4.3单位圆与诱导公式

sin 53π＝－sin π3；cos 53π＝cos π3；
sin π6＝cos π3；cos π6＝sin π3；
sin
56π＝cos
π3；cos
56π＝－sin
π 3.
[走进教材] 1．根据单位圆理解正、余弦函数的基本性质 根据正弦函数 y＝sin x 和余弦函数 y＝cos x 的定义，我们不难从单位圆看出 它们具有以下性质： (1)定义域是_R__； (2)最大值是_1__，最小值是_－__1__，值域是_[_－__1_,_1_] ____； (3)它们是_周__期__函__数___，其周期是__2_k_π_(_k_∈__Z_，__k_≠__0_)__，最小正周期为 2π.
(3)sin(2π－α)＝－sin α，cos (2π－α)＝_c_o_s_α__.(1.10) (4)sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－__c_o_s_α_.(1.11) (5)sin(π＋α)＝_－__s_in__α_，cos(π＋α)＝－cos α.(1.12) (6)sinπ2＋α＝_c_o_s_α__，cosπ2＋α＝－sin α.(1.13) (7)sinπ2－α＝cos α，cosπ2－α＝__s_in__α_.(1.14)
[自主练习]
1．sin 210°＝( )
3 A. 2
B．－
3 2
1 C.2
D．－12
解析： sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12.
答案： D
2．已知 sin x＝13，则 cosx－π2＝(
)
1 A.3
B．2 3 2
2 C.3
解析：
cosx－π2＝cos－π2＝π＋π3；④53π＝2π－π3；⑤π6＝π2－ π3；⑥56π＝π2＋π3.

利用诱导公式化简式子 设 k 为整数，化简下面的式子： sin（kπ－α）·cos[（k－1）π－α]
sin[（k＋1）π＋α]·cos（kπ＋α）.
【解】 法一：当 k 为偶数时，设 k＝2m(m∈Z)，则原式 ＝ssiinn[（（22mmπ＋－1α））π·＋cosα[]（·co2sm（－21m）π＋π－α）α] ＝sin（sin－（απ）＋·cαo）s（·cπos＋αα）＝（－s－in sαin）α（·c－oscαos α）＝－1； 当 k 为奇数时，可设 k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得，原式＝－ 1.故不论 k 为奇数还是偶数，原式＝－1.
利用诱导公式化简的原则 (1)化简三角函数式的过程，实质上是“统一角”“统一函数名” 的过程，所以在三角函数式的化简过程中应学会“看角、看函 数名”的分析方法． (2)化简三角函数式时，若遇到 kπ±α 的形式时，需分 k 为奇数 和 k 为偶数两种情况进行讨论，然后再正确运用诱导公式进行 化简．常见的一些关于参数 k 的结论有
(4)正确．诱导公式中的角 α 为任意角，在化简时先限定α为锐
角． (5)正确．因为π4－α＋π4＋α＝π2，所以成立．
2．已知 sin x＝13，则 cosx－π2＝(
)
1
22
A.3
B. 3
2 C.3
D．－13
解析：选 A.cosx－π2＝cos－π2－x＝

cosπ2－x＝sin x＝13.
3．若 sin(π＋α)＋sin(－α)＝－m，则 sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)
(2)所有诱导公式可用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆， 其中：
①“变”与“不变”是指互余的两个角的三角函数名改变．
②“奇”“偶”是对

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课堂练习
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课堂小结
（1）利用单位圆的对称性推导诱导公式 ; （数形结合思想） （2）熟记诱导公式; （3）诱导公式的应用:
题型：求值、化简、证明; 要领：把任意角的正弦函数、余弦函数值转化锐角 的正弦函数、余弦函数值.
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课后练习
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0到π/2的角的三角函数
负化正，大化小，最终都要变锐角
10
例题讲授
11
例题讲授
12
例题讲授
13
例题讲授
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例题点评
利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一 般可按下列步骤进行： “负化正，大化小，最终都要变锐角” 注意：这仅仅是一种转化模式或求解思路，不要死记这个步 骤，在实际解题中只要灵活地应用公式求解，先用哪个公式， 后用哪个公式是没有什么固定要求的，完全是可以变换公式 顺序来求解.
y
公式（2）
P(u,v)
o
x
P'(u,-v)
4
新知探究
2.角 与
的正弦函数、余弦函数关系
sin( π) v
y
cos( π) u
π
o
P'(-u,-v)
P(u,v)
x
公式（3）
5
新知探究
3.角 与 公式（4）
的正弦函数、余弦函数关系
y
P'(-u, v) π
o
P(u,v)
x
6
新知探究
4.角 与 公式（5）
的正弦函数、余弦函数关系
? P'
y
π
2
o
P(u,v) x
7
思考交流
8
抽象概括

(2)∵(sin x－cos x)2＝1－2cos xsin x＝4295，
∴sin x－cos x＝±75.∵x 为第四象限角，sin x<0，cos x>0， ∴sin x－cos x<0，∴sin x－cos x＝－75. 联立 cos x＋sin x＝15，得
sin x＝－35，
cos
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第一章三角函数 §4.3单位圆与诱导公式(二)
学习要求
1. 掌握同角三角函数的基本关系式； 2.熟练运用基本关系式公式求值； 3.培养学生分析问题解决问题的能力。
自学导引
上节课我们已学习了任意角三角函数定义，如图所示 ，任意角α三角函数是如何定义的呢？
sinα=___y____ cosα=___x____ tanα=_______
限决定；
(3)用商数关系时，不要另加符号，只需用公式
tan
α＝csoins
α α
代入 sin α、cos α 的值即可求得 tan α.
已知：sin0.8，且为第三象限角，求：cos， tan，cot的值.
解：∵a为第三象限角，∴cosa<0，于是
cos 1sin2 0.6
1．化简：(1)sintaθn－θ－co1s θ；
(2) sin2θ－sin4θ，θ 是第二象限角．
解：(1)sintaθn－θ－cos1
θ＝sincsioθns－θθ－co1s
θ＝sin sin
θ－cos θ－cos cos θ
θθ＝cos
θ.
(2)由于 θ 为 第二 象限 角， 所以 sin θ>0， cos θ<0， 故
tan α sin α . cos α