张宇数学基础班笔记
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张宇数学基础班笔记
一、三种层次
层次一：感知——形式上
层次二：再现——本质上
注1：2013年人数众多、题目特别难
注2：洛必达法则在两种情况下要慎用：（狠下功夫）
（1） f(x)/g(x)时，f、g为抽象函数
（2） f(x)/g(x)时，f、g含参数（半抽象）
注3：洛必达法则的证明及其使用前提、拉格朗日中值
定理的证明之类的题要注意
注4：有限个无穷小的和是无穷小；有限个无穷小的积
是无穷小。
无限个无穷小的 和不一定是无穷小；无限个无
穷小的积也不一定是无穷小。（到此为止）
层次三：融通——解题能力（听课听得懂、看书看得懂，
都不算解题能力，应该是在无任何提示的情况下独立做
对题目）
1. 泰勒公式：碰上此类难背的工具——具体学、不抽
象学、不单纯背书。
用泰勒公式解决A+/-B型函数的极限计算
——泰勒公式是等价替换的精确化；等价替换是近似代
换，泰勒公式是精确代换。
——泰勒公式：事不过三，只记两项。SinX=X-1/6（(X)
的三次方）
o(X的m次方)——代表任何一个X的m次方的高阶无
穷小
arcsinX-arctanX=1/2(X3)
sinX-tanX=-1/2(X3)
注意：lim（A+B）=limA+limB——后验逻辑（极限计算：
能不能拆？拆了再说。）
注意：通法——目标：干掉f（x）去掉抽象函数，分母
相同时直接（2）式－（1）式
练习：SinX+X~2X
二、
三、真题——好又多（1987-2001-2012：一、二、三、
四）
四、大纲——不能拘泥大纲
五、特点（高数）
1． 注意：答题纸跟草稿纸非常像，一定小心。不要塞
进草稿纸
2． 高等数学难度加大，远远高于线代、概率。重点在
高数。
3． 重心前移：在二重积分及其以前。
4． 数学二的真题最有价值——最好的习题：数学二、
四。
5． 必备资料：
（1） 教材：高等数学：同济大学第六版
（2） 辅导书：（很好）概率：陈希孺院士、高数18
讲
（3） 真题：2013考研数学历年真题分析与演练
第二讲 高等数学考试内容分析
1. 关于函数：
(1) 复合——分段函数的复合
(2) （必考）考察函数的微分或者积分形式下的四个性
质：奇偶性、单调性、周期性、有界性。06:54
2. 函数的极限计算
（1） 基础题——其中未定式：
【例】
——
——D.不
存在
注1：极限若存在，必唯一
注2:正三角——变——倒三角
【解】
（2） 技术题：如：用泰勒公式求极限（A+-B型）
3. 数列的极限计算：
（1） 夹逼定理
（2） 定积分定义
（3） 级数求和
4. 导数的计算：
（1） 复合求导
（2） 参数方程求导
（3） 隐函数求导
（4） 对数求导法
（5） 高阶导数
5. 导数的几何应用及物理应用
（1） 三点：极值点、最值点和拐点——区分
（2） 两性：单调性、凹凸性
（3） 一线：渐近线
数三：导数的物理意义不考
6. 中值定理：13个定理
（1） 涉及到函数f（x）的：
有界性、
最值性、
介值、
零点
（2） 涉及到倒数f’（x）的：
费马定理、
罗尔定理、
拉格朗日中值定理（2008）、
柯西中值定理（好久未考了）、 泰勒公式（不证）、 导数介值定理、 导数零点定理 （3） 涉及积分的： 积分中值定理——闭区间、 加强版的积分中值定理——开区间 7. 不定积分的基本计算法： （1） 凑微分法 【例题】 【解】 （2） 换元法
【例题】
（3） 分部积分法
【例题】
（4） 有理函数的积分
8. 定积分
（1） 计算：
A． 同不定积分——1/3
B． 特色计算——分段函数、取整函数等——2/3
（2） 应用：几何应用——数三可能出大题
（3） 推广——反常积分：
A． 计算：
B． 判别敛散性：
9. 微积分不等式：（第8节）
第三讲 例题分析 夯实基础 学会复习
【例题1】
【解】（1）用夹逼准则求数列极限是考研重要考的：
夹：相当于对Xn做适当的放缩。
1Umax<=
(有限项)
（无穷项）
【解】
【例题3】
【解】
【例题4】
【例题5】
【解】
1. 用定积分定义求数列极限是考研的又一重要考点：
【步骤】
【例题5】
【例题6】
【解】
【例题7】
【理解二重积分原理】
【步骤】
【解】
【例题8】
【解】
【自练题】
2. 从考试那天起，每天手机只开一小时手机
（23:00-24:00），一直到考试前，勤奋创造奇迹—
—必须关掉手机！
