高三数学一轮复习空间中的垂直关系教案
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空间中的垂直关系
教学过程
1．线线垂直
判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平
面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和
这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂
直。
推理模式：
,
,
PO O
PA A a AO
a a AP
αα
α
α
⊥∈⎫
⎪
=⇒⊥
⎬
⎪
⊂⊥⎭。
注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。
2．线面垂直
定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α
内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直其
中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面,直线与平
面的交点叫做垂足。
直线l与平面α垂直记作：l⊥α。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
3．面面垂直
两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
典例解析
题型1：线线垂直问题
a
P
α
O
A
例1．如图1所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点，求证：EF⊥GF。
证明：如图2，作GQ⊥B1C1于Q，连接FQ，则GQ⊥平面A1B1C1D1，且Q为B1C1的中点。
在正方形A1B1C1D1中，由E、F、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1的中点可证明EF⊥FQ，由三垂线定理得EF⊥GF。
点评：以垂直为背景，加强空间想象能力的考查，体现了立体
几何从考查、论证思想。
例2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为
BB1、AC1的中点，证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线。
证明：设O为AC中点，连接EO，BO，则EO∥＝
1
2
C1C，又C1C∥＝B1B，所以EO∥＝DB，EOBD 为平行四边形，ED∥O B。
∵AB＝BC，∴BO⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC1A1，BO 面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，
∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1，
∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线。
点评：该题考点多，具有一定深度，但入手不难，逐渐加深，逻辑推理增强。
题型2：线面垂直问题
例3．（1）如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，求证：BD⊥平面ACC1A1。
（2）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱
1
2
EF BC
∥。
（I）证明FO∥平面;
CDE；
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
O
F
（II ）设3,BC CD =证明EO ⊥平面。
证明：（1）∵ABCD—A 1B 1C 1D 1是正四棱柱， ∴CC 1⊥平面ADCD, ∴BD⊥CC 1 ∵ABCD 是正方形
∴BD⊥AC
又∵AC，CC 1⊂平面ACC 1A 1, 且AC∩CC 1=C, ∴BD⊥平面ACC 1A 1。
（2）证明：
（I ）取CD 中点M ，连结OM 。
在矩形ABCD 中， 1
,2OM BC ∥又1,2
EF BC ∥
则.EF OM ∥
连结EM ，于是四边形EFOM 为平行四边形。
FO ∴∥EM.
又
FO ⊂平面CDE ，且EM ⊂平面CDE ，
FO ∴∥平面CDE 。
（II ）连结FM 。
由（I ）和已知条件，在等边CDE ∆中，,CM DM = EM CD ⊥
且31
.22
EM CD BC EF ===
因此平行四边形EFOM 为菱形，从而
EO FM ⊥。
,,CD OM CD EM CD ⊥⊥∴⊥平面
EOM ，从而.CD EO ⊥ 而,FM
CD M =所以EO ⊥平面.CDF
点评：本题考查直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。
例4．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
D
C
A
B
E
O
F
M
＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明你的结论。
分析：（1）由于C 1D 所在平面A 1B 1C 1 垂直平面A 1B ，只要证明C 1D 垂直交线A 1B 1 ，由直线与平面垂直判定定理可得C 1D ⊥平面A 1B 。
（2）由（1）得C 1D ⊥AB 1 ，只要过D 作AB 1 的垂线，它与BB 1 的交点即为所求的
F 点位置。
（1）证明：如图，∵ ABC —A 1B 1C 1 是直三棱柱， ∴ A 1C 1 ＝B 1C 1 ＝1，且∠A 1C 1B 1 ＝90°。
又 D 是A 1B 1 的中点，∴ C 1D ⊥A 1B 1 。
∵ AA 1 ⊥平面A 1B 1C 1 ，C 1D ⊂平面A 1B 1C 1 ， ∴ AA 1 ⊥C 1D ，∴ C 1D ⊥平面AA 1B 1B 。
（2）解：作DE ⊥AB 1 交AB 1 于E ，延长DE 交BB 1 于F ，连结C 1F ，则AB 1 ⊥平面C 1DF ，点F 即为所求。
事实上，∵ C 1D ⊥平面AA 1BB ，AB 1 ⊂平面AA 1B 1B ， ∴ C 1D ⊥AB 1 ．又AB 1 ⊥DF ，DF C 1D ＝D ， ∴ AB 1 ⊥平面C 1DF 。
点评：本题（1）的证明中，证得C 1D ⊥A 1B 1 后，由ABC —A 1B 1C 1 是直三棱柱知平面
C 1A 1B 1 ⊥平面AA 1B 1B ，立得C 1
D ⊥平面AA 1B 1B 。
（2）是开放性探索问题，注意采用逆向
思维的方法分析问题。
题型3：面面垂直问题
例5．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，
CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）
平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA 。
分析：（1）证明DE ＝DA ，可以通过图形分割，证明△DEF ≌△DBA 。
（2）证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。
由（1）知DM ⊥EA ，取AC 中点N ，连结MN 、
NB ，易得四边形MNBD 是矩形。
从而证明DM ⊥平面ECA 。
证明：（1）如图，取EC 中点F ，连结DF 。
∵ EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。
∴ DB ⊥AB ，EC ⊥BC 。
∵ BD ∥CE ，BD ＝21CE ＝2
1
FC ，则四边形FCBD 是矩形，DF ⊥EC 。
