第五讲的圆提高练习

人教版小学数学六年级上册第5单元圆【知识梳理+例题精讲+专项训练】【知识梳理】一．圆的认识1.圆的定义：圆是由曲线围成的一种封闭的平面图形。

2.圆的各部分名称：（1）圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕交于圆中心的一点，这一点叫做圆心，一般用字母o 表示，它到圆上任意一点的距离相等。

（2）半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r 表示。

把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。

（3）直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d 表示，直径是一个圆内最长的线段。

3.特别注意：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

（2）任何圆都有无数条直径和半径。

（3）同圆或者等圆中，所有的直径相等，所有的半径相等。

d=2rod r（2）绕绳法：拿绳子在圆形物体上绕一圈，量出绳子长度。

圆的周长=圆周率x直径C=2πr半圆弧周长=πr三．圆的面积1.定义：圆所占平面的大小叫做圆的面积。

2.圆的面积计算推导（转化思想）（1）转化成近似长方形①把圆等分重新拼成接近于长方形的图形②这个长方形的长就是圆周长的一半πr ③这个长方形的宽就是半径r④因此，圆的面积就是长x 宽=πr.r =πr 2（2）转化成近似三角形（3）转化成近似梯形①把圆等分重新拼接成接近于梯形的图形②这个梯形的上下底之和就是圆周长的二分之一③这个三角形的高就是2倍的半径④圆的面积就是（上底+下底）x 高÷2=πrx2r÷2=πr 23.圆的面积公式：S=πr 2或者S=π（d ÷2）2【注意】扇形面积公式=�360휋r 2①把圆等分重新拼接成接近于三角形的图形②这个三角形的底就是圆周长的四分之一③这个三角形的高就是4倍的半径④圆的面积就是底x 高÷2=πr÷2x4r÷2=πr2【例题2】看图填空。

圆的直径是（2cm长方形的宽是（【例题3】填空题。

_2__倍，半径是直径的__12__。

圆的知识知识讲解及提高练习解析【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．»»»»要点诠释：在图中(1)直径CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)AC=BC，(5)AD=BD．若上述5个条．件有 2 个成立，则另外 3 个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制 AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论 1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中． 7.圆内接四边形（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角） 考点二、与圆有关的位置关系 1．点和圆的位置关系设⊙O 的半径为 r ，点 P 到圆心的距离 OP ＝d ，则有： 点 P 在圆外 ⇔ d ＞r ； 点 P 在圆上 ⇔ d ＝r ； 点 P 在圆内 ⇔ d ＜r ． 要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点 A 、B 的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．（4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.（5）三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3)三角形的外心与内心的区别：名称外心(三角形外接圆的圆心)内心(三角形内切圆的圆心)确定方法三角形三边中垂线的交点三角形三条角平分线的交点图形性质(1)到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“R-r”时，要特别注意，R＞r．考点三、与圆有关的规律探究1．和圆有关的最长线段和最短线段了解和圆有关的最长线段与最短线段，对有关圆的性质的了解极为重要，下面对有关问题进行简单论述．(1)圆中最长的弦是直径．如图①，AB是⊙O的直径，CD为非直径的弦，则AB＞CD，即直径AB是最长的弦．+ -过圆内一点最短的弦，是与过该点的直径垂直的弦，如图②，P 是⊙O 内任意一点，过点 P 作⊙O 的 直径 AB ，过 P 作弦 CD⊥AB 于 P ，则 CD 是过点 P 的最短的弦．(2)圆外一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段都在过圆心的直线上．如图所示，P 在⊙O 外，连接 PO 交⊙O 于 A ，延长 PO 交⊙O 于 B ，则在点 P 与⊙O 上各点连接的线段中，PB 最长，PA 最短．(3)圆内一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段也都在过圆心的直线上． 如图所示，P 为⊙O 内一点，直径过点 P ，交⊙O 于 A 、B 两点，则 PB 最长、PA 最短．2．与三角形内心有关的角(1)如图所示，I 是△ABC 的内心，则∠BIC = 90° 1 ∠A ．2(2)如图所示，E 是△ABC 的两外角平分线的交点， ∠BEC = 90° 1∠A ． 2(3)如图所示，E 是△ABC 内角与外角的平分线的交点， ∠E = 1∠A ．2- +(4)如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别为切点，则∠DOE＝180°－∠A．(5)如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为切点， ∠DFE = 90° 1∠A ．2(6)如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为切点，P 为 DE 上一点，则 ∠DPE = 90° 1 2∠A ．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用1．已知：如图所示，⊙O 中，半径 OA ＝4，弦 BC 经过半径 OA 的中点 P ，∠OPC＝60°，求弦 BC 的长．【思路点拨】要用好 60°角，构造直角三角形．在圆中常用的是作出弦的弦心距，由弦心距，半弦长及半径构成 直角三角形． 【答案与解析】解：过 O 作 OM⊥BC 于 M ，连接 OC ．2．如图所示，在⊙O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 M ， AD = BC ，连接 AC ．证明：(1) ∵ AD= CB ，∴∠MCA＝∠MAC．在 Rt△OPM 中，∠OPC＝60°， OP = 1OA = 2 ，2∴PM＝1，OM ＝ 3 ．在 Rt△OMC 中，BC ＝2MC ＝ 2 OC 2 - OM 2 = 2 13 ．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．» » (1)求证：△MAC 是等腰三角形；(2)若 AC 为⊙O 直径，求证：AC 2＝2AM·AB．【思路点拨】(1)证明∠MCA＝∠MAC；(2)证明△AOM∽△ABC．【答案与解析】» »∴△MAC 是等腰三角形．(2)连接 OM ．∵AC 为⊙O 直径，∴∠ABC＝90°．∵△MAC 是等腰三角形，OA ＝OC ， ∴MO⊥AC．∴∠AOM＝∠ABC＝90°． ∵∠MAO＝∠CAB，∴△AOM∽△ABC，∴ AO A ． AB > 2CDB ． AB < 2CDC ． AB = 2CDD ． AB 与 2CD 的大小关系无法确定 解：要比较 AB与 2CD 的大小有两种思路． »AB的一半作出来，比较 1 »AB 与 CD的大小； (2)把 2CD 作出来，比较 AB 与 2CD 的大小． 如图所示，作 OE⊥AB，垂足为 E ，交 AB 于 F ．则 AF = BF ，且 AE = ∴ 2 AF > 2CD ，即 AB > 2CD ．AB= AM AC，∴AO·AC＝AM·AB，∴AC 2＝2AM·AB．【总结升华】本题考查的是圆周角定理，涉及到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，涉及面较广，难度适中．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 中，AB ＝2CD ，则( )» » » »» »» »【答案】» »(1)把 2»» »∵AB＝2CD ．∴AE＝CD ．在 Rt△AFE 中，AF ＞AE ＝CD ． ∴AF＞CD ．»» » »答案 A.» » »»12AB ．3．已知：如图所示，△ABC 内接于⊙O，BD⊥半径 AO 于 D ．8= sin C = ．(1)求证：∠C＝∠ABD；(2)若 BD ＝4.8，sinC ＝ 45，求⊙O 的半径．【思路点拨】过 O 作 OE⊥AB 于 E ，连接 BO ，再由垂径定理及三角函数进行证明与求解.【答案与解析】解法一：(1)过 O 作 OE⊥AB 于 E ，连接 BO(如图所示)，则 ∠C = 1∠BOA = ∠AOE ．2又∵ BD⊥AO，∴∠ABD+∠BAD＝90°．∵∠AOE+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠AOE＝∠C．（2）在 Rt△ABD 中， s in ∠ABD =AD 4 ∴ AB 5AD AB ，设 AD ＝4k ，则 AB ＝5k ，BD ＝3k ＝4.8，k ＝1.6． ∴AB＝8，AE ＝4．∵ sin ∠AOE = AE 4 4，∴ = ．∴OA＝5．OA 5 OA解法二：（1）延长 AO 交⊙O 于 C′．（如图所示）∴∠C′＝∠C．∵AC′为⊙O 的直径， ∴∠ABC′＝90°．AC = ∴∠C′+∠BAD＝90°．∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C′＝∠C．（2）在 Rt△BDC′中， s in C = sin C ' =BD BC ' ，∴ BC ' = 4.8 0.8 = 6 ．在 Rt△ABC′中，∵ sin C ' = AB 4 = ， AC ' 5∴设 AB ＝4k ，则 AC′＝5k ，BC′＝3k ＝6．∴k＝2．∴ OA = 11 ⨯10 = 5 ．2 2【总结升华】解决圆周角的问题中常用的方法有两种：一是把圆周角转化为同弧所对圆心角的一半的角；二是将 圆周角的顶点移动到使其一边经过圆心．类型二、圆的切线判定与性质的应用4．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上一点，AD 与过点 C 的切线垂直，垂足为点 D ，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点 P ，弦 CE 平分∠ACB，交 AB 于点 F ，连接 BE ．（1）求证：AC 平分∠DAB；（2）求证：△PCF 是等腰三角形；（3）若 AC=8，BC=6，求线段 BE 的长．【思路点拨】（1）根据切线的性质可得结论；（2）连接 OE ，根据圆周角定理得∠ACB=90°，进而可推导得出△PCF 是等腰三角形；（3）先在 Rt△ACB 中，根据勾股定理计算出 AB=10，最终算得 BE 的值．【答案与解析】（1）证明：∵PD 为⊙O 的切线，∴OC⊥DP，∵AD⊥DP，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠DAC，∴AC平分∠DAB；（2）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=2∠BCE=90°，∴∠OFE+∠OEF=90°，而∠OFE=∠CFP，∴∠CFP+∠OEF=90°，∵OC⊥PD，∴∠OCP=90°，即∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，∴∠PCF=∠CFP，∴△PCF是等腰三角形；（3）解：在Rt△ACB中，∵AC=8，BC=6，∴AB==10，∴OB=5，∵∠BOE=90°，∴△BOE为等腰直角三角形，∴BE=OB=5．【总结升华】本题考查了切线的性质，圆周角定理和等腰三角形的判定．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．举一反三：【变式】如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．【答案】（1）证明：连结OA、OD，如图，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠D+∠DFO=90°，∵AC=FC，∴∠CAF=∠CFA，∵∠CFA=∠DFO，∴∠CAF=∠DFO，而OA=OD，∴∠OAD=∠ODF，∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵圆的半径R=5，EF=3，∴OF=2，在△Rt ODF中，∵OD=5，OF=2，∴DF==．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F．(1)判断△DCE的形状；(2)设⊙O的半径为1，且OF=3-12，求证△DCE≌△OCB．OF=3-1【思路点拨】（1）由于AB是直径，那么∠ACB=90°，而∠ABC=30°，易求∠BAC=60°，结合OA=OC，易证△AOC 是正三角形，于是∠OCD=60°，结合CD是切线，易求∠DCE=30°，在Rt△AEF中，易求∠E=30°，于是∠DCE=∠E，可证△CDE为等腰三角形；（2）在Rt△ABC中，由于∠A=60°，AB=2，易求AC=AO=1，利用勾股定理可求BC=3，CE=AE-AC=3，那么BC=CE，而∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠DEC=30°，从而可证△OBC≌△DCE．【答案与解析】解：(1)∵∠ABC＝30°，∴∠BAC＝60°．又∵OA＝OC，∴△AOC是正三角形．∵CD是切线，∴∠OCD＝90°．∴∠DCE＝180°-60°＝90°－30°．∴∠DCE＝∠DEC而ED⊥AB于F，∴∠CED＝90°－∠BAC＝30°．故△CDE为等腰三角形．(2)证明：在△ABC中，∵AB＝2，AC＝AO＝1，∴BC＝3．3+1，∴AF=AO+OF=．22又∵∠AEF＝30°，∴AE＝2AF＝3+1．∴CE＝AE－AC＝3＝BC．而∠OCB＝∠ACB－∠ACO＝30°＝∠ABC，故△CDE≌△COB．【总结升华】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明△AOC是正三角形．举一反三：【变式】如图所示，PQ＝3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB＝________．【答案】解：连接PQ并延长交AB于E，设大圆的圆心为O，连接OA．设AB＝2x，则AE＝x，OB＝2x-2．在Rt△OAE中，OA＝5，∵OA2＝OE2+AE2，即52＝(2x-2)2+x2，∠CPA = (90°- ∠COP) = (90°- 60°= 15°． ∴x＝3．∴AB＝6．答案：66．如图所示，⊙O 的直径 AB ＝4，点 P 是 AB 延长线上的一点，PC 切⊙O 于点 C ，连接 AC ．PM 平分 ∠APC 交 AC 于 M ．(1)若∠CPA＝30°，求 CP 的长及∠CMP 的度数；(2)若点 P 在 AB 的延长线上运动，你认为∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变 化，请求出∠CMP 的度数；(3)若点 P 在直径 BA 的延长线上，PC 切⊙O 于点 C ，那么∠CMP 的大小是否变化？请直接写出你的 结论．【思路点拨】（1）作辅助线，连接OC ，根据切线的性质知：OC⊥PC，由∠CPO 的值和 OC 的长，可将 PC 的长求出；（2）通过角之间的转化，可知：∠CMP= 1 2 【答案与解析】 解:(1)连接 OC ，则∠OCP＝90°． ∵ OA ＝OC ，∴ ∠COP＝2∠CAP＝60°． （∠COP+∠CPO），故∠CMP 的值不发生变化．∴ CP ＝OC·tan60°＝∴ CP ＝ 2 3 ．∵ PM 平分∠CPA， 1 2AB·tan60°＝ 2 3 ， ∴ ∠MP A = 1 1 1 2 2 2)∴∠CMP＝30°+15°=45°.(2)设∠CPA＝α，∵ PM 平分∠CPA，∴ ∠CMP＝∠CAP+∠MPA = (90°- α ) + α = 45°． ∵∠CMP=∠A+∠MPA= 1 【变式】如图所示，AB 是⊙O 的直径，C 是 AE 的中点，CD⊥AB 于 D ，CD 与 AE 相交于 F ． - ∴ AC= AG ． ∴ AC (2)由(1)得 AC = AG ． 又∵C 是 AE 的中点，∴ AC = AG = CE ．∴ ∠MPA＝ 1 2 1 ∠CPA = α ． 2∵ ∠OCP＝90°，∴ ∠COP＝90°-α．又∵ OA ＝OC ，∴ ∠CAP＝ 1 (90° α ) ． 2 1 1 2 2（3）∠CMP 的大小没有变化1 1 1 ∠COP+ ∠CPO= （∠COP+∠CPO）= ×90°=45°．2 2 2 2【总结升华】解第(2)小题时，引用“设∠CPA＝α”这一方法，用代数方法计算得出结论，降低了解题的难度． 本题主要考查切线的性质及对直角三角形性质的运用．举一反三： »(1)求证：AC 2＝AF·AE；(2)求证：AF ＝CF ．【答案】证明：(1)如图所示，连接 CE ，延长 CD 交⊙O 于 G ，连接 AG ．∵AB 是⊙O 直径，CD⊥AB，» »∴∠2＝∠3．又∵∠1＝∠1，∴△AFC∽△ACE．AE = AF AC． ∴ AC 2＝AF·AE．» »» » » »∴∠2＝∠1．∴AF＝CF ．。

11. 如图，AT 切⊙O 于点 A，AB 是⊙O 的直径．若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________.
12. 如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD＝28°，则∠ABD ＝________°.
13. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，若 AB＝8，CD＝6，则 BE＝ ________．
15. 【答案】
【思维教练】(1)证明 AC 是∠DAO 的角平分线即证明∠DAC＝∠OAC，由圆的 性质知 OA＝OC，得∠OCA＝∠OAC，由切线性质得 OC⊥CD，即 OC∥AD， 得∠OCA＝∠CAD，即可得证；(2)①△OCE 内角和为 180°，∠E 已知，由 (1)OC∥AD 得∠COE＝∠DAO，即可求解；②EF＝GE－FG，由∠OCE＝45°，
5. 【答案】A [解析]∵∠A=22.5°， ∴∠COE=45°， ∵☉O 的直径 AB 垂直于弦 CD， ∴∠CEO=90°，CE=DE. ∵∠COE=45°， ∴CE=OE=√22OC=3√2， ∴CD=2CE=6√2，故选 A. 6. 【答案】A 【解析】∵ON⊥AB，AB＝24，∴AN＝A2B＝12，∴在 Rt△AON 中，ON＝ OA2－AN2＝ 132－122＝5. 7. 【答案】B 【解析】∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，∠ABC＝105°，∴∠ ADC＝75°，∵ ＝ ，∴∠BAC＝∠DCF＝25°，∴∠E＝∠ADC－∠DCF ＝50°. 8. 【答案】B 【解析】∵∠D 与∠AOC 同对弧 AC，∴∠AOC＝2∠D＝2×32°＝
三、解答题 14. 如图，MP 切⊙O 于点 M，直线 PO 交⊙O 于点 A、B，弦 AC∥MP，求证： MO∥BC.
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 15. 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，CD 是⊙O 的切线，AD⊥CD 于点 D.E 是 AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于点 F，连接 OC，AC. (1)求证：AC 平分∠DAO. (2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°. ①求∠OCE 的度数． ②若⊙O 的半径为 2 2，求线段 EF 的长．

第5讲圆圆半径圆的认识圆心圆的周长πd或2πr直径圆的面积圆环的面积πr 2πR2－πr2或π(R2－r2)知识点一：圆的认识1. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。

2. 一个圆有无数条半径，有无数条直径。

圆有无数条对称轴。

3. 在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。

4. 在同圆或等圆中，r=12d或d=2r。

知识点二：圆的周长及圆周率的意义1.测量圆的周长的方法：绕绳法和滚动法。

2.圆的周长除以直径的商是一个固定的数。

我们把它叫做圆周率，用字母π表示。

3.圆的周长的计算公式：C=πd，C=2πr知识点三：圆的面积公式的推导及应用1.圆的面积计算公式是：S＝πr²2.求圆的面积，要根据圆的面积计算公式来求。

3.圆环面积的计算方法：S＝πR2－πr2或S＝π(R－r)2。

4.“外方内圆”图形中，圆的直径等于正方形的边长。

如果圆的半径为r，那么正方形和圆之间部分的面积为0.86r2。

5.“外圆内方”图形中，这个正方形的对角线等于圆的直径。

如果圆的半径为r，那么圆和正方形之间部分的面积为1.14r2。

知识点四：扇形的认识1.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形；2.顶点在圆心的角叫做圆心角；3.扇形的大小和半径的长短、圆心角的大小有关。

考点一：圆的认识【例1】（2017秋•龙华区期末）圆有条半径，圆半径的长度是它直径的；半圆有条对称轴1．（2018秋•武昌区期末）圆是一个轴对称图形，它有条对称轴．圆的周长与直径的比值，我们称之为．2．（2019•衡水模拟）在一个长5厘米，宽3厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的半径是厘米．3．（2019•天津模拟）填空题：（1）圆的直径是．（2）圆的半径是．考点二：圆的周长及圆周率的意义【例2】（2016•舟山校级模拟）李师傅想把3根横截面直径都是10厘米的圆木用铁丝紧紧地捆绑在一起（如图），捆一圈（接头处不计）至少需铁丝厘米．1．（2014•海门市）把一个直径是4厘米的圆分成若干等份，然后把它剪开，照图的样子拼起来，拼成的图形的周长比原来圆的周长增加厘米．2．（2012•福州）一个周长为20厘米的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一个直径上．则小圆的周长之和为厘米．3．（2019•亳州模拟）从A到B，小红沿上面的大半圆走，走了m；李明走沿下面的两个小半圆走，走了m．我发现：这两条路线的长度．考点三：圆的面积公式的推导及应用【例3】一幅圆形壁画的边框长是1.57m，这幅壁画的面积是．1．（2019•利州区）如图，圆的面积和长方形的面积相等，圆的周长是6.28厘米，长方形的周长是厘米．2．（2019春•兴化市期末）将圆平均分成若干份，剪拼成一个近似的长方形（如图）．它的周长比圆的周长增加了6厘米，圆的周长是厘米，近似长方形的面积是平方厘米．3．（2019春•枣阳市校级月考）如图圆的面积是25.12平方厘米，阴影部分的面积是平方厘米．考点四：扇形的认识【例4】（2019•天津模拟）扇形是由圆的和圆上的一段围成的．1．一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的半径为cm，面积为cm2．2．已知扇形心角为45°，扇形面积为8πm2，则扇形的半径为；弧长为．3．已知扇形的圆心角为60°，弧长为6πm，则扇形的半径为，扇形面积为．一．选择题（共6小题）1．张老师在数学课上让同学们在圆中画一个圆心角是100°的扇形，四个同学分别画了四幅不同的作品，（）的作品符合老师的要求．A．B．C．D．2．（2019秋•孝昌县期末）下面各圆中的阴影部分，（）是扇形．A．B．C．D．3．（2019秋•濉溪县期末）下面图形中的角是圆心角的是（）A．B．C．D．4．（2019秋•濉溪县期末）把一个圆平均分成32份，然后剪开，拼成一个近似的长方形，这个转化过程中，（）A．周长和面积都没变B．周长没变，面积变了C．周长变了，面积没变D．周长和面积都变了5．（2019秋•文水县期末）一个圆形水池，直径是10米，在水池周围围一圈栅栏，再在栅栏外围修一条宽2米的环形小路，环形小路的面积是（）平方米．A．138.16B．75.36C．34.54D．301.446．（2019秋•广州期末）在边长是10cm的正方形内画一个最大的圆，圆的面积占正方形面积的（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）7．（2020•泰安）把一个圆等分成16份，拼成一个近似的长方形，周长增加了6cm，这个圆的面积是cm2．8．（2020•曾都区）在一个长12厘米，宽8厘米的长方形纸上画一个最大的半圆，这个半圆的周长是厘米，面积是平方厘米．9．（2020•汉川市）小明把圆规的两脚张开3cm，在纸上画了一个圆，这个圆的周长是cm，面积是cm2．10．（2019秋•武川县期末）用一个37.68厘米的铁丝围成一个圆（接口处不计），这个圆的直径是厘米，这个圆的面积是平方厘米．11．（2020春•隆回县期末）一个圆形水池的直径是8米，这个水池的周长是米，面积是平方米．12．（2019秋•望城区期末）要剪一个周长是12.56厘米的圆形纸片，它的半径是厘米，这个圆形纸片的面积是平方厘米．三．判断题（共5小题）13．因为圆是弯曲的，所以没有周长．（判断对错）14．（2019秋•肥城市期末）半径是1厘米的圆，它的周长与面积相等．（判断对错）15．（2019秋•番禺区期末）一个圆的周长是12.56m，半径增加了1m后，面积增加了3.14m2．（判断对错）16．（2020•齐齐哈尔）把一个周长是628cm的圆分成2个半圆，每个半圆的周长都是314cm．（判断对错）17．（2019秋•望城区期末）当圆的半径是2cm时，这个圆的面积等于它的周长．（判断对错）．四．计算题（共2小题）18．（2019秋•朔城区期末）计算下面各圆的周长和面积．19．（2019•衡水模拟）求下面图形中阴影部分的周长和面积．五．应用题（共6小题）20．（2018秋•故城县期末）如图，一个羊圈依墙（墙足够长）而建，呈半圆形，半径是5米．围这个羊圈需要多长的栅栏？这个羊圈的面积是多少？21．（2018秋•江汉区期末）某广场建了一个周长是37.68m的圆形花坛、在花坛里面铺了一条宽1m的圆环草坪，草坪的面积是多少平方米？22．如图是王师傅加工的一个环形铁片，它的外圆直径是20cm，内圆半径是6cm，这个铁片的面积是多少？第11 页 共 11 页23．（2018秋•荆门期末）为美化校园环境，学校准备在一个周长12.56米的花坛外围铺一条1米宽的环形下路，这条小路的面积是多少平方米？24．（2018秋•册亨县期末）册亨县某村有一个直径是30m 的圆形早冰场，为了满足更多滑冰爱好者的需求要将这个旱冰场的半径扩建5m ．扩建后旱冰场的面积是多少平方米？25．（2018秋•邓州市期末）学校建一个圆形花坛，花坛的直径是8m ，周边还要修一条宽1米的小路，小路的面积是多少平方米？。