大学物理第一章--质点运动学

大学物理第1章质点运动学质点运动学是物理学中研究物体运动的学科，它是物理学的一个重要分支，是学习物理的基础之一。

一、质点运动学的概念质点运动学是研究质点运动的学科，它把物体看作质点，即把物体看成一个点，而不考虑其体积大小。

质点运动学的主要研究内容包括：位置、速度、加速度等运动量的描述，以及运动的曲线形状、动量、能量等方面的分析。

二、质点的运动质点的运动可以分为匀速运动和非匀速运动两种情况。

1.匀速运动匀速运动是指质点在单位时间内沿着同一直线等距离地移动的运动。

匀速运动的速度大小是恒定的，可以用速度公式v=d/t来计算。

2.非匀速运动非匀速运动是指质点在单位时间内沿任意曲线路径移动的运动。

非匀速运动中质点的速度大小是变化的，需要用微积分的方法进行分析和计算。

三、质点运动中的基本物理量在质点运动中，需要描述质点的运动状态和变化情况。

主要的量包括：1.位置位置是指质点在空间中所处的位置，通常使用坐标表示。

我们可以通过坐标系建立一个参照系，来描述质点的位置。

2.位移位移是指质点从一个位置到另一个位置的距离和方向，通常用符号Δr表示。

位移的大小可以用位移公式Δr=r2-r1来计算。

3.速度速度是指质点在单位时间内所改变的位置，通常用符号v 表示。

速度的大小可以用速度公式v=Δr/Δt来计算。

4.加速度加速度是指质点在单位时间内速度所改变的量，通常用符号a表示。

加速度的大小可以用加速度公式a=Δv/Δt来计算。

四、质点的曲线运动在质点运动中，一些运动路径可能是曲线运动。

曲线运动的路径通常可以用弧长s、曲率半径r、圆心角等来表征。

1.弧长弧长是指质点在曲线路径上所走过的曲线长度，通常用符号s表示。

弧长的大小可以用弧长公式s=rθ来计算。

2.曲率半径曲率半径是指曲线在任一点上的曲率半径，通常用符号r 表示。

曲率半径可以根据曲线的形状计算得出。

3.圆心角圆心角是指质点所在的路径所对应的圆所对应的圆心角度数，通常用符号θ表示。

第一章质点运动学一选择题1．以下说法中，正确的选项是：（）A.一物体若拥有恒定的速率，则没有变化的速度；B.一物体拥有恒定的速度，但仍有变化的速率；C.一物体拥有恒定的加快度，则其速度不行能为零；D. 一物体拥有沿x 轴正方向的加快度而有沿x 轴负方向的速度。

解：答案是 D。

2.长度不变的杆 AB，其端点 A 以 v0匀速沿 y 轴向下滑动， B 点沿 x 轴挪动，则 B 点的速率为：（）A . v0 sinB .v0 cos C.v0 tan D.v0 / cos解：答案是 C。

简要提示：设 B 点的坐标为 x， A 点的坐标为 y，杆的长度为l，则x2y2l 2对上式两边关于时间求导：dx dy0，因dxv，dyv0，所以2 x 2 ydtdt dt dt2xv2yv0 = 0即v=v0 y/x =v0tan所以答案是 C。

3.如图示，路灯距地面高为 H，行人身高为 h，若人以匀速 v 背向路灯行走，灯y人头A H vv0hθvx影sB选择题 3图选择题 2图则人头影子挪动的速度u 为（）H h Hv h HA.vB.H H h H h 解：答案是 B 。

简要提示：设人头影子到灯杆的距离为 x ，则x s h ， x Hs ， x H H hdx H ds HvuH h dt Hdt h所以答案是 B 。

4. 某质点作直线运动的运动学方程为x ＝ 3t-5t 3 + 6 (SI)，则该质点作A. 匀加快直线运动，加快度沿 x 轴正方向．B. 匀加快直线运动，加快度沿 x 轴负方向．C. 变加快直线运动，加快度沿 x 轴正方向．D. 变加快直线运动，加快度沿x 轴负方向．()解： 答案是 D5. 一物体从某一确立高度以v 0 的初速度水平抛出，已知它落地时的速度为v t ，那么它的运动时间是： （）v t - v 0v t v 0v t2 22v v 0 v t A.B.C.gD.2 gg2 g解：答案是 C 。

大学物理第1章质点运动学ppt课件•质点运动学基本概念•直线运动中质点运动规律•曲线运动中质点运动规律•相对运动中质点运动规律目录•质点运动学在日常生活和工程技术中应用•总结回顾与拓展延伸质点运动学基本概念01质点定义及其意义质点定义用来代替物体的有质量的点，是一个理想化模型。

质点意义突出物体具有质量这一要素，忽略物体的大小和形状等次要因素，使问题得到简化。

参考系与坐标系选择参考系定义为了研究物体的运动而选作标准的物体或物体系。

坐标系选择为了定量描述物体的位置及位置的变化，需要在参考系上建立适当的坐标系。

常用的坐标系有直角坐标系、极坐标系、自然坐标系等。

位置矢量与位移矢量位置矢量定义从坐标原点指向质点的矢量，用r表示。

位移矢量定义质点从初位置指向末位置的有向线段，用Δr表示。

质点在某时刻的位置矢量对时间的变化率，即单位时间内质点位移的矢量，用v 表示。

速度定义加速度定义速度与加速度关系质点在某时刻的速度矢量对时间的变化率，即单位时间内质点速度的变化量，用a 表示。

加速度是速度变化的原因，速度变化快慢与加速度大小成正比，方向与加速度方向相同。

速度加速度定义及关系直线运动中质点运动02规律匀速直线运动特点及应用特点质点在直线运动中，速度大小和方向均保持不变。

应用描述物体在不受外力或所受合外力为零的情况下的运动状态。

匀变速直线运动规律探究定义质点在直线运动中，加速度大小和方向均保持不变。

运动学公式包括速度公式、位移公式和速度位移关系式，用于描述匀变速直线运动的基本规律。

定义物体在重力的作用下从静止开始下落的运动。

运动学公式包括位移公式、速度公式和速度位移关系式，用于描述自由落体运动的基本规律。

运动特点初速度为零，加速度为重力加速度，方向竖直向下。

自由落体运动分析竖直上抛运动过程剖析定义物体以一定的初速度竖直向上抛出，仅在重力作用下的运动。

运动特点具有竖直向上的初速度，加速度为重力加速度，方向竖直向下。

1三、坐标系为了定量描述物体的运动，还需要在参考系上建立适当的几何框架即坐标系。

常用的有直角坐标系、极坐标系、自然坐标系、球坐标系等。

四、物理模型——质点实际物体都有大小和形状，一般说来，运动情况很复杂，但是，如果物体的大小和形状在所研究的问题中不起作用或作用很小，就可以忽略其大小和形状，而把它抽象为一个只有质量的几何点—质点。

应用质点模型的条件为：（1）当物体运动的空间范围r 远大于物体自身线度l 时； （2）物体只作平动时。

§1.2 位置矢量 位移 速度 加速度一、描述质点运动的物理量1、位置矢量由坐标原点引向考察点的矢量，简称位矢，用r 表示。

在直角坐标系中为 r = x i + y j + z k ，r 222z y x ++=；r 的方向余弦是r xcos =α， r ycos =β，rzcos =γ。

在平面极坐标系中在自然坐标系中 r = r (s )。

运动方程描写质点的位置随时间变化的函数关系式称为运动方程。

记为x = x (t )，y = y (t )，z = z (t ) r = r (t )， s = s (t )。

例1: 如质点作圆周运动时，有 x = cos r t ω，y =sin r t ω消去时间t ，就得轨道方程 222x y r +=。

2、位移和路程位移r ∆r = r r 0，vYx rt ω 0y 例1-1 图(1)定义:12rrr-=∆，注意：（1）增量的模r∆与模的增量r∆不是同一个量；（2）位移在直角坐标系中的表示式为=∆r xi∆+y∆j+z∆k。

路程s∆：t∆时间内质点在空间内实际运行的路径距离位移和路程的比较与联系：（1）不同处..r;.r.absc s⎧⎪∆--⎪⎨∆--⎪⎪∆≠∆⎩矢量与标量,仅由始未位置决定与轨道形状无关与轨道形状及往返次数有关;在一般情况下（2）联系在t∆→0时，d=r d s,但仍然d d r≠r。

3、速度平均速度trv∆∆=与平均速率tsv∆∆=（1）、在一般情况下平均速度大小不等于平均速率vv≠.（2）、v在直角坐标系中的表示式x y zt t t∆∆∆∆∆∆=++v i j k瞬时速度dlimt dtr rvt∆∆∆→==v v与瞬时速率dlimdts svt t∆∆∆→==的关系：（1）、瞬时速度大小d dd dSvt t===rv，等于瞬时速率dtdsv=。

《大学物理》试题库管理系统内容第一章 质点运动学1 题号：01001 第01章 题型：选择题 难易程度：容易 试题: 下列那一个物理量是被称为质点的运动方程（ ）．A.位置矢量B.位移C.速度D.加速度 答案: A2 题号：01002 第01章 题型：选择题 难易程度：适中试题: 某物体作单向直线运动，它通过两个连续相等位移后，平均速度的大小分别为1211s m 15,s m 10--⋅=⋅=v v ．则在全过程中该物体平均速度的大小为（ ）．A.1s m 12-⋅B.1s m 5.12-⋅C.1s m 75.11-⋅D.1s m 75.13-⋅ 答案: A3 题号：01003 第01章 题型：选择题 难易程度：适中试题: 在相对地面静止的坐标系内，A 、B 两船都以1s m 2-⋅的速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向．今在A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（x ，y 方向的单位矢量用j i,表示），那么在A 船上看，B 船的速度（以1s m -⋅为单位）为（ ）．A.j i 22+-B.j i 22--C.j i 22+D.j i 22-答案: A4 题号：01004 第01章 题型：选择题 难易程度：较难试题: 某质点的运动方程为j Bt At i Bt At r θθsin )(cos )(22+++=，其中θ,,B A 均为常量，且,0,0>>B A 则质点的运动为（ ）．A.匀加速直线运动B.匀减速直线运动C.圆周运动D.一般的平面曲线运动 答案: A5 题号：01005 第01章 题型：选择题 难易程度：适中试题: 某质点的速度为j t i v82-=，已知0=t 时它过点（3，-7），则该质点的运动方程为（ ）．A.j t i t )74()32(2+-+B.j t i t 242-C.j8- D.不能确定答案: A6 题号：01006 第01章题型：选择题难易程度：较难试题: 在下列情况下，不可能出现的是（）．A.一质点向前的加速度减小了，其前进速度也随之减小B.一质点具有恒定的速率，但却有变化的速度C.一质点加速度恒定，而速度方向不断改变D.一质点具有零速度，同时具有不为零的加速度答案: A7 题号：01007 第01章题型：选择题难易程度：较难试题: 下列表述中正确的是（）．A.在曲线运动中质点的加速度必定不为零B.若质点的加速度为恒矢量，则质点的运动轨迹必为直线C.质点沿x轴运动，若加速度的大小为负值，则质点必作减速运动D.质点在作抛体运动的过程中，其法向加速度和切向加速度都在随时间不断变化，因此和加速度也在随时间不断变化答案: A8 题号：01008 第01章题型：选择题难易程度：适中试题: 两辆汽车甲、乙在平直公路上以相同的速率v沿相同的方向并排行驶．下列说法中错误的是（）．A.以相同速率迎面驶来的汽车丙为参考系，汽车甲、乙相对于汽车丙都是静止的B.以相同速率迎面驶来的汽车丙为参考系，汽车甲、乙都以v2的速率运动C.以汽车甲为参考系，汽车乙相对于甲是静止的D.以地面为参考系，汽车甲、乙均以速率v运动答案: A9 题号：01009 第01章题型：选择题难易程度：适中试题: 如图所示，质点作匀速率圆周运动，其半径为R ，从P 点出发，经过半个圆周而运动到了Q 点，则下列表达式中不正确的是（ ）．A.速度增量0=v∆ B.速率增量0=v ∆ C.位移大小R r 2=∆ D.路程R S π= 答案: A10 题号：01010 第01章 题型：选择题 难易程度：较难试题: 质点沿半径m 1=R 的轨道作圆运动，在某时刻的角速度为1s rad -⋅=1ω，角加速度为2s rad -⋅=1β，则质点在该时刻的速度和加速度的大小分别是（ ）．A.1s m -⋅1，2s m -⋅2 B.1s m -⋅1，2s m -⋅1 C.1s m -⋅2，2s m -⋅1 D.1s m -⋅2，2s m -⋅2答案: A11 题号：01011 第01章 题型：选择题 难易程度：难试题: 一质点沿x 轴作直线运动的运动方程为3224t t x -=，当质点再次返回到原点时，其速度和加速度分别为（ ）．A. 1s m -⋅-8，2s m -⋅-16B.1s m -⋅-8，2s 16m -⋅C. 1s m -⋅8，2s m -⋅16D.1s m -⋅8，2s 16m -⋅- 答案: A12 题号：01012 第01章 题型：选择题 难易程度：适中试题: 质点在xoy 平面内作曲线运动，则质点速率的表达式不正确的是（ ）．A.dt dr v =B.dt r d v =C.22⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=dt dy dt dx v D.dt ds v =答案: A13 题号：01013 第01章 题型：选择题 难易程度：适中Q试题: 以初速0v 将一物体斜向上抛，抛射角为θ，不计空气阻力，则物体在轨道最高点处的曲率半径为（ ）．A.g v θ220cosB.20v g C.g v θsin 0 D.不能确定答案: A14 题号：01014 第01章 题型：选择题 难易程度：适中试题: 根据瞬时速度v的定义，若在直角坐标系中，则下列那一个选项可表示速度的大小（ ）．A.k dt dz j dt dy i dt dx ++B.dtdz dt dy dt dx ++ C.222⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛dt dz dt dy dt dx D.dt dr答案: A15 题号：01015 第01章 题型：选择题 难易程度：适中试题: 根据瞬时加速度a的定义，若在直角坐标系中，则下列那一个选项可表示加速度的大小（ ）．A.k dt z d j dt y d i dt x d222222++ B.222222222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛dt z d dt y d dt x d C. D.22dtr d 答案: A16 题号：01016 第01章 题型：选择题 难易程度：适中试题: 已知质点以速率()124-⋅+=s m t v 作直线运动，把质点运动的直线作为ox 轴，并已知s 3=t 时，质点位于m 3=x 处，则质点的运动学方程为（ ）．A.123143-+=t t x B.123143++=t t x C.3314t t x += D.331t x = 答案: A17 题号：01017 第01章 题型：选择题 难易程度：适中222222dt z d dt y d dt x d ++试题: 下图中能正确表示质点在曲线轨迹上P 点的运动为减速运动的是（ ）． 答案: A18 题号：01018 第01章 题型：选择题 难易程度：适中 试题: 质点在平面上作圆运动时，下列那一选项是正确的（ ）．A.0=dt dr ，0≠dt r dB.0=dt dr ，0=dtr dC.0≠dt dr ，0=dt r dD.0≠dt dr ，0≠dtr d答案: A19 题号：01019 第01章 题型：选择题 难易程度：较难 试题: 质点在平面上作匀速率曲线运动时，下列那一选项是正确的（ ）．A.0=dt dv ，0≠dt v dB.0≠dt dv ，0=dtv d C.0=dt dv ，0=dt v d D.0≠dt dv ，0≠dtv d答案: A20 题号：01020 第01章 题型：选择题 难易程度：难 试题: 质点在平面上作匀变速率曲线运动时，下列那一选项是正确的（ ）．A.0=dt da ，0≠dt a dB.0≠dt da ，0=dta d C.0=dt da ，0=dt a d D.0≠dt da ，0≠dta d答案: A21 题号：01021 第01章 题型：填空题 难易程度：适中A.B.C.D.试题: 物理学中把研究机械运动的规律及其应用的学科称之为力学，而研究物体位置随时间的变化或运动轨道问题但不涉及物体发生运动变化原因的学科称之为 ． 答案: 运动学22 题号：01022 第01章 题型：填空题 难易程度：适中试题: 位置矢量和位移是描述质点运动状态的物理量， 是描述质点运动状态变化的物理量． 答案: 加速度23 题号：01023 第01章 题型：填空题 难易程度：适中 试题: 由于运动具有相对性所以描述运动时我们首先必须选 ． 答案: 参照系24 题号：01024 第01章 题型：填空题 难易程度：适中 试题: 宇宙中的所有物体都处于永不停止的运动中，这说明运动具有 ． 答案: 绝对性25 题号：01025 第01章 题型：填空题 难易程度：适中试题: 若速度与加速度之间满足关系a v⊥，则速度的方向与加速度的方向 ． 答案: 相互垂直26 题号：01026 第01章 题型：填空题 难易程度：适中试题: 若速度与加速度之间满足关系a v//，则该质点一定作 ，但既有可能作加速度运动，也有可能作减速运动． 答案: 直线运动27 题号：01027 第01章 题型：填空题 难易程度：适中 试题: 若矢量B A -=，则矢量A 与B的大小相等，方向 ． 答案: 相反28 题号：01028 第01章 题型：填空题 难易程度：适中试题: 若质点在t 时刻的位置矢量为t r ，在t t ∆+时刻的位置矢量为t t r ∆+，则该质点在t ∆时间内的位移为 ．答案: t t t r r r-=+∆∆试题: 对于同一参考系而言，若在t 时刻质点A 的运动速度为A v、质点B 的运动速度为B v，则质点B 相对于A 的速度为 ． 答案: A B v v-30 题号：01030 第01章 题型：填空题 难易程度：容易试题: 在国际单位制中，若描述质点运动的位置矢量为()()j t i t r 3232+= ，则质点在t 时刻的加速度为 ．答案: ()[]j t i a184+=31 题号：01031 第01章 题型：填空题 难易程度：较难试题: 若质点作曲线运动时，切线加速度的大小0>τa ，则该质点作曲线运动的速率 ． 答案: 增大32 题号：01032 第01章 题型：填空题 难易程度：较难试题: 若质点作曲线运动时，切线加速度的大小0=τa ，则该质点一定作 ． 答案: 匀速率圆周运动33 题号：01033 第01章 题型：填空题 难易程度：较难 试题: 若运动质点的法线加速度的大小0=n a ，则该质点一定作 ． 答案: 直线运动34 题号：01034 第01章 题型：填空题 难易程度：适中试题: 若某时刻质点作曲线运动的法线加速度大小为n a ，速率为v ，则该时刻质点所在位置处曲线的曲率半径为 ．答案: na v 235 题号：01035 第01章 题型：填空题 难易程度：容易试题: 对于作圆运动的质点而言，若圆的半径为R ，质点的角加速度为β，则质点的切线加速度的大小为 ． 答案: βτR a =试题: 对于作圆运动的质点而言，若圆的半径为R ，质点在某时课的角加速度为β，速率为v ，则质点的加速度为 ．答案: τβR n Rv +2 37 题号：01037 第01章 题型：填空题 难易程度：适中 试题: 某质点沿半径为1m 的圆周运动，在国际单位制中其角运动方程为2t t ππθ+=，则质点的角加速度β为 ．答案: 2s rad -⋅π238 题号：01038 第01章 题型：填空题 难易程度：难试题: 某质点沿半径为1m 的圆周运动，在国际单位制中其角运动方程为2t πθ=，则质点的加速度a为 ． 答案: ()()τππ222+n t39 题号：01039 第01章 题型：填空题 难易程度：难 试题: 某质点从j r50-=位置开始运动，在国际单位制中其速度与时间的关系为,532j i t v += 则质点到达x 轴所需的时间为 ．答案: s 1=t40 题号：01040 第01章 题型：填空题 难易程度：难 试题: 某质点从j r50-=位置开始运动，在国际单位制中其速度与时间的关系为,532j i t v += 则此时质点在x 轴上的位置为 ．答案: m 3=x41 题号：01041 第01章 题型：计算题 难易程度：适中试题: 已知一质点的运动方程为2218,2t y t x -==，其中x 、 y 以m 计，t 以s 计．求：（1）质点的轨道方程并画出其轨道曲线；（2）质点的位置矢量；（3）质点的速度；（4）前2 s 内的平均速度；（5）质点的加速度．答案: （1）将质点的运动方程消去时间参数t ，得质点轨道方程为2182x y -=，质点的轨道曲线如图所示．（2）质点的位置矢量为j t i t r )218(22-+=．（3）质点的速度为j t i r v 42-==． （4）前2s 内的平均速度为2)0()2(--=r r v []{}j i j j i 4218)2218(22212-=-⨯-+⨯= （5）质点的加速度为j r a4-== 42 题号：01042 第01章 题型：计算题 难易程度：适中试题: 如图所示，A 、B 两物体由一长为l 的刚性细杆相连，A 、B 两物体可在光滑轨道上滑行．若物体A 以确定的速率v 向x 轴正向滑行，当6πα=时，物体B 的速度是多少？ 答案: 根据题意，得i v i dt dx v A == j dt dy v B =因为 222)()(l t y t x =+所以 022=+dt dy y dt dxx故 j v j dt dx y x j dt dy v B αtan -=-== 当6πα=时，j v j v v B 336tan -=-=π43 题号：01043 第01章 题型：计算题 难易程度：适中试题: 证明假定质点沿x 轴作匀加速直线运动，加速度a 不随时间变化，初位置为0x ，初速度为0v ，则)(2022x x a v v -=-． 答案: 因为dtdva =，所以adt dv =对其两边取定积分可得 ⎰⎰=tvv adt dv 0， at v v +=0 （1） 又因为at v dt dx+=0，所以 ()dt at v dx +=0，对其两边取定积分可得 ()⎰⎰+=t x x dt at v dx 000 ， 20021at t v x x ++= （2）联立（1）和（2）可得)(2022x x a v v -=-． 44 题号：01044 第01章 题型：计算题 难易程度：适中试题: 一质点沿x 轴正向运动，其加速度为kt a =，若采用国际单位制（SI ），则式中常数k 的单位（即量纲）是什么？当0=t 时，00,x x v v ==，试求质点的速度和质点的运动方程．答案: 因为kt a =，所以tak =．故32T L T T L dim dim dim --⋅=⋅==t a k ．又因为kt dt dv a ==，所以有ktdt dv =，作定积分有⎰⎰=t v v ktdt dv 00，2021kt v v +=而2021kt v dt dx v +==，所以dt kt v dx ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2021，再作定积分有⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=t x x dt kt v dx 020210，得 30061kt t v x x ++=．45 题号：01045 第01章 题型：计算题 难易程度：较难试题: 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22．5︒夹角的初速度1s m 65-⋅从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低70m ，忽略空气阻力，且取2s m 10-⋅=g ，问：（1）矿坑有多宽，他飞越的时间有多（2）他在东边落地时的速度多大？速度与水平面的夹角多大？ 答案: 据题意建立坐标系如图所示．（1）若以摩托车和人作为一质点，则其运动方程为()()⎪⎩⎪⎨⎧-+==20000021sin cos gt t v y y t v x θθ运动速度为⎩⎨⎧-==gt v v v v yx 0000sin cos θθ当到达东边落地时0=y 有()021sin 2000=-+gt t v y θ，将m 700=y ，2s m 10-⋅=g ，10s m 65-⋅=v ，5.220=θ︒代入解之得他飞越矿坑的时间为s 0.7=t （另一根舍去），矿坑的宽度为m 420=x ．（2）在东边落地时s 0.7=t ，其速度为⎪⎩⎪⎨⎧⋅-=-=⋅==--100100s m 9.44sin sm 1.60cos gt v v v v yx θθ 于是落地点速度的量值为122s m 0.75-⋅=+=y x v v v此时落地点速度与水平面的夹角为37tan 1==-xy v v θ︒46 题号：01046 第01章 题型：计算题 难易程度：适中试题: 一质点沿半径为R 的圆周运动，其角位置与时间的函数关系式（即角量运动方程）为2t t ππθ+=，取SI 制，则质点的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度各是什么？答案: 因为2t t ππθ+=，所以质点的角速度t dtd ππθω2+==，质点的角加速度为πωβ2==dtd ，质点的切向加速度为R R a πβτ2==，质点的法向加速度为()R t R a n 222ππω+==．47 题号：01047 第01章 题型：计算题 难易程度：难试题: 已知某质点的运动方程为()()j t d c i t b a rωωsin cos +++=，取SI 制，其中a 、b 、c 、d 、ω均为常量．（1）试证明质点的运动轨迹为一椭圆；（2）试证明质点的加速度恒指向椭圆的中心；（3）试说明质点在通过图中给定点P 时，其速率是增大还是减小？答案: （1）由题意知⎩⎨⎧+=+=t d c y tb a x ωωsin cos ，所以消去时间参数得质点的运动轨迹为1)()(2222=-+-dc y b a x （椭圆） （2）质点的速度为()()j t d i t b r ωωωωcos sin +-=质点的加速度为()()j t d i t b r ωωωωsin cos 22-+-=()()[](){}j c i a j t d c i t b a+-+++-=ωωωsin cos 2()[]j c i a r+--=2ω可见，质点的加速度与矢量()j c i a r+-的方向相反，由图可知，加速度的方向恒指向椭圆的中心（a ，b ）（3）当0=t ω时，⎩⎨⎧=+=c y b a x 质点位于),(c b a +点；当2πω=t 时，⎩⎨⎧+==d c y a x ，质点位于),(d c a +点．由图可知，质点从),(c b a +点向着),(d c a +点运动，所以质点在作逆时针运动．在P 点处，由于切向加速度τa 与运动速度v的方向相反，所以质点通过P 点时的速率在减小．48 题号：01048 第01章 题型：计算题 难易程度：适中试题: 已知某质点在0=t 时刻位于)m (320j i r +=点处，且以初速00=v，加速度)s m (432-⋅+=j i a运动．试求：（1）质点在任意时刻的速度；（2）质点的运动方程． 答案: （1）由题意可知j i dtvd 43+=即()dt j i v d 43+=，对其两边取积分有()⎰⎰+=t v v dt j i v d 0430所以质点在任意时刻的速度为j t i t v43+=．（2）由j t i t v 43+=可得j t i t dtrd 43+=，即()dt j t i t r d 43+=，对其两边取积分有()⎰⎰+=t rr dt j t i t r d 0430 即022223r j t i t r ++= 所以代入j i r 320+=可得质点的运动方程为()j t i t r3222322++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=．49 题号：01049 第01章 题型：计算题 难易程度：难试题: 已知某质点的运动方程为()()(m)4322j t i t r++=，试求：（1）s 1=t 时切向加速度和法向加速度的大小；（2）s 1=t 时的曲率半径．答案: （1）因为 ()()j t i t r4322++=所以质点在任意时刻的速度和加速度分别为j t i dt r d v 62+==；j dtvd a 6==故质点在任意时刻速度的大小即速率为()22291262t t v +=+= 于是质点在任意时刻切向加速度的大小为()2912t dt ddt dv a +==τ29118tt +=由此可知，质点在s 1=t 时切向加速度的大小为2s m 69.59118-⋅=+=τa 质点在s 1=t 时法向加速度的大小为()22222s m 91.169.56-⋅=-=-=τa a a n（2）因为质点在s 1=t 时速度的大小为12s m 1021912-⋅=⨯+=v所以s 1=t 时的曲率半径为m 2191.1402===n a v R50 题号：01050 第01章 题型：计算题 难易程度：适中试题: 一质点在平面上作曲线运动，1t 时刻位置矢量为j i r621+-=，2t 时刻的位置矢量为j i r422+=，求：（1）在12t t t -=∆时间内质点的位移矢量式；（2）该段时间内位移的大小和方向；（3）在坐标图上画出1r ，2r及r ∆．（题中r 以m 计，t 以s 计）答案: （1）在12t t t -=∆时间内质点的位移矢量式为m )24(12j i r r r-=-=∆（2）该段时间内位移的大小为m 52)2(422=-+=∆r该段时间内位移的方向与x 轴的夹角为16.2642tan -=⎪⎭⎫⎝⎛-=-α （3）坐标图上的表示如图．51 题号：01051 第01章 题型：计算题 难易程度：适中试题: 某质点作直线运动，其运动方程为241t t x -+=，其中x 以m 计，t 以s 计．求：（1）第三秒末质点的位置；（2）头三秒内的位移大小；（3）头三秒内经过的路程． 答案: （1）第三秒末质点的位置为m 43341)3(2=-⨯+=x（2）头三秒内的位移大小为m 3)0()3(=-x x （3）因为质点作反向运动时有0)(=t v ，所以令0=dtdx，即024=-t ，s 2=t ，因此头三秒内经过的路程为m 51554)0()2()2()3(=-+-=-+-x x x x52 题号：01052 第01章 题型：计算题 难易程度：较难试题: 已知某质点的运动方程为22,2t y t x -==，式中t 以s 计，x 和y 以m 计．（1）计算并图示质点的运动轨迹；（2）求出s 1=t 到s 2=t 这段时间内质点的平均速度；（3）计算s 1末和s 2末质点的速度；（4）计算s 1末和s 2末质点的加速度．答案: （1）由质点运动的参数方程22,2t y t x -==消去时间参数t 得质点的运动轨迹为)0(,422>-=x x y(运动轨迹如图所示．（2）根据题意可得质点的位置矢量为j t i t r )2()2(2-+=所以s 1=t 到s 2=t 这段时间内质点的平均速度为)s (m 3212)1()2(1-⋅-=--=∆∆=j i r r t r v（3）由位置矢量求导可得质点的速度为j t i r v )2(2-==所以s 1末和s 2末质点的速度分别为)s (m 22)1(1-⋅-=j i v 和)s (m 42)2(1-⋅-=j i v．（4）由速度求导可得质点的加速度为j v a 2-==所以s 1末和s 2末质点的加速度为)s (m 2)2()1(-2⋅-==j a a53 题号：01053 第01章 题型：计算题 难易程度：适中试题: 湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过离河面高H 的滑轮拉船靠岸如图所示．设绳子的原长为0l ，人以匀速0v拉绳，试描述小船的运动．答案: 建立坐标系如图所示．按题意，初始时刻（0=t ），滑轮至小船的绳长为0l ，在此后某时刻t ，绳长减小到t v l 00-，此时刻船的位置为()2200H t v l x --=这就是小船的运动方程，将其对时间求导可得小船的速度为()()αcos 02200000v H t v l v t v l dtdxv -=----==将其对时间再求导可得小船的加速度为()[]322032200220x H v Ht v lH v dtdv a -=---==其中负号说明了小船沿x 轴的负向（即向岸靠拢的方向）作变加速直线运动，离岸越近（x 越小），加速度的绝对值越大．54 题号：01054 第01章 题型：计算题 难易程度：容易 试题: 大马哈鱼总是逆流而上，游到乌苏里江上游去产卵，游程中有时要跃上瀑布．这种鱼跃出水面的速度可达1h km 32-⋅．它最高可跃上多高的瀑布？和人的跳高记录相比如何？答案: 鱼跃出水面的速度为11s m 89.8h km 32--⋅=⋅=v ，若竖直跃出水面，则跃出m 03.422==gv h此高度和人的跳高记录相比较，差不多是人所跳高度的两倍．55 题号：01055 第01章 题型：计算题 难易程度：较难试题: 一人站在山坡上，山坡与水平面成α角，他扔出一个初速为0v 的小石子，0v 与水平面成θ角（向上）如题图所示．（1）若忽略空气阻力，试证小石子落到了山坡上距离抛出点为S 处，有αθαθ220cos cos )sin(2g v S +=．（2）由此证明对于给定的0v 和α值时S 在24απθ-=时有最大值.cos )1(sin 220max ααg v S +=答案: （1）建立如题图所示的坐标系，则小石子的运动方程为 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-==20021sin cos gt t v y t v x θθ 当小石子落在山坡上时，有 ⎩⎨⎧-==ααsin cos S y S x 联立以上四个方程，求解可得小石子在空中飞行的时间（即从抛出到落在山坡上时所经历的时间）t 所满足的方程为0)cos tan (sin 202=+-t gv t θαθ 解之得)cos tan (sin 20θαθ+=gv t 0=t 是不可能的，因0=t 时小石子刚要抛出．所以小石子落在山坡上的距离为()αθαθαθα2200cos cos )sin(2cos cos cos g v t v xS +===（2）给定0v 和α值时，有)(θS S =，求S 的最大值，可令0=θd dS，即 0cos )2cos(2220=+ααθg v亦即 24απθ-=此时022<θd S d ，所以S 有最大值，且最大值为.cos )1(sin 220max ααg v S +=56 题号：01056 第01章 题型：计算题 难易程度：难试题: 一人扔石子的最大出手速度为10s m 25-⋅=v ．他能击中一个与他的手水平距离为m 50=L ，高为m 13=h 处的一目标吗？在这个距离上他能击中的最大高度是多少？答案: 设抛射角为θ, 则已知条件如图所示, 于是石子的运动方程为()()⎪⎩⎪⎨⎧-==20021sin cos gt t v y tv x θθ可得石子的轨迹方程为θθ2202cos 2tan v gxx y -=假若石子在给定距离上能够击中目标，可令L x =此时有 θθ2202cos 2tan v gL L y -=，即20222022tan tan 2v gL L v gL y -+-=θθ若以θtan 为函数，令0)(tan =θd dy，有gL v 20tan =θ，此时0)(tan 22<θd y d ，即在给定已知条件及给定距离上能够击中目标的最大高度为m 3.12max =y ，故在给定距离上他不能击中m 13=h 高度处的目标．x57 题号：01057 第01章 题型：计算题 难易程度：适中试题: 如果把两个物体A 和B 分别以初速度A v 0和B v 0抛出去．A v 0与水平面的夹角为α，B v 0与水平面的夹角为β，试证明在任意时刻物体B 相对于物体A 的速度为常矢量．答案: 两物体在忽略风力的影响之后，将在一竖直面内作上抛运动，如图所示．则两个物体的速度分别为()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=jgt v i v v j gt v i v v B B B AA Aββααsin cos sin cos 0000 所以在任意时刻物体B 相对于物体A 的速度为()()jv v iv v v v A B A B A Bαβαβsin sin cos cos 0000-+-=-是一与时间无关的常矢量．58 题号：01058 第01章 题型：计算题 难易程度：适中试题: 如果已测得上抛物体两次从两个方向经过两个给定点的时间，即可测出该处的重力加速度．若物体沿两个方向经过水平线A 的时间间隔为A t ∆，而沿两个方向经过水平线A 上方h 处的另一水平线B 的时间间隔为B t ∆，设在物体运动的范围内重力加速度为常量，试求该重力加速度的大小．答案: 设抛出物体的初速度为0v ，抛射角为θ，建立如图所示的坐标系，则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=202021sin 21sin B B B A A A gt t v h gt t v h θθ 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-02sin 202sin 20202g h t g v t g h t g v t B B BA A Aθθ 于是有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=∆-=-+=∆g h g v t t t t t g h g v t t t t t B B B B B B A A A A A A 8sin 44)(8sin 44)(222021221222021221θθ 此二式平方相减可得22228)(8BABAA B t t htt h h g ∆-∆=∆-∆-=． 注意此方法也是实验测量重力加速度的一种方法．59 题号：01059 第01章 题型：计算题 难易程度：容易试题: 一质点从静止出发沿半径为R =1m 的圆周运动，其角加速度随时间的变化规律是）（SI 6122t t -=β，试求质点的角速度和切向加速度的大小．答案: 因为t t 6122-=β，所以()dt t t d 6122-=ω，于是有()⎰⎰-=tdt t t d 020612ωω，故质点的角速度的大小为2334t t -=ω，切向加速度的大小为，t t R a 6122-==βτ．60 题号：01060 第01章 题型：计算题 难易程度：适中试题: 一质点作圆周运动的方程为242t t -=θ（θ以rad 计，计以s t ）．在0=t 时开始逆时针旋转，问：（1）s 5.0=t 时，质点以什么方向转动；（2）质点转动方向改变的瞬间，它的角位置θ等于多大？答案: （1）因质点作圆运动角速度方向改变瞬时，0==dtd θω，即082=-t ，s 25.0=t 所以s 5.0=t 时，质点将开始以顺时针方向转动．（2）质点转动方向改变的瞬间，它的角位置为rad 25.0)25.0(425.02)25.0(2=⨯-⨯=θ61 题号：01061 第01章 题型：计算题 难易程度：较难试题: 质点从静止出发沿半径R =3m 的圆周作匀变速运动，切向加速度2s m 3-⋅=τa ．问：（1）经过多少时间后质点的总加速度恰好与半径成o 45角？（2）在上述时间内，质点所经历的角位移和路程各为多少？答案: 因为3==dtdva τ，所以dt dv 3=，即⎰⎰=t v dt dv 003故质点作圆运动的瞬时速率为t v 3=．质点的法向加速度的大小为()222333t t R v a n ===其方向恒指向圆心．于是总加速度为()ττ 332+=+=n t a a a n ，其中n 为沿半径指向圆心的单位矢量，τ为切向单位矢量．（1）设总加速度a与半径的夹角为α，如图所示，则ταa a =sin ，n a a =αcos当045=α时有τa a n =，即332=t ，1=t （负根舍去），所以s 1=t 时，a与半径成045角．（2）因为t v dtds3==，所以⎰⎰=100)3(dt t ds s 故在这段时间内质点所经过的路程为m 5.1=s ，角位移为rad 5.035.1===R s θ∆．62 题号：01062 第01章 题型：计算题 难易程度：适中试题: 汽车在半径为m 400=R 的圆弧弯道上减速行驶．设某一时刻，汽车的速率为1s m 10-⋅=v ，切向加速度的大小为2s m 2.0-⋅=τa ．求汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向．答案: 已知条件如图所示．汽车的法向加速度为222s m 25.040010-⋅===R v a n汽车的总加速度为()()22222s m 32020250-⋅=+=+=...a a a n τ所以)s (m )2.0(25.02-⋅-+=+=ττ n a a a n ，故加速度a与v 的夹角为041282.025.0tan tan 011'=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--ταa a nττ。

第一章质点运动学1.1一质点沿y 方向运动，它在任意时刻t 的位置由式1052+=t y 给出，式中t 以s 计，y 以m 计算下列各段时间内质点的平均速度大小：(1)2s 到3s (2)2s 到2.1s (3)2s 到2.001s (4)2s 到2.0001s 解：(1)令质点的始末时刻为s t 21=，s t 32=，则质点的平均速度大小为：{}sm sm t t y y /25)23(]10)2(5[10)3(5221212=−+−+=−−=υ(2)令质点的始末时刻为s t 21=，s t 1.22=，则质点的平均速度大小为：{}sm sm t t y y /5.20)21.2(]10)2(5[10)1.2(5221211=−+−+=−−=υ(3)令质点的始末时刻为s t 21=，s t 001.22=，则质点的平均速度大小为：{}sm smt t y y /005.20)2001.2(]10)2(5[10)001.2(5221212=−+−+=−−=υ(4)令质点的始末时刻为s t 21=，s t 0001.22=，则质点的平均速度大小为：sm smt t y y /0005.20)20001.2(]10)2(510)0001.2(5[221212=−−−+=−−=υ1.2一质点沿Ox 轴运动,其运动方程为2653t t x +−=;式中t 以s 计，x 以m 计，试求：(1)质点的初始位置和初始速度；(2)质点在任一时刻的速度和加速度；(3)质点做什么运动；(4)做出t x −图和t −υ图；(5)质点做匀加速直线运动吗？解：（1）设质点初始时刻00=t ，则质点的初始位置为：mm x 3]06053[20=×+×−=即质点的初始位置在Ox 轴正方向3m 处。

因为质点的速度为：tdt dx125+−==υ所以质点的初始速度为：220/5/)0125(s m s m dt dxt −=×+−===υ质点的初始速度大小为2/5s m ，方向沿Ox 轴负方向。

第一章质点运动学国际基本物理量：长度（m）,质量(kg）,时间（s），电流（A）,热力学温度(K)，物质的量（mol）,发光强度（cd）量纲：某一物理量借助有关定义或定律用基本量表示时，表达式中各基本量的指数。

例：F=ma, 则F导出单位为kg*m/(s^-2),力对质量，长度量纲为1，对时间量纲为-2。

§1.2质点运动描述位矢函数：r=r(t)或r={x(t),y(t),z(t)}其中r=xi+yj+zk ，︱r︳=√[x^2+y^2+z^2]消去t即可得轨迹方程速度：V=dr/dt=(Vx)i+(Vy)j+(Vz)k︱V︳=√[(Vx)^2+(Vy)^2+(Vz)^2]加速度：a=dv/dt=(Ax)i+(Ay)j+(Az)k︱a︳=√[(Ax)^2+(Ay)^2+(Az)^2]自然坐标系Eτ为切向量，EN为法向量V=(ds/dt)* Eτ=︱V︳*Eτa=(Aτ)+(AN)=(dv/dt)* Eτ+(v^2/ρ)*EN 其中ρ为该点的转弯半径︱a︳=√[(dv/dt)^2+(v^2/ρ)^2]加速度与切向夹角α=artan(AN/ Aτ)圆周运动角速度：ω=dθ/dt角加速度：β=dω/dt=(d^2θ)/(dt^2)有V=Rω, Aτ=Rβ, AN=Rω^2V=ω×R,求导得a=(Aτ)+(AN)=β×R+ω×v第二章质点动力学牛顿第一定律：惯性和力牛顿第二定律：P=mv,F=dP/dt=d(mv)/dt=m(dv/dt)=ma牛顿第三定律：F1=F2惯性力：F+Fo=MA’其中Fo=-MAo，Ao为所选参考系相对地面的加速度，A’为目标物体在所选参考系中的加速度功：dA=Fcosαdr ，A=∫F*dr功率：P=dA/dt=F*(dr/dt)=F*v保守力做功：只与初末位置有关平动功能原理：除重力外其他力作功等于平动机械能改变量机械能守恒：保守力做功情况下物体动能与势能相互转换而总合不变动能定理：∫F*ds=ΔEk动量定理：∫F*dt=ΔP动量守恒：F=0(F为合外力),则P1=P2=C(常矢量)质心：质点系中所有质点位矢乘上以该位置质点质量为权重的加权平均值第三章刚体力学转动定律：M=Jβ,与牛二（F=ma）类比,M为合外力矩，J为转动惯量，相当于m,β为角加速度，相当于a其中，J=∫r^2*dm回转半径：r=√(J/m)平行轴定理：若质量为m的刚体对过其质心c的某一转轴的转动惯量为Jc,则可知此刚体对于平行于该轴、和该轴相距为d的另一转轴的转动惯量J为：J=Jc+md^2刚体转动动能：Ek=(Jω^2)/2 类比平动动能：Jóm, ωóv刚体重力势能：Ep=mgh力矩的功：dA=M*dθ A=∫M*dθ功率：P=dA/dt= M*dθ/dt=M*ω刚体转动动能定理：A=∫M*dθ=∫Jωdω=[J(ω2)^2-J(ω1)^2]/2其中M为合外力矩注意类比平动转动功能原理：∫M*dθ=mg(H2-H1)+ [J(ω2)^2-J(ω1)^2]/2 其中M为除重力距外其他力矩之和刚体机械能守恒：mgH+ (Jω^2)/2=C（常量）角动量：L= Jω类比P=mv角动量定理：∫M*dt=L2-L1=ΔL 类比∫F*dt=ΔP角动量守恒：L= Jω=C，转动过程中合外力矩为零适用第六章电荷与电场库仑定律：F=(kq1q2)/r^2 其中k=1/(4πεo)真空中的介电常数：εo电场强度：E=F/q(试验)=kq(产生电场的电荷)/r^2场强叠加：dE= k(dq)/r^2 E=k∫[(dq)/r^2]体电荷密度：ρ=(dq)/(dV)面电荷密度：σ=（dq）/(dS)线电荷密度：λ=（dq）/(dL)电偶极距：Pe=ql,其中l为-q指向+q的径矢电偶极子中垂线上某点场强：E=Pe/(4πεoR^3)=kPe/R^3其中R为该点距中垂线中点距离无限长的均匀带电棒在距其距离为a处的点的场强为Ey=2kλ/a,其中λ为线电荷密度半无限长的均匀带电棒在距其距离为a处的点的场强为E=[（√2）*kλ]/a,其中λ为线电荷密度,方向为x轴，y轴角平分线方向均匀带电圆环轴线上任一点场强为：E=kQx/[(x^2+a^2)^(3/2)]其中Q为圆环带电量，a为圆环半径，x为该点到环心的距离均匀带电圆盘轴线上任一点的场强为：E=σ[1-x/√(R^2+x^2)]/(2εo)其中x为该点到圆盘中心距离，R圆盘半径，σ为面电荷密度无限大均匀带电板附近场强：E=σ/(2εo)电通量：dφ=E*dS 场强E也可表示为E= dφ/ d(S⊥)φ=∫E*dS,若S为闭合曲面，则φ=∮E*dS真空中的高斯定理：φ=∮E*dS=(∑q)/ εo一般取对称高斯面则面上场强E=(∑q)/( εoS)半径为R的均匀带电球壳的空间场强分布：r>R时，E=kq/(r^2)r<R时，E=0半径为R的均匀带电球体的空间场强分布：r≥R时，E=kq/(r^2)r<R时，E=krq/(R^3)无限长均匀带电直线空间场强分布：E=2kλ/r 其中r为该点到直线距离半径为R的无限长均匀带电圆柱面空间场强分布：r>R时，E=2kλ/rr<R时，E=0无限大均匀带电薄平板空间场强分布：E=σ/(2εo)一对电荷密度等值异号的无限大均匀带电薄平板空间场强分布：E=σ/εo静电场环路定理：dA=QoEdlcosθQo为试验电荷A=∫dA=kQoQ∫(1/r^2)*dr=kQoQ[(1/Ra)-（1/Rb）]其中Ra为目标电荷到试验电荷运动起点的距离，Rb为目标电荷到试验电荷运动终点的距离电势：U=∫E*dl电势差：Uab=Qo(Ua-Ub) Ua为起点电势，Ub为终点电势单个点电荷的电势分布：U=kq/r (r≠0) 其中r为该点到点电荷距离半径为R均匀带电球面电势分布：r>R时，U=kq/rr≤R时，U=kq/R半径为R的均匀带电（q）细圆环轴线上电势分布：U=kq/[√(R^2+x^2)] 其中x为该点距圆环中心距离当x>>R时，既点无限远，U=kq/x当x=0时，U=kq/R等势面：（1）与电场线正交（2）电场线方向为电势降落方向（3）电场越强处等势面越密，电场越弱处等势面越疏。