C++程序实现非定常COUETTE流速度模拟及古典显式有限差分格式收敛性验证
院系名称能源与动力工程学院
专业名称飞行器动力工程
作者姓名洪启臻(13041222)
2015 年5月13日
C++程序实现非定常COUETTE流速度模拟及古典显式有限差分格式收敛性验证
摘要
非定常Couette流（库艾特流）是指两平行平板间的非定常流，是流体力学中简单而又基础的一种流动方式。有限差分法是CFD(计算流体力学）中常用的方法，其中本文考虑的是扩散式抛物线方程，即热传导方程，运用古典显式有限差分格式，也就是时间导数采用向前差分，空间二阶导数采用中心差分来研究Couette流。进而通过
C++编程来进行Y方向上的速度分布模拟，通过EXCEL做成表格。分别考察了△t等于20,200,2000的情况，得出相应结果。
最后，就古典显式有限差分格式的收敛性给出了讨论，当系数u 大于0.5时，求解将不再收敛，进而验证了数值分析中Von Neumann 得出的结论。
关键字：Couette流（库艾特流）C++ 古典显式有限差分收敛性
一．引言
1.1基础知识[1]
下面，我们先引入流体力学的一些基本假设及控制方程。 我们认为，流体质点是几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。连续介质则是质点连续地充满所占空间的流体或固体。进而提出连续介质模型，即把流体视为没有间隙地充满它所占据的整个空间的一种连续介质，且其所有的物理量都是空间坐标和时间的连续函数的一种假设模型：u =u(t,x,y,z)。 流体的压缩性是用体积压缩率k 来量度
d /d /d d V V k p p ρρ=-=
(1-1) 式中：p 为外部压强。
在研究流体流动过程中，若考虑到流体的压缩性，则称为可压缩流动，相应地称流体为可压缩流体，例如高速流动的气体。若不考虑流体的压缩性，则称为不可压缩流动，相应地称流体为不可压缩流体，如水、油等。本文考虑的流体均为不可压缩流体。 流体的粘性指在运动的状态下，流体所产生的抵抗剪切变形的性质。粘性大小由粘度来量度。流体的粘度是由流动流体的内聚力和分子的动量交换所引起的。粘度有动力粘度μ和运动粘度ν之分。动力粘度由牛顿内摩擦定律导出：
d d u y τμ
= (1-2)
式中：τ为切应力，Pa ；μ为动力粘度，Pa ⋅s ；d /d u y 为流体的剪切变形速率。
根据流体是否满足牛顿内摩擦定律，将流体分为牛顿流体和非牛顿流体。牛顿流体严格满足牛顿内摩擦定律且μ保持为常数。非牛顿流体的切应力与速度梯度不成正比，一般又分为塑性流体、假塑性流体、胀塑性流体3种。本文考虑的流体均为牛顿流体。
描述流体物理量有两种方法，一种是拉格朗日描述；一种是欧拉描述。由于本文需要只介绍欧拉描述。欧拉描述，也称空间描述，它着眼于空间点，认为流体的物理量随空间点及时间而变化，即把流体物理量表示为欧拉坐标及时间的函数。设欧拉坐标为(q1,q2,q3)，用欧拉坐标表示的各空间点上的流体物理量如速度、压强等，在任一时
刻t的值，可写为q1、q2、q3及t的函数。从数学分析知道，当某时刻一个物理量在空间的分布一旦确定，该物理量在此空间形成一个场。因此，欧拉描述实际上描述了一个个物理量的场。
若以f表示流体的一个物理量，其欧拉描述的数学表达式是(设空间坐标取用直角坐标)
f F x y z t F r t
==
(,,,)(,)
(1-3)
进一步的，根据流体流动过程以及流动过程中的流体的物理参数是否与时间相关，可将流动分为定常流动与非定常流动。定常流动是流体流动过程中各物理量均与时间无关，这种流动称为定常流动。非定常流动是流体流动过程中某个或某些物理量与时间有关，则这种流动称为非定常流动。本文考虑的是非定常Couette流，即其流动过程中物理量与时间有关。
流体流动所遵循的物理定律，是建立流体运动基本方程组的依据。这些定律主要包括质量守恒、动量守恒、动量矩守恒、能量守恒、热力学第二定律，加上状态方程、本构方程。在实际计算时，还要考虑不同的流态，如层流与湍流。
在流体力学中，系统是指某一确定流体质点集合的总体。系统与外界无质量交换，但可以有力的相互作用，及能量(热和功)交换。控制体是指在流体所在的空间中，以假想或真实流体边界包围，固定不动形状任意的空间体积。包围这个空间体积的边界面，称为控制面。控制体的形状与大小不变，并相对于某坐标系固定不动。控制体内的流体质点组成并非不变的。控制体既可通过控制面与外界有质量和能量交换，也可与控制体外的环境有力的相互作用。
下面，我们引入计算流体力学中的控制方程，我们仅介绍与本文有关的方程。
质量守恒方程(连续性方程)：质量的守恒写作：
(1-4)
其中ρ是流体的密度。
在不可压缩流体的情况ρ不是时间或空间的函数。方程简化为：
(1-5)
也就是
0u v w x y z ∂∂∂++=∂∂∂ (1-6)
动量守恒方程(运动方程)：动量守恒是流体运动时应遵循的另一个普遍定律，描述为：在一给定的流体系统，其动量的时间变化率等于作用于其上的外力总和，其数学表达式即为动量守恒方程，也称为运动方程，或N-S 方程，其微分形式表达如下：
d d d d d d yx xx zx bx
xy yy zy by yz xz zz bz p p p u F t x y z p p p v
F t x y z p p p w F t x y z ρρρρρρ∂⎧∂∂=+++⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+++⎨∂∂∂⎪
⎪∂∂∂⎪=+++
∂∂∂⎪⎩
(1-7)
式中：bx
F 、by F 、bz
F 分别是单位质量流体上的质量力在三个方向上的
分量；yx p 是流体内应力张量的分量。若不采用简化书写的完整形式非常繁琐，分别为：
上组就是著名的N-S 方程，以克劳德-路易·纳维和乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名，这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及重力之间的关系。
1.2问题背景
本文考虑的是这样的Couette 流动：假设在两相距1m 的无限大平板间充满水，平板原来都处于静止状态，在某一时刻t=0，上平板
