据积的乘方n n n b a ab =)(的逆向运算n n n ab b a )(=，即可很简便地求出结果。
解：（1）888]16
5)513[()165()5
13(⋅=⋅ 1)165516(8
=⋅=
（2）22424)4()5.2(16)5.2(⋅=⋅
4
44
410)45.2(45.2=⨯=⋅=
（3）19981199819991998)2
1(2)21(2+⋅=⋅ 2
112
1)212(21)2
1(2121998
1998
1998=⨯=⨯⋅=⋅⋅= 说明：本题先后逆向运用了同底数幂的乘法、幂的乘方等性质。
逆向运用公式、法则常常给计算带来不少方便。
例5 分析：本题只有把n y x 22)(化成n n y x ⋅为底的幂的乘积。
解： n n n y x y x 2422)(=
14432)()(2424=⋅==n n y x。
