一元二次方程复习
一)一元二次方程的定义
ax2 bx c 0(a 0)是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的
最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。ax2 bx 0；ax2 c 0；ax2 0这三个方
程都是一元二次方程。求根公式为x —一—4ac b2 4ac 0
2a
2
二)ax bx c 0( a 0)。a是二次项系数；b是一次项系数；c是常数项，注意的是系数连同符号的概念。这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？
1、= b2 4ac当厶>0时方程有2个不相等的实数根；
2、当厶=0时方程有两个相等的实数根；
3、当4 < 0时方程无实数根•
4、当0时方程有两个实数根(方程有实数根) ；
5、a c<0时方程必有解，且有两个不相等的实数根；
6、c=0，即缺常数项时，方程有2个不相等的实数根，且有一个根是0.另一个根为 -
a 7、当a、b、c是有理数，且方程中的△是一个完全平方式时，这时的一元二次方程有有理数实数
根。
8若X i, X2是一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的两个实数根，
b c
即①x i X2 —X i?X2 -(注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足
a a
A> 0这个条件，否则解题就会出错。)
例：已知关于X的方程x2 2 m 2 x m20,问：是否存在实数m使方程的两个实数
根的平方和等于56,若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。
_ 2
②一元二次方程ax bx c 0（a 0）可变形为a x x1 x x20的形式。可以用求根公式法分解二次三项式。
9、以两个数x i X2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2- （X1+X2）x+ x 1 X2= 0 10几种常见的关于x1, x2的对称式的恒等变形
2 ①X1X2 2 X1 X2 2 2
X1X2
②X13
X2 3
X1 X2
2 2 2 小
x1 x1x2 x2x1 x2 x1 x 23X1X2
③X12
X2 X1
2
X2
X1
X2 X1 X 2
④X1 a X2 a X1
2 x2 a x1 x2 a
1 1 X1 X
2 x1X2X1x2
⑥
1 1 2
X1
2
X2
2
X1 X2
2X1X2
2 2 2 2 2
X1 X
2
X1 X2 X1x2
⑦X1 X2 v X1 2
X2
r
V X X
2
4X1X2
三）例题
1如果方程x2-3x+c=0有一个根为1,求另一个根及常数项的值。
解法一）用方程根的定义解：解法二）用根系数关系解:
2用十字相乘法解一元二次方程（一元二次方程的左边是一个二次三项式右边是0,这样的题型若能用十字相乘法解题的、要尽量使用十字相乘法、因为他比用公式法解题方便得
多）。
十字相乘法的口诀是：右竖乘等于常数项，左竖乘等于二次项系数，对角积之和等于一次项系数。三个条件都符合，结论添字母横写（看成是关于谁的二次三项式就添谁）
2
解下面一道一元二次方程x -110x+2925=0
-65 -45= -110 四）△与根的关系的综合运用（ax2+bx+c=0, a丰0）
2
ax +bx+c=0,
(a>0) △ >0
有两个
不相等的实
数根
C>0
两根同号
b>0 有两个负根不相等
b<0 有两个正根不相等
C< 0
两根异号
b>0
负根绝对值较大（正根绝对值较
小）
b<0
正根绝对值较大（负根绝对值较
小）
b =0 两根绝对值相等
C=0
一根为零
b>0 一根为0另一个根为负根
b<0 一根为0另一个根为正根
△ =0
有两个相
等的实数根
b>0 有两个相等的负根
b<0 有两个相等的正根
b =0 有两个相等的根都为0
X1+X2”与“ 0”的关系综合判断一元二次方程根的情况
计X2< 0
1有两个不相等的负实数根
2有两个不相等的正实数根>0
3负根的绝对值大于正根的绝对值
4两个异号根正的绝对值较大
5两根异号，但绝对值相等
l
+X 2= 0
△ >0
6 一个负根，一个零
根
7 一个正根，一个零
根
8有两个相等的负根
10有两个相等的根都为零
l
+X 2>0
△ >
1
+X 2< 0
△ >
l
+X 2>0
△ >
l
+X 2< 0
△ >
1
+X 2>0
l
+X 2< 0
9有两个相等的正根 >0
计
X 2>0
X i +X 2= 0
