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1最大周向应力
破裂判据是断裂力学的核心问题，破裂判据是针对某一特定尺度、特定层次提出的。作为一个完整的破裂判据，至少能够回答两个问题：①破裂在什么条件下起始或继续：②破裂向什么方向扩展？
Erdogan 与薛昌明（Sih ）（1963）基于复合型裂纹在垂直于最大周向拉应力方向的平面内扩展这一实验观测结果，提出了最大周向拉应力准则。
Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹，且K Ⅲ=0的情况下，裂纹前缘极坐标中的应力分量表达式为：
[][]⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨⎧+-+=+-+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-+⋅-=-∏I -∏I -∏I )
()1cos 3(sin 2cos 221)(sin 3)cos 1(2cos 221)(2sin )1cos 3(2cos )cos 3(2212/12/12/1r o K K r r r o K K r r o K K r rr θθθπθτθθθπσθθθθπσθθ
（1） 1.1 裂纹扩展方向
最大周向拉应力准则认为：裂纹沿σθθmax
所对应的θ的方向扩展，该方向满
足以下条件：
0/,0/22<∂∂=∂∂θσθσθθθθ（2）
将式（1）中第二式对θ微分后，得到
[][]⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧---+=∂∂-+⋅-=∂∂∏I ∏I ∏I )
sin 3cos (2cos
)1cos 3(sin 2
sin
21
243)1cos 3(sin 2cos 23212
2
θθθθθθπθσθθθ
πθσθθθθK K K K r K K r （3） 令0/=∂∂θσθθ可得
[]0)1cos 3(sin 2
cos
=-+∏I
θθθ
K K
（4）
上式中一个解为：0,,0)2/cos(=±==θθσπθθ。但代入（3）式可知，此解使0/22=∂∂θσθθ，不能满足0/22<∂∂θσθθ的条件。另外此解求得的是裂纹面上已破裂方向，无实际意义，所以断裂角θ0决定于方程
0)1cos 3(sin =-+∏I θθK K （5）
当K Ι和K Π都不为零时，由式（2）得出
[])
/(4)/(811(arctan
220
I ∏I ∏+±
=K K K K θ（6）
由应力分析可以得到θθσ的应力分布图，可以看出，使Ι-Ⅱ复合型裂纹的
θθσ取极大值的范围只能在0≤θ，因此满足应力分析的分支为
[
])
/(4)/(811(arctan
22
0I ∏I ∏+-=K K K K θ（7）
2Renshaw 与Pollard 准则
2.1 Renshaw 与Pollard 准则（1995）
Renshaw 与Pollard （1995）借助实验方法模拟了水力裂缝遇到预置的正交人工天然裂缝交互延伸情况，并根据实验结果归纳出了水力裂缝与人工天然裂缝交互延伸准则
06
.135
.035.00μ
σσ+
>'-'-yy
xx
T （8）
Renshaw 与Pollard 准则值考虑了水力裂缝与人工裂缝正交的情况下交互延伸的情况，该准则采用线弹性断裂力学的方法预测了当裂缝交互界面另一端的应力足够开启裂缝时交互界面上能够阻止裂缝滑动的裂缝尖端应力。考虑到水力裂缝与天然裂缝之间的夹角分布于0~90°之间，且夹角对水力裂缝是否穿越天然裂缝影响较大，有必要对原本的Renshaw 与Pollard 准则进行改进。
2.2 改进的Renshaw 与Pollard 准则
由图1所示，β是水力裂缝尖端与天然裂缝交互界面的夹角，远场应力场中裂缝尖端的最大、最小主应力σH 、σh 为
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+=23cos
2cos 2sin 223sin 2sin 12cos 223sin 2sin 12cos 2θθθπτθθθπσσθθ
θπσσr K r K r K I xy I h y I H x （9） 式中，K I 为应力强度因子；r 与θ为裂缝尖端的极坐标；拉应力为正。
在裂缝交互壁面处开启新裂缝的条件为
01T =σ（10）
参照Renshaw 与Pollard 准则，在θ=β或θ=β-π，r=r c 处（如图1），其中r c 为岩石发生弹性变形的临界半径，最大主应力可表示为
2
21)2
(
2
xy
y
x y
x τσσσσσ+-++=
（11） 主应力的方向为
y
x xy
p σστθ-=
22tan （12）
将式（10）代入式（11）可得
02
2)2
(
2
T xy y
x y
x =+-++τσσσσ（13）
式（13）可表示为
02
2
)23cos 2sin (23sin 2sin )2(2
T K K K h H h
H =+⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡--+
++θθθθσσσσ（14）
式中2
cos
2θ
πc
I
r K K =
，表示在已有裂缝另一侧壁面处形成新裂缝所需要
的强度。当θ=β或θ=β-π时可通过式（14）求取K 值。将式（14）重新整理可得
0)2(23sin 2sin )2(
22cos 2222
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--+h H h H T K T K σσθ
θσσθ
（15）
式中2
0h
H T T σσ+-
=
以上二次方程中有两个解，K 1与K 2。K 1为最大主应力等于抗张强度时的解，K 2为最小主应力等于抗张强度时的解。根据方程（10）判定K 1为有效根。根据Renshaw 与Pollard 准则准则，临界半径r c 可表示为
