ab
b
如果m <a/b， tgq m 时先滑动，继续增大到a/b 时
翻到。
杆均由铰链与地面连接，所 有接触皆为光滑。在球和杆 数目很大的极限下，求杆与 球之间的法向作用力。假设 最后一个球靠在墙上以保持 静止。
sinh x ex ex , coshx ex ex
2
2
1 sinh2 x cosh2 x
绳子长度：
l dl
d 2x d 2 y d 1 (dy / dx)2 dx d
d (coshx)dx 2 sinh(d )
d
绳子重量：
y(x) 1 cosh(x)
sinh x ex ex , coshx ex ex
T
r
T 1 M 2 (L2 r 2 )
2L
T T+dT L
练习：均匀弹簧在离心力场中的伸长问题。 M, k
（2010 IYPT题目）
T dT T 2 xdm,
dm
M L
dx0
k~ L k
dx0
~
dx
T (x)
k
(dx
dx0 )
kL( dx0
1)
dT d2x dx02
kLd( dx 1) kMLd2x0 2x
kL
d2x dx0
M L
2 xdx0
类似于简谐振动方程，解是
d2x dt 2
k m
x
x Acos
x0
T x
M k L2
2
x0
B
x0+dx0
T+dT x+dx
• 均匀链条悬挂在距离为2d的两壁之间， 两端等高。链条的长度是多少时悬挂点 上作用力最小。已知链条的方程。本题 求解需要数值计算。
y(x) 1 cosh(x)
总结: F1＝(2c+1)F/4， 0≤c≤1/2 F1=cF, 1/2≤c≤1
张力在连续物体（绳与杆）中的分布 引力的积分问题 其它数学型的问题
• 光滑曲线上有一匀质链条，求链条上任意 位置的张力。证明如果链条两端处于同一 水平高度则链条保持静止。
解： 取一小段长为dl的线元， 质量dmdl 两端张力之差（净张力） dT=(dm)gsinqdlgsinqgdy
• -ldm=mdx
dm dx ml
m dm x 1dx
m0 m 0 l ln m / m0 x / l m m0ex /l
dm
dx
mg
• 刚体平面力系的平衡
三力平衡的性质：刚体在三个力作用下平 衡，这三个力必在同一平面内，而且它们 的作用线（或延长线）必相交于同一点。 （平行力系除外）
2
2
1 sinh2 x cosh2 x
dy / dx d ( 1 coshx) dx
sinh(x) tanq
sinq tanh(x)
W gl 2g sinh(d)
悬挂点作用力：
F sinq W / 2 g sinh(d )
F g sinh(d ) g cosh(d )
tanh(d )
tanh(d ) 1 d
F对求极小值，得 tanh(d ) 1 d
数值解 d 1.1997
l 2 sinh(d) 2d sinh1.1997 2.52d
1.1997
思考：悬挂点作用力X分量和Y分量极小时链子形状是 什么？
• 质心的计算
• 当切掉末端dx长度对应的dm以 后，质心向前移动dx，按照杠 杆原理,与端点距离始终是l
静力学
• 力平衡 力矩平衡 几种力： 张力（拉伸）—绳子，处处相等吗？
有摩擦，离心力场，有自重等 弹力（挤压）—刚性物体，无形变，垂直于接触面
弹性物体，有形变，满足胡克定律 摩擦力—静摩擦（有无，大小，方向的判断）
动摩擦 重力（引力）—非接触力
26届复赛2：图示正方形轻质刚性水平桌面由完全相同的轻 质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A、B、C、D处，桌腿竖 直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生微小 形变。现于桌面中心点O至角A的连线OA某点P施加一竖直 向下的力F，令OP/OA=c, 求桌面对桌腿1的压力F1。
y
T 0 gdy gy mgy / l
0
T 0 gdy 0
例题：均匀弹簧在重力场中的伸长问题。 M, K
引例：弹簧串联。哪个伸长更大？
k
k
m
k k
m m
m
n个弹簧串联，从下向上数 x1=mg/k, x2=2mg/k, x3=3mg/k,… X=x1+x2+x3+…+xn=n(1+n)mg/2k M=nm X=Mg(1+n)/2k n无穷大, 1+n=n, k/n=K(n个串联弹簧的等效弹性系数)
• 匀质平行六面体，放在斜面上，两者之间的摩擦系数是m, 斜面与水平面作q角。求六面体对斜面正压力的作用点。 使q角逐渐增大，何时发生滑动或翻倒现象？
滑动条件： tgq m
N f
翻倒条件：N的作用点应该在P与f 交点。
当P的作用线不经过果ma/b， tgq a 时先翻倒，
X=Mg/2K (M均匀弹簧的总质量，K弹性系数）
可以进一步考虑，均匀弹簧悬挂小球的伸长，振动。。。
练习：均匀弹簧在离心力场中的伸长问题。 M, K
• 先看一个类似的问题——旋转刚性杆的张力
T dT T 2rdm,
dm M dr L
dT M 2rdr / L
0
dT
L M 2rdr / L
分析：力平衡，力矩平衡，对称性，
F1＋F2＋F3+F4＝F
F2＝F4
F3＋cF＝F1 差一个方程，弹性形变，X1=F1/k, X2=X4=F2/k, X3=F3/k
从侧面看1、2（4）、3腿构成梯形，形变量满足
X1＋X3＝2X2 即F1＋F3＝2F2
以上方程解得 F1＝(2c+1)F/4, F3=(1-2c)F/4 讨论： c>1/2, F3<0? 取F3＝0，重新解，以上哪个方程不必满足？ • F1＋F2＋F3+F4＝F • F2＝F4 • F3＋cF＝F1 • X1＋X3＝2X2？？？ 化成 F1＝cF
