圆锥曲线公式

圆锥曲线公式
椭圆

1．椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxayb.
2．椭圆22221(0)xyabab焦半径公式
1PFaex，2
PFaex
,12,FF分别为左右焦点

3．焦点三角形：P为椭圆22221(0)xyabab上一点，则三角形12PFF的面积
S=212tan;2PFFb•特别地，若12,PFPF此三角形面积为2b；
4．在椭圆22221(0)xyabab上存在点P，使12PFPF的条件是c≥b,即椭圆的离心率
e的范围是2[,1)2；
5．椭圆的的内外部

(1)点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab.
(2)点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab.
6．椭圆的切线方程

(1)椭圆22221(0)xyabab上一点00(,)Pxy处的切线方程是00221xxyyab.
(2)过椭圆22221(0)xyabab外一点00(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是
00
22
1xxyyab

.

(3)椭圆22221(0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是
22222
AaBbc

.
双曲线
7．双曲线22221(0,0)xyabab的焦半径公式
21|()|aPFexc，2
2
|()|aPFexc

.

8．双曲线的内外部

(1)点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab.
(2)点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab.
9．双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1)若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220xyabxaby.
(2)若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax.
(3)若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x轴
上，0，焦点在y轴上）.
10．双曲线的切线方程

(1)双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)Pxy处的切线方程是00221xxyyab.
(2)过双曲线22221(0,0)xyabab外一点00(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是
00
22
1xxyyab

.

(3双曲线22221(0,0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是
22222
AaBbc

.

11．焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度（即b值）
抛物线
12．焦点与半径
2
2
(0),(,0),;44(0),(),;44aayaxaxaaaya抛物线焦点是准线

抛物线x焦点是0,准线y
13．焦半径公式

抛物线22(0)ypxp，C 00(,)xy为抛物线上一点，焦半径02pCFx.
14．过焦点弦长pxxpxpxCD212122.
对焦点在y轴上的抛物线有类似结论。
15．设点方法

抛物线pxy22上的动点可设为P200(,)2yyp或或)2,2(2ptptP P(,)xy，其中
2
00
2ypx

.

圆锥曲线共性问题

16．两个常见的曲线系方程
(1)过曲线1(,)0fxy,2(,)0fxy的交点的曲线系方程是
12
(,)(,)0fxyfxy
(为参数).

(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221xyakbk,其中22max{,}kab.当
22min{,}kab时,表示椭圆; 当2222
min{,}max{,}abkab

时,表示双曲线.

17．直线与圆锥曲线相交的弦长公式
22
1212
()()ABxxyy

或

2222
211212
(1)()||1tan||1tABkxxxxyyco

（弦端点A),(),,(2211yxByx

由方程0)y,x(Fbkxy 消去y得到02cbxax，0,为直线AB的倾斜角，
k
为直线的斜率）.
18．涉及到曲线上的点A，B及线段AB的中点M的关系时，可以利用“点差法：
比如在椭圆中：

1122
22
11
22

22
22
22

22
0
1212

22
12120

(,),(,),M(0,0),:1(1)1(2)(1)(2)()()AxyBxyxyxyabxyabxyyxxbbxxyyaya••中点则有

19．圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线(,)0Fxy关于点00(,)Pxy成中心对称的曲线是00(2-,2)0Fxxyy.
（2）曲线(,)0Fxy关于直线0AxByC成轴对称的曲线是

2222
2()2()(,)0AAxByCBAxByCFxyABAB



.

20．“四线”一方程

对于一般的二次曲线220AxBxyCyDxEyF，用0xx代2x，用0yy代2y，

用002xyxy代xy，用02xx代x，用02yy代y，即得方程
0000
00
0222xyxyxxyyAxxBCyyDEF

，曲线的切线，切点弦，

中点弦，弦中点方程均是此方程得到.