导数_极值点偏移问题

11.已知直线l : y = x + 1与函数f (x) = eax+b的图像相切，且f ′(1) = e. （1）求a, b的值； （2）若 在 曲 线y = mf (x)上 存 在 两 个 不 同 点A(x1, mf (x1)), B(x2, mf (x2))关 于y轴 的 对 称 点
均在直线l上，求证：x1 + x2 > 4.
（1）求实数a;
（2）对任意的x
∈
(0, 2),都有f (x)
<
k
+
1 2x
−
成立，求k的取值范围； x2
（3）若g(x)
=
ln f (x)
−
b(b
∈
R)的 两 个 零 点 为x1, x2,试 判 断g′( x1
+ 2
x2 )的 正 负，并 说 明 理
由。
联系电话：
5
导数-极值点偏移问题
欢欢老师的数学课堂
导数-极值点偏移问题
1.已知f (x)
=
1−x 1 + x2
·
ex
（1）f (x)的单调区间。
（2）证明：当f (x1) = f (x2)(x1 ̸= x2)时。x1 + x1 < 0.
欢欢老师的数学课堂
2.设函数f (x) = ln x − cx(c ∈ R) （1）讨论函数f (x)的单调性。 （2）若f (x) ≤ x2恒成立，求c的取值范围。 （3）设f (x)有两个零点x1, x2,求证x1 · x2 > e2；求证x1 + x2 > 2e.
联系电话：
4
导数-极值点偏移问题
欢欢老师的数学课堂
9.已知函数f (x) = eax ln x(a > 0, e为自然对数)
（1）若f (x)在定义域内递增，求a的取值范围；
（2）令g(x)
=
f ′(x) eax
,若存
在相
异实数x1,
x2
,满足g(x1)
=
g(x2),求证：x1
+
x2
>
2 .
a
10.已知f (x) = ax 的图像在x = 0处的切线方程为y = x. ex
7.设函数f (x) = x2 − (a − 2)x − a ln x.
（1）求函数f (x)的单调区间。
（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值。
（3）若方程f (x)
=
c.有两个不等实根x1,
x2。 求 证：f
′( x1
+ 2
x2
)
>
0。
8.已知函数f (x) = xe−x(x ∈ R),如果x1 ̸= x2且f (x1) = f (x2).求证：x1 + x2 > 2.
f (x)
−
f (−x)
=
1 − x ex 1 + x2
−
1+x 1 + x2
·
e−x
=
e−x [(1
1 + x2
−
x)e2x
−1
−
x].
令g(x) = (1 − x)e2x − 1 − x, x > 0, g′(x) = (1 − 2x)e2x − 1
令h(x) = (1 − 2x)e2x − 1, h′(x) = (1 − 2x)e2x = −4xe2x < 0.
欢欢老师的数学课堂
13.已知函数f (x) = mex − x − 1.
（1）若曲线y = f (x)过点P (0, 1),求曲线y = f (x)在点P (0, 1)处的切线方程。
（2）若f (x)的两个零点为x1, x2且x1
<
x2,求y
=
(ex2
−
ex1 )( ex2
1 +
ex1
−
m)的值域；
联系电话：
2百度文库
导数-极值点偏移问题
欢欢老师的数学课堂
5.（2016年课标21）已知函数f (x) = (x − 2)ex + a(x − 1)2有两个零点。 （1）求a的取值范围。 （2）设x1, x2是f (x)的两个零点。证明：x1 + x2 < 2。
6.已知函数f (x) = ln x − ax2 + (2 − a)x.
（1）讨论f (x)的单调性。
（2）设a
>
0,证明：当0
<
x
<
1 时f ( 1
+
x)
>
1 f(
− x)
aa
a
（3）若 函 数f (x)的 图 像 与x轴 交 于A, B两 点，线 段AB中 点 的 横 坐 标 为x0。 证 明：f ′(x0) <
0。
联系电话：
3
导数-极值点偏移问题
欢欢老师的数学课堂
联系电话：
8
导数-极值点偏移问题答案解析
欢欢老师的数学课堂
1.（1）解：函数f (x)的定义域是(−∞, +∞).
f ′(x) = ( 1 − x )′ex +
1
−
x
ex
=
x2 [
−
2x
−
1 ]ex
=
−x[(x − 1)2 + 2] ex
1 + x2
1 + x2
(1 + x2)2
(1 + x2)2
联系电话：
1
导数-极值点偏移问题
欢欢老师的数学课堂
3.已知：0 < m < 1.f (x) = (x − m)2 有3个极值点，证明： ln x
（1）x = m是f (x)的极大值。
（2）设f
(x)的三个极值点是a,
b,
c且a
<
b
<
c,求证：a
+
c
>
2e−
1 2
.
4.设函数f (x) = ex − ax,其中a > e （1）求证：函数f (x)有且仅有两个零点x1, x2.且0 < x1 < 1 < x2 （2）对于（1）中的x1, x2,求证：f ′(x1) + f ′(x2) > 0。
所以当x ∈ (−∞, 0)时，f ′(x) > 0, y = f (x)单调递增。
当x ∈ [0, +∞)时，f ′(x) ≤ 0, y = f (x)单调递减。
所以y = f (x)在(−∞, 0]上单调递增，在x ∈ [0, +∞)上递减。
（2）解：由（1）知，只需要证明当x > 0时，f (x) < f (−x)即可。
（3）若f (x) > 0,试比较em−1与me−1的大小.
14.过点P (0, −1)作曲线y = ex的切线l.
（1）求l的方程；
（2）若A(x1,
a ex1
),
B(x2,
a ex2
)是直线l上的不同两点，求证：x1
+
x2
<
−4.
联系电话：
7
导数-极值点偏移问题
欢欢老师的数学课堂
15.设 函 数f (x) = ex − ax + a(a ∈ R),其 图 像 与x轴 交 于A(x1, 0), B(x2, 0),且x1 < x2.求 证： x1x2 < x1 + x2.
12.设函数f (x) = a ln x − bx2,其图像在点P (2, f (2))处切线的斜率为−3.当a = 2时，令g(x) = f (x) − kx.设x1, x2(x1 < x2)是g(x) = 0的两个根，x0是x1, x2的等差中项，求证：g′(x0) < 0.
联系电话：
6
导数-极值点偏移问题