2008年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷卷Ⅰ（选择题，共20分）一、选择题（本大题共10个小题；每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．(08河北)8-的倒数是（ ） A ．8B ．8-C ．18D ．18-2．(08河北)计算223a a +的结果是（ ） A ．23aB ．24aC ．43aD ．44a3．(08河北)把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图1则这个不等式组可能是（ ） A ．41x x >⎧⎨-⎩，≤B ．41x x <⎧⎨-⎩，≥C ．41x x >⎧⎨>-⎩，D ．41x x ⎧⎨>-⎩≤，4．(08河北)据河北电视台报道，截止到2008年5月21日，河北慈善总会已接受支援汶川地震灾区的捐款15 510 000元．将15 510 000用科学记数法表示为（A ．80.155110⨯ B ．4155110⨯C ．71.55110⨯D ．615.5110⨯5．(08河北)图2中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ A ．点P B ．点O C ．点M D ．点N6．(08河北)某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．23000(1)5000x += B ．230005000x =C ．23000(1)5000x +=％D ．23000(1)3000(1)5000x x +++=7．(08河北)如图3，已知O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则到弦AB 所在直线的距离为2的点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．(08河北)同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6）．下列事件中是必然事件的是（ ） A ．两枚骰子朝上一面的点数和为6 B ．两枚骰子朝上一面的点数和不小于2 C ．两枚骰子朝上一面的点数均为偶数 D ．两枚骰子朝上一面的点数均为奇数9．(08河北)如图4，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直．若小正方形的边长为x ，且010x <≤，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是图1图2 图3（ ）10．(08河北)有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图5-1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90，则完成一次变换．图5-2，图5-3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ）A ．上B ．下C ．左D ．右2008年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷卷Ⅱ（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共8个小题；每小题3分，共24分．把答案写在题中横线上）11．(08河北)如图6，直线a b ∥，直线c 与a b ， 相交．若170∠=， 则2_____∠=．12．(08河北)当x =时，分式31x -无意义． 13．(08河北)若m n ，互为相反数，则555m n +-= ． 14．(08河北)如图7，AB 与O 相切于点B ，AO 的延长线交O 连结BC ．若36A ∠=，则______C ∠=．15．(08则这些学生成绩的众数为 ． 16．(08河北)图8每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是 g ．17．(08河北)点(231)P m -，在反比例函数1y x=的图象上，则m =图4 x A ． x B ． x C ． D ． 图5-1 图5-2 图5-3 …1 2 ba图6 c图7 图818．(08河北)图9-1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若6AC =，5BC =，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图9-2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．三、解答题（本大题共8个小题；共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．(08河北)（本小题满分7分）已知2x =-，求21211x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的值．20．(08河北)（本小题满分8分）某种子培育基地用A ，B ，C ，D 四种型号的小麦种子共2 000粒进行发芽实验，从中选出发芽率高的种子进行推广．通过实验得知，C 型号种子的发芽率为95％，根据实验数据绘制了图10-1和图10-2两幅尚不完整的统计图． （1）D 型号种子的粒数是 ； （2）请你将图10-2的统计图补充完整；（3）通过计算说明，应选哪一个型号的种子进行推广； （4）若将所有已发芽的种子放到一起，从中随机取出一粒，求取到B 型号发芽种子的概率．21．(08河北)（本小题满分8分）如图11，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ． （1）求点D 的坐标； （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ABC图9-1 图9-2A35% B20% C 20% D 各型号种子数的百分比 图10-1 图10-2ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．22．(08河北)（本小题满分9分）气象台发布的卫星云图显示，代号为W 的台风在某海岛（设为点O ）的南偏东45方向的B点生成，测得OB =．台风中心从点B 以40km/h 的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点C 处．因受气旋影响，台风中心从点C 开始以30km/h 的速度向北偏西60方向继续移动．以O 为原点建立如图12所示的直角坐标系．（1）台风中心生成点B 的坐标为 ，台风中心转折点C 的坐标为 ；（结果保留根号）（2）已知距台风中心20km 的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点A ）位于点O 的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初．．侵袭该城要经过多长时间？23．(08河北)（本小题满分10分）在一平直河岸l 同侧有A B ，两个村庄，A B ，到l 的距离分别是3km 和2km ，km AB a =(1)a >．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为1d ，且1(km)d PB BA =+（其中BP l ⊥于点P ）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为2d ，且2(k m)d P A P B =+（其中点A '与点A 关于l 对称，A B '与l 交于点P ）．观察计算（1）在方案一中，1d = km （用含a 的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算2d 的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇C 6045图13-1 图13-2图13-3同学的思路计算，2d = km （用含a 的式子表示）． 探索归纳（1）①当4a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）； ②当6a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）请你参考右边方框中的方法指导，就a （当1a >时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？24．(08河北)（本小题满分10分）如图14-1，ABC △的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且AC BC =；EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP △沿直线l 向左平移到图14-2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP △沿直线l 向左平移到图14-3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．25．(08河北)（本小题满分12分）研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提A （E ） BC （F ） PlllB FC 图14-1图14-2图14-3可以对它们的平方进行比较：2m n 2-=22()m n ∴-当22m n -当22m n -供了如下成果：第一年的年产量为x （吨）时，所需的全部费用y （万元）与x 满足关系式2159010y x x =++，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p 甲，p 乙（万元）均与x 满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用） （1）成果表明，在甲地生产并销售x 吨时，11420p x =-+甲，请你用含x 的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润w 甲（万元）与x 之间的函数关系式； （2）成果表明，在乙地生产并销售x 吨时，110p x n =-+乙（n 为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n 的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．26．(08河北)（本小题满分12分）如图15，在Rt ABC △中，90C ∠=，50AB =，30AC =，D E F ，，分别是AC AB BC ，，的中点．点P 从点D 出发沿折线DE EF FC CD ---以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线BC CA -于点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）． （1）D F ，两点间的距离是 ；（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由；（3）当点P 运动到折线EF FC -上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值； （4）连结PG ，当PG AB ∥时，请直接．．写出t 的值．图15参考答案二、选择题 11．70； 12，1； 13．5-； 14．27；15．9分（或9）；16．20； 17．2； 18．76． 三、解答题 19．解：原式21(1)x xx x -=⨯- 11x =-． 当2x =-时，原式13=-．20．解：（1）500； （2）如图1；（3）A 型号发芽率为90％，B 型号发芽率为92.5％， D 型号发芽率为94％，C 型号发芽率为95％． ∴应选C 型号的种子进行推广． （4）3701(B )6303703804705P ==+++取到型号发芽种子． 21．解：（1）由33y x =-+，令0y =，得330x -+=．1x ∴=．(10)D ∴，． （2）设直线2l 的解析表达式为y kx b =+，由图象知：4x =，0y =；3x =，32y =-． 4033.2k b k b +=⎧⎪∴⎨+=-⎪⎩，326.k b ⎧=⎪∴⎨⎪=-⎩，∴直线2l 的解析表达式为362y x =-． （3）由3336.2y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得23.x y =⎧⎨=-⎩，(23)C ∴-，． 3AD =，193322ADC S ∴=⨯⨯-=△．（4）(63)P ，． 22．解：（1）B -，C -； （2）过点C 作CD OA ⊥于点D ，如图2，则CD =．图160在Rt ACD △中，30ACD ∠=，CD =，3cos30CD CA ∴==200CA ∴=． 20020630-=，5611+=， ∴台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时．23．观察计算 （1）2a +； （2． 探索归纳（1）①<；②>；（2）222212(2)420d d a a -=+-=-．①当4200a ->，即5a >时，22120d d ->，120d d ∴->．12d d ∴>； ②当4200a -=，即5a =时，22120d d -=，120d d ∴-=．12d d ∴=； ③当4200a -<，即5a <时，22120d d -<，120d d ∴-<．12d d ∴<．综上可知：当5a >时，选方案二； 当5a =时，选方案一或方案二；当15a <<（缺1a >不扣分）时，选方案一． 24．解：（1）AB AP =；AB AP ⊥． （2）BQ AP =；BQ AP ⊥．证明：①由已知，得EF FP =，EF FP ⊥，45EPF ∴∠=． 又AC BC ⊥，45CQP CPQ ∴∠=∠=．CQ CP ∴=．在Rt BCQ △和Rt ACP △中，BC AC =，90BCQ ACP ∠=∠=，CQ CP =，Rt Rt BCQ ACP ∴△≌△，BQ AP ∴=．②如图3，延长BQ 交AP 于点M ．Rt Rt BCQ ACP △≌△，12∴∠=∠．在Rt BCQ △中，1390∠+∠=，又34∠=∠，lAB FC Q 图3M12 34 EP241390∴∠+∠=∠+∠=． 90QMA ∴∠=．BQ AP ∴⊥．（3）成立． 证明：①如图4，45EPF ∠=，45CPQ ∴∠=．又AC BC ⊥，45CQP CPQ ∴∠=∠=．CQ CP ∴=．在Rt BCQ △和Rt ACP △中，BC AC =，90BCQ ACP ∠=∠=，CQ CP =，Rt Rt BCQ ACP ∴△≌△．BQ AP ∴=．②如图4，延长QB 交AP 于点N ，则PBN CBQ ∠=∠．Rt Rt BCQ ACP △≌△，BQC APC ∴∠=∠．在Rt BCQ △中，90BQC CBQ ∠+∠=，90APC PBN ∴∠+∠=．90PNB ∴∠=． QB AP ∴⊥．25．解：（1）甲地当年的年销售额为211420x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭万元； 2399020w x x =-+-甲． （2）在乙地区生产并销售时， 年利润222111590(5)9010105w x nx x x x n x ⎛⎫=-+-++=-+-- ⎪⎝⎭乙． 由214(90)(5)535145n ⎛⎫⨯-⨯--- ⎪⎝⎭=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，解得15n =或5-． 经检验，5n =-不合题意，舍去，15n ∴=． （3）在乙地区生产并销售时，年利润2110905w x x =-+-乙， 将18x =代入上式，得25.2w =乙（万元）；将18x =代入2399020w x x =-+-甲， lABQP EF图4N C得23.4w =甲（万元）．w w >乙甲，∴应选乙地．26．解：（1）25． （2）能．如图5，连结DF ，过点F 作FH AB ⊥于点H ， 由四边形CDEF 为矩形，可知QK 过DF 的中点O 时，QK 把矩形CDEF 分为面积相等的两部分（注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明），此时12.5QH OF ==．由20BF =，HBF CBA △∽△，得16HB =． 故12.5161748t +==． （3）①当点P 在EF 上6(25)7t ≤≤时，如图6．4QB t =，7DE EP t +=，由PQE BCA △∽△，得7202545030t t--=． 21441t ∴=． ②当点P 在FC 上6(57)7t ≤≤时，如图7． 已知4QB t =，从而5PB t =，由735PF t =-，20BF =，得573520t t =-+． 解得172t =． （4）如图8，213t =；如图9，39743t =． （注：判断PG AB ∥可分为以下几种情形：当6027t <≤时，点P 下行，点G 上行，可知其中存在PG AB ∥的时刻，如图8；此后，点G 继续上行到点F 时，4t =，而点P 却在下行到点E 再沿EF 上行，发现点P 在EF 上运动时不存在PG AB ∥；当6577t ≤≤时，点P G ，均在FC 上，也不存在PG AB ∥；由于点P 比点G 先到达点C 并继续沿CD 下行，所以在6787t <<中存在PG AB ∥的时刻，如图9；当810t ≤≤时，点P G ，均在CD 上，不存在PG AB ∥）E B图5B图6E B图7B图8B图9。
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线.3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）424424的值为（满足），则．1．已知实数y?3?y，y???3y，x424xxx 1?137?13（C）（D）5 （A）7 （B）22 A）【答】（22y，，由已知条件得因为0≥解：0?x13?3?1???3113?1?1?4412??4?42???y?，，2284x24224227．所以??y6?3?3?y???y?422xxx22?2(?)?(?)?3?022?2222为根的一元二次方另解：由已知得：，以，显然y,?y??xx?22xx?22?3y?(y0)??222220??t?3t程为，所以3?y? (??)?)?y??1,(22xx42242222y?＝故?2?][(??(?1)2??(?3)?7)?yy?()?422xxx2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先2?mx?ny?x的图象与m后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为，n，则二次函数x轴有两个不同交点的概率是（）．54171 （A）（B）（C）（D）923612．C）【答】（ . 由题意知，即可以得到36个二次函数解：基本事件总数有6×6＝3622.＞0，即＝4＞mn?4mn?17. 对. 故17通过枚举知，满足条件的有?Pnm，36个点6个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这3．有两个同心圆，大圆周上有4 ．)可以确定的不同直线最少有(条）12 （D （C）10条 6 （A）条（B）8条）（B【答】，两两连线DC，个不同的点A，B，解：如图，大圆周上有4中，至少有一FE，可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点，CB，BD的交点，则它与A，个不是四边形ABCD的对角线AC与的两两连线．从而这DC，A，B，D的连线中，至少有两条不同于条．个点可以确定的直线不少于86 3题）（第条直线．个点如图所示放置时，恰好可以确定8当这6 8条．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有内作正△．以为一边在圆4．已知是半径为1的圆的一条弦，且O?1OAB?aABAB，则的延长线交圆于点A的一点，且，，点为圆上不同于点ODCDB?ABABC?OaED）．的长为（AE35a D）a1 （C（A））（（B）22（B）【答】?设，则OA，OB．解：如图，连接OE，?D??．EAC?120????ECA?4题）（第11????又因为，2180?????ABO?ABD??60???12022≌所以，于是．1?AE?ACE△OA△ABO AFAB为半径，以点B为圆心，另解：如图，作直径EF，连结FO上，，则点＝BC＝BDA，C，D都在⊙B ，因为作⊙BAB ECD11??60?30??EDA??CBA???F由22AB1??30??AE?EFsim?F2?sim所以3，4，，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续，．将512 ．）三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（．5种（D）种（C）4种（A）2种（B）3 D）【答】（5的一个满足要求的排列．，4，是1，2，3解：设aa，，a，a，a51432，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，首先，对于a，a，a，a4123与已知条件矛盾．是奇数，这说明一个偶数后面一定要是奇数，则≤3）是偶数，又如果（1≤i aaa2ii?1i?接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．种情形满足条件：所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5a，a，a，a，a54213；1，4，3；2，5，，，，1，34，5；2，3，5，41 2 ．，1，3，25；4，54，3，1，2，30分）6二、填空题（共5小题，每小题分，满分1的方程x*”为：．若关于．对于实数u，v，定义一种运算“6??a?x)x?(vu?v?uv?4．有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是【答】，或．1a?0?a?112，解：由，得0?1)x??(a?1)x??(a?x?(a?x)44，01?a??依题意有?2，?0(?a?1)??(a?1)?，或．解得，1a??a?0分钟从迎路公交车，每隔36分钟从背后驶过一辆187．小王沿街匀速行走，发现每隔路公交车总站每隔路公交车行驶速度相同，而且1818路公交车．假设每辆18面驶来一辆分钟．固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是．【答】4y x分，同向行驶的相邻两车/路公交车的速度是米米/分，小王行走的速度是解：设18s的间距为米．①．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则s6xy??6②．分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则3每隔sy3x?3?s4?，所以由①，②可得．xs?4x分钟．418即路公交车总站发车间隔的时间是题）8（第BC的中点，，点M是．如图，在△中，AB=7，AC=118ABC FC的长为AD是∠BAC 的平分线，MF∥AD，则．9．【答】AB，则MN∥如图，设点N是AC的中点，连接MN解：．又，所以MFN????BAD?MF//AD?DAC?FMN，1．所以?FNAB?MN2 8题答案）（第119．因此?NC?AB?AC?FC?FN E22交BA的延长线为E，延长MF另解：如图，过点C作AD的平行线交N.于点AE N则ACE??DAC???E??BAD A F CENF//CEAE?AC?11FN是等腰梯形，，所以四边形所以.又11B911)??BE?(7CF?EN??C即MD22，分别与DE∥BC的内切圆圆心CA＝9，过△ABCI作．△9ABC中，AB＝7，BC＝8，．，则AB，AC相交于点D，EDE的长为16【答】．3 r，b，c，内切圆I的半径为解：如图，设△ABC的三边长为a，h，则BC边上的高为a11，r?c)?ahS?(a?b ABCa△22（第9题答案）ar?．所以cah?b?a r?hDE a?，，所以它们对应线段成比例，因此因为△ADE∽△ABC BCh a rh?)?ca(bar a)a?(?1??a?DE?(1a)?，所以c?b?ahhc?b?a aa619?（7?）8?DE?．故37?9?812?4?3?5?125另解：＝cb?a?125S25?122?p5?r?△ABC???35h所以（这里，）a2128a r?h25DE35?a，得ADE∽△ABC，由△???3BCh a216即?DE??BC3322的所有正整数解为．关于x，y的方程．10)?y?208(xx?y x?48，x?160，??【答】??y?32，y?32.??解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数．设，则b?2?2a,yx22，)?b?104(aa?b同上可知，a，b都是偶数．设，则d?22c,ba?22，)d?52(cc??d所以，c，d都是偶数．设，则t2s,d?c?222?26(st?ts)?，22213)??((s?13)t，＝于是132?其中s，t都是偶数．所以22222213)13??(s(?13)t?2?．≤11?1315?2?213?s13)?(t为337，329，进而，313，289，257所以，故只能，可能为1，3，57，9s?6，s?20，??2s?1313)t?(＝7．于是，从而＝289是??t?4；t?4，??，x?16，0x?48??因此??，y?32.y?32?? 2222?104)21632,y?210421632?(?104)y104)x(??(??则有因为另解：又y正整数，所以43?y?1．22令21632by?104|,则a???a|x?104|,b?|95，6，因为任何完全平方数的个位数为：1，4，2222 6和6；的个位数只能是1和由1或知ba,21632a??b229的个位数字可以为1当或和的个位数是11时，则ba,ba,22的十位数字为但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与3矛盾。
江南大学网络教育入学测试模拟卷 （适用高中起点200803批次起的学生）测试科目：数学一、选择题1、方程0422=--k x x 有两个相等的实数根，则k 的值为（ ）A. -1B. -2C.1D.22、设A=｛x ｜x 2-x-6>0 ｝，B=｛x ｜x-1 ≤1 ｝，则A ∩B=（ ） A.｛x ｜x >3 ｝ B. {x ｜x <-2｝C. {x ｜-2<x ≤1 ｝D. {x ｜x ≤1 ｝3、当012,022<--<a ax x a 不等式时的解是（ ） A. a x a x 43>-<或 B. a x a 43-<<- C. a x a 34-<<D.a x a 43<<-4、已知集合下面对应法则能构成从A 到B 的映射的是（ ）． A. B. C.D.5、函数y=2｜x ｜的图像（ ） A.关于y 轴对称 B.关于x 轴对称C.关于原点对称D.关于原点和坐标轴都不对称6、在100以内有多少个能被7个整除的自然数（ ）A. 15个B. 14个C. 13个D. 12个7、a ，b ，c ，d ，e 共5人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是（ ）A. 20 B. 16C. 10D. 68、若sinx ＝54，且x 为第二象限角，则tanx 的值等于（ ）A.-34B.±43C.±34D.439、若的值等于，则且θθθπθcos231cos sin ),,0(=+∈ （ ）A.179-B.917C. 179±D.173- 10、函数y=cos ｘ小的图象的一条对称轴方程是（ ）A. x=－B. x=－C. x=０D. X=11、若点A(3，3)，B(2，4)，C(a ，10)，三点在一条直线上，则a 的值为（ ）A.－4 B.－3 C.－2 D.412、方程a 2x 2+(a+2)y 2+2ax+a=0表示圆，则 （ ）A. a=-1 B. a=2 C. a=-1或2 D. a=113、在△MNK 中,∠K 为直角,∠M 、∠N 、∠K 所对的边分别为m 、n 、k ，则∠M 的正弦值为 （ ）A.k nB.n mC.m nD.km ①作为潮州人族群的风味菜肴化学教14、在直角坐标系中，已知一条直线上点的横坐标减去纵坐标的差为－5，则这条直线所对应的函数解析式为 （ ）A.5+=x y B.5-=x y C.5--=x y D.5+-=x y15、已知α、β分别为钝角、锐角.甲、乙、丙、丁四位同学各取α、β的一组计算)(61βα+,得出如下四种不同的答案，其中一定错误的只有 （ ）A.20° B.60° C.30° D.40°16、如果点)1,1(y x M --在第二象限，那么)1,1(--y x 必在（ ）A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限17、l 1、l 2表示直线，给出下列四个论断：⑴l 1∥l 2；⑵l 1切⊙O 于点A ；⑶l 2切⊙O 于点B ；⑷AB 是⊙O 的直径.若以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题，在这些命题中，有（ ）个正确的命题. A.1 B.2 C.3 D.418、如图，是一种圆管的横截面为同心圆的圆环面，现测量出与圆管（内）小圆相切的（外）大圆的弦长为l ，则阴影部分的面积为（ ）A.22πl B.82πl C.42πl D.不能确定19、在下列四个命题中，错误．．的一个为（ ） A.已知在n 个数据中，x 1出现了f 1次，x 2出现了f 2次，……x k 出现了f k 次（f 1+f 2+…+f n =n ），x 是这n 个数据的平均数.则+-+-)()(2211x x f x x f …0)(=-+x x f k k B.一组数据的众数、中位数与平均数有可能是同一数据C.一组数据的方差为2s ，将这组数据中的每个数据都乘以21，所得的一组新数据的方差是22sD.将一批数据分成5组列出频率分布表.其中第一组的频率是a ，第4组与第5组的频率之和是b .那么第2组与第3组的频率之和是1―a ―b20、已知a ＞1，下列不等式正确的一个为（ ） A.a 1＞a B.a ＞a C.a 1＜a 1D.a1＞12+a 1921、 如图，在一个房间内，一梯子斜靠在墙上，有如下两种情况：（Ⅰ）梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a （m ），梯子倾斜角为75°；（Ⅱ）若梯子顶端距地面的垂直距离NB 为b （m ），梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB 是（ ）A.a （m ） B.b （m ） C.)(2m b a + D.)(2m ba -22、在下列4个事件中,为随机事件的是 （ ）A.导体通电时,发热B.一个电影院某天上座率为50％C.当x 是实数时,2x ≥0 D.没有水份,种籽发芽23、为了让人们感受丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢弃的塑料袋的数量，结果如下（单位：个）：33 25 28 26 25 31.如果该班有45名学生，则根据提供的数据估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量为（ ） A.900个 B.1080个 C.1260个 D.1800个24、某火车站为了了解某月每天上午乘车人数，抽查了其中10天的每天上午的乘车人数，所抽查的这10天每天上午乘车人数是这个问题的（ ）A.总体 B.个体 C.一个样本 D.样本容量25、下列计算，正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．26、下列说法中，正确的是（）A.一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线。
2008年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆； （Ⅱ）设E 是ABC ∆外接圆O 的AB 上一点，满足：AE AB =，1BC EC =，12ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O的切线，AC =，求()f P 的最小值． [解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅． 因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅．因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在AC 上时，()()f P PB PD CA =+⋅．又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号．因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时，()f P 取最小值min ()f P AC BD =⋅．故当()f P 达最小值时，,,,P A B C 四点共圆．（Ⅱ）记ECB α∠=，则2E C Aα∠=，由正弦定理有sin 2sin 3AE AB αα==，从而s i n 32s i n 2αα=34sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得24cos 0αα-=，解得cos αcos α=， 故30α=，60ACE ∠=． 答一图1由已知1BCEC ==()0sin 30sin EAC EAC∠-∠,有sin(30)(1)sin EAC EAC ∠-=∠，即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC∠-∠=∠，整理得1cos 2EACEAC ∠=∠，故tan 2EAC ∠==75EAC ∠=， 从而45E ∠=，45DAC DCA E ∠=∠=∠=，ADC ∆为等腰直角三角形．因AC 1CD =．又ABC ∆也是等腰直角三角形，故BC =，212215BD=+-⋅=，BD =故min ()f P BD AC =⋅= [解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接BD 交ABC ∆的外接圆O 于0P 点（因为D 在O 外，故0P 在BD 上）． 过,,A C D 分别作000,,P A PC P D的垂线，两两相交得111A B C ∆，易知0P 在ACD ∆内，从而在111A B C ∆内，记ABC∆之三内角分别为x y z ，，，则0180APC y z x ∠=︒-=+，又因110B C P A ⊥，110B A PC ⊥，得1B y ∠=，同理有1A x ∠=，1C z ∠=， 所以111A B C ∆∽ABC ∆．设11B C BC λ=，11C A CA λ=，11A B AB λ=，则对平面上任意点M ，有 0000()()f P P A BC P D CA PC AB λλ=⋅+⋅+⋅ 011011011P A B C P D C A PC A B =⋅+⋅+⋅ 1112A B C S ∆=111111MA BC MD C A MC A B ≤⋅+⋅+⋅ ()MA BC MD CA MC AB λ=⋅+⋅+⋅ ()f M λ=， 从而 0()()f P f M ≤． 由M 点的任意性，知0P 点是使()f P 达最小值的点． 由点0P 在O 上，故0,,,P A B C 四点共圆． （Ⅱ）由（Ⅰ），()f P 的最小值 11102()A B C f P S λ∆=答一图22ABC S λ∆=，记ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有sin 2sin 3AE AB αα==2sin 2αα=，34sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得24cos 0αα-=，解得cosαcos α=，故30α=，60ACE ∠=．由已知1BCEC ==()sin 30sin EAC EAC∠-∠,有sin(30)(1)sin EAC EAC ∠-=∠，即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠，整理得1cos 2EAC EAC ∠=∠，故tan 2EAC ∠==75EAC ∠=，所以45E ∠=︒，ABC ∆为等腰直角三角形，AC =，1ABC S ∆=，因为145AB C ∠=︒，1B 点在O 上，190AB B ∠=︒，所以11B BDC 为矩形，11B C BD ==故λ=min ()21f P =[解法三] （Ⅰ）引进复平面，仍用,,A B C 等代表,,A B C 所对应的复数．由三角形不等式，对于复数12,z z ，有 1212z z z z +≥+，当且仅当1z 与2z （复向量）同向时取等号．有 P A B C P C A B P A B C P C A B⋅+⋅≥⋅+⋅， 所以 ()()()()A P CBC P B A --+-- ()()()()A P C B C P B A ≥--+-- （1） P C A B C B P A =-⋅-⋅+⋅+⋅ ()()B P C A P B A C =--=⋅， 从而 P A B C P C A B PD C A⋅+⋅+⋅ PB AC PD AC ≥⋅+⋅()PB PD AC =+⋅BD AC ≥⋅． （2）（1）式取等号的条件是复数 ()()A P C B --与()()C P B A -- 同向，故存在实数0λ>，使得()()()()A P C B C P B A λ--=--，A PB AC P C Bλ--=--， 所以 a r g ()a r g ()A PB AC PC B--=--， 向量PC 旋转到PA 所成的角等于BC 旋转到AB 所成的角， 从而,,,P A B C 四点共圆．（2）式取等号的条件显然为,,B P D 共线且P 在BD 上．故当()f P 达最小值时P 点在ABC ∆之外接圆上，,,,P A B C 四点共圆． （Ⅱ）由（Ⅰ）知min ()f P BD AC =⋅． 以下同解法一．二、（本题满分50分）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明： （Ⅰ）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期； （Ⅱ）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>>(1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)n a n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．[证] （Ⅰ）若T 是有理数，则存在正整数,m n 使得nT m=且(,)1m n =，从而存在整数,a b ，使得1ma nb +=． 于是11ma nb a bT a b T m m+==+=⋅+⋅ 是()f x 的周期． 又因01T <<，从而2m ≥．设p 是m 的素因子，则m pm '=，m *'∈N ，从而11m p m'=⋅ 是()f x 的周期．（Ⅱ）若T 是无理数，令111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， 则101a <<，且1a 是无理数，令21111a a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……111n n n a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……．由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<．又111n n a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦，故11n n n a a a ⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦，即111n n n n a a a a +⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦．因此{}n a 是递减数列． 最后证：每个n a 是()f x 的周期．事实上，因1和T 是()f x 的周期，故111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦亦是()f x 的周期．假设k a 是()f x 的周期，则111k k k a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦也是()f x 的周期．由数学归纳法，已证得n a 均是()f x 的周期．三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k =．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件：（ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n =；（ⅱ）lim n n x →∞存在；（ⅲ）20082007111n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n =．[证] 必要性：假设存在{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii ）．注意到（ⅲ）中式子可化为 2008111()n n k n k n k k x x a x x -++-=-=-∑，n ∈*N ，其中00x =．将上式从第1项加到第n 项，并注意到00x =得 111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++-．由（ⅱ）可设lim n n b x →∞=，将上式取极限得 112220082008()()()b a b x a b x a b x =-+-++- 20081122200820081()k k b a a x a x a x ==⋅-+++∑20081k k b a =<⋅∑，因此200811k k a =>∑．充分性：假设200811k k a =>∑．定义多项式函数如下：20081()1k k k f s a s ==-+∑，[0,1]s ∈，则()f s 在[0,1]上是递增函数，且(0)10f =-<，20081(1)10k k f a ==-+>∑．因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =，且001s <<，即0()0f s =．下取数列{}n x 为01nkn k x s ==∑，1,2,n =，则明显地{}n x 满足题设条件（ⅰ），且1000101n nkn k s s x s s +=-==-∑． 因001s <<，故10lim 0n n s+→∞=，因此100000lim lim 11n n n n s s s x s s +→∞→∞-==--，即{}n x 的极限存在，满足（ⅱ）．最后验证{}n x 满足（ⅲ），因0()0f s =，即2008011kk k a s ==∑，从而200820082008101111()()nk n n k n n k k k n k n k k k k x x s a s s a sa x x +-++-===-====-∑∑∑．综上，存在数列{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）． 出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
