最优连线问题与旅行商问题

邮递员问题最短路径的解法邮递员问题，又称旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP），是一个著名的组合优化问题。

它要求找到一条路径，使得邮递员从出发点出发，经过所有的城市且仅经过一次，最后回到出发点，同时路径长度最短。

由于邮递员问题是NP-hard问题，没有多项式时间的解法。

然而，存在一些启发式和近似算法可以在可接受的时间内找到较好的解决方案：1. 蛮力法：尝试所有可能的路径组合，计算每条路径的长度，最终选择最短路径作为解。

这种方法的时间复杂度为O(n!)，适用于较小规模的问题。

2. 最近邻算法：从一个起始点开始，每次选择离当前点最近的未访问过的城市作为下一个访问点，直到所有城市都被访问过，然后回到起始点。

该算法的时间复杂度为O(n^2)，虽然不能保证找到最优解，但是可以在较短的时间内找到较好的解。

3. 2-opt算法：先使用最近邻算法得到一个初始解，然后对路径进行优化。

2-opt算法通过不断交换路径中的两个边来减小路径的长度，直到没有可改进的交换。

该算法可以较快地优化路径，但无法保证找到全局最优解。

4. 遗传算法：使用进化计算的思想来解决TSP问题。

通过生成初始种群，交叉、变异等操作进行迭代优化，逐渐找到更好的路径。

遗传算法可以在较短时间内找到较好的解，但是无法保证找到最优解。

上述算法只是解决TSP问题的一部分方法，具体使用哪种方法取决于问题规模和时间要求。

对于较小规模的问题，可以使用蛮力法或者最近邻算法得到较好的解。

对于更大规模的问题，可以考虑使用启发式算法，如遗传算法等。

此外，还存在其他算法和优化技术用于处理TSP问题，根据具体情况选择合适的方法。

智能优化实验报告基于遗传算法的TSP问题求解研究一、问题描述1、TSP问题的概述旅行商问题 (Traveling Salesman Problem，简称 TSP) 是一个经典的组合化问题。

它可以描述为：一个商品推销员要去若干个城市推销商品，从一个城出发需要经过所有城市后回到出发地，应如何选择行进路线以使总行程短。

从图论的角度看，该问题实质是在一个带权完全无向图中找一个权值最的小回路。

在寻找最短路径问题上，有时不仅要知道两个指定顶点间的最短路径，还需要知道某个顶点到其他任意顶点间的最短路径。

旅行商问题也是经典的组合数学的问题，生活中随处可见这类组合数学问题。

例如，计算下列赛制下的总的比赛次数:n个球队比赛，每队只和其他队比赛一次。

在纸上画一个网络，用铅笔沿着网络的线路走，在笔不离开纸面且不重复线路的条件下，一笔画出网络图。

一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的街道，他应该选择什么样的路径，这就是著名的“中国邮递员问题”。

一个通调网络怎样布局最节省?美国的贝尔实验室和IBM公司都有世界一流的组合数学家在研究这个问题，这个问题直接关系到巨大的经济利益。

库房和运输的管理也是典型的组合数学问题，怎样安排运输使得库房充分发挥作用，进一步来说，货物放在什么地方最便于存取。

上述的这些例子中，其中一部分就和旅行商问题有关系。

2、TSP问题研究意义解决旅行商问题有着极其重要的理论和现实意义。

从理论层面来讲，解TSP不仅为其他算法提供了思想方法平台，使这些算法广泛地应用于各种组合优化问题；而且经常被用来测试算法的优劣，如模拟退火算法、禁忌搜索、神经网络、进化算法等，都可用旅行商问题来测试。

从实际应用层面来讲，旅行商问题作为一个理想化的问题，尽管多数的研究成果不是为了直接的应用，但却被广泛地转化为许多组合优化问题，最直接的就是其在交通、物流和大规模生产中的应用。

3、TSP问题的解决TSP问题是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式。

TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。

其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A 为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。

旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，⋯，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，ϖi，j=1，2，3，⋯，n）。

非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。

若对于城市V={v1，v2，v3，⋯，v n}的一个访问顺序为T={t1，t2，t3，⋯，t i，⋯，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，⋯，n），且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL=。

TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。

因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。

二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。

但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略2.1模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略——路径编码。

2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SW AP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。

3）SA状态接受函数的设计：min{1，exp（-△/t）}>random[0，1]准则是作为接受新状态的条件最常用的方案，其中△为新旧状态的目标值差，t为”温度”。

数学优化和算法设计在旅行商问题和路径规划中的应用旅行商问题和路径规划是现代社会中非常重要的问题，因为在我们的日常生活中，我们需要找到最短的路线或路径来节省时间和成本。

这些问题在计算机科学和数学中有很多应用。

数学优化和算法设计是解决这些问题的关键。

旅行商问题是一个著名的组合优化问题，它要求在给定的一组城市之间找到最短的路径，使得每个城市只被访问一次。

这个问题在计算机科学和运筹学中有很多应用。

例如，在物流方面，我们需要找到最短的路径来运输货物，以便节省时间和成本。

在电子商务中，我们需要找到最短的路径来交付订单，以便满足客户的需求。

路径规划是另一个重要的问题，它要求在给定的地图上找到最短的路径。

这个问题也有很多应用。

例如，在导航系统中，我们需要找到最短的路径来到达目的地。

在交通控制中，我们需要找到最短的路径来避免交通拥堵。

解决这些问题的关键是数学优化和算法设计。

数学优化是一种数学方法，它可以帮助我们找到最优解。

算法设计是一种计算机科学方法，它可以帮助我们设计出高效的算法来解决这些问题。

对于旅行商问题，有很多数学优化和算法设计方法可以使用。

其中一个方法是线性规划。

线性规划是一种数学方法，它可以帮助我们找到最优解。

在旅行商问题中，我们可以使用线性规划来找到最短的路径。

另一个方法是遗传算法。

遗传算法是一种计算机科学方法，它可以帮助我们设计出高效的算法来解决这些问题。

在旅行商问题中，我们可以使用遗传算法来找到最短的路径。

对于路径规划，也有很多数学优化和算法设计方法可以使用。

其中一个方法是Dijkstra算法。

Dijkstra算法是一种计算机科学方法，它可以帮助我们找到最短的路径。

在路径规划中，我们可以使用Dijkstra算法来找到最短的路径。

另一个方法是A*算法。

A*算法是一种计算机科学方法，它可以帮助我们设计出高效的算法来解决这些问题。

在路径规划中，我们可以使用A*算法来找到最短的路径。

总之，数学优化和算法设计在旅行商问题和路径规划中有很多应用。

平面n个点的最短连线算法
平面n个点的最短连线算法是一个经典的计算几何问题，通常被称为旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）。

这个问题要求找到一条路径，使得一个旅行商从给定的n个城市（在平面上表示为点）出发，访问每个城市恰好一次，然后返回起始城市，且所走的总距离最短。

解决TSP问题有多种算法，包括暴力搜索、动态规划、遗传算法、模拟退火等。

然而，对于大规模问题（即n很大时），这些算法往往难以在合理时间内找到最优解，因为TSP 是一个NP-hard问题，即没有已知的多项式时间复杂度的算法能够解决所有规模的TSP问题。

在实际应用中，通常使用启发式算法来寻找近似最优解。

这些算法虽然不能保证找到最优解，但可以在较短的时间内找到一个相对较好的解。

一种常用的启发式算法是最近邻算法（Nearest Neighbor Algorithm），它从一个点开始，每次选择离当前点最近的未访问过的点作为下一个访问点，直到所有点都被访问过为止。

另一种常用的启发式算法是遗传算法（Genetic Algorithm），它模拟生物进化过程中的自然选择和遗传机制，通过不断迭代搜索空间来寻找近似最优解。

遗传算法通常能够找到比最近邻算法更好的解，但也需要更长的计算时间。

总之，平面n个点的最短连线问题是一个NP-hard问题，没有已知的多项式时间复杂度的算法能够解决所有规模的问题。

在实际应用中，通常使用启发式算法来寻找近似最优解。

旅行商问题（ＴｒａｖｅｌｉｎｇＳａｌｅｓｍａｎＰｒｏｂｌｅｍ，简称ＴＳＰ）是一个著名的组合优化问题：给定ｎ个城市，有一个旅行商从某一城市出发，访问每个城市各一次后再回到原出发城市，要求找出的巡回路径最短。

如果用图论来描述，那就是已知带权图Ｇ＝（Ｃ，Ｌ），寻出总权值最小的Ｈａｍｉｌｔｏｎ圈。

其中Ｃ＝｛ｃ１，ｃ２，…，ｃｎ｝表示ｎ个城市的集合，Ｌ＝｛ｌｉｊ｜ｃｉ，ｃｊ∈Ｃ｝是集合Ｃ中元素（城市）两两连接的集合，每一条边ｌｉｊ，都存在与之对应的权值ｄｉｊ，实际应用中ｄｉｊ可以表示距离、费用、时间、油量等。

ＴＳＰ的描述虽然简单，解决起来却很困难。

最简单思路是用穷举法把所有可能的巡回路径全部列出来，最短的一个就是最优解，但这样只能处理很小规模的问题。

旅行商问题属于ＮＰ－ｃｏｍｐｌｅｔｅ问题，是ＮＰ（ｎｏｎ－ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃｐｏｌｙ－ｎｏｍｉｎａｌ）问题中最难的一类，不能在多项式时间内求解。

如果有ｎ座城市，那么巡游路径共有（ｎ－１）！／２条，计算的时间和（ｎ－１）！成正比。

当城市数ｎ＝２０，巡回路径有１．２×１０１８种，ｎ＝１００，巡回路径就有多达４．６×１０１５５种，而据估计宇宙中基本粒子数“仅仅只有”１０８７个。

尽管如此，随着算法研究的逐步深入和计算机技术飞速提高，对ＴＳＰ问题的研究不断取得进展。

７０年来，被征服的ＴＳＰ规模从几十个城市增加到上万个城市。

目前的最高记录是在２００４年５月，找到的巡游瑞典２４９７８个城镇的最优路径（ｓｗ２４９７８），花费了８４．８个ＣＰＵ年。

图１展示了ＴＳＰ的研究进展，最近的二三十年时间里，被攻克的ＴＳＰ规模高速增长，差不多是每十年增加一个数量级。

照这样发展下去的话，再过２０年就能解决上百万个城市的ＴＳＰ，有专家甚至已经为此准备好了数据：全球１９０，４７１１个城市的坐标。

当然，能不能达到这个目标，有赖于未来计算技术的发展。

图１ＴＳＰ的发展字母后面的数字表示城市数，“ｓｗ２４９７８”就是瑞典的２４９７８个城镇。

TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP,即给定n个城市和两两城市之间的距商，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的是短路线。

其图论描述为：给定图G= (V, A),其中V为顶点集，A 为各顶点相互连接组成的边集，设(dij)是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamihon回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。

旅行商问题可分为如下两类：1)对称旅行商问题3j=dji, ni, j=l, 2, 3, - , n)；2)非对称旅行商问题(dijHdji, Bi, j=1, 2, 3, - , n)o非对称旅行商问题较碓求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。

若对于城市V={V H V2, V n - , %}的一个访问顺序为T={l), b, tj, - , tj, - , tj,A其中衣v (i=l, 2, 3,・・・，□),且记t n+l=tl＞则旅行商问题的数学模型为：血工Xzr-l TSP是一个典型的组台优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中槪括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。

因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和板高的实际应用价值。

二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近台并、最近插入、晨远插入、最近添加、贪婪插入等。

但是，由于构造型算法优化质長较差，迄今为止巳开发了许多性能较好的改迸型搜索算法，主要有：1)模拟退火算法2)禁忌搜索算法3)Hopficld神经网络优化算法4)蚁群算法5)遗传算法6)混合优化策路2.1模拟退火算法方法1)编码选择：采用描述TSP解的臺常用的一种策略——路径编码。

2）SA状态产生函数的设计：对于基于站径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SV7AP）;②逆序操作（INV）；③插入操作仃NS）。

旅行商问题运筹学方法我折腾了好久旅行商问题的运筹学方法，总算找到点门道。

说实话，刚开始接触旅行商问题的时候，我真是一头雾水。

就知道是要找一个旅行商经过所有城市并且最后回到起始城市的最短路线。

我一开始也是瞎摸索，想着把所有可能的路线都列举出来再比较长短不就得了。

但我很快就发现这根本行不通，城市数量稍微多一点，那可能的路线数量就像天文数字一样。

就好比你有10个城市，那可能的路线就有好多好多，我计算器都按不过来。

后来我就尝试用一些简单的启发式方法。

我记得我先试的是最近邻法。

这方法简单来说就像一个人很贪心一样，从起始城市出发，每一步都去离当前城市最近的没去过的城市。

但是这个方法有很大的缺陷。

有一次我用它来模拟一个比较复杂的城市网络布局的时候，得到的路线远不是最短的，因为它很容易就走进死胡同，只看到眼前的利益，而忽略了整体的规划。

再后来呢，我又了解到了节约算法。

这个算法就有点像是把局部的小节约累积成一个大的节约。

把两个城市看成一组，计算合并它们为一个行程可以节省多少路程，如果节省得多就把它们安排在一起。

这样一步一步地优化整个行程。

不过这个方法也不是完美的，它计算起来有时候也挺复杂，而且有可能在某些特殊布局下也得不到最优解。

我还试过蚁群算法，这算法挺有意思的，它是模拟蚂蚁找食物的过程。

每只蚂蚁在路上留下信息素，别的蚂蚁就根据信息素的浓度来选择路径，浓度越高就越有可能选择。

就像我们找美食，哪里人多我们就觉得哪里好吃的可能性大。

但是这个算法有个难点就是参数的设置。

我一开始不确定怎么设置那些参数，什么信息素挥发率之类的，就随便设了个值，结果得到的结果也不是很好，甚至有时候根本就不收敛，就一直在那绕圈子似的找路线。

到目前我觉得最好的方法就是把多种方法结合起来。

比如先用最近邻法快速得到一个初始解，然后再用节约算法或者其他方法在这个初始解的基础上进行优化。

这样既能快速得到一个解，又有可能接近最优解。

这就好比我们搭积木，先大致搭一个形状，然后再调整细节。

3 旅行商问题3.1 旅行商问题概述3.1.1 旅行商问题的定义和数学模型① 定义旅行商问题(Traveling Salesman Problem ，简记TSP)是组合数学中一个古老而又困难的问题，它易于描述但至今尚未彻底解决，现己归入所谓的NP 完全问题类，经典提法为：有一货物推销员要去若干个城市推销货物，从城市1出发，经其余各城市一次，然后回到城市1，问选择怎样的行走路线，才能使总行程最短（各城市间距离为己知）。

该问题在图论的意义下就是所谓的最小Hamilton 圈问题，由于在许多领域中都有着广泛的应用，因而寻找其实际而有效的算法就显得颇为重要了。

遗憾的是，计算复杂性理论给予我们的结论却是，这种可能性尚属未知。

若设城市数目为n 时，那么组合路径数则为(n-1)!。

很显然，当城市数目不多时要找到最短距离的路线并不难，但随着城市数目的不断增大，组合路线数将呈指数级数规律急剧增长，以至达到无法计算的地步，这就是所谓的“组合爆炸问题”。

假设现在城市的数目增为20个，组合路径数则为(20-1)! ，如此庞大的组合数目，若计算机以每秒检索1000万条路线的速度计算，也需要花上386年的时间。

尽管现在计算机的计算速度大大提高，而且已有一些指数级的算法可精确地求解旅行商问题，但随着它们在大规模问题上的组合爆炸，人们退而求其次，转向寻找近似算法或启发式算法，经过几十年的努力，取得了一定的进展。

② 数学模型设(,)G V E =为赋权图，{1,2,}V n ="为顶点集，E 为边集，各顶点间距离为ij c ，已知(0,,,)ij ij c c i j V >=+∞∈，并设则旅行商问题的数学模型可写成如下的线性规划形式：ij ij i jMinZ c x ≠=∑1,(,)0,ij i j x ⎧=⎨⎩边在最优路线上其它,1,1,.1,{0,1},ij j i ij i jij i j S ij x i V x j V s t x K K V x i j V ≠≠∈⎧=∈⎪⎪=∈⎪⎨⎪≤−⊂⎪⎪∈∈⎩∑∑∑这里，K 为V 的所有非空子集，K 为集合K 中所含图G 的顶点个数。

旅行商问题分支限界法旅行商问题是旅行商在走遍所有城市并回到起点城市的问题，其中要求路线最短。

该问题是非常常见并且难以解决的数学问题，因为需要考虑的变数非常多，所以无法直接使用贪心算法等简单的算法进行处理。

目前，最有效的算法是分支限界法，接下来我们将介绍该算法的详细步骤。

1. 状态空间树的构建首先，需要将旅行商问题转化为状态空间树。

该过程是指以起点为根节点，生成所有可能的路线作为子节点，直到达到所有可能路线的叶节点处。

该过程中需要考虑的主要是如何选择下一个城市，因为需要保证路线最短，所以需要综合考虑已经走过的路程、未来可能要走的路程以及所有可能路线的总长度等因素进行选择。

2. 最优解的判断在状态空间树中，需要不断地更新当前的最优解。

这是可以使用一个变量进行记录，并与其他路线的长度进行比较，只要某条路线的长度已经超过了当前最优解，则可以直接剪枝。

这样可以大大缩短算法运行时间，同时可以避免不必要的计算。

3. 分支限界法的应用在上述步骤中，我们已经得到了一个状态空间树，并且已经筛选出了当前最优解。

接下来就是分支限界法的应用了。

该算法的核心思想是在树的分支中设置优先级队列，以深度优先搜索方式去遍历所有可能的路线，同时使用一个优先级队列来存储每个分支的下限，只需要将长度大于下限的分支进一步拓展，可以大大提高算法的效率。

4. 全局最优解的汇总最后，将每条路径的长度进行求和，并找出所有路径中最短的一条作为全局最优解。

由于使用了分支限界法，可以保证输出的解是全局最优解，因此无需再进行进一步的调整。

总之，旅行商问题是一类典型的优化问题，需要综合考虑多种因素来找出最优解。

分支限界法作为一种最有效的解决方法，可以大大提高算法的求解效率。

以上是旅行商问题分支限界法的详细步骤。