含绝对值的不等式解法与一元二次不等式解法

第二课时●课题§1.4.2 含绝对值的不等式解法（二）●教学目标(一)教学知识点1.熟练掌握|ax+b|>c与|ax+b|<c(c>O)型不等式的解法.2.掌握含两个或两个以上绝对值的不等式解法.(二)能力训练要求1.进一步加强学生的运算能力.2.进一步提高学生运用数学思想的能力.(三)德育渗透目标1.用联系的观点看问题.2.渗透由特殊到一般的思维，能准确寻求事物的一般规律.●教学重点含两个或两个以上绝对值的不等式解法.●教学难点分类讨论思想在解含有两个或两个以上绝对值的不等式问题中的应用.●教学方法师生共同讨论法通过师生共同对含有两个或两个以上绝对值的不等式解法的探讨，为进一步解决实际问题奠定基础.●教具准备幻灯片两张第一张：本课时教案例1(记作§1.4.2 A)第二张：本课时教案例2(记作§l.4.2 B)●教学过程I.复习回顾[师]请同学们回忆不等式|ax+b|>c与|ax+b|<c(c>O)的解法步骤．[生] |ax+b|>c(c>O)的解法是：先化不等式为ax+b>c或ax+b<-c，再由不等式的性质求出原不等式的解集，|ax+b|<c(c>O)的解法是：先化不等式为-c<ax+b<c,再由不等式的性质求出原不等式的解集.[师]回答得很好．在解以上类型不等式时.一定要注意先看a的正负符号．若n为负数.则应先将其化成正数，然后再进一步转化不等式求解.对于含两个或两个以上的绝对值不等式如何去求得其解集呢?这就是今天我们所要研究的问题.Ⅱ.讲授新课幻灯片：(§1.4.2 A)[例1]解不等式|x-1|+|x-2|>3+x.(学生分组讨论,教师提醒，绝对值符号的存在是解含有绝对值不等式的一大障碍，所以如何将绝对值符号去掉，使其转化为等价的、不含绝对值符号的不等式是解这一类型问题的关键)[师]将如何同时去掉两个绝对值符号?[生甲]找出使得x-1=0,x-2=0的x值，即x=1，x=2,这样，1,2就将数轴分成了三段．再分段讨论求解.[师]甲同学找出使得x-l=0，x-2=O 的x 值的依据是什么?[生乙]绝对值的定义,即|a|=⎩⎨⎧<->.0,,0,a a a a[师]请同学按照：找零点、划区间、分段讨论去掉绝对值符号的步骤整理解题过程. (生整理，师巡视，查看，及时找出存在的问题加以点拨)解：把原不等式变为|x-1|+|x-2|>3+x.若|x-1|=0,x=1；若|x-2|=0,x=2.至此，1，2把数轴分成了三部分.(1)当x≤1时，x-1≤O，x-2<O原不等式变为-(x-1)-(x-2)>3+x ，即x<O.此时，得{x|x ≤1}∩{x|x<O}={x|x<O}.(2)当l<x≤2时，x-1>0,x-2≤O,原不等式变为x-1-(x-2)>3+x ，即x<-2.此时,得{x|1<x ≤2}∩{x|x<-2}=∅.(3)当x>2时,x-1>O ，x-2>0.原不等式变为x-1+x-2>3+x ，即x>6.此时，得{x|x>2}∩{x|x>6}={x|x>6}.∴取(1)（2）(3)的并集得原不等式解集为{x|x<0或x>6}.[师]用绝对值定义去掉绝对值符号，在分段讨论时，一定要注意两点：一是分段要“不重不漏”，二是要对所分的段与该段的结果求交集，最后再将所求得的各个交集并起来. 幻灯片：(§1.4.2 B)[例2]解不等式|x+1|+|x-1|<1.[师]观察这个不等式具有怎样的特点?[生丙]与例1属于同一类型题目，因此解法与例1完全相同，即找出零点,划分区间，利用分段讨论去掉绝对值，求得其解集.[师]请同学们仔细观察，互相讨论，寻找例2与例1的不同之处，从而得到解决例2的不同方法.(生讨论，师提示：结合绝对值的几何意义思考)[生丁]发现例2不等式具有明显的几何意义：即设数轴上的点P 表示数x ，点A 表示1，点B 表示-l ，这样，|x+1|,|x-1|分别表示数轴上的线段PB 、PA 的长，而线段AB 的长为2，从图形中可直观地发现数轴上找不到这样的P 点,使得PB 、PA 的长度和小于l ，故可得解集为∅.[师]丁同学表述得很清楚，从中我们也看到解含有绝对值的不等式，对于有的问题,利用绝对值的几何意义处理起来，会使问题变得简便、直观、明了.Ⅲ.课堂练习解不等式|x+1|+|x-1|≤2.解法一：①当x ≥l 时,不等式化为⎩⎨⎧≤-++≥.211,1x x x即⎩⎨⎧≤≥,1,1x x 得x=1.②当-1<x<1时，不等式化为⎩⎨⎧≤-++<<-,211.11x x x 即⎩⎨⎧≤<<-,22,11x 得-1<x<1.③当x ≤1时，不等式化为⎩⎨⎧-≥-≤,1,1x x 得x=-1.综上，原不等式解集为{x|-1≤x ≤1}.解法二：不等式|x+1|+|x-1|≤2表示数轴上点x 与A 、B 两点的距离和小于或等于2，而A 、B 两点的距离为2，故x 对应的点只能在线段AB 上，故原不等式解集为{x|-1≤x ≤1}.Ⅳ.课时小结1.解含有两个或两个以上绝对值的不等式，常用零点分段讨论法求解，首先找到绝对值为零的点，然后划分区间，分段讨论，求得各段结果的并集.2.解含有绝对值的不等式，对于有的问题，利用绝对值的几何意义也是一种简便有效的方法.Ⅴ.课后作业（一）1.解不等式|x-1|+|x+2|>5.2.解不等式|x+3|+|x+2|+|x+1|>3.答案：1.{x|x>2或x<-3}.2.{x|x>-1或x<-3}.(二)1.预习内容：课本P 17～P 20.2．预习提纲：(1)“三个一次”，即一元一次方程。

高次不等式、分式、绝对值、一元二次不等式的解法1.可分解的高次不等式的解法例1 解不等式()()()013232<+--x x x例2解不等式()()()0423>--+x x x例3 解不等式()()032432≤+---x x x x x例4 解关于x 的不等式： ()()0122<++-a x x x .2.分式不等式的解法例5 解不等式01122≥---x x x 例6 解不等式.03223222≤---+x x x x例7 解不等式－1<2213<+-x x练习1：解不等式：1、302x x -≥-2、2113x x ->+3、2232023x x x x -+≤--4、22102x x x --<-5、()2309x x x -≤-6、101x x<-<练习2：解不等式：1．求不等式)2()2()23()1()2(22334+--+-+x x x x x x 的解集2、解不等式：22320712x x x x -+≤-+- 3、解不等式：22911721x x x x -+≥-+4、解不等式：2121332x x x x ++>-- 5、解不等式：22331x x x ->++ 3、绝对值不等式的解法 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是练习4、解不等式：(1)|8－2x|＞3 (2)|6－2x|<4例2：解不等式|2x －1|＞|2x －3|． 例3：解不等式22x x x x >++。

例4、解关于x 的不等式10832<-+x x例5、解关于x 的不等式2321>-x练习1：1、解关于x 的不等式(1)212+<-x x(2)、3529x ≤-< (3)、1|1|3x <+<2、求方程x x x x x x 323222++=++的解集； 求不等式x x x x ->-22的解集3、不等式x 0)21(>-x 的解集是（ ）.A )21,(-∞ .B )21,0()0,( -∞ .C ),21(+∞ .D )21,0(4．一元二次不等式的解法练习6： 解不等式（1）0)1)(4(<-+x x . (2)0122>--x x ；(3) 216x ≥ (4)225x ≤ (5) 9)12(2≤-x练习7：1、解下列不等式(1) 2340x x --> (2) 22740x x -->(3)(x －1)(3－x)＜5－2x (4)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2(5)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2) (6)0)3)(2(>+-x x[]例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01a A a x B x a ．＜＜．＜＜11a a C x aD x x a ．＞或＜．＜或＞x a a 11例有意义，则的取值范围是．2 x x 2--x 6。

例1. 解不等式 | x – 500 | ≤5 例2. 解不等式 | 2x+5 | > 7 例3. 解不等式 4 < | 1-3 x | ≤ 7
x | 495 x 505
x | x 1或x 6
提高题型：
例4. 解不等式 | 5x-6 | <
例5. | 5x-6| > 5-x
(3)若b=2,则原不等式即 0x<3+a ①当a>-3 时，解集为R； ②当a≤-3 时，解集为Ø.
2、一元二次不等式
一般式：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0 (a>0) 注意：如果二次项系数小于零，两边乘以-1，并把 不等号改变方向即可。 画出y=x2- x-6的图象，根据图象求出满足下列 各式的未知数x的值的集合:
2 2
x | 1 x 2或3 x 4
解法三：原不等式等价于
x 2 5x 5 0 x 2 5x 5 0 (1) 2 或（2） 2 x 5x 5 1 x 5 x 5 1
由(1)得
由(2)得 ∴原不等式的解集为
1、等价转化法： 2、平方法：
f ( x ) a ( a 0 ) f ( x ) a或 f ( x ) a
2 2
f ( x ) g( x ) f ( x ) g ( x )
ax b cx d k
3、零点分段法：如 4、几何意义法：如
x 2 x 1 k的解集为R, 求k的取值范围.
例7、解不等式：
x 2 x1 4
【思维点拨】 本题也有多种解法： （１）零点分段法；（通性通法） （２）几何意义法； （３）函数图象法．

常见不等式的解法(教师版)一、一元一次不等式解下列关于x的不等式1、2x+3>52、-2x+5<63、ax>14、不等式3(x+1)≥5x-9的正整数解是5、已知关于x的不等式(3a-2)x+2<3的解集是,则a= .二、一元二次不等式1、2、3、x2+x-2≤4 4、若0＜a＜1，则不等式(x-a)(x-)＜0的解是 .a＜x＜5、已知不等式的解集为，则的值为 .-146、不等式2x2-3|x|-35>0的解为 ..x<-5或x>57、方程则实数m的取值范围是.8、不等式的解集是，则m= __，n= __.-1;-69、函数或10、对于任意实数x，一元二次不等式(2m-1)x2+(m+1)x+(m-4)＞0恒成立，则实数m的取值范围是 .m＞511、函数则a的取值范围是【0,8】二、分式不等式的解法1）标准化：移项通分化为(或)；(或)的形式，2）转化为整式不等式（组） 1. 不等式的解集是 2. 不等式的解集是3. 不等式的解集是4. 不等式的解集是5. 不等式的解集是6. 不等式的解集是7. 不等式的解集是8. 不等式的解集是9. 不等式的解集是10. 不等式的解集是答案1. 2. (-2，3)3. 4.9.10.三、无理不等式的解法无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式，今天我们主要研究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解法。

题型Ⅰ：例一解不等式解：移项：∴∴不等式的解集是：{}练习一：解不等式⑴⑵解：⑴移项：∴∴∴原不等式的解集为⑵∴∴原不等式的解集为{}例二解不等式解：原不等式的解集等价于下面两个不等式组解集的并集：Ⅰ：或Ⅱ：解Ⅰ：解Ⅱ：即：或∴∴原不等式的解集为{}题型Ⅱ：练习二：解不等式解：原不等式的解集等价于下面两个不等式组解集的并集：Ⅰ：或Ⅱ：解Ⅰ：解Ⅱ：即：或∴∴原不等式的解集为{}四、含绝对值的不等式的解法(一)、公式法：即利用与的解集求解。